多面體旋轉(zhuǎn)體

1、For personal use only in study and research; not for commercialuse多面體和旋轉(zhuǎn)體一.教學(xué)內(nèi)容：1. 主要內(nèi)容：多面體和旋轉(zhuǎn)體2. 考點分析：多面體和旋轉(zhuǎn)體每年必考，不僅有直接求多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題， 也有已知面積或體積求幾何體中某些元素或元素間的關(guān)系問題，近年來即使是考查空間線面位 置關(guān)系的問題，也常以幾何體為依托，該部分內(nèi)容不僅在選擇題、填空題中考，也在解答題中 出現(xiàn)。解答題在高考中一直保持中檔題的水平，近幾年高考立體幾何試題多采用一題多問的形 式，降低了起點，分散了難點，既有證明，也有計算，一般要求學(xué)生先證后算，證

2、明嚴謹、清 楚，計算準確。【典型例題】例 1.三棱錐 P ABC，PA =a, AB =AC =2a, NPAB =NPBC =NBAC =60。，求這個 三棱錐的體積。分析：由題設(shè).PAB =/PAC =60.P在平面ABC上的射影0必在.BAC的平分線上又/BAC =60，AB二AC，可知-4 BC是正三角形 考查方向：考查三棱錐體積的常用求法。分析一：作P在底面上的射影O,求PO和.心C的面積1注意到 PA = AB 且/PAB =60分析二：2知 PA_PB同理PB_PC，把PBC作為底，貝U PA為高分析三：割法、補法解法一：（用公式法解）如圖，作底面三角形頂角A的平分線AD，交BC

3、于D，過P點作底面的垂線，垂足為O,由分析知射影 O必在AD上，易知 ABC是正三角形，AB=2a ,P過 P作 PE _AB，垂足為 E,連 OE,貝 U OE_AB在 Rt PAE 中，.PAE =60 , PA =a.3a-3.PEa, AE , OE 二AE tg30 a226在 Rt . POE 中,PO = PE2 _OE2 = 6 a3V P 山BCS ABC3PO解法二：（利用等積轉(zhuǎn)換法解）在厶 PAB中PA =a, AB =2a, . PAB =60PB2 =a2(2a)2 -2 a (2a) cos60 =3a2PA 是直角三角形， PA_PB，同理可證PA_PC,又PB

4、PC=PPA _平面PBC在 PBC中，PB = PC= 3a，BC=2a-S .p b c= 2a-vp_abc =va_pbcSPBC解法三：（用分割求積法解）由解法二知，PB二PC3a, D是BC中點，連結(jié)PD2C_PD，BC_AD，PD AD =DBC _平面PADV p SBC =V B -PADV C -PAD= 2VB -PADI S PADBDa32a解法四：（用補形求積法解）延長 AP到Q，使PQ=a，連結(jié)QB、QC，可得一個棱長為 的正四面體Vp _ABCQ _ABCV2(2a)3例2 如圖，已知直三棱柱ABC _A1B1C1，用一平面去截它，得截面 M2B2C2，且AA

5、2 = g ,BB2 =h2，CC2 =h3,若.UTC的面積為S,求證:1介于截面與下底面之間的幾何體體積VS(h1h2h3)。C2h3考查方向：不規(guī)則幾何體體積的求法分析：將不規(guī)則幾何體割補成規(guī)則幾何體是求其體積的基本方法。V =vcbb2 VC -A 2b2a VC -a2B2C2證法一：連結(jié)AB2、B2C CA2，這樣就把幾何體ABC-A1B1G分成三個三棱錐V =Vc 4bb2 V a2b2 Vc a2b2c2VC ABB 2 - VB2 -ABC4Sh24Sh1VC -A2B2C2 = VA2 -CB2C2 = VA2 -BCC2 =Vb2C2C =vb/cc2=Vc 2BCSh3

6、3證法二：連結(jié)AB2、B2C，并作BE_AC于E；側(cè)面AAC1C_底面ABC.BE_平面AAQQ,設(shè)AC =a, BE =h則 V =Vb2 公BC vb2 _a2acc21 1 1Sh2 (hi h3)ah33 21 11Sh? (h 1 h 3) ah3321 1Sh2 (h1 h3) S331 S(h1 h2 h3)小結(jié)：證法一運用了“分割”和“等積變形”的方法，將所求的幾何體分割成三棱錐，然后運用三棱錐的頂點與底面的輪換，使問題得到解決，證法二引入了參數(shù)，使運算得到了簡化。例3.已知圓錐外切于半徑為 1的球，求當圓錐體積最小時它的表面積?？疾榉较颍好娣e最值的求法。分析：用一個變量把目標

7、函數(shù)表示出來。解法一：如圖，作圓錐SO的軸截面，此時球的截面是該等腰三角形的內(nèi)切圓連結(jié) O1B，設(shè).SBO =2 二則.01B0 工二；SO是圓錐的高，圓0弭勺半徑是1.在Rt Q1B0中，B0=1 ctg 如在 Rt . S0B 中，S0 =B0 tg2 v - ctg n tg2 v.圓錐S0的體積1 2VB0 S03ct g v c t g tg2)3兀2_3 tg2 n hV 錐 r h =錐 33 h -2二(h2 -2h)(2h -4)43h -2 兀丄 4 丄(h24)F -tg%2 二2 1 2 1；(tg=-2)h -2 蔦- 0 ：:2，2JT.0:4當 tg% -1 即

8、tgj- j 時，Vmin =8 二2 23此時，B0=2, SO =4SB 二.BO2 SO2 =3.22S全=S側(cè) S底二: BO SB 二 BO =8二解法二：設(shè)C是SB與圓O1的切點，連結(jié)O1C 設(shè)棱錐高SO = h,底半徑OB = r，母線SB=l在 Rt SO1C 中，S。！ =h-1, OQ =1.SC =、(h -1)2 -1 = . h2 -2hBO 二 BC =r.l 二SC CB = . h2 -2h r在 Rt SOB 中，h2 r2 =(：h22h - r)2二 V錐 K2j(h_2) 丄 +4=8兀3h _23即 h =4 時，Vmin=3此時1 2 3s全=s底s

9、側(cè)2-二r二rl =8 二小結(jié)：解法一是應(yīng)用二次函數(shù)求最值，解法二是用基本不等式法求最值。例4.四面體的一條棱長是 X,其他各條棱長都是 1。（1 ）把四面體的體積 V表示成x的函數(shù)f（x）；（2 ）求f（x）的值域；（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間?？疾榉较颍毫Ⅲw幾何與函數(shù)的關(guān)系O是厶ABC的外心解：（1）如圖，設(shè) BC=x，貝U S到面ABC的垂足連OA并延長交BC于D,則D是BC中點且AD_BC易知2十4,S麗冷忙7設(shè).BC的外接圓半徑為R,由RabC-4S 郢bc得R ：1-7- x2,SO=1 -R2 記一:2(2) f(x) I .3x12而x2 3 -X2 =3為定值,C1x2 (3-

10、x2)122 2x 0, 3 X 0.f(x)的值域為(0,8(3)；當x 6時，f (x)取得最大值2又 0 ：x ：.f (x)的遞增區(qū)間是(0,6，遞減區(qū)間是丄6 , . 3)2 2小結(jié)：討論函數(shù)V(x)的性質(zhì)要注意變量 x的實際意義。例5.斜棱柱的底面是等腰三角形ABC, AB=AC=10 , BC=12，棱柱頂點Ai到A、B、C三點等距離，側(cè)棱長是13，求它的側(cè)面積。解法一： 取BC中點D，則BC_AD設(shè)A1O _底面ABC，則O在AD上.BC_AA1 （三垂線定理）.2CBB1側(cè)面B1 BCC1為矩形取AB中點EAA 二A B.AB _AEAE =5A1A =13A1E =12S

11、側(cè)=12 10 2 13 12=396C1解法二：取BC中點D，則AiCiEABAD _BC十=二 BC _平面 ADA iA i D _BC則AA j _平面BEC.mCAAj，過 B作BE_AAj于E,連 CE,.三EC為棱柱的直截面5等腰ZAB中，易知cosEAB三12.s i rIE A B：-13.BE 二AB sinEAB12013120.S側(cè)=（2 12） 13=39613旨在培養(yǎng)和提高計算能力，并令學(xué)生體會良選題目的：熟練求斜棱柱側(cè)面積的兩種解法, 好的邏輯思維能力是達到正確熟練運算的基礎(chǔ)。例6.如圖，在半徑為 5cm的球面上有 A、B、C三點，每兩點間的距離分別是AB=6.4

12、cm，BC=4.8cm，CA=8cm，求：（1 ）過這三點的平面與球心 0的距離。（2）B、C兩點間的球面距離。（3） 過OO的球的直徑PD的端點P與厶ABC的三頂點組成的三棱錐 P-ABC的側(cè)面PBC 與底面所成的二面角。（4）由點P和的外接圓組成的圓錐 PO與球O的體積比解：（1） ；OO_ 截面 ABC在.C中4.8: 6.4： 8=6: 8: 10.A B為直角三角形，且.A B C90O在AC上.O C =4，OC =5,貝U 00 =3故過這三點的平面和球心O的距離為3cm（2）B、C兩點的球面距離是截面 BOC的劣弧BC的長在.；QC 中,cosBOC2 2 2OB2 OC2 -

13、BC22 OB OC337625BC 為5arccOS5即B、C兩點的球面距離為口337 （、5 arccos（cm）（3）取點M為BC的中點, 的平面角625則.OMP為三棱錐P - ABC的側(cè)面PBC與底面所成二面角1而 POTg OM wABWcm在 RtPOM 中，tgOMP =POOM5/O MP =arctg，故所求二面角為arctg |（4）V 圓錐 P /BC8 二128 二(cm3)3V球o =-3 -53500 .(cm3)故V圓錐p /bc :128V球0二可:500 32 : 1253【模擬試題】1. 圓臺兩底半徑分別是 1和2,則這個圓臺與截得它的圓錐的側(cè)面積之比為（

14、）。A. 2 : 1 B. 1 : 2C. 3: 4D. 1 : 422. 設(shè)正方體的全面積為 24cm，一個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是（）4383323cmcm-3cmA. 3B. 3C. .6cmD. 33. 若干毫升的水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（）A. 6j3cmB. 6cm C. 2cmd. 3VT2cm4. ABC三邊長AB=5，BC=3，AC=4，設(shè)分別以此三邊為軸，把2C旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為Vab、VBC、Vac，那么它們的大小關(guān)系是（）A.VABVACVBCB.VA

15、B AVBC=VACC.VbcAVab=Vacd.Vbc =Vac=Vab5. 三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，底面內(nèi)一點到三個側(cè)面的距離分別為2cm、3cm、6cm，則這點到三棱錐頂點的距離為 。6. ABCD是邊長為1的正方形，E、F分別為BC、CD的中點，沿AE、EF、AF折成四面體，使C、B、D三點重合，那么這個四面體的體積等于 。7. 正方體的八個頂點中，有四個恰好為一個正四面體的頂點，那么正方體的表面積與這個正四面體的表面積之比是（）2、36A. 3B. 2c.、3D. - 28. 在直徑為AB=2的半圓上有一點 P,過P的切線CD交BA延長線于P,交過B的切線于C， 現(xiàn)以BD為軸旋轉(zhuǎn)得

16、一圓錐，求圓錐體積的最小值，并求取得最小值時此圓錐的高。9. 如圖，在正三棱柱ABC -A1B1C1各棱長都等于a，E是BB 1的中點，（|）求直線C1B與平面A1B1BA所成角的正弦值；（II）求證：平面AEC平面ACC1A1 ；（ III）求點6到平面AEC的距離?！驹囶}答案】1. C2. A提示:提示:提示:提示:16. 247. C3. B4. D5. 7球的直徑=正方體的棱長利用體積相等注意弄清楚旋轉(zhuǎn)所得的圓錐和圓錐的底面半徑和高構(gòu)造長方體（長寬高分別為2、3、6），所求的距離為其對角線長。_BCO為用三(0,)，則 BC =ctg: , BD =ctgu tg2 8.解:設(shè)41 2

17、c t g 用 ct g tg2、f21 2ctg：n3 1 -tg :1 2=H 3tg2 (tg : 1 _tg :j2:(1-tg2:)28=-n31 2當且僅當_tg2: =tg2:，即卩 tg:=乎取等號，這時BC - 2，高BD =49.解：（I）取A淚1中點M ,連結(jié)C1M , BM；三棱柱ABC -A1B1C1是正三棱柱Ci M IA iB i, CiM 二 Bi.CiM _平面 AiABB i-ZCiBM為直線CiB與平面AiABB i所成的角在 Rt BMC i 中，CiM.32a,sin ZCiBMCiM .6BCi - 4A iDiCiB(II )取AiCi的中點Di,

18、 ACi的中點F,連結(jié)BiDi, EF, DiFntt _/ i/ i則 有DiFAA i , BiEAA i/ 2 2D i FBi E則四邊形iFEBi是平行四邊形由于三棱ABC -AiBiCi是正三棱柱.-i D i A i C i又平面 AiBiC平 面 ACCiAi于 AiCi，且 BiDi 平面 AiBiCi.BQl平面A C CAi.EF_平面ACCiAi EF 二平面 AECi則平面AECi _平面ACCi Ai（山）由（II）知，EF丄平面ACi，則EF是三棱錐EACCi的高 由三棱柱各棱長都等于 a,則EC 二 AE 二 EC5a，AC-二,2a2.EF = 一 AE 2 AF 23 a2VC1 公EC uVeJCC設(shè)三棱錐VC公EC的高為h,則h為點C到平面AEC的距離1則S.aec h即-a2h32a232即點6到平面A E （的距離是a2僅供個人用于學(xué)習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken