12分式方程及其應(yīng)用2

1、12、分式方程及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。2. 解分式方程的一般步驟：（1）在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于 零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn)。3. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗(yàn)求得 的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。下面我們來(lái)學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用?！痉诸惤馕觥縳2例1.解方程： 一=1x1 x+1分析：首先要確定

2、各分式分母的最簡(jiǎn)公分母，在方程兩邊乘這個(gè)公分母時(shí)不要漏乘,完后記著要驗(yàn)根解：方程兩邊都乘以（X +1）（x -1），得2X2 -2（x-1） =（x +1）（x -1），-x2 = -1-2,即X2 -2x經(jīng)檢驗(yàn):是原方程的根。212x+1x+6 x+2x+5例2.解方程+ = + x+2x+7x+3x+6分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個(gè)分式的分母發(fā)現(xiàn)（x+6）與（x+7）、（x+2）與（x+3）的值相差1,而分子也有這個(gè)特點(diǎn)，因此，可將分母的值相差1的兩個(gè)分式結(jié)合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個(gè)分式，利用分 式的等值性質(zhì)求值。解：原方程變形為:x+6

3、x+5 x + 2 x+1x+7 x+6x+3 x + 2方程兩邊通分，得1(X +6)(x +7)(X +2)(x +3)所以(X + 6)(x +7) =(x +2)(x +3) 即 8x = -36經(jīng)檢驗(yàn)：原方程的根是 x=-9212X-10 丄 32x-3424X-23 16X19例 3.解方程： 一-+ = 一 +- 4x-3 8x 9 8x-7 4x-5分析：方程中的每個(gè)分式都相當(dāng)于一個(gè)假分?jǐn)?shù)，因此，可化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)式之和。解：由原方程得：3-4x-32-8X-1028X-61 + 4 +8X-9 _ 2 8X-7=3- +4 + 8x-74x-5于是(8x-9)(8

4、x-6)(8x-10)(8x-7)所以(8x -9)(8x -6) = (8x -10)(8x -7) 解得：x=1經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是原方程的根。6y+12例4.解方程：2y亠 +4y +4 y -4y +4 y2y= 0-4分析：此題若用一般解法，則計(jì)算量較大。當(dāng)把分子、 分母有相同的因式，于是可先約分。分母分解因式后，會(huì)發(fā)現(xiàn)分子與解：原方程變形為:6(y+2)(y+2)2(y+2)(y2)+z= 0 (y-2)2 (y + 2)(y-2)約分，得一6-y+2y 2 (y+2)(y2)=0方程兩邊都乘以(y+2)(y-2)，得X6(y-2)-(y+2)2 +y2 =0整理，得2y=16二 y

5、=8經(jīng)檢驗(yàn)：y=8是原方程的根。注：分式方程命題中一般滲透不等式, 程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用特殊方法解分式方程。恒等變形，因式分解等知識(shí)。因此要學(xué)會(huì)根據(jù)方5、中考題解:2x m +1例1 .若解分式方程 -X +1 X +xX + 1=一1產(chǎn)生增根，則m的值是（）A. 1或-2B.C. 1 或 2D. 1或-2分析：分式方程產(chǎn)生的增根,是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是:x = 0或x=1,化簡(jiǎn)原方程為：2x2-( m+ 1)=(x + 1)2，把x = 0或x = 1代入解得m =1或2，故選擇D。例2.甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國(guó)”活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時(shí)間與

6、乙班種 66棵樹所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹？分析：利用所用時(shí)間相等這一等量關(guān)系列出方程。解：設(shè)甲班每小時(shí)種 X棵樹，則乙班每小時(shí)種(X+2)棵樹，60 66由題意得：X x + 260X +120 = 66x經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原方程的根/. X+ 2 =22答：甲班每小時(shí)種樹 20棵，乙班每小時(shí)種樹 22棵。 說(shuō)明：在解分式方程應(yīng)用題時(shí)一定要檢驗(yàn)方程的根。6、題型展示：例1.輪船在一次航行中順流航行 次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行 度和水流速度分析：在航行問(wèn)題中的等量關(guān)系是80千米，逆流航行42千米，共用了 7小時(shí)；在另40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速“

7、船實(shí)際速度=水速+靜水速度”，有順?biāo)?、逆?取水速正、負(fù)值，兩次航行提供了兩個(gè)等量關(guān)系。解：設(shè)船在靜水中的速度為X千米/小時(shí)，水流速度為 y千米/小時(shí)(80 丄 42 rX + y X y由題意，得4070+ =7 -x + y X - yX = 17 解得：rX = 17經(jīng)檢驗(yàn)： 是原方程的根答：水流速度為3千米/小時(shí)，船在靜水中的速度為17千米/小時(shí)。例2. m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程xzTxm;3會(huì)產(chǎn)生增根?x+22解：方程兩邊都乘以 X -4，得2x + 4+mx=3x-6整理，得（m -1）x = 10當(dāng)mH1 時(shí)，x = -dm -1如果方程產(chǎn)生增根，么那_4=0,即x=2或x =

8、-2(2)若X =2 ,貝 U-丄0 =2 :. mm -1若x = 2 ,則-丄一2二m -1綜上所述，mi= -4或6時(shí)，=-4原方程產(chǎn)生增根說(shuō)明：分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.甲、乙兩地相距 S千米，某人從甲地出發(fā)，以 改乘汽車，又過(guò)SA.a +bS avc.a +bb小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車的速度（S -avB.b2SD.v千米/小時(shí)的速度步行，走了 a小時(shí)后 ）2.如果關(guān)于A. 33.解方程:的方程X-3B. -2a +b=1-旦有增根,X - 3-1D. 3則m的值等于（C.X +10(x+ 1)(x +2)+ (x+ 2)( X +3)+(X + 9)(

9、X + 10)=2X + 2x4x=01 +x41 2 -的值等于 X -3 X5.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做（2）仁+石+忒+2x+94.求X為何值時(shí)，代數(shù)式x+3成了全部工程。已知甲隊(duì)單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的1天后，再由兩隊(duì)合作 2天就完2-，求甲、3乙兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天?=2【試題答案】1.由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車的路程為(S-av)千米。又已知乘車的時(shí)間為 b小時(shí)，故汽車的速度為士空千米/小時(shí)，應(yīng)選Bob2.把方程兩邊都乘以X-3，得2=x-3-m=-2應(yīng)選B。若方程有增根，則 X = 3, 即卩5 + m = 3m3.(

10、1 )分析：方程左邊很特殊，從第二項(xiàng)起各分式的分母為兩因式之積，兩因式的值都相差1，且相鄰兩項(xiàng)的分母中都有相同的因式。因此，可利用11裂項(xiàng),即用互為相反數(shù)的和為0”將原方程化簡(jiǎn)解：原方程可變?yōu)閄 +10+ 二x+1 x+2x+2 x+3n(n +1)x+9 x + 1022X +1即 2x +2 =1經(jīng)檢驗(yàn)：原方程的根是1X = 一2解：x(-1 X(2)分析：用因式分解(提公因式法)簡(jiǎn)化解法+丄+丄聳)=01+x 1+x21 + x4因?yàn)槠渲械膩A+丄+丄1 -X 1+x 1+x21+x+1 -2+4277Zr1 -X21 +x21+x4+丄1 -X21+x2丄+亠+亠1+x41 -X4X = 01 +x4經(jīng)檢驗(yàn):X = 0是原方程的根。4.解：由已知得2x+912X + 3 X 3 Xm312即 2 +-一 =2X +3 X 3 X312X +3 X3解得X = 32一=0 -3 X=-是原方