大一經(jīng)典高數(shù)復習資料經(jīng)典(經(jīng)典全面復習)

1、()x a 6c x a d【證明示例】，當n N時，始終函數(shù)的極限 Xo時函數(shù)極限的證明（）已知函數(shù)f x，證明lim f x；=AXo1由f (x)-a &化簡得0 XXo),設：6 = g(g )；-語言Xo f (x)w M 鄰域U x0內(nèi)是有界的;（q x商式的極限運算 a#amn Jao則有l(wèi)im空lim - x旳g xg Xo =0,f Xo -0（特別地，當lim高等數(shù)學（本科少學時類型）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)O函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識）（）O鄰域（去心鄰域）U a,、二 fX |U a,、- x | 0第二節(jié)數(shù)列的極限 O數(shù)列極限的證明（）【題型示例】已知數(shù)列 ：x

2、n I證明lim g =a:一 N語言1.由xn a c名化簡得n Ag(g ), N - | g ；2 .即對-； 0 , TN = g ； 有不等式 xn -a| g成立， lim :xn f = aX .第三節(jié)O XT【題型示例】【證明示例】2 即對 - ； 0，:二 g ；，當 0 始終有不等式 f（X ）-A E成立，lim f x = AX %O Xr，時函數(shù)極限的證明（）【題型示例】已知函數(shù)f X，證明lim f x = Axjic【證明示例】；-X語言由f（x）AXo子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極 限值，也可以用羅比達法則求解）x 3【題型示例】求值lim三YT

3、x2 9【求解示例】解：因為 Xr 3，從而可得x=3，所以原式x 3x 311式=lim 2 limlimx 3x -9 x3x 3x-3 xQx 3其中x=3為函數(shù)f x的可去間斷點x -9倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）0X _3 0（X -3 i11解：lim - limlimxTx -9 lxt-c J T2x 6（x -9 ）O連續(xù)函數(shù)穿越定理 （復合函數(shù)的極限求解）（）（定理五）若函數(shù) f x是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，lim f f逍x 二 f $叮 x【題型示例】求值：龍；【求解示例】獨后x -3=.lim .x)3 x2 -9第六節(jié)極限存在準則及兩個重要極限O夾迫

4、準則（P53） （）第一個重要極限:mI K -x0,-,.2sin x x : tanx.lim sinxT x解:lim 2x 3x 2x 1.lim 2x12x 2x 1r2x+1 丿lim 藝2= e2pxP=e1 =eIli2x-22x 1227lim 11 2-( lim 11 2x12x 1. 2J11丄2x 1丄2x 1第七節(jié) 無窮小量的階（無窮小的比較）O等價無窮?。ǎ︰ sinU tanU arcsinU arctanU ln（1 U ）1 .Ue 一11 22. U 1-cosU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：lim ln 1 x2 xln 1 xT x +3x

5、【求解示例】mTH X-X1xsmTH X-XX rnsmolimlx解：因為 x 0,即x*0,所以原式 =lim_X2 xln 1_xT x2 +3x(1+x 卜In(1+x)i.(1+x 卜xi. x+11=limlimlimx 0 xx 3Xxx3x 0 x 33第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性O函數(shù)連續(xù)的定義()lim f x = lim f x = f x0X JX) -O間斷點的分類(P67) ()(特別地，lim sin(x -X0) =1)0x _x0第一類間斷點（左右極限存在）跳越間斷點（不等） 可去間斷點（相等）第二類間斷點O單調(diào)有界收斂準則（P57）()（一般地，lim|lim吟），

6、其中第二個重要極限:無窮間斷點（極限為：）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）lim f x 0)【題型示例】求值:【求解示例】lim 心； xf 2x+1 丿lim2x. 0e , X ： 0應該怎樣選a x x _ 0擇數(shù)a，使得f x成為在R上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】f 0_ 二 e20 二 e1 二 e （f （+） = a+=af 0 =a【題型示例】設函數(shù) f（x）=1 .2 .由連續(xù)函數(shù)定義lim f x = lim f x = f 0 = e xT00 第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)O零點定理（）【題型示例】證明：方程f xi； = g x C至少有一個根 介于a與b

7、之間【證明示例】1.（建立輔助函數(shù)）函數(shù)xjuf x?-g x：;-C在閉區(qū)間la,b 1上連續(xù)；2.3.4. a ； b ： 0 （端點異號）由零點定理，在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一點，使得廠=0 ,即 f -g C =0（ 0 :：: 1） 這等式說明方程f x = g xC在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一個根第二章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)概念O高等數(shù)學中導數(shù)的定義及幾何意義（ex +1【題型示例】已知函數(shù)f(X )= ax +b處可導，求a , b【求解示例】1.v 沖 TU20 )=a=12由函數(shù)可導定義f 0- 肘一 1 =e1=2f 0=bf 0 =e 1 =2jf_0 =f_j. 0 =a=1f

8、 0- 二 f 0=f 0 =b =2【題型示例】求函數(shù)【求解示例】由題可得上單調(diào)、可導，且f J x的導數(shù)f x為直接函數(shù)，其在定于域 Dfx ； J-1 x 二乙O復合函數(shù)的求導法則（）【題型示例】設y = m earcsin-廠亍，求y【求解示例】解:, 1y =i22n arcs in x 122e -. x a(earcsin fx2 丄1arcsi n x2 122e亠.x亠a1arcs in x2 1廠22e 一 . x aarcs in，: earcs in X21 e _arcsin J 1 1e氣 _ arcs in. -x2 122 Je亠x a第四節(jié)高階導數(shù)iin XH

9、22v -+Vx +ax2 +a2)2x2x2 xa- a = 1,b = 2【題型示例】求y = f x在x =a處的切線與法線方程（或：過y二f x圖像上點 a, f a 處的切線與法線 方程）【求解示例】1.y 二 f x , y hr f ay-f a =f a x -a一1 j2.切線方程： 法線方程：y - f a 二 a x -a第二節(jié) 函數(shù)的和（差）、積與商的求導法則 O函數(shù)和（差）、積與商的求導法則（） 1.線性組合（定理一）:（：U二L：v） = ： u 特別地，當1時，有2函數(shù)積的求導法則（定理二）3函數(shù)商的求導法則（定理三）+ Pvr（u 士v） = u 士v:（uv）

10、:邛lv丿=u v uvu v -uv2v第三節(jié)反函數(shù)和復合函數(shù)的求導法則O反函數(shù)的求導法則（）)()n （或 dx【題型示例】求函數(shù) y =1 n 1 x的n階導數(shù)【求解示例】y二1 xJ,廠飛T Tx = -1-21 xy n =（-1）n（n -1）!（1 x）第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導數(shù)O隱函數(shù)的求導（等式兩邊對 x求導）（）【題型示例】試求：方程y = x ey所給定的曲線 C :y二y x在點1 -e,1的切線方程與法線方程【求解示例】由y = x ey兩邊對x求導即y = x亠ey化簡得y = 1 ey y切線方程:y _1 二一X _1 e1 e11,In 1 x ： 1

11、 x = x,nxp叫Inx1一x2：型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）1 1【題型示例】求值:Iim xt sin x x【求解示例】” (1 1 解: Iim 一一XT (sin x x2xX2法線方程：y 1 = 1 e x -1 eO參數(shù)方程型函數(shù)的求導【題型示例】設參數(shù)方程/=tp（t 求d_y=Y（t）dx2“2亦【求解示例】1.-2.d_ydx （t） dx（t）第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié)函數(shù)的微分O基本初等函數(shù)微分公式與微分運算法則（）dy = f x dx第三章中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié)中值定理O引理（費馬引理）（）O羅爾定理（）【題型示例】現(xiàn)假設函數(shù)f X

12、在0,二1上連續(xù)，在0,二上可導，試證明：二匚三0,二,使得f coa g XX a g X（再進行1、2步驟，反復直到結(jié)果得出）B . 不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）0 :型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式） 【題型示例】求值：lim x In x0【求解示例】rQIn x :lim1 L X ：0=一一1四 = 0（一般地，IimI nxj=0，其中， R）fx-si nx 1fx-si nx)=処=虬_L IX )0 . x sin xXTx0_0% x-si nxr 1-cosx%1-cosx r si nx 門IimIimIimIim0L x_o2x02xLxQx 200型（對數(shù)求極限

13、法）【題型示例】求值：lim xxx_0【求解示例】 解：設y =xx,兩邊取對數(shù)得：In y = Inxx =xlx對對數(shù)取Xr 0時的極限：lim In y =lim=lim x .xIn y= lim x lim x =0,從而有 lim y Time1x_0 1x_0x_0x 02xI型(對數(shù)求極限法)lim In y=ex=e0 =1【題型示例】求值:1lim cosx sin x xx0【求解示例】op0（1）0 c （3） 心qQ oO彳 100 0QOO通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運算將指數(shù)提前）第

14、三節(jié)泰勒中值定理（不作要求） 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性O連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（）【題型示例】試確定函數(shù)f x =2x3-9x2 12x-3的單調(diào)區(qū)間【求解示例】1 .V函數(shù)f X在其定義域R上連續(xù)，且可導解：令 y = cosx sinx x,兩邊取對數(shù)得 ln y =_Sxx對 ln y求x . 0時的極限，limln y =lim ln cosx_sin x x_0 X2 .令 f x i=6- limX_0In x丄L tan x0時的極限,lim lny=lim tan1x2sec x們x，X I n 11x于*ofin xlim n tan x-limx ；0tan2

15、0 2 0sin x 0 = limlimx_0x L x_0sinx2sin x cosxli mx x 01lim ln y從而可得 lim y= lim eln y =ex 0e0 =1xTo運用羅比達法則進行極限運算的基本思路,單調(diào)遞減區(qū)間為 1,2【題型示例】證明：當 X 0時，ex X 1 【證明示例】1. （構(gòu)建輔助函數(shù)）設 x =eX-x-1 , （ x 0）2. x = ex -1 0 , （ x 0） x20 =03 .既證：當x - 0時，ex x 1【題型示例】證明：當 x 0時，In 1 x : x 【證明示例】1. （構(gòu)建輔助函數(shù)）設 x = In 1 x - x

16、, （ x 0）12. x1 ： 0 , （ x 0）1 + x x ：0 = 03 .既證：當x 0時，In 1 x xO連續(xù)函數(shù)凹凸性（）【題型示例】試討論函數(shù)y=1，3x2-X3的單調(diào)性、極值、 凹凸性及拐點【證明示例】 f x =6x2 -18x 12r2y =-3x +6x = 3x(x2)y = -6x +6 = -6 (x _1 )|y = -3x(x 2 )=02.令彳解得：丿X = 0, x? = 2y = -6(X 一1 ) = 0X=1-3.（四行表）X(皿,0)0(0,1)1(1,2)2（2,址）y0+0y+/+/y1M(1,3)5n4函數(shù)y =1 3x? x3單調(diào)遞增

17、區(qū)間為（0,1）,（1,2）單調(diào)遞增區(qū)間為（-：,0） ,（2, ：）;函數(shù)y=13x2-x3的極小值在x=0時取到， 為 f 0 =1,極大值在x=2時取到，為f 2 =5；函數(shù)y =1 3x2 -x3在區(qū)間（-“,0）,（0,1）上凹， 在區(qū)間（1,2）,（2,上凸；函數(shù)y =1，3x2X3的拐點坐標為1,3第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值O函數(shù)的極值與最值的關(guān)系（）設函數(shù)f x的定義域為 D，如果 xM的某個鄰C域U xM i二D，使得對U Xm ，都適合不 等式 f x ： f Xm ,我們則稱函數(shù) f（X ）在點xM, f （xl處有極大值 f Xm ；令 XM XM 1, XM 2

18、, XM 3,., XMn 匚貝U函數(shù)f x在閉區(qū)間a,b 1上的最大值M滿足:M =maxtf a ,XmXm2,Xm3,，, f b ?；設函數(shù)f x的定義域為D ,如果 xm的某個鄰域U Xm 二D，使得對X U xm，都適合不等式 f X fXm,我們則稱函數(shù)f （x ）在點xm,f （xm ）1處有極小值令 Xm 、Xm1,Xm2,Xm3,，Xmn*則函數(shù)f x在閉區(qū)間l.a,b 1上的最小值 m滿足:m = min If ai Xm1, Xm2 , Xm3，,Xmn , f b ：- 【題型示例】求函數(shù)f x =3x-x3在1-1,31上的最值【求解示例】1 v函數(shù)f X在其定義域

19、-1,3上連續(xù)，且可導2f x 二 _3x 32 .令 f x - -3 x-1 x 1 = 0,解得：X0 ,b則 f x dx 0 ; a（推論一）若函數(shù)f x、函數(shù)g x在積分區(qū)間a, bl上滿bb足 f x 一 g x，貝y f X dx 乞 g X dx ;a abbJ f （x）dx 蘭 f f （x）dxaL aO積分中值定理（不作要求）第二節(jié)微積分基本公式O牛頓-萊布尼茲公式（）（定理三）若果函數(shù) F x是連續(xù)函數(shù)f x在區(qū)間a,b 1上的一個原函數(shù)，則bafxdxFb-FaO變限積分的導數(shù)公式 （）（上上導一下下導） x dx “1+2e dt cosx2x【求解示例】屮 0

20、e dt i0limX2L x 01Acos2 xe _ 2 -e _=limx 22 d .2xcos2 x sin x sin x e_limX22x2sin x e：lim 血L J2_cos2x2x_cos2 x.cosx e+sin x=limX2:=I lim |e_cos % sin x cosx 2sin xcosx1 丄 1 e2 2e第三節(jié)定積分的換元法及分部積分法O定積分的換元法（）（第一換元法）bbafx dxaf 佇X_cos2 x:e2sin xcosx2O偶倍奇零（*）設f x C-a,a,則有以下結(jié)論成立：a若 f _xi= f x，則f X dx = 2 0 f x dxa若 f -x =-fx，則 afxdx = 0第四節(jié)定積分在幾何上的應用（暫時不作要求） 第五節(jié)定積分在物理上的應用（暫時不作要求） 第六節(jié)反常積分（不作要求）【題型示