30幾何綜合二

1、【內(nèi)容僵述勾股定理，多邊形的內(nèi)角和，兩直線平行的判別準(zhǔn)則，由平行線形成的相似三角形中對(duì)應(yīng)線段和面積 所滿足的比例關(guān)系.與上述知識(shí)相關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題.各種具有相當(dāng)難度的幾何綜合題.【典型問(wèn)題】!_ - -I -I- -1_|-；北京帝第三屆迎屛杯” 學(xué)競(jìng)賽*決賽第二jia第4題1. 如圖30-1，已知四邊形 ABCD中，AB=13, BC=3, CD=4 DA=12并且BD與AD垂直，則四邊形 ABCD勺面積等于多少？c【分析與解】因?yàn)? ADB=90,所以在 ABD中有 aB=AE2+BE2,即 BE2=aB-AD2=132-12 2=25,所以 BD=5.1 ABD的面積為一BD AD 30

2、2而在 BCD中有32+42=52 ,即 bC+CBD2 ,所以有 BCD為直角三角形. BCD的面積為1-BC CD 6.2而四邊形 ABCD勺面積為 ABD BCD的面積和，即為 30+6=36.二 :-二- J = F-u - i yT-I_ rp-般題惣姣詰違裁AI咖年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)宴林匹克初賽人卷第5題2. 如圖30-2，已知四邊形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為10厘米，那么圖中陰影三 角形BFD的面積為多少平方厘米 ？SACffl和亠3【分析與解】 方法一：因?yàn)镃EFG勺邊長(zhǎng)題中未給出，顯然陰影部分的面積與其有關(guān)設(shè)正方形CEFG勺邊長(zhǎng)為x，有：221110

3、X-Xs正方形 ABCD =10 10=100, S正方形 cefG=x , S dgf = -DG GF= (10-x)x二2 2 221 110x+x又 Sabd = 10 10=50, S bef = (10+x)x=2 2陰影部分的面積為：S正方形ABCDS正方形CEFGS DGF S ABD S BEF100 x210x x210x X2十、，50 50（平萬(wàn)厘米）.方法二：連接FC,有FC平行與DB則四邊形BCFD為梯形.ftDe 3150(平有 DFB DBC共底DB等高，所以這兩個(gè)三角形的面積相等，顯然， DBC的面積-10 102方厘米）.陰影部分 DFB的面積為50平方厘米

4、.jgjO竽全國(guó)學(xué)救學(xué)典林匹克初賽第呵籲3. 如圖30-3，在平行四邊形 ABCD中, AB=16, AD=10, BE=4,那么FC的長(zhǎng)度是多少？【分析與解】方法一：因?yàn)橛蠧B平行與DA有更FB,有fb EB EA DAEADA4 1610 2,所以 CF=CB-FB=10-2=8.方法二:如下圖所示，連接 DBCE精品文檔5S CEF ，又S DFBS CFE 所以 DCF FBE DBE CEF的面積為 16:1:4:1 ，即 S dcf ： S dfb16:44:1DC: BE=4:I 所以.DFC 與FBE 的面積比為 16:1 ,有 S dcf S fbe S dBfBC 8有 D

5、CF DFB同高，面積比為底的比， 即CF: BF=4:I ,而CE BF的長(zhǎng)度和為10,有FC觀級(jí)數(shù)：車(chē)車(chē)車(chē)FIK 30-44. 如圖 30-4 , / A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F+/ G+/ H+/ I 等于多少度？C【分析與解】為了方便所述，如下圖所示，標(biāo)上數(shù)字，有/ 1=180 0 -( / 1 + / 2),而/ 1=1800- / 3, / 2=1800- / 4,有/ 1= / 3+/ 4-180 0同理，/ H=/ 4+/ 5-180 0, / G=/ 5+/ 6-180 0, / F=/ 6+/ 7-180, / E=/ 7+/ 8-180,/ D=/ 8+

6、/ 9-1800, / C=/ 9+/ 10-180 0, / B=/ 10+/ 11-1800, / A=/ 11 + / 3-180則/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F+/ G+/ H+/ 1=2 X ( / 3+/ 4+ / 5+/ 6+/ 7+/ 8+/ 9+/ 10+/ 11)-9 X 180 而/ 3+/ 4+/ 5+/ 6+/ 7+ / 8+/ 9+/ 10+/ 11 正是 9 邊形的內(nèi)角和為(9- 2) X 1800=12600.所以/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G+/ H+Z I= 2X 12600-9 X 18Oo=9OO0刪年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)

7、真林匹克預(yù)琲A菲第9題5. 如圖30-5，設(shè)正方形 ABCD勺面積為1, E, F分別為邊AB, AD的中點(diǎn)，F(xiàn)C=3GC則陰影部分的面積是 多少？Fffl no-s【分析與解】過(guò)G作線段PQ垂直于AB,分別交AB DC于 P Q兩點(diǎn):有G為FC三等分點(diǎn)，且16 .GQ平行與FD,1所以GQ -FD3貝U PG=PQ-GQ=,61 -EB2有 S EBGPG1 1 522 2 624I)12業(yè)虻華y庚金揉二少年歎學(xué)it請(qǐng)賽決賽二試第6題6. 長(zhǎng)邊和短邊的比例是2: 1的長(zhǎng)方形稱為基本長(zhǎng)方形.考慮用短邊互不相同的基本長(zhǎng)方形拼圖，要求任意兩個(gè)基本長(zhǎng)方形之間既沒(méi)有重疊，也沒(méi)有空隙.現(xiàn)在要用短邊互不相

8、同且最小短邊長(zhǎng)為1的5個(gè)基本長(zhǎng)方形拼接成一個(gè)更大的長(zhǎng)方形.例如，短邊長(zhǎng)分別是1, 2, 5, 6, 12的基本長(zhǎng)方形能拼接成大長(zhǎng)方形，具體案如圖30-6所示.請(qǐng)給出這5個(gè)基本長(zhǎng)方形所有可能的選擇方式.設(shè)a1=1a2a3a4a5分別為5條短邊的長(zhǎng)度，則我們將這種選擇方式記為(a 1,a2,a3,a 4,a 5),這里無(wú)需考慮5個(gè)基本長(zhǎng)方形的拼圖方案是否惟一.iU臨12IS 30-6【分析與解】我們以幾個(gè)不同的基本長(zhǎng)方形作為分類依據(jù)，并按邊長(zhǎng)遞增的方式一一列出.第一類情況：以為特征的有7組:7.2It*僖況prrna.61血7 25Ip Ifi f 1030-10T10【分析與解】如下圖所示，為了

9、方便所敘，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母，并連接BG精品文檔17Sabf 12設(shè) AEG的面積為 x，顯然 EBG BFGA FCG的面積均為 x，則 ABF的面積為 3x ,罟，那么正方形內(nèi)空白部分的面積為4x罟20 10100 即 x所以原題中陰影部11.如圖 30-11 ,分面積為2020400800ABCD是 一個(gè)長(zhǎng)方形，AC是對(duì)角線試比較兩塊陰影區(qū)域的面積的大小.【分析與解】在長(zhǎng)方形AEOH中，被對(duì)角線 AO平分的兩塊三角形面積相等，有Saho SAEO -同理在長(zhǎng)方形OGCF中，S ogc S ofc ;在長(zhǎng)方形 ABCD中,S adcS ABC所以有S adcS AHO S OGC S ABC

10、 S AEO S OFC ,即 ShdGO:也:島:空:空:、ffl 30-11SlOFI，即 S S2將 PJCI 視為 ABCD 冋理有 Skjgo SlofiShdgo SkjgOSeoFB1求陰影部分的面團(tuán) 30- 12【分析與解】如下圖所示，左圖中的 3個(gè)陰影部分面積相等，右圖中的相等我們把左下圖中的每一部分陰影稱為A,右下圖中的每一部分陰影稱為1 1大半圓的面積為3A 3B 3-小圓的面積2323個(gè)陰影部分的面積也B.9而小圓的面積為 ，則A B 232原題圖中的陰影部分面積為小半圓面積與陰影A、B的面積和，即為-212.如圖30-12，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個(gè)小圓和三個(gè)半

11、圓的半徑長(zhǎng)都是 積.13如圖30-13所示，一塊半徑為 2厘米的圓板，從平面上標(biāo)有 I號(hào)位置起始，沿線段 AB, BC, CD滾到2 號(hào)位置如果 AB, BC, CD的長(zhǎng)都是20厘米，那么圓板經(jīng)過(guò)區(qū)域的面積是多少平方厘米 ?（ 取3. 14,答 案保留兩位小數(shù).）圖刃-13【分析與解】如下圖所示，將小圓板經(jīng)過(guò)的區(qū)域分成4個(gè)部分。第IB分弟分其中：第1部分是半徑為2厘米的半圓：第2部分是長(zhǎng)為（20-2=）18厘米，第3部分是半徑為2X 2=4厘米，第4部分是半徑為（20-2=）18厘米，寬4厘米的長(zhǎng)方形：第5部分是半徑為（20-2-2=）16 厘米，寬4厘米的長(zhǎng)方形;注意第4、5部分有重疊，為邊

12、長(zhǎng)是 2的正方形；12厘米的丄圓；42厘米的半圓.第6部分是半徑為第7部分是半徑為 這4部分的面積和為184空42360204233寬4厘米的長(zhǎng)方形；圓心角為（360 0-90 0-90 0-120 0）=600 的扇形:18 4 16 4 2 2228.07（平方厘米）- 14.如圖30-14，將長(zhǎng)方形 ABCD繞頂點(diǎn) 積.（取 3.14）C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，若【分析與解】如下圖所示,8CD精品文檔AB=4,BC=3 AC=5求AD邊掃過(guò)部分的面Ary419端點(diǎn)D掃過(guò)軌跡為 DD D，而AD之間的點(diǎn)，掃過(guò)的軌跡 且這個(gè)封閉圖形的每一點(diǎn)都有線段AD上某點(diǎn)掃過(guò)，所如下圖所示，端點(diǎn) A掃過(guò)的軌跡為

13、 AA A， 在以A D軌跡，AD, AD所形成的封閉圖形內(nèi), 以AD邊掃過(guò)的圖形為陰影部分.精品文檔21顯然有陰影部分面積為S直角AD CS扇形ACAS直角ACD S扇形CDD，而直角二角形AD C、ACD面積相等.所以S直角AD CS扇形ACAS直角ACDS扇形CDD = S扇形ACAS扇形CDD空AC2360空CD236075242)97.065(平方厘米)即AD邊掃過(guò)部分的面積為 7. 065平方厘米.F窖：華y廢金杯”少年數(shù)學(xué)還請(qǐng)賽復(fù)靜11趙15.在圖30-15中有分別標(biāo)記為，的4個(gè)平面圖形.30-1中.這(1) 數(shù)一數(shù)每個(gè)圖中有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條邊，這些邊圍出了多少塊區(qū)域，將結(jié)果填人表里號(hào)圖形的有關(guān)數(shù)據(jù)已經(jīng)填好.(2) 觀察下表，推斷一個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間存在的關(guān)系.3(50-1圖號(hào)11