中考總復(fù)習(xí)一元二次方程分式方程的解法及應(yīng)用 知識(shí)講解提高

1、（提高）中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用一知識(shí)講解【考綱要求】1. 理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2. 會(huì)解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題, 從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】L般形式直接開平方法ITB式分解法根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系II定義分母含有未知數(shù)的芳複分式萬程廠I思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式專程1 -I方法：兩辺同乘以最簡(jiǎn)公分母I F據(jù)：等式的墓禾麗-I注爲(wèi)坯須驗(yàn)稠gBI列分式方程解應(yīng)用題及在其它學(xué)科中的應(yīng)用I【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元二次方程1. 一元二次方程的定義只含有一

2、個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式為 ax?+bx中c=O（a豐0）.2. 一元二次方程的解法（1）直接開平方法：把方程變成 X2 =m的形式，當(dāng) m0時(shí)，方程的解為 x = jm ；當(dāng)m= 0時(shí), 方程的解Xi2 =0 ;當(dāng)m 0時(shí)，它的解為-b Jb2 -4acx =2a(4)因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個(gè)一次因式積的形式，使每一個(gè)因式等 于零，就得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)方程，就得到原方程的解.要點(diǎn)詮釋：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法.判斷一個(gè)方程是不是一元

3、二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一兀 二次方程一般形式中 aHO.用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.用直接開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).易錯(cuò)知識(shí)辨析：(1)(2)(3)(4)3 一元二次方程根的判別式2 一元二次方程根的判別式為A=b -4ac. 0=方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； = 0=方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 0 U方程有實(shí)數(shù)根.如果一兀二次方程 ax? +bx +c =0 (a豐0)的兩個(gè)根是cx2 =_a4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系Xi、X 2，那么 X 1 + X 2 = 一 , xia要點(diǎn)詮釋：(1) 對(duì)有關(guān)一元二

4、次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為(2) 解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分 解法，再考慮用公式法.2(3) 一元二次方程ax +bx+c=O(a工0)的根的判別式正反都成立利用其可以不解方程判定方 程根的情況；根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；解與根有關(guān)的證明題.(4) 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；已 知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；已知方程兩根，求作以方程兩根或其代 數(shù)式為根的一元二次方程.0.考點(diǎn)二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的

5、有理方程，叫做分式方程.要點(diǎn)詮釋：(1) 分式方程的三個(gè)重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.X的方程一一 2二X和(2) 分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含 有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于3711=都是分式方程，而關(guān)于 X的方程一x-2 = x和一+ = d都是整式方程.7- 2 2x + lQb c2. 分式方程的解法去分母法，換元法.3. 解分式方程的一般步驟(1) 去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程；(2) 解這個(gè)整式方程；(3) 驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最

6、簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.要點(diǎn)詮釋：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程,可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根.增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母 的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù) 的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.考點(diǎn)三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1. 應(yīng)

7、用問題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型數(shù)字問題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律.(2) 體積變化問題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3) 打折銷售問題其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤(rùn)=售價(jià) -成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤(rùn)率= 利潤(rùn) X 100% 成本價(jià)明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類問題的關(guān)鍵.(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問題重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，使能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.行程問題對(duì)于相遇問題和追及問題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問題，也是易出錯(cuò)的問題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及冋題，相向而行一般是相遇冋題.注意：追

8、及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇 和、差、倍、分問題增長(zhǎng)量=原有量X增長(zhǎng)率；現(xiàn)有量=原有量+增長(zhǎng)量；現(xiàn)有量=原有量-降低量.2. 解應(yīng)用題的步驟(1) 分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2) 設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù);(3) 找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4) 解方程求出題中未知數(shù)的值；(5) 檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答.要點(diǎn)詮釋：方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思 想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語句的數(shù)學(xué)思想.注意：設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相

9、同；未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹 單位；列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題 意.【典型例題】 類型一、一元二次方程1.閱讀材料:為解方程(X2 -1)2-5(x2 -1) + 4=0，我們可以將X2 -1看作一個(gè)整體，然后設(shè)X2 -1 = y ,那么原方程可化為2y -5y + 4=0,解得yi =1 ,y2 =4,X2 T =1，二 X2 =2X = 72 ；當(dāng)y =4時(shí),x2-1=4，兒x2=5，兒x = J5，故原方程的解為 人=4i ,x -42，法達(dá)到了解方程的解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程的過程中，利用 目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)

10、思想;【思路點(diǎn)撥】 此題考查了學(xué)生學(xué)以致用的能力，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想. 【答案與解析】(1)換元法;(2)設(shè)X2 = y，那么原方程可化為解得 yi =3 ； y2 = 2當(dāng) y =3時(shí)，X2 =3; /. x =忑2當(dāng)y = -2時(shí)，x =-2不符合題意,所以原方程的解為 人=43, x-Ta .【總結(jié)升華】應(yīng)用換元法解方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想舉一反三:【高清課程名稱：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用 關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：例3】【變式】設(shè)m是實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程【答案】高清ID號(hào)：4057542x -mx3x +m+ 2=0 的根.xi=1,x 2=m+2.已知關(guān)于x的一

11、元二次方程ax2 +bx+1 =0(a h0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,的值.【思路點(diǎn)撥】 由于這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此=b2-4a=0,可得出a、b之間的關(guān)系,ab2然后將 一化簡(jiǎn)后，用含b的代數(shù)式表示a,即可求出這個(gè)分式的值.(a-2) +b -4【答案與解析】2- ax +bx +1 = 0(a H 0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,2 2= b -4ac =0，即 b -4a =0 .ab2ab2= ab2-2)2林2-4 a2-4a+4 r2-4 a2-4a+b2 0 ,誓a【總結(jié)升華】本題需要綜合運(yùn)用分式和一元二次方程來解決問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決問題的能力，屬于中等難度的試題

12、，具有一定的區(qū)分度.舉一反三:_ _ 一 2【變式】關(guān)于x的一元二次方程x -3x - k =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)請(qǐng)選擇一個(gè)k的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根.【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,()2 _4(-k) 0.9即 4k9，解得，kA9 .4(2)若k是負(fù)整數(shù)，k只能為一1或一2.如果k= 1，原方程為X2 -3x +1=0 .解得，X1 = 3_V5 , x22(如果k= 2,原方程為2x -3x+2= 0,解得，X1 =1 , X2=2 .)類型二、分式方程【思路點(diǎn)撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡(jiǎn)單【答案與解析】原方程變?yōu)榻?jīng)檢驗(yàn),【總結(jié)升華

13、】是原方程的根.,所以最簡(jiǎn)公分母為： ,若采用去分母的通常方法， 運(yùn)算量較大，可采用上面的方法較好舉一反三: 【變式1】解方程: 【答案】原方程化為方程兩邊通分,化簡(jiǎn)得是原方程的根.解得 經(jīng)檢驗(yàn):【變式2】解方程:31X2 -6x -4 X2 -6x +5X2 -6x +9【答案】=x2 -6x+5,則原方程可化為:31k +4去分母化簡(jiǎn)得：20k2 -147k -1116 =0 (k -12)(20k +93) =0二 k=12, I3當(dāng)k =12時(shí)，X2 -6x -7 =0(X 7【x +1 )=0解之得:93時(shí)，X2 -6X +5 =2020x2 -120x+193 =0解此方程此方程無

14、解.經(jīng)檢驗(yàn)：X1 = -1, X2 =7是原分式方程的根9320會(huì)產(chǎn)生增根?【思路點(diǎn)撥】 先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得10整理，得當(dāng)嗨H1時(shí)，兀=揪一 1文踝方程產(chǎn)出謝気 那么X4,即2 2或-2若2,貝IJ- = 2 .5=7 曲-12 _）若x = 2,貝U 1 = 2 一肥=6沁一 1綜上所述，當(dāng)欄=7或6吋，原方程產(chǎn)生増根【總結(jié)升華】分式方程的增根,定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根舉一反三:【變式】當(dāng)m為何值時(shí)，方程A. 2Xm一2藍(lán)二會(huì)產(chǎn)生增根（）X-3X-3C. 3D. 3m，去分母得x-2x（x-3）二用，將增根X

15、 = 3代入，得m= 3.B. 1【答案】分式方程 一一2蕓X- 3 X-3所以，當(dāng)m= 3時(shí)，原分式方程會(huì)產(chǎn)生增根.故選C.類型三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用5 .要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則要 超過3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作 2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成 .問規(guī)定日期是多少天？，工作總量為1.【思路點(diǎn)撥】 設(shè)規(guī)定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為【答案與解析】設(shè)規(guī)定日期為x天 根據(jù)題意，得 解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根答：規(guī)定日期是6天.【總結(jié)升華】工程問題涉及的量有三個(gè)，即每天的工作量、工作的天數(shù)、工作的總量.它們之間的基本關(guān)

16、系是: 工作總量=每天的工作量X工作的天數(shù).舉一反三:高清ID號(hào)：405754【高清課程名稱：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例4-例51【變式】據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯 塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量的 2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國(guó)槐樹葉的片數(shù)相同，求一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量.【答案1設(shè)一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，,卄/曰 1000550由題意得=,2x-40 x解得：x=22 ,經(jīng)檢

17、驗(yàn)：x=22是原分式方程的解，且符合題意.答：一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量為22毫克.10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做 5天完成全部工程的-，廠家需付3甲、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共 5500兀.求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說明理由. 【思路點(diǎn)撥】第一問是工程問題，工程問題中有三個(gè)量：工作總量，工作效率，工作時(shí)間，這三個(gè)量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率X工作時(shí)間第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊(duì)多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時(shí)間內(nèi)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個(gè)隊(duì)花錢最少.【答案與解析】設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需X天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需 y天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需 2天完成，依題意，得10(+-) = 1,y 5(-+-) =X Z JX XX ,得 一 =.6105 X y ?5一X ，得一=，即 z = 30 ,6 Z 30一X，得一=，即 x = 10 ,10 I 10一X亍得廠，即 y = 15 .15經(jīng)檢驗(yàn)，設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付根據(jù)題意，得6（優(yōu)+ b）=8700, 70+0 = 9刊0,二 5Cc+fl） = 5500.x = 10 ,y = 15 , z = 30是原方程組的解.住元，乙隊(duì)