《高等數(shù)學(xué)》第7章空間向量與空間解析幾何[章節(jié)講課]

1、 1章節(jié)課件 知識(shí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo) u了解二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程； u理解空間直角坐標(biāo)系、向量的概念；理解空間直角坐標(biāo)系、向量的概念； u會(huì)判斷平面與平面、直線與直線以及會(huì)判斷平面與平面、直線與直線以及 直線與平面間的關(guān)系；直線與平面間的關(guān)系； u掌握向量的線性運(yùn)算、向量平行和垂掌握向量的線性運(yùn)算、向量平行和垂 直的條件、幾種常見(jiàn)的曲面方程；直的條件、幾種常見(jiàn)的曲面方程； u熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式、平面與熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式、平面與 直線的各種方程直線的各種方程. 2章節(jié)課件 能力目標(biāo)能力目標(biāo) 通過(guò)幾何問(wèn)題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的抽通過(guò)幾何問(wèn)題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的抽 象思維能力、

2、邏輯推理能力和空間想象思維能力、邏輯推理能力和空間想 象能力象能力. 德育目標(biāo)德育目標(biāo) 借助數(shù)形結(jié)合的思想，將研究問(wèn)題的借助數(shù)形結(jié)合的思想，將研究問(wèn)題的 不同方法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，提高學(xué)生的綜合不同方法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，提高學(xué)生的綜合 素質(zhì)與人文素養(yǎng)素質(zhì)與人文素養(yǎng). 3章節(jié)課件 了解空間向量的概念,掌握空間向 量的基本定理及其意義,建立空間 直角坐標(biāo)系，以向量為工具,利用 空間向量的坐標(biāo)和相關(guān)運(yùn)算解決 空間中的幾何問(wèn)題. 4章節(jié)課件 通常把x 軸和y 軸配置在水平面上,而z 軸則是鉛 垂線.它們的正向通常符合右手法則,即以右手握 住z 軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x 軸以90度轉(zhuǎn)向 正向y 軸時(shí),大拇指的指向就

3、是z 軸的正方向. 過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)O O,作三條相互垂直 的數(shù)軸,它們都以O(shè) O 為原點(diǎn)且一般 具有相同的長(zhǎng)度單位,這三條軸分 別叫做x 軸(橫軸)、 y 軸(縱軸)、 z 軸(豎軸),統(tǒng)稱坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸. 這樣的三條坐標(biāo)軸就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 O Oxyz ,點(diǎn)O O 叫做坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn)原點(diǎn)). 5章節(jié)課件 這些坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一個(gè)部分稱 為一個(gè)卦限卦限.x、y、z 軸的正半軸的卦限稱為第 I卦限.在xO Oy面的上方,從第I卦限開(kāi)始，按逆時(shí) 針?lè)较蛳群蟪霈F(xiàn)的卦限依次稱為第、 卦限;第、卦限下面的空間部分依 次稱為第、卦限. 每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo) 平面,簡(jiǎn)

4、稱為坐標(biāo)面坐標(biāo)面. .x 軸與y 軸所 確定的坐標(biāo)面稱為xO Oy面,類似地, 有yO Oz面,zO Ox面. 6章節(jié)課件 1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1） 2.在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？ 指出下列各點(diǎn)的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0） 7章節(jié)課件 空間中的任意一點(diǎn)P 與唯一一組有序數(shù)組x、y、 z之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. x yO x y z O P A B C 這組數(shù)就叫做點(diǎn)P 的坐標(biāo)坐標(biāo)，并依次稱x、y、z為 點(diǎn)P 的橫

5、坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo),記為P (x,y,z). x y z (x,y,z) 8章節(jié)課件 （M1PQ都是直角三角形）是直角三角形） 2 d 2 2 2 1 QMQM 2 21M M 2 2 22 1 QMPQPM 任取空間兩點(diǎn)任取空間兩點(diǎn) M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 它們之間的距離為它們之間的距離為d = |M1M2|. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) M1 、 、M2 各作三個(gè)平面分別垂直 各作三個(gè)平面分別垂直 于三個(gè)坐標(biāo)軸于三個(gè)坐標(biāo)軸,形成如圖的長(zhǎng)方體形成如圖的長(zhǎng)方體. （M1QM2 是直角三角形）是直角三角形） z O x y x1 y1 z1 M1 M2 P 1

6、 M 2 M Q ( ) P Q 2 2 2 2 2 1 QMMPPM 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx z2 y2 x2 9章節(jié)課件 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMMd 222 zyxOMd 兩點(diǎn)間距離公式：兩點(diǎn)間距離公式： 特別地，點(diǎn)特別地，點(diǎn) M ( x , y , z) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)O ( 0 , 0 , 0 ) 的距離：的距離： 10章節(jié)課件 2.在y軸上找一點(diǎn)，使它與點(diǎn)A（3，1，0）和點(diǎn) B （-2，4，1）的距離相等. 1.利用兩點(diǎn)間距離公式求下列兩點(diǎn)間距離. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，

7、-1，0） 11章節(jié)課件 定義定義7.1 7.1 既有大小又有方向的量稱為向量向量( (或 矢量矢量););向量的大小稱為向量的模模. 代數(shù)法代數(shù)法 表達(dá)方式表達(dá)方式 幾何法幾何法 用始點(diǎn)為A 終點(diǎn)為B 的有向線段 表示 AB AB 圖示圖示 用帶有箭頭的小寫字母 表示 或用黑體字母 表示. ,cba , ，a (或 )記作向量AB 向量的模向量的模，a (或 ) AB(注：注：模長(zhǎng)是標(biāo)量) 12章節(jié)課件 0 模長(zhǎng)為零的向量. 模長(zhǎng)為1的向量. (方向是任意的)零向量零向量 單位向量單位向量 記作 記作e (方向未做規(guī)定) 13章節(jié)課件 模長(zhǎng)相等,方向相反的向量.相反向量相反向量 記作 a 模

8、長(zhǎng)相等,方向相同的兩個(gè)向量.相等向量相等向量 記作 ba 向量可以在空間中任意平移. 注注 與始點(diǎn)、終點(diǎn)位置無(wú)關(guān)； 圖示圖示a b 圖示圖示a a 注注 aa 14章節(jié)課件 方向相同或相反的非零向量.平行向量平行向量 記作 ba / 平行向量又可稱作共線向量. 注注零向量與任何向量都平行. 圖示圖示 a b 15章節(jié)課件 向量的加法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算 向量的減法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算 向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算 向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算 16章節(jié)課件 三角形法則三角形法則 運(yùn)算法則運(yùn)算法則 平等四邊行法則平等四邊行法則 AB 圖示圖示 圖示圖示 C D AB ACBCAB A C C C A

9、 ACADAB 17章節(jié)課件 三角形法則三角形法則 運(yùn)算法則運(yùn)算法則 平等四邊行法則平等四邊行法則 AB 圖示圖示 圖示圖示 C D AB CBACAB C DBADAB C B D B 18章節(jié)課件 注 數(shù)乘運(yùn)算后的結(jié)果仍是一個(gè)向量. a 記作一個(gè)向量 與一個(gè)實(shí)數(shù) 的乘積. a 定理定理 向量 與向量 平行(或共線)的充要條件是： a b 存在不全為零的實(shí)數(shù) 和 ,使得 . 0 ba 0 aaa 0 a 若有 成立,則稱向量 為原向量 同方向的 a 單位向量單位向量. 19章節(jié)課件 ， 32321321 3133232eeceeebeeea cba 32 已知 求： . 32321321 3

10、13323322eeeeeeee 解：解： cba 32 33322211 336139462eeeeeeee 1 8e 20章節(jié)課件 a kajaiaa zyx kji 、 zyx aaaa， 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，取與Ox軸、Oy軸、Oz軸 同向的單位向量 .則稱 為向量向量 的分解式的分解式； 稱為向量的坐向量的坐 標(biāo)式標(biāo)式. 21章節(jié)課件 坐標(biāo)式坐標(biāo)式 分解式分解式 ( 為常數(shù)) zyx aaaa， kbajbaibaba zzyyxx zzyyxx babababa， kajaiaa zyx )()()( ( 為常數(shù)) 22章節(jié)課件 1.已知兩點(diǎn)M1 (0，1，2) 和M2 (

11、1， -1，0),試用坐 標(biāo)式來(lái)表示向量 與 . 21M M 21 2MM 5 , 1, 4 OA OBOA 2.已知 與 ,求向量 與 的坐標(biāo). 0 , 8 , 1OB AB 23章節(jié)課件 掌握向量的數(shù)量積和向量積的定 義，能夠靈活運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律，并 熟訓(xùn)練使用判斷向量平行或垂直 的條件. 24章節(jié)課件 引例引例 設(shè)一物體在常力F 作用下沿直線從點(diǎn)M1移動(dòng) 到點(diǎn)M2,以S 表示位移 ,則力F 所做的功 為 ,其中 為F 與S 的夾角. 21M M cosSFW M1 M2 F M1 M2 S cosF 25章節(jié)課件 特別地，特別地， a b 2 )( ba ， ，ba 時(shí),稱 與 垂直；垂直；

12、記作：a b 或ba /0)(ba ， ，時(shí),稱 與 平行平行或共線；共線；記作：a b 定義定義 任意兩個(gè)向量 , 的數(shù)量積數(shù)量積(或內(nèi)積內(nèi)積)是一個(gè) a b )(cosbababa ，數(shù)量,記作 ,即 .ba ，注：注：0)(ba )(ba ， ， 定義定義 兩個(gè)非零向量 與 , 它們的夾角 稱為向向 量量 與與 的夾角的夾角, ,記作 . a b a b 26章節(jié)課件 定義法定義法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法 zzyyxx zyxzyx babababa bbbbaaaa ，則：設(shè)， )(cosbababa ， 27章節(jié)課件 數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的性質(zhì) ，則滿足：及實(shí)數(shù)，對(duì)于任意向量cba 2 aaa

13、）（1 0bababa 則兩個(gè)非零向量，）（2 數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的運(yùn)算律 abba 交換律1 1 baba 結(jié)合律2 cbcacba )(分配律3 3 28章節(jié)課件 ).()( )()( 3 )(32 baba babababa 與 求設(shè)， 解：解： 5)()( 2 2 babbaababa 1933222 2)()( 3 3 cos32)(cos 22 2 2 bbaa bbbaaababa bababa 所以 因?yàn)?， 29章節(jié)課件 222222 )(cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa ba ba ba ba ， 夾角的余弦公式為：，兩個(gè)非零向量 30章節(jié)課

14、件 sin , FOPFOQM MO OPFP FLO 它的模為,的力矩是一向量點(diǎn) 力F對(duì)支,的夾角為與杠桿上點(diǎn) 作用于這的支點(diǎn)，力為一根杠桿設(shè) 引例引例 F POL Q 31章節(jié)課件 構(gòu)成右手系.,且都垂直,和方向規(guī)定為與 其,，其大小為,記作向量, 仍是一個(gè)的和,和給定兩個(gè)向量 bababa babababa baba , )(sin )(或或外外積積向向量量積積定定義義 右手系規(guī)則圖示右手系規(guī)則圖示 b a ，注：注：0 ba 的角到是ba 向量積模的幾何意義向量積模的幾何意義 面積.為鄰邊的平等四邊形的，以ba 32章節(jié)課件 分解式法分解式法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法 yx yx zx zx zy

15、 zy zyxzyx bb aa bb aa bb aa ba bbbbaaaa ， ， ，則：設(shè) k bb aa j bb aa i bb aa bbb aaa kji ba kbjbibbkajaiaa yx yx zx zx zy zy zyx zyx zyxzyx 則：設(shè)， 33章節(jié)課件 14264 2 1 264 421 222 421222 . 2 1 sin 2 1 kji ABC S kji kji ACAB ACAB ACABAACAB ABC S ABC 于是 ，所以由于 的面積為知根據(jù)向量積的定義，可 ， 的面積.求 的頂點(diǎn)分別是已知 ABCC BAABC ， ， )74

16、2( )543()321 ( 解：解： 34章節(jié)課件 向量積的性質(zhì)向量積的性質(zhì) ，則滿足：及實(shí)數(shù)，對(duì)于任意向量cba 0aa ）（1 0/2bababa 則兩個(gè)向量，）（ 向量積的運(yùn)算律向量積的運(yùn)算律 abba 反交換律1 1 baba 結(jié)合律2 cbcacba )(分配律3 3 35章節(jié)課件 zyx zyx zyx zyxzyxzyx ccc bbb aaa cba ccccbbbbaaaa 則它們的混合積為： ,，設(shè)， 36章節(jié)課件 是什么樣的四邊形？那么 如果四邊形 ABCDbaCD baBCbaABABCD ， ，中，中， 35 42 bababbaba ba 2 ,121213 23

17、221 試求下列向量：已知向量， 37章節(jié)課件 平面和直線是幾何學(xué)中最基本的研究 對(duì)象,是一些向量空間和幾何空間中 某些對(duì)象的最基本原型,同時(shí)它們也 是幾何分析中“以直代曲”的最基本 元素.本章中要求掌握平面和直線的 代數(shù)表達(dá)形式以及點(diǎn)、線、面間的位 置關(guān)系. 38章節(jié)課件 .的面 為平向量是唯一確定的，此時(shí)稱的平面 垂直且與非零向量在空間中通過(guò)一定點(diǎn) 法法向向量量 n nM 0 定定義義 CBAn， )( 0000 zyxM， 平面的法向量平面的法向量 39章節(jié)課件 0 0 000 00 zzCyyBxxA nMMnMMzyxM 為：故 .即,則有),(上任取一點(diǎn)在平面 平平面面的的點(diǎn)點(diǎn)法法

18、式式方方程程 ， 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 0 ，其中由點(diǎn)法式方程可得： 222 000 0 CBACzByAxD DCzByAx ， 平面的一般式方程平面的一般式方程 40章節(jié)課件 解：解： 求過(guò)兩點(diǎn)M1 (2， -1，1) 和M2 (3， -2，1),且平行于 z軸的平面方程。 01 00100, 0112 2 yx BAM CCBAzn zCyBxA 平面方程為： .則所求程得：在平面上，代入平面方又有 .，得軸，故有其法向量 ，的平面方程為設(shè)過(guò)點(diǎn)M1 ， 41章節(jié)課件 解：解： 求過(guò)點(diǎn)M(1， -1，2),且與平面2x-y+3z+7=0平行的 平面的一般方程。 . 0932 0

19、23112 3 , 1, 2 0732 zyx zyx nn zyx 未知平面為：法向量.由點(diǎn)法式可得 也是未知平面的一個(gè).又知兩平面平行，故向量 的一個(gè)法已知平面,由平面的一般方程可知 42章節(jié)課件 直線的點(diǎn)向式和參數(shù)方直線的點(diǎn)向式和參數(shù)方 程程 直線方程的一般式直線方程的一般式 直線方程的兩點(diǎn)式直線方程的兩點(diǎn)式 三種表達(dá)形式三種表達(dá)形式 43章節(jié)課件 .的為直線是唯一確定的，則稱 平行的直線與非零向量在空間中通過(guò)一定點(diǎn)且 方方向向向向量量LsL s定定義義 M(x， y， z) L M0(x0 ， y0 ， z0) s=l， m， n M(x， y， z) M0(x0 ， y0 ， z0)

20、 sMM / 0 n zz m yy l xx 000 t ntzz mtyy ltxx 0 0 0 n zz m yy l xx 000 直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程 （或向式方程）：（或向式方程）： 直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程： 44章節(jié)課件 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 直線的一般式方程直線的一般式方程 程.化為對(duì)稱式與參數(shù)式方的一般方程將直線, 42 1 zyx zyx L 13 1 12 3 1 1 1 2 1 31232 112 111112111 111 1 1 2 0 , 2121 0 0 0 00000 tz ty tx zyx L kj

21、i kji nnsnn sLLM z y zy zy LxzyxML 其參數(shù)式方程為：; 的對(duì)稱式方程為：則直線 故有都垂直, 與兩平面的法向量的方向向量上.又知直線)在直線(.故 中，得到一般方程帶入1,可令),(上任取一點(diǎn)在 ， ， 例題例題 解：解： （兩個(gè)相交平面的交線來(lái)表示） 45章節(jié)課件 則直線方程： 則直線的方向向量為確定唯一一條直線, 點(diǎn)空間中任意不重合的兩 , ),(),( 121212 222111 zzyyxxMNs zyxNzyxM ： 直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 46章節(jié)課件 兩平面的位置關(guān)系兩平

22、面的位置關(guān)系 兩直線間的位置關(guān)系兩直線間的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系 三三 種種 關(guān)關(guān) 系系 47章節(jié)課件 則 空間中兩平面方程 , 0 , 0 22222 11111 DzCyBxA DzCyBxA ： ：定理定理 三種位置關(guān)系相交、平行、重合 .重合與平面 平行與平面 :相交與平面 2222 2222 D D C C B B A A D D C C B B A A CBACBA 1111 21 1111 21 22211121 ； ； 48章節(jié)課件 兩種位置關(guān)系異面、共面 .0 0 222 111 121212 222 111 121212 21 21 nml nm

23、l zzyyxx LL nml nml zzyyxx LL 共面與 異面與； 平行 重合 相交 則 式方程為知空間中兩直線的對(duì)稱 ： ： , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 n zz m yy l xx n zz m yy l xx L L 1 定定理理 49章節(jié)課件 則:的方程為 及平面的方程為：直線 , 0 000 DCzByAx n zz m yy l xx L定定理理 三種位置關(guān)系相交、平行、直線在平面上 . 且 上在平面直線 平行與平面直線 相交與平面直線 0 0 0 0 000 DCzByAx CnBmAlL CnBmAlL CnBmAlL ； ； 50章節(jié)課件

24、的位置關(guān)系.和平面 4- 確定直線 例5 5 1 2 3 2 zyx zyx 11 平面上. 故直線在.直線與平面有公共點(diǎn)則,的法向量 平面,點(diǎn).直線的方向向量)為直線和平面的公共點(diǎn)( ,01 , 1 , 1 4, 1 , 35 , 2, 2 nsnsn s 例例 題題 解：解： 的平行的平面方程.1)且與平面7-，2，求過(guò)點(diǎn)(3 例014 zyx22 解：解： .得代入平面方程,面上, )在此平點(diǎn)(,面方程為設(shè)與已知平面平行的平 18 1, 2 , 307 D Dzyx 51章節(jié)課件 . :的距離為 則該點(diǎn)到平面外一點(diǎn),是平面點(diǎn) 222 000 0000 0:),( CBA DCzByAx

25、d DCzByAxzyxM 點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式 . 2 0 為規(guī)定直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面垂直時(shí), 規(guī)定夾角為面平行時(shí),當(dāng)直線在平面內(nèi)或與平特別地,； 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 2 , 0 L 52章節(jié)課件 .的夾角和平面試求直線0 000 DCzByAx n zz m yy l xx .sin ,cossin, , 222222 nmlCBA CnBmAl nsns CBAnnmls 有,夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式 .根據(jù)兩向量則 2 為：平面的夾角 所以直線與,平面的法向量,直線的方向向量 例例 題題 解：解： 注注：上結(jié)論可作為公式應(yīng)用上結(jié)論可作為公式應(yīng)用. . 53

26、章節(jié)課件 1 2 n 1 ., ; 時(shí), 2 當(dāng) 時(shí), 2 0,當(dāng) 來(lái)定義.夾角可以由它們的法向量的兩平面間的夾角 ：規(guī)規(guī)定定 兩個(gè)平面間夾角兩個(gè)平面間夾角 時(shí) 2 0,當(dāng) 1 n 2 2 n 1 n 時(shí) 2 當(dāng) , 2 注注：可類似地定義兩條直線之間的夾角可類似地定義兩條直線之間的夾角. .54章節(jié)課件 本章建立了作為點(diǎn)的軌跡的曲線與其 方程之間的聯(lián)系，把研究曲線與曲面 的幾何問(wèn)題，歸結(jié)為研究其方程的代 數(shù)問(wèn)題，從而用代數(shù)的方法對(duì)一些曲 線與曲面進(jìn)行研究創(chuàng)造了條件.通過(guò) 本章節(jié)的學(xué)習(xí)，將逐步培養(yǎng)學(xué)生的空 間感，加強(qiáng)運(yùn)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的 方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 55章節(jié)課件 ., ,

27、 , , , 的的圖圖象象方方程程 的的方方程程曲曲面面 定定義義 0就稱為 而曲面,0就稱為方程那么, 0,程上的點(diǎn)坐標(biāo)都不滿足方不在曲面2 0;方程上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足曲面1 :有下述關(guān)系0,與三元方程如果曲面 zyxF SSzyxF zyxFS zyxFS zyxFS 任何曲面都可看成是點(diǎn)的幾何軌跡任何曲面都可看成是點(diǎn)的幾何軌跡. . 0)(zyxF，注：注：一般地，三元方程 的圖象都是空 間曲面. 56章節(jié)課件 . , 母母線線準(zhǔn)準(zhǔn)線線 柱柱面面定定義義 叫做柱面的動(dòng)直線,叫做柱面的定曲線 形成的軌跡稱為移動(dòng)的直線線平行于定直線并沿定曲 LC LC 橢橢圓圓柱柱面面. .軸為母線的柱面稱1為準(zhǔn)線、以二次曲線z b y a x 2 2 2 2 雙雙曲曲柱柱面面. .軸為母線的柱面稱1為準(zhǔn)線、以二次曲線z b y a x 2 2 2 2 拋拋物物柱柱面面. .軸為母線的柱面稱為準(zhǔn)線、以二次曲線zpyx2 2 x z y o x z y o x z y o 57章節(jié)課件 ., ,0, 2 2 2 2 2 2 czbyax cbacba c z b y a x 且稱為橢球面的 其中所確定的曲面稱1由方程 半半軸軸 橢橢球球面面， .0 , 0 , 0 2222 球球面面