數(shù)值分析復(fù)習(xí)[高教書苑]

1、數(shù)值分析總復(fù)習(xí)數(shù)值分析總復(fù)習(xí) 1高級(jí)教育 第三章 線性方程組的直接法 第四章 線性方程組的迭代法 第一章 緒論 第二章 非線性方程求根 第五章 函數(shù)插值 第六章 函數(shù)逼近 第七章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分 第八章 常微分方程數(shù)值解法 第九章 特征值特征向量 內(nèi)容提要 2高級(jí)教育 3高級(jí)教育 4高級(jí)教育 5高級(jí)教育 6高級(jí)教育 第一章第一章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧 1 誤差的概念誤差的概念 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字定義及相互關(guān)系： 2 誤差的傳播（數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)）誤差的傳播（數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)） 一元函數(shù)、多元函數(shù)誤差的近似泰勒估計(jì)： 3 誤差定性分析誤差定性分析 條件數(shù)、算法的數(shù)值穩(wěn)定性。 4 算法

2、設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)算法設(shè)計(jì)注意事項(xiàng) 7高級(jí)教育 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 算法設(shè)計(jì)要點(diǎn) 數(shù)值方法的穩(wěn)定性 數(shù)值方法的收斂性 算法 多元函數(shù) 一元函數(shù) 傳播 有效數(shù)字 相對(duì)誤差（限） 絕對(duì)誤差（限） 度量 截?cái)嗾`差 舍入誤差 誤差的產(chǎn)生 誤差 誤差與算法 8高級(jí)教育 第一章第一章 重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 設(shè)x*是準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似，稱 xxxe * )( 為 x* 近似x的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱為誤差。 在不引起混淆時(shí)，簡(jiǎn)記符號(hào) 為 )( * xe * e )( * x 如果存在著的正數(shù) 使得有絕對(duì)誤差 * xxe 則稱 * 為x*近似x的一個(gè)絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限， 簡(jiǎn)稱誤差限。 9高級(jí)教育 相對(duì)誤差相

3、對(duì)誤差 設(shè)x*是準(zhǔn)確值x 的一個(gè)近似，稱 x xx xer * * )( 為x* 近似x的相對(duì)誤差相對(duì)誤差。 因 )( )( 2 * * * * * * * * * * r exx e xx xx e x e x e x e e )()( 1 1 22* r * * eO x e xe 稱數(shù)值 的上界為相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限，記為 * r e * r 10高級(jí)教育 第一章第一章 重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握 有效數(shù)字有效數(shù)字 設(shè)x的近似值x* 有如下標(biāo)準(zhǔn)形式 i a 0,1,2,9 其中m為整數(shù)， 且 1 a0,np 如果有 nm 2 1 * 10e xx* 則稱x* 為x的具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字的近似

4、數(shù)， 121 100. m nnp xa aa aa 11高級(jí)教育 相對(duì)誤差與有效數(shù)字間的關(guān)系相對(duì)誤差與有效數(shù)字間的關(guān)系 定理定理 設(shè)x的近似數(shù)x*具有標(biāo)準(zhǔn)形式： 1 1 1 10 2 *n r e a 121 100. m nnp xa aa aa 若x*具有n位有效數(shù)字，則相對(duì)誤差 若相對(duì)誤差 1 1 1 10 2(1) *n r e a 則x*至少 具有n位有效數(shù)字。 12高級(jí)教育 用用Taylor公式分析誤差傳播規(guī)律公式分析誤差傳播規(guī)律 * 1 x * 2 x * n x當(dāng) ， ， 很好地近似了相應(yīng)的真值時(shí)，利 用多元函數(shù)的一階Taylor公式可求得y* 的絕對(duì)誤 差和相對(duì)誤差分別為

5、設(shè)可微函數(shù)中 的自變x1、 x2、xn是相互獨(dú)立的。函數(shù)值y的近似值為 ),( * 2 * 1 * n xxxfy ),( * 2 * 1n xxxfy 13高級(jí)教育 n 1i i * i * n * 1 i * )(,()(xxxxfyyye n 1i * i * n * 1 i )(),(xexxf n 1i * i * i * n * 1 i * * i * * * )( ),( )( )( x xe xxf y x y ye yer n 1i * i * n * 1 i * * i )(),(xexxf y x r 14高級(jí)教育 用算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)用算術(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì) )()()(

6、* 2 * 1 * 2 * 1 xxxx )()()( * 2 * 1 * 1 * 2 * 2 * 1 xxxxxx )0( )()( )( * 2 2 * 2 * 2 * 1 * 1 * 2 * 2 * 1 x x xxxx x x 算術(shù)運(yùn)算的絕對(duì)誤差傳播算術(shù)運(yùn)算的絕對(duì)誤差傳播 15高級(jí)教育 算術(shù)運(yùn)算的相對(duì)誤差傳播算術(shù)運(yùn)算的相對(duì)誤差傳播 ),0(),(),(max)( * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 xxxxxx rrr ),0(),()()( * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 xxxxxx rrr ),0(),()()( * 2 * 1 * 2 * 1 * 2

7、 * 1 xxxx x x rrr 16高級(jí)教育 算法注意事項(xiàng)算法注意事項(xiàng) 避免相近數(shù)相減 , ) 1( 1 1 11 xxxx , 1 1 1 xx xx , 1 lnln) 1ln( x x xx 。)1ln()1ln( 22 xxxx 17高級(jí)教育 第一章 典型例題典型例題 例1 已知數(shù) x=2.718281828.,取近似值 x*=2.7182,那麼x具有幾位有效數(shù)字 解； * 31 4 2.7182818282.71820.00008182 11 0.00051010 22 exx 故有四位有效數(shù) 點(diǎn)評(píng)；考查的有效數(shù)字的概念。 18高級(jí)教育 * 123 3.105,0.001,0.1

8、00 xxx * 123 xxx 例2有效數(shù) 試確定的相對(duì)誤差限。 * * 123 123 * 123 333 ()()() () 111 101010 222 0.0004993 3.1050.001 0.100 r e xe xe x e xxx xxx 解： 點(diǎn)評(píng)；此題考查相對(duì)誤差的傳播。 * * 1 ()()() n rrii i i f eye xx y x * * 112233123 123 * 123123 ()()()()()() () rrr r ex xex xex xe xe xe x e xxx xxxxxx 19高級(jí)教育 例3sin1有2位有效數(shù)字的近似值0.84的相

9、對(duì)誤差限是 . 解法1：根據(jù)有效數(shù)字與相對(duì)誤差限的關(guān)系 2 11 11 10100.00625 2 816 r 解法2：相對(duì)誤差限的概念 2 * 1 100.840.0059524 2 r x 點(diǎn)評(píng)；此題考查相對(duì)誤差與有效數(shù)字關(guān)系 第二種按定義得到的結(jié)果更好 20高級(jí)教育 *n x * x例例4的相對(duì)誤差為的相對(duì)誤差為的相對(duì)誤差的的相對(duì)誤差的-倍。倍。 * * 1 ()()() n rrii i i f e ye xx y x * 1 (*)(*)()/* nnn rr exxe x xx n 解：根據(jù)誤差傳播公式解：根據(jù)誤差傳播公式 則有則有 點(diǎn)評(píng)；考查一元函數(shù)相對(duì)誤差傳播。 21高級(jí)教育

10、22高級(jí)教育 第二章第二章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧 1 二分法二分法 二分法計(jì)算過程、二分法先驗(yàn)誤差：二分法計(jì)算過程、二分法先驗(yàn)誤差： 2 不動(dòng)點(diǎn)迭代法（普通迭代法）不動(dòng)點(diǎn)迭代法（普通迭代法） 不動(dòng)點(diǎn)格式構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)格式構(gòu)造： 3 牛頓迭代法牛頓迭代法 牛頓迭代公式牛頓迭代公式 不動(dòng)點(diǎn)收斂性不動(dòng)點(diǎn)收斂性：（局部收斂性、全局收斂性）：（局部收斂性、全局收斂性） 不動(dòng)點(diǎn)加速不動(dòng)點(diǎn)加速：Aiteken加速加速 牛頓迭代的局部收斂性和全局收斂性；牛頓迭代的局部收斂性和全局收斂性； 牛頓迭代公式的變形（非重點(diǎn)）牛頓迭代公式的變形（非重點(diǎn)） 23高級(jí)教育 非線性方程數(shù)值解法 基本概念（單根、重根、收斂階） 求根方

11、法 二分法及其收斂性二分法及其收斂性 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 簡(jiǎn)單迭代法的加速簡(jiǎn)單迭代法的加速 Newton迭代法迭代法 Newton迭代法的變形迭代法的變形 重根Newton迭代法 Newton下山法 割線法 迭代格式 收斂性定理 誤差估計(jì) 迭代格式 收斂性定理 誤差估計(jì) 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 24高級(jí)教育 方程 的解 稱為方程 的根或 稱為 的零點(diǎn)，若 其中 m為正整數(shù)， 滿足 ，則顯然 這時(shí)稱 為 的m重零點(diǎn)，或稱 為 的m重根。 0 xf * x 0 xf xf xgxxxf m * xg 0 xg 0 * xf * x xf * x 0 xf 定理：若 只有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 是 的m重零點(diǎn)的充要

12、條件為： ， xf * x xf 0 * xf0)(0)(0)( *)(*)1(* xfxfxf mm 第二章第二章 重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握 25高級(jí)教育 二分法執(zhí)行步驟二分法執(zhí)行步驟 1計(jì)算計(jì)算f (x)在有解區(qū)間在有解區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值端點(diǎn)處的值，f (a)，f (b)。 2計(jì)算計(jì)算f (x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值在區(qū)間中點(diǎn)處的值f (x1)。 3判斷若判斷若f (x1) = 0，則則x1即是根，否則檢驗(yàn)即是根，否則檢驗(yàn)： （1）若若f (x1)與與f (a)異號(hào)異號(hào)，則知解位于區(qū)間則知解位于區(qū)間a, x1， b1=x1, a1=a; （2）若若f (x1)與與f (a)同號(hào)同號(hào)，則知解位于區(qū)間則

13、知解位于區(qū)間x1, b， a1=x1, b1=b。 反復(fù)執(zhí)行步驟反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間便可得到一系列有根區(qū)間： (a, b), (a1, b1), , (ak, bk), 26高級(jí)教育 4、當(dāng)當(dāng) 11kk ab時(shí)時(shí) )( 2 1 1kkk bax 5、則、則 即為根的近似即為根的近似 ), 2 , 1()( 2 1 1 * 1 kabxx k k 先驗(yàn)誤差估計(jì)：先驗(yàn)誤差估計(jì)： 理論基礎(chǔ)：理論基礎(chǔ)： 定理定理1：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù)，如果如果f (a) f (b) 0， 則方程則方程 f (x) = 0 在在a, b內(nèi)至少有一實(shí)根內(nèi)至少有

14、一實(shí)根x*。 27高級(jí)教育 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 f (x) = 0 x = g (x) 等價(jià)變換等價(jià)變換 構(gòu)造迭代格式構(gòu)造迭代格式x = g (x) )( 1kk xgx 則對(duì)于任意的初值x0S，迭代公式 產(chǎn)生的序列 必收斂于方程的根 。 * x 11 (),0,1,2 kk xg xk k x ( )g x | * xxxS （1）迭代函數(shù) 在 的鄰域可導(dǎo)； 定理定理2.（局部收斂定理）設(shè) 是方程 的根， 滿足： ( )xg x ( )1g xL （2）在 的某個(gè)鄰域 ，對(duì)于任意xS，有 * x * x * x 28高級(jí)教育 定理：如果定理：如果 (x)滿足下列條件滿足下列條件 （1 1）

15、當(dāng)）當(dāng)x a, b時(shí)，時(shí)， (x) a, b （2 2）當(dāng)任意）當(dāng)任意x a, b，存在，存在0 L1)階階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則當(dāng)初值導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則當(dāng)初值x0 0充分靠近充分靠近時(shí)時(shí) ，迭代法為迭代法為p 階收斂的充要條件是階收斂的充要條件是 0)(, 0)()()( )()1( pp 30高級(jí)教育 )( )( 1 k k kk xf xf xx 牛頓法牛頓法 x* x0 x1 x2 x y f(x) 31高級(jí)教育 牛頓法的收斂性牛頓法的收斂性 定理定理： 設(shè)設(shè)f (x)在在a, b上滿足下列條件上滿足下列條件： （1）f (a) f (b) 0 則由則由（2.3）確定的牛頓迭代序列確定的牛頓迭代序

16、列xk收斂于收斂于f (x) 在在a, b上的唯一根上的唯一根x*。 32高級(jí)教育 定理（定理（Newton迭代法局部收斂性迭代法局部收斂性）：）：設(shè) 為 的 根，如果：（1）函數(shù)f(x)在 的鄰域具有連續(xù)的二階 導(dǎo)數(shù)；（2）在 的鄰域 。 * x0)(xf 0)( xf * x * x * |xxxS * x則存在 的某個(gè)鄰域 ，對(duì)于任意的初始 值x0S，由由NewtonNewton迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根 。 )(, )(2)( )( )( 1 2 kk xx xxx xx xxx Steffensen迭代格式迭代格式 33高級(jí)教育 Newton法的變形法的變形

17、 重根時(shí)的牛頓迭代法重根時(shí)的牛頓迭代法 )( )( )( xf xf mxxx )( )( 1 k k kk xf xf mxx 使用牛頓法對(duì) 具有單重零點(diǎn) 0)( , )( )( )( x xf xf x Newton下降法下降法 )( )( 1 k k kkk xf xf txx ,.1 , 0k 34高級(jí)教育 ( )f x( )xf x例例1設(shè)設(shè)可微，求可微，求 根的牛頓迭代公式根的牛頓迭代公式-。 解；化簡(jiǎn)得到解；化簡(jiǎn)得到 ( )0 xf x 根據(jù)牛頓迭代格式根據(jù)牛頓迭代格式 ), 2, 1, 0( )( )( 1 k xf xf xx k k kk 則相應(yīng)的得到則相應(yīng)的得到 1 ()

18、 (0, 1, 2,) 1() kk kk k xf x xxk fx ( )f xsinxx例例2設(shè)設(shè)可微，求可微，求 根的牛頓迭代公式根的牛頓迭代公式-。 35高級(jí)教育 例例2： 求方程求方程01)( 3 xxxf 在區(qū)間在區(qū)間1, 1.5內(nèi)的實(shí)根。要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第內(nèi)的實(shí)根。要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。位。 解：預(yù)先估計(jì)一下二分的次數(shù)：按誤差估計(jì)式解：預(yù)先估計(jì)一下二分的次數(shù)：按誤差估計(jì)式 )( 2 1 1 11 * ababxx k kkk 解得解得k = 6，即只要二分，即只要二分6次，即達(dá)所求精度。計(jì)算結(jié)果如下表：次，即達(dá)所求精度。計(jì)算結(jié)果如下表： kakbkxkf (xk)的符的符

19、 號(hào)號(hào) 011.51.25- 11.251.51.375+ 21.251.3751.3125- 31.31251.3751.3438+ 41.31251.34381.3281+ 51.31251.32811.3203- 61.32031.32811.3242- 36高級(jí)教育 例例3：求方程：求方程0210)( x xxf的一個(gè)根的一個(gè)根 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閒 (0) = 10 f (1) = -7 0）的迭代公式，并用以上公式求）的迭代公式，并用以上公式求78265. 0 解：設(shè)解：設(shè) cxxf 2 )( （x 0）則）則c就是就是f (x) =0的的正根。正根。 由為由為f (x) = 2x，

20、所以得迭代公式，所以得迭代公式 k k kk x cx xx 2 2 1 由于由于x 0時(shí)，時(shí)，f (x) 0，且，且f (x) 0，根據(jù)定理知：根據(jù)定理知： cx 0 ，所確定的迭代序列所確定的迭代序列xk必收斂于必收斂于取任意初取任意初 值值 取初值取初值x = 0.88，計(jì)算結(jié)果見表，計(jì)算結(jié)果見表 kxk 00.88 10.88469 20.88468 30.88468 88468. 078265. 0 故可取故可取 38高級(jí)教育 39高級(jí)教育 40高級(jí)教育 41高級(jí)教育 42高級(jí)教育 例例7 7：設(shè)：設(shè))5()( 2 xaxx要使得迭代局部收斂于要使得迭代局部收斂于 5 * x求求a

21、a的取值范圍。的取值范圍。 )(xx * x 13)( x )(x )(xg)( 1kk xgx * x 例例8 8 已知方程已知方程在在a,ba,b內(nèi)有根內(nèi)有根 ，且在，且在a,ba,b ，利用，利用構(gòu)造一個(gè)迭代函數(shù)構(gòu)造一個(gè)迭代函數(shù) ，使得，使得局部收斂于局部收斂于 上滿足上滿足 解：解： 由由 )(xx 可得可得 xxxx3)(3 )()3)( 2 1 xgxxx 由于由于 13)( 2 1 )3)( 2 1 )(xxxg 故迭代公式故迭代公式 )3)( 2 1 )( 1kkkk xxxgx 局部收斂。局部收斂。 43高級(jí)教育 第三章第三章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧 1 Guass消去法消去法 G

22、uass消去法、消去法、 2 矩陣三角分解法矩陣三角分解法 LU分解法分解法 平方根法（對(duì)稱正定矩陣），追趕法（三對(duì)角方程）平方根法（對(duì)稱正定矩陣），追趕法（三對(duì)角方程） 向量范數(shù)和矩陣范數(shù)（三個(gè)）；向量范數(shù)和矩陣范數(shù)（三個(gè)）； 向量范數(shù)的連續(xù)性和等價(jià)性，向量收斂性定義向量范數(shù)的連續(xù)性和等價(jià)性，向量收斂性定義 Guass選主元消去法（列選主元，全選主元）選主元消去法（列選主元，全選主元） 2 方程組的性態(tài)和誤差估計(jì)方程組的性態(tài)和誤差估計(jì) 矩陣條件數(shù)，病態(tài)方程組矩陣條件數(shù)，病態(tài)方程組 44高級(jí)教育 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 線性方程組線性方程組 數(shù)值解法數(shù)值解法 直接法直接法 迭代法迭代法 高斯消去法 高斯順

23、序消去法 高斯主元素消去 法 矩陣三角分解 法 LU分解 平方根分解(對(duì)稱正定矩陣) 追趕法 (三對(duì)角方程組) 向量與矩陣的范數(shù) 迭代法的基本思想 Jacobi迭代法 迭代格式 收斂條件 充要條件： 充分條件：3個(gè) Gauss-Seidel迭代 法 迭代格式 收斂條件 充要條件： 充分條件：5個(gè) SOR迭代法 迭代格式 收斂條件 充要條件： 充分條件：3個(gè) 必要條件： 列主元消去法 全主元消去法 分解條件 分解算法 45高級(jí)教育 )2()2()2( 2 )2( 3 )2( 32 )2( 32 )2( 2 )2( 22 )2( 22 )1( 1 )1( 12 )1( 121 )1( 11 . .

24、 . . . nnnnnn nn nn nn bxaxa bxaxa bxaxa bxaxaxa 第一步：第一步： 若若 令令 , ,用用 乘乘 第一個(gè)方程加到第第一個(gè)方程加到第 個(gè)方程個(gè)方程 ，并保留第，并保留第一一 式，則得式，則得 , 0 )1( 11 a i )1( 11 )1( 1 1 a a l i i ),.3 , 2(ni ),.3 , 2(ni 1 i l GaussGauss消去法消去法 )1( 1 )1()2( ijiijij alaa),.3 , 2,(nji 其中 )1( 11 )1()2( blbb iii ),.3 , 2,(nji 46高級(jí)教育 若若 令令 ，

25、乘第二個(gè)方程加到第乘第二個(gè)方程加到第i個(gè)方程個(gè)方程 ，則得，則得 , 0 )2( 22 a 2i l )2( 22 )2( 2 2 a a l i i ),.4 , 3,(nji ),.,3 , 2(ni 用用第二步第二步: : )3()3( 3 )3( 3 )3( 3 )3( 33 )3( 33 )2( 2 )2( 22 )2( 22 )1( 1 )1( 12 )1( 121 )1( 11 . . nnnnn nn nn nn bxaxa bxaxa bxaxa bxaxaxa )2( 22 )2()3( blbb iii ),.4 , 3,(nji )2( 22 )2()3( jiijij

26、 alaa),.4 , 3,(nji其中其中 47高級(jí)教育 按上述做法，做完按上述做法，做完n-1n-1步，原方程可化為同解的步，原方程可化為同解的 上三角方程組上三角方程組。 )()( )2( 2 )2( 22 )2( 22 )1( 1 )1( 12 )1( 121 )1( 11 n nn n nn nn nn bxa bxaxa bxaxaxa 最后，設(shè)最后，設(shè) ，逐步回代為原方程組的解：，逐步回代為原方程組的解：0 )( n nn a )( )( n n n n n a b x )( 1 )()( )( i ii n ij i i ij i i i a xab x 定理：用高斯順序消去法

27、能夠求解方程組用高斯順序消去法能夠求解方程組 A A 的解之的解之 充要條件為充要條件為A A的各項(xiàng)順序主子式均不為零。的各項(xiàng)順序主子式均不為零。 bx 48高級(jí)教育 )2()2( )2()2( 22 )2( 2 )2( 2 )2( 2 )2( 22 )2( 1 )1( 1 )1( 12 )1( 11 bA baa baa baaa nn n n 在第一列中選取絕對(duì)值最大的元素在第一列中選取絕對(duì)值最大的元素, ,如若如若 = 調(diào)換第一行與第調(diào)換第一行與第i行，這時(shí)的行，這時(shí)的 1 , 1 i a ni1 max 1 i a )1( 11 a 1 , 1 i a 去法的第一步，即去法的第一步，即

28、消消行行 就是原來的就是原來的 , ,再進(jìn)再進(jìn) )2( A再考慮再考慮 右下角矩陣，選取絕對(duì)值最大的元素作為右下角矩陣，選取絕對(duì)值最大的元素作為 主元素主元素, ,經(jīng)過行的對(duì)換和列的對(duì)經(jīng)過行的對(duì)換和列的對(duì)換把主元素移到換把主元素移到， )2( 22 a 再按消元公式計(jì)算再按消元公式計(jì)算 （i,j=3,i,j=3,n n）。）。 )3( ij a GaussGauss列選主元消去法列選主元消去法 49高級(jí)教育 直接三角分解法直接三角分解法 設(shè)設(shè)A=LU 即即 nn n n nnn nnnn n n u uu uuu lll ll l aaa aaa aaa 222 11211 321 3231

29、21 21 22221 11211 1 1 1 1 第一步：第一步： 比較第一行元素：比較第一行元素：), 2 , 1( 11 njua jj 比較第一列元素：比較第一列元素： 1111 ula ii ), 3 , 2( 11 1 1 ni a a l i i 解出解出 50高級(jí)教育 第二步： 比較第二行元素： ), 3 , 2( 21212 njuula jjj 算出： jjj ulau 12122 nj. 3 . 2 比較第二列的元素： 222222 ulula iiii 得出： 22 2222 u ulal iiii ni4 . 3 n m k m n km mjkmkkkjmjkmmj

30、imkj ulluulula 1 1 11 一般的，第k步及R之行，L的第k-1列已求出，則 列元素 比較第k 51高級(jí)教育 算出： mj k m kmkjkj ulau 1 1 .1,nkkj 比較第k列元素(ik 即行指標(biāo)列指標(biāo)，為算 , ik) ik l n m k m m km mkimkkikikmkimmkimik uluululula 1 1 1 算出: n m k m n km mkimkkikmkimmkimik ulululull 1 1 1 算出: kk k m mkimikik u ulal 1 1 ., 1nki 52高級(jí)教育 這組公式可用下圖記憶: nnnnn n

31、n ulll uuul uuuu 321 2232221 1131211 的求y過程為:bxA yxU byL 53高級(jí)教育 追趕法 設(shè) nnnnn nnn iii b b b x x x cba cba cba cba cba cb 2 1 2 1 111 333 222 11 54高級(jí)教育 n ii ii n i nn n u cu cu cu l l l ba c cba cb 11 11 2 1 322 11 1 1 1 1 1 即 1 1 11 iiii i i i clbu u a l bu ni3 , 2 55高級(jí)教育 由 得 nnn b b y y y l l 1 2 1 2

32、1 1 1 1 11 iiii ylby by ni. 3 . 2 由 得 nn n n y y x x x u c u cu 1 2 1 1 2 11 i iii i n n n a xcy x u y x 1 1 , 2. 1 ni 56高級(jí)教育 第三章 典型例題典型例題 57高級(jí)教育 例例2：用直接三角分解法解：用直接三角分解法解 20 18 14 513 252 321 3 2 1 x x x 解：（解：（1 1）對(duì)于）對(duì)于r = 1，利用計(jì)算公式，利用計(jì)算公式 1 11 u2 12 u 3 13 u 3 2 3121 ll （2 2）對(duì)于）對(duì)于r r = 2 = 2， 222221

33、12 52 21ual u 232321 13 22 34ual u 5 1 )231 ()( 22 123132 32 u ula l 58高級(jí)教育 （2 2）對(duì)于）對(duì)于r r = 3 = 3， 333331133223 ()24ual ul u 于是于是 LUA 24 41 321 153 12 1 （4 4）回代求解：）回代求解： 72 10 14 23213133 12122 1 ylylby ylby y bLy3 3 33 2233 2 22 1122133 1 11 3 () 2 () 1 Uxy y x u yu x x u yu xu x x u T x)3, 2, 1 (

34、59高級(jí)教育 123 012 001 L 100 030 212 U ， 60高級(jí)教育 61高級(jí)教育 62高級(jí)教育 63高級(jí)教育 64高級(jí)教育 65高級(jí)教育 66高級(jí)教育 例例5 5 對(duì)矩陣對(duì)矩陣A A進(jìn)行進(jìn)行LDLLDL分解和分解和LLLL分解，并求解方分解，并求解方 程組程組 3 2 1 2248 454 8416 3 2 1 x x x 解解 對(duì)對(duì)A A進(jìn)行進(jìn)行LLLL分解分解 16484412 4541223 84222333 對(duì)對(duì)A A進(jìn)行進(jìn)行LDLLDL分解分解 12 1 1 44164816 31 454141 42 84229 312 1 42 67高級(jí)教育 回代解方程組回代解

35、方程組 3 2 1 332 21 4 3 2 1 y y y 得得 7083. 1875. 025. 0 T y 再解再解 1 2 3 4120.25 230.875 31.7083 x x x 0.5451 1.29160.5694 T x 得得 68高級(jí)教育 第四章第四章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧 1 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 簡(jiǎn)單迭代法構(gòu)造簡(jiǎn)單迭代法構(gòu)造 2 G-S迭代法迭代法 G-S迭代法的構(gòu)造思想迭代法的構(gòu)造思想 G-S迭代法的收斂性分析迭代法的收斂性分析 Jacobi方法方法 基于基于Jacobi方法的方法的G-S迭代法迭代法 簡(jiǎn)單迭代法的收斂性分析簡(jiǎn)單迭代法的收斂性分析 2 常用迭代法常用迭

36、代法 逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法 69高級(jí)教育 簡(jiǎn)單迭代法的構(gòu)造 將該方程組等價(jià)變形為 構(gòu)造簡(jiǎn)單迭代格 式 ， 。若 收斂于確定的 向量 ，則 就是方程組的解。此時(shí)稱簡(jiǎn)單迭代法 ， 關(guān)于初始向量 收斂。 gxBx )(k x , 1 , 0kgxBx kk )()1( * x * x gxBx kk )()1( , 1 , 0k )0( x 設(shè)要求解的線性方程組為 ，其中 為非奇異 矩陣， 為向量。 bxA b A 70高級(jí)教育 簡(jiǎn)單迭代法的收斂性 0lim )( k k Ba. 1)(Bb. 迭代矩陣的譜半徑 1. 收斂的充要條件 定理1.簡(jiǎn)單迭代法 ， ，對(duì) 任意初始向量 都收斂的充

37、要條件是： )0( x gxBx kk )()1( nk1 , 0 簡(jiǎn)單迭代法為 . gxBx kk )1()( )()( *)0(*)1(*)( xxBxxBxx kkk 故 設(shè) 有唯一解 ， * x gxBx 71高級(jí)教育 幾種常見的迭代法幾種常見的迭代法 一一. .JacobiJacobi迭代法迭代法 設(shè) , i=1,2,n 0 ii a )( 1 )( 1 )( 1 )( 11. )( 22 )( 11 )1( 2 )( 2 )( 323 )( 121 22 )1( 2 1 )( 1 )( 313 )( 212 11 )1( 1 n k nnn k n k n nn k n k nn

38、kkk k nn kkk bxaxaxa a x bxaxaxa a x bxaxaxa a x 迭代格式迭代格式 72高級(jí)教育 1)( J B 2.2.收斂條件收斂條件 b.b.充分條件：充分條件： （j=1,2,n）(按按列列) n ijij ijij aa , （按行）（按行） ,（i=1,2,n） n jij ijii aa , 1 （II）設(shè)系數(shù)矩陣）設(shè)系數(shù)矩陣 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)， nnij aA )( 或或 則則Jacobi迭代法關(guān)于任意初始向量迭代法關(guān)于任意初始向量 收斂收斂 )0( x （I）若）若 則則Jacobi方法關(guān)于任意初始向量方法關(guān)于任意初始向量 都都 收斂

39、。收斂。 1 J B )0( x 即即 a.a.充要條件充要條件： 73高級(jí)教育 二二. .與與JacobiJacobi迭代法相應(yīng)的迭代法相應(yīng)的Gauss-SeidelGauss-Seidel法法 1.1.迭代格式迭代格式. . )( 1 )( 1 )( 1 )1( 11. )1( 22 )1( 11 )1( 2 )( 2 )( 323 )1( 121 22 )1( 2 1 )( 1 )( 313 )( 212 11 )1( 1 n k nnn k n k n nn k n k nn kkk k nn kkk bxaxaxa a x bxaxaxa a x bxaxaxa a x 74高級(jí)教育

40、 2.收斂條件收斂條件. G-S法關(guān)于任意初始向量法關(guān)于任意初始向量 都都 收斂的充要條件是收斂的充要條件是 .1)( s B )0( x a.充要條件：充要條件： b.充分條件：充分條件： 若若 則則G-S方法關(guān)于任意初始向量方法關(guān)于任意初始向量 都收斂都收斂. . 1 s B )0( x 關(guān)于任意初始向量關(guān)于任意初始向量 收斂。收斂。 設(shè)系數(shù)矩陣設(shè)系數(shù)矩陣 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則G-S方法方法 )( ij aA )0( x 75高級(jí)教育 SOR方法 1 1 )( )1( ( i j iji ii k i k i ab a xx ） n ij k jij k j xax )()1(

41、 ni,.2 , 1 )()1( )1 ( k i k i xx 1 1 i j iji ii ab a （ ） n ij k jij k j xax 1 )()1( 76高級(jí)教育 第四章 典型例題典型例題 77高級(jí)教育 例例2 2：用雅克比迭代法和高斯：用雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法賽得爾迭代法 解線性方程組解線性方程組 8 7 7 901 081 119 3 2 1 x x x 解：所給線性方程組的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，解：所給線性方程組的系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)， 故雅克比迭代法和高斯故雅克比迭代法和高斯賽得爾迭代法都收斂。賽得爾迭代法都收斂。 009/1 008/1 9/19/1

42、0 1A DI 9/7 8/7 9/7 1b D 雅克比迭代法的迭代公式為雅克比迭代法的迭代公式為： 9/7 8/7 9/7 009/1 008/1 9/19/10 )()1(kk XX 78高級(jí)教育 取取X(0) = (0, 0, 0)，由上述公式得逐次近似值如下由上述公式得逐次近似值如下： 0 0 0 8889. 0 8750. 0 7778. 0 9753. 0 9723. 0 9738. 0 9993. 0 9993. 0 9942. 0 9993. 0 9993. 0 9993. 0 X (i) 43210k 高斯高斯賽得爾迭代法：賽得爾迭代法： 80 9 1 7 8 1 7 9 1

43、 )1( 2 )1( 1 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 0 0 0 9753. 0 9722. 0 7778. 0 9993. 0 9993. 0 9942. 0 0000. 1 0000. 1 9998. 0 000. 1 000. 1 000. 1 k01234 x(i) 79高級(jí)教育 11 22 33 13 12 32 axb axb axb 例例3 3設(shè)有方程組設(shè)有方程組 1.1.當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)a a滿足什么條件時(shí)，雅可比方法對(duì)任意的滿足什么條件時(shí)，雅可比方法對(duì)任意的 初始向量都收斂。初始向量

44、都收斂。 2.2.寫出與雅可比方法對(duì)應(yīng)的高斯賽德爾迭代公式。寫出與雅可比方法對(duì)應(yīng)的高斯賽德爾迭代公式。 解：當(dāng)解：當(dāng)a不等于零時(shí)，雅可比方法的迭代矩陣為不等于零時(shí)，雅可比方法的迭代矩陣為 0/2/3 /20/1 /3/10 aa aa aa B 可以解出可以解出B的特征值的特征值 80高級(jí)教育 , 2 , 2 , 0 221 i a i a 可知可知B的譜半徑的譜半徑 1 2 )( a B 由此得出由此得出 時(shí)，雅可比方法收斂。時(shí)，雅可比方法收斂。 2a )023( 1 )20( 1 )30( 1 3 )1( 2 )1( 1 )1( 2 )( 3 )1( 1 )1( 2 1 )( 3 )( 2

45、 )1( 1 bxx a x bxx a x bxx a x kkk n kkk kkk 與雅可比方法對(duì)應(yīng)的方法為與雅可比方法對(duì)應(yīng)的方法為 81高級(jí)教育 例設(shè)有方程組例設(shè)有方程組 1 1 1 211 111 112 3 2 1 x x x 證明該方程組對(duì)應(yīng)雅可比方法發(fā)散，而證明該方程組對(duì)應(yīng)雅可比方法發(fā)散，而G-SG-S方法收斂。方法收斂。 解：雅可比方法的迭代矩陣為解：雅可比方法的迭代矩陣為 02/12/1 101 2/12/10 B 設(shè)其特征值為設(shè)其特征值為 ，則，則 4 5 3 BI, 2 5 , 2 5 , 0 321 ii 由于由于1 2 5 )(B 故雅可比方法發(fā)散故雅可比方法發(fā)散

46、82高級(jí)教育 解：解：G-S的迭代矩陣為的迭代矩陣為 0 10 2 1 2 1 0 02/12/1 001 000 1 1 1 )( 1 1U LIB SG 2 1 00 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 0 10 2 1 2 1 0 1 2 1 11 1 2 1 , 2 1 , 0 321 由于由于 1 2 1 )( SG B故故G-S方法收斂方法收斂 83高級(jí)教育 第五章第五章 要點(diǎn)回顧要點(diǎn)回顧 1 插值問題與插值多項(xiàng)式的唯一性插值問題與插值多項(xiàng)式的唯一性 2 拉格朗日型插值方法拉格朗日型插值方法 Lagrange插值法插值法 牛頓插值法牛頓插值法 （差商、差分的定義）（差商、差分的

47、定義） 完全導(dǎo)數(shù)形式的完全導(dǎo)數(shù)形式的hermite插值（構(gòu)造方法、余項(xiàng)）插值（構(gòu)造方法、余項(xiàng)） 不完全導(dǎo)數(shù)形式的不完全導(dǎo)數(shù)形式的hermite插值插值 （待定系數(shù)，重節(jié)點(diǎn)差商）（待定系數(shù)，重節(jié)點(diǎn)差商） 3 Hermite型插值方法型插值方法 插值誤差分析（拉格朗日余項(xiàng)，差商型余項(xiàng)）插值誤差分析（拉格朗日余項(xiàng)，差商型余項(xiàng)） 4 分段插值和三次樣條插值分段插值和三次樣條插值 84高級(jí)教育 三次樣條插值 插值 型插值 分段低次插值 等距節(jié)點(diǎn)插值（差分） 差商型余項(xiàng) 型余項(xiàng) 插值余項(xiàng) 插值法 插值法 構(gòu)造方法 型插值 代數(shù)插值 Hermite Hermite Langrange Newton Lang

48、range Langrange 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 85高級(jí)教育 拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù) 一、插值基函數(shù) 定義定義：若若n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式lk(x)(k=0, 1 , n)在在n+1 個(gè)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0 x1 xn上滿足插值條件：上滿足插值條件： ), 1 , 0,( )(0 )(1 )(nki ki ki xl ikik 則稱這則稱這n1個(gè)個(gè)n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式l0(x), l1(x) , ln(x)為為 插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)x0 ,x1 , , xn上的上的n次次 86高級(jí)教育 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 將Lagrange插值基函數(shù)與函數(shù)值線性組合得 可以驗(yàn)證 滿足插值條件，

49、即)(xLn )()( 1 xlyxL n k kkn ii n k kkin yxlyxL )()( 1 i = 0, 1, 2, n 上式是不超過n次的多項(xiàng)式，稱之為L(zhǎng)agrange插值插值 多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。 87高級(jí)教育 的線性組合。故可將滿足插值條件（4.1）的n次多 項(xiàng)式寫成如下形式 )()( ,),)( , 1 110100 n xxxxxxxxxxxx 牛頓插值的定義牛頓插值的定義 由線性代數(shù)可知，任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式， 都可表示成函數(shù) )()()(1)( 110010 nnn xxxxxxaxxaaxN 其中 為待定系數(shù)。這種形式的插值多 項(xiàng)式稱為牛頓牛頓Newton插值

50、多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 k aaa, 10 牛頓插值牛頓插值 88高級(jí)教育 差商的性質(zhì)差商的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1： 設(shè)設(shè) 的的n階導(dǎo)數(shù)存在，則有階導(dǎo)數(shù)存在，則有 性質(zhì)性質(zhì)2 2： , 10k xxxf )( )( 1 0 ik i k i x xf k=1,2,n 性質(zhì)性質(zhì)3： k階差商階差商 可以表示為函可以表示為函 數(shù)值數(shù)值 的線性組合，即的線性組合，即 , 10k xxxf 差商具有對(duì)稱性，與插值節(jié)點(diǎn)的排差商具有對(duì)稱性，與插值節(jié)點(diǎn)的排 列次序無(wú)關(guān)。列次序無(wú)關(guān)。 )(xf ! )( , )( 10 n f xxxf n n 89高級(jí)教育 Hermite 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 要求函數(shù)值重合，而且要求

51、若干階要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也重合。也重合。 即：要求插值函數(shù)即：要求插值函數(shù) P (x) 滿足滿足 在實(shí)際問題中，對(duì)所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，在實(shí)際問題中，對(duì)所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，不僅不僅 把此類插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特把此類插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特（Hermite） 插值多項(xiàng)式，記為插值多項(xiàng)式，記為H (x)。 )210( )()( )()( )()( )()( ,n,i xfxp xfxp xfxp i m i m ii ii 90高級(jí)教育 情形情形1；一階導(dǎo)數(shù)已知；一階導(dǎo)數(shù)已知 已知函數(shù)表已知函數(shù)表 n xxxxx 210 n yyyyy 210 n yyyyy 210 求一個(gè)插值

52、多項(xiàng)式求一個(gè)插值多項(xiàng)式H (x)，使其滿足如下條件：，使其滿足如下條件： 插值條件的個(gè)數(shù)插值條件的個(gè)數(shù)2n+2, H (x) 的次數(shù)：不超過的次數(shù)：不超過2n+1次次 ii yxH)(i = 0, 1, 2, n ii yxH)( i = 0, 1, 2, n 91高級(jí)教育 Hermite插值多項(xiàng)式構(gòu)造插值多項(xiàng)式構(gòu)造 對(duì)于問題1，取n=2，通過一個(gè)例子來討論建 立Hermite插值的方法 例例：求一個(gè)三次多項(xiàng)式 使其滿足插值條件 3( ) Hx .)( ,)( ;)( ,)( 113003 113003 mxHmxH yxHyxH 分析分析；依照拉格朗日插值的思路，如果構(gòu)造四個(gè) 不超過3次的插

53、值多項(xiàng)式0101 ( ),( ),( ),( )xxxx 使它們分別滿足 92高級(jí)教育 . 1)( , 0)( , 0)( , 0)( ; 0)( , 1)( , 0)( , 0)( ; 0)( , 0)( , 1)( , 0)( ; 0)( , 0)( , 0)( , 1)( 11011101 10001000 11011101 10001000 xxxx xxxx xxxx xxxx (1)300110011 ( )( )( )( )( )Hxx yx yx mx m 現(xiàn)在需要考慮的問題是這些基函數(shù)的構(gòu)造問題。 0)( , 0)( 1010 xx 假設(shè) 2 2 1 00 01 ( )()

54、( )() xx xAxB lxAxB xx 可驗(yàn)證條件 自動(dòng)滿足 現(xiàn)利用另外的兩個(gè)條件 則滿足插值條件的多項(xiàng)式可以寫成如下形式 93高級(jí)教育 0 1 )(2)( 1)( 10 000 000 xx BAxAx BAxx 0 0101 22 1 x AB xxxx ， 2 01 0 0101 ( )1 2 xxxx x xxxx 求解可得 于是有 同理可得 2 11 1 1010 ( )12 xxxx x xxxx (2) (3) 94高級(jí)教育 假設(shè) 可驗(yàn)證條件 自動(dòng)滿足 現(xiàn)利用另外的兩個(gè)條件 2 2 1 00 01 ( )() ( )() xx xCxD lxCxD xx 0)( , 0)(

55、 1010 xx 1 1 )(2)( 0)( 10 000 000 xx DCxCx DCxx 求解可得 于是有 同理可得 0 1CDx ， 2 10 1 00 )()( xx xx xxx 2 01 0 11 )()( xx xx xxx (4) (5) 95高級(jí)教育 將函數(shù)(2)到(5)代入式(1)，得到插值多項(xiàng)式 0011 301 01011010 01 0011 0110 ( )1 21 2 ()() xxxxxxxx Hxyy xxxxxxxx xxxx xxmxxm xxxx 上式稱為三次Hermite插值多項(xiàng)式，其余項(xiàng)為 (4)22 3301 1 ( )( )( )( )() (

56、) 4! R xf xp xfxxxx ),max(),(min( 1010 xxxx 96高級(jí)教育 情形情形2；導(dǎo)數(shù)值不完全；導(dǎo)數(shù)值不完全 已知函數(shù)表已知函數(shù)表 m yyyyy 210 求一個(gè)插值多項(xiàng)式求一個(gè)插值多項(xiàng)式H (x)，使其滿足如下條件：，使其滿足如下條件： 插值條件的個(gè)數(shù)插值條件的個(gè)數(shù)m+n+2, H (x) 的次數(shù)：不超過的次數(shù)：不超過m+n+1次次 ii yxH)(i = 0, 1, 2, n ii yxH)( i = 0, 1, 2, m nm yyyyyy 210 nm xxxxxx 210 97高級(jí)教育 待定系數(shù)法 通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子給出這種問題的解法 2( ) px

57、002112002 )( ,)( ,)(mxpyxpyxp 例例 試確定一個(gè)不超過二次的多項(xiàng)式 使其滿足如下插值條件 先利用前兩個(gè)插值條件，構(gòu)造一個(gè)1次 的插值多項(xiàng)式 01 101 0110 ( ) xxxx p xyy xxxx 98高級(jí)教育 定義2101 ( )( )()()pxp xc xxxx 這里c是一個(gè)常數(shù)，無(wú)論它取何值，插值條件 200211 () ()pxypxy和 自然滿足，再利用導(dǎo)數(shù)條件確定常數(shù)c 10 010 10 () yy c xxm xx 從上式解出c，回代到 得到 )( 2 xp 0011 201001 01100101 1 ( )() ()() xxyyxx p

58、xyymxxxx xxxxxxxx 99高級(jí)教育 第五章 典型例題典型例題 33 ( )( ),( )( ),H af a H bf b 33 , 2222 abababab HfHf 2 4 3 ( ) ( )( )()() ( ) 4!2 fab f xHxxaxxbaxb ( )f x , a b1.若在上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，試證明滿足以下插值條件 )( 3 xH的插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差為 100高級(jí)教育 2 3 2 3 (4) ( )( )( )( )()() () 2 , 2 ( )( )( )( )()() () 2 ( ), ( )()( )0,()0 22 Rolle, ( )0

59、ab R xf xHxk x xa xxb ab xab ab g tf tH tk x ta ttb g t abab g agg bg x g 證明：設(shè)余項(xiàng) 當(dāng) 不同于 ， 和時(shí) 構(gòu)造如下關(guān)于的函數(shù) 于是函數(shù)也是充分光滑的 并且有如下零點(diǎn) 多次使用定理知 至少存在一個(gè)依賴于 的點(diǎn) ，使得有 (4) (4) 2 3 . ( ) ( ), 4! ( ) ( )( )( )()() () 4!2 f k x fab R xf xHxxa xxb 從而可得 從而有截?cái)嗾`差 101高級(jí)教育 )()()( 10n xxxxxxxf, 10k xxxf k xxx, 10 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 求差商求差商

60、 之值，其中之值，其中是互異節(jié)點(diǎn)是互異節(jié)點(diǎn) nk 0)( j xfkj, 1 , 0 解解 (1(1）當(dāng)）當(dāng) 根據(jù)公式根據(jù)公式 k j jn j k x xf xxxf 0 1 10 )( )( , 故有故有 0, 10 k xxxf （2 2）當(dāng)）當(dāng) 1 nk時(shí)，考慮差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式時(shí)，考慮差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式 ! )( , )( 10 k f xxxf k k 1 nk)!1()( )( nf k 故此時(shí)故此時(shí) 1, 10 k xxxf 1 nk 0)( )( k f 故此時(shí)故此時(shí)01 ,0 k f xxx 102高級(jí)教育 103高級(jí)教育 104高級(jí)教育 105高級(jí)教育 106高級(jí)教育 1