等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

1、等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用XX(XX學(xué)院XX學(xué)院 山西XX )摘要：等價(jià)無(wú)窮小替換是求函數(shù)極限的常用方法之一，本文討論了等價(jià)無(wú)窮小在四則運(yùn)算、變上限積分、冪指運(yùn)算中的應(yīng)用，并通過(guò)實(shí)例分析了等價(jià)無(wú)窮小求極限的優(yōu)勢(shì)及常見(jiàn)錯(cuò)誤關(guān)鍵詞：等價(jià)無(wú)窮小；替換；極限1 引言在微積分中極限處于十分重要的地位，極限求法眾多，而等價(jià)無(wú)窮小替換是一類(lèi)重要的方法在求極限時(shí)，靈活運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小，往往會(huì)使一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化但現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材中，只給出積、商運(yùn)算中等價(jià)無(wú)窮小因子的替換規(guī)則，對(duì)四則運(yùn)算、變上限積分及冪指運(yùn)算等廣泛使用的情況未能提及本文作了一個(gè)比較系統(tǒng)和全面的總結(jié)及適當(dāng)?shù)耐卣?，并?duì)等價(jià)無(wú)窮小求極

2、限的優(yōu)勢(shì)和常見(jiàn)錯(cuò)誤舉例分析，以加深對(duì)等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解2 等價(jià)無(wú)窮小的定義及性質(zhì)定義1如果函數(shù)當(dāng)(或)時(shí)的極限為零，那么稱(chēng)函數(shù)為當(dāng)(或)時(shí)的無(wú)窮小定義2設(shè)與都是在同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且，如果，就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小，記作常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)時(shí)，關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，有三個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)1與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為性質(zhì)2設(shè)，且存在，則性質(zhì)3 ，3 等價(jià)無(wú)窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用3.1 含四則運(yùn)算的等價(jià)無(wú)窮小替換定理2表明求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替因此，如果用來(lái)代替的無(wú)窮小選得適當(dāng)?shù)脑?，可以使?jì)算簡(jiǎn)化例1求極限解當(dāng)時(shí)，因此例2 求極限解 注意時(shí)，用到

3、了性質(zhì)3利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換求極限，可以大大減少計(jì)算量，但利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換求極限應(yīng)注意在求極限的乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無(wú)窮小因子替換，在加減運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小的替換是有條件的關(guān)于加減運(yùn)算能否用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)替換求極限，很多教材上都沒(méi)有涉及到，只是強(qiáng)調(diào)加減情況不能隨意使用，這就會(huì)使人產(chǎn)生困惑，下面就加減項(xiàng)的等價(jià)無(wú)窮小替換作一些補(bǔ)充性質(zhì)4設(shè)，且，若，則；若，則證明若，因?yàn)?，所以，又由定?，所以，即同理，若，即定理3說(shuō)明，在求極限時(shí)，若某個(gè)因子是兩個(gè)無(wú)窮小之差（或和）時(shí)，只要這兩個(gè)無(wú)窮小不等價(jià)，這個(gè)因子就可以用相應(yīng)的等價(jià)無(wú)窮小之差（或和）替換推論設(shè)，且，為常數(shù)，則當(dāng)存在時(shí)，有例3求極限解當(dāng)時(shí)

4、，所以例4求極限解當(dāng)時(shí)，所以例5求極限解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，且，所以注當(dāng)與等價(jià)，則未必有以上三例說(shuō)明了加減運(yùn)算并不是絕對(duì)不能作等價(jià)無(wú)窮小替換，只要滿足一定條件即可3.2 含變上限積分函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小替換性質(zhì)5 設(shè)，為時(shí)的無(wú)窮小量，且與在上連續(xù)，則有證明因?yàn)?，所以利用定?，在求解有關(guān)積分上限函數(shù)的極限時(shí)可簡(jiǎn)化很多步驟注當(dāng)時(shí)，常用的變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小有，例6求極限解由于當(dāng)時(shí)，性質(zhì)6若，與在上連續(xù)，則證明例7 求極限解因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以3.3冪指函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小替換對(duì)于型函數(shù)求極限，當(dāng)滿足一定條件時(shí)，可以根據(jù)以下定理求解性質(zhì)7在自變量同一變化過(guò)程中，均為無(wú)窮小量，若，且，則證明例8 求極限解當(dāng)時(shí)，所以

5、例9 求極限解，當(dāng)時(shí)，所以在求解型的冪指函數(shù)的極限時(shí)，運(yùn)用這個(gè)定理可減少計(jì)算量，起到簡(jiǎn)化的作用但并不是所有的型極限都要化為的形式來(lái)求極限3.4 利用泰勒公式構(gòu)造等價(jià)無(wú)窮小來(lái)求極限在加減運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小的替換是有條件的，這里補(bǔ)充一些新的等價(jià)無(wú)窮小，同時(shí)開(kāi)辟一條新途徑把不能用等價(jià)無(wú)窮小替換的加減運(yùn)算問(wèn)題，通過(guò)恒等變形的方法直接轉(zhuǎn)化為能用等價(jià)無(wú)窮小替換，把利用等價(jià)無(wú)窮小求極限的方法大大推進(jìn)一步事實(shí)上利用泰勒公式就可以構(gòu)造出一系列新的等價(jià)無(wú)窮小例如求的等價(jià)無(wú)窮小，由于，從而有，于是得到同理，當(dāng)時(shí)，用泰勒公式可得：，有了上述的等價(jià)無(wú)窮小，我們就可以通過(guò)恒等變形的方法，把不能用等價(jià)無(wú)窮小替換的加減運(yùn)算問(wèn)

6、題轉(zhuǎn)化為能用等價(jià)無(wú)窮小替換，這種技巧的理論依據(jù)如下： 若，都存在且有限，則也存在且有限 若存在，但不存在，則也不存在例10 求極限 解 當(dāng)時(shí)，所以例11求極限解當(dāng)時(shí)，所以4 用等價(jià)無(wú)窮小求極限時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題4.1和其他方法結(jié)合運(yùn)用在很多題目中，往往需要綜合運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小、洛必達(dá)法則、重要極限和泰勒公式等相關(guān)知識(shí)才能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的例12求極限解例13求極限解例14求極限解由于函數(shù)的分母中，因此只需將函數(shù)分子中的與分母中的和分別用佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式表示，即：，所以4.2 等價(jià)無(wú)窮小求極限的誤區(qū)在求極限的乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無(wú)窮小因子替換，在加減運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小的替換是有條件的在利用等

7、價(jià)無(wú)窮小求極限時(shí)往往容易出錯(cuò)，究其原因，是弄不清楚替換的原理及對(duì)象，另外就是對(duì)等價(jià)無(wú)窮小的概念不清楚如例3，利用洛必達(dá)法則或性質(zhì)4中求加減運(yùn)算的方法求解：但若直接用等價(jià)無(wú)窮小替換來(lái)解：當(dāng)時(shí)，故得到的結(jié)果是相同的，于是得出錯(cuò)誤的結(jié)論：極限式中的加減項(xiàng)也可以無(wú)條件的用等價(jià)無(wú)窮小替換求解對(duì)于加減運(yùn)算，每一項(xiàng)用等價(jià)無(wú)窮小替換后，一般來(lái)說(shuō)，其分子（分母）已不再與原分子（分母）為等價(jià)無(wú)窮小量，因此這樣得到的結(jié)果一般是不正確的對(duì)于求極限，由于，所以這也是錯(cuò)誤的，因?yàn)榈葍r(jià)無(wú)窮小替換，本身是針對(duì)無(wú)窮小而言的，而時(shí)，及根本不是無(wú)窮小，也就不能用該法則5小結(jié)極限計(jì)算是微積分理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，等價(jià)無(wú)窮小量替換又是極限運(yùn)算中的一個(gè)重要的方法，以其快捷、簡(jiǎn)便、適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)成為一類(lèi)代表算法利用等價(jià)無(wú)窮小量替換計(jì)算極限，主要是指在求解有關(guān)無(wú)窮小的極限問(wèn)題時(shí)利用等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)、定理施行的等價(jià)無(wú)窮小量替換的計(jì)算方法，通常與洛必達(dá)法則一起使用，目的是使解題步驟簡(jiǎn)化，減少運(yùn)算錯(cuò)誤進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小量代換的原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M(jìn)行代換，而在加減運(yùn)算中的替換是有條件的參考文獻(xiàn)1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)第六版M北京：高等教育出版社2007 2 劉玉