關(guān)于德薩格定理在初等幾何中應(yīng)用的研究

1、論文題目： 關(guān)于德薩格定理在初等幾何中應(yīng)用的研究所在單位： 白城師范學(xué)院數(shù)學(xué)系0202 完 成 人： 王 秀 平 指導(dǎo)教師： 高 秀 娟 起止時(shí)間： 2005年12月7日2006年6月15日 2006年 6 月 15日摘要及關(guān)鍵詞( abstract and keyword )摘要 由desargues定理及其逆定理證明了三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)的問題。由desargues定理在空間中的證明，然后用射影幾何方法構(gòu)造了一個(gè)輔助三點(diǎn)形，最終得到desargues定理在平面內(nèi)的證明，并通過實(shí)例說明了上述定理在初等幾何中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 desargues定理及逆定理；透視軸；透視中心；三點(diǎn)形；三線形。des

2、argues theorem on the application of research in primary geometricabstract desargues theorem and its converse theorem proved by a total of three lines or threelines total points. in one region by desargues converse theorem proof, and then using photographic methods construction of a subsidiary 3 geo

3、metric shapes, culminating in a proof of their converse theorem in space, and through examples of the above primary geometric theorem in the specific application.keyword desargues theorem and converse theorem; perspective axis; center of perspective;three shapes; three linear.目錄前言 1第一章：預(yù)備知識 1第二章：應(yīng)用舉

4、例221應(yīng)用desargues定理證明共點(diǎn)問題 222應(yīng)用desargues定理證明線共點(diǎn)問題 223應(yīng)用desargues定理求軌跡問題 424應(yīng)用desargues定理求定點(diǎn) 525應(yīng)用desargues命題作圖 6結(jié)論 6 參考文獻(xiàn) 7 致謝 7前言desargues定理的內(nèi)容從完整的角度講包括desargues定理及其逆定理，在初等幾何中有許多需要證明“點(diǎn)共線”或“線共點(diǎn)”的問題，這類問題用初等幾何方法證明往往比較復(fù)雜，但用desargues定理去證明卻很容易。要用desargues定理和desargues逆定理去解決問題，其關(guān)鍵是如何找出兩個(gè)三點(diǎn)形或三線形，若經(jīng)分析能找到三點(diǎn)形或三線

5、形，則問題就解決了。下面通過幾個(gè)具體的實(shí)例說明它在初等幾何中的應(yīng)用 1 預(yù)備知識 定義 1 平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)與其每兩點(diǎn)的連線所組成的圖形叫做三點(diǎn)形，平面內(nèi)不共點(diǎn)的三直線與其每兩直線的交點(diǎn)所組成的圖形叫做三線形。定義 2 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則所在直線叫做它們的透視軸。定義 3 平面上4點(diǎn)，其中無3點(diǎn)共線，構(gòu)成一個(gè)四點(diǎn)形。每個(gè)點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，每兩點(diǎn)的連線叫做邊，通過不同頂點(diǎn)的兩條邊叫做對邊，對邊的交點(diǎn)叫做對角點(diǎn)，2對角點(diǎn)的連線叫做對角線，3對角點(diǎn)構(gòu)成對角三點(diǎn)形。desargue定理: 兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，那么，對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上。desargues逆定理: 兩個(gè)三線形

6、對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上，那么，對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。2 應(yīng)用舉例2.1應(yīng)用desargues證明共點(diǎn)問題。例 1 直線ab與cd交于u,a c與bd交于v,u v分別交ad, bc于f, g, bf交ac于l。求證:lg, cf, au交于一點(diǎn)。證明：如圖1，在afl與ucg中，對應(yīng)邊f(xié)l與cg,l a與ug, af與uc分別交于共線的三點(diǎn)b, v,d。根據(jù)desargues逆命題知:au x fc x lg=oo 圖1三線形afl與ucg對應(yīng)頂點(diǎn)的連線lg與cf及au共點(diǎn)o例2 試證三角形三條中線共點(diǎn).證明：設(shè)三角形abc的三條中線為ad,be,cf,如圖2.考察三點(diǎn)形abc和def.由于

7、bc/ef,ca/fd,ab/de,即三點(diǎn)形abc和def的對應(yīng)邊的交點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)點(diǎn),從而都在無窮遠(yuǎn)直線上,故根據(jù)desargues定理的逆定理知,它們對應(yīng)頂點(diǎn)的連線ad,be,cf交于一點(diǎn),即三角形abc的三條中線共點(diǎn).此例證明的構(gòu)圖,選取三角形的重心作為兩三點(diǎn)形的透視中心,是很自然、容易考慮到的.同時(shí),此題是中學(xué)幾何中有關(guān)三角形重心的問題,用初等幾何方法證明不夠直觀,也較繁雜,但用上述方法卻很簡便 圖2 2.2應(yīng)用desargues定理證明共線問題例3 設(shè)三角形abc的三條內(nèi)角平分線分別交對邊于d,e,f.又bc和ef交于x,ca和fd交于y,ab 和de交于z,則x,y,z三點(diǎn)共線.證明

8、：設(shè)三角形abc的三條內(nèi)角平分線交于o(即三角形abc的內(nèi)心),如圖3.考察三點(diǎn)形abc和def.由于它們對應(yīng)頂點(diǎn)的連線ad,be,cf交于o,則根據(jù)desargues定理知,它們的對應(yīng)邊bc和ef,ca和fd,ab和de的交點(diǎn)x,y,z共線.此例證明的構(gòu)圖恰當(dāng),綜合考慮了定理的條件和命題的內(nèi)容.此題的證明中,只用到三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)(內(nèi)心)這個(gè)性質(zhì),因此,若將此例中的角平分線改為三角形的高線或中線,則結(jié)論仍然成立,因?yàn)槿切蔚娜龡l高線交于一點(diǎn)(垂心),三條中線也交于一點(diǎn)(重心).更一般地,對于三角形abc的三邊(所在直線)上任意點(diǎn)d,e,f,只要ad,be,cf交于一點(diǎn),則上述結(jié)

9、論同樣成立.例4 試證三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)在一條直線上.證明：設(shè)三角形abc的外心為o,重心為d,垂心e,f,g分別為bc,ca邊的中點(diǎn),如圖4.考察三點(diǎn)形abe和fgo.由于be/go,ea/of,ab/fg,即三點(diǎn)形abe和fgo的對應(yīng)邊的交點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)點(diǎn),從而都在無窮遠(yuǎn)直線上,則根據(jù)desargues定理的逆定理知,它們的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線af,bg,eo交于一點(diǎn),而中線af,bg交于d,故d,o,e三點(diǎn)共線.此題證明的構(gòu)圖,獨(dú)具匠心,是綜合諸方面的因素,化繁為簡的結(jié)果.同時(shí),此題是初等幾何中非常重要而且有用的三角形“三心”共線問題,利用初等幾何的知識證明比較麻煩,此處的證明簡單而巧

10、妙. 圖4 圖5例5設(shè)abcd是四面體,點(diǎn)x在bc上.一直線通過x分別交ab,ac于p,q;另一直線通過x分別交db,dc于r,s.求證pr與qs交在ad上證明：(方法1)考察三點(diǎn)形rbp和scq.由于它們對應(yīng)頂點(diǎn)的連線rs,bc,pq交于x,則由desargues定理知,它們的對應(yīng)邊bp和cq,pr和qs,rb和sc的交點(diǎn)共線.由于bp和cq交于a,rb和sc交于d,故pr與qs交在ad上.(方法2)考察三點(diǎn)形pqa和rsd.由于它們的對應(yīng)邊qa和sd,ap和dr,pq和rs的交點(diǎn)c,b,x三點(diǎn)共線,則由desargues定理的逆定理知,它們的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線pr,qs,ad交于一點(diǎn),即pr與

11、qs交在ad上.此題的證明,分別用了desargues定理和desargues定理的逆定理.兩種證法選取的不同,源于兩者構(gòu)圖的不同,它們分別選取了點(diǎn)x作為透視中心和直線作為透視軸.由此可見,用desargues定理(或逆定理)證明幾何問題具有一定的靈活性.2.3.應(yīng)用desargues定理求軌跡例 6 設(shè)有一變動(dòng)三角形，其三邊通過共線的三定點(diǎn)，其二頂點(diǎn)分別在二定直線上移動(dòng)，求第三頂點(diǎn)的軌跡。解：如圖6，設(shè)三定點(diǎn)p,q ,r 在直線t上，aa bc的頂點(diǎn)a,b分別在定直線m, n上移動(dòng)，而m, n交于。，連接oc，當(dāng)a, b分別在m,n 上移動(dòng)到d,e 時(shí)，c移動(dòng)到f，即abc移動(dòng)到def,-

12、.-abx de=q, bc x ef=p, ac x df=r。三點(diǎn)在定直線t上，由desargues逆命題知:o,c,f共線。點(diǎn)f在oc上，即c點(diǎn)的軌跡為過o點(diǎn)的一直線。 圖62.4應(yīng)用desargues定理求定點(diǎn)例 7 已知 ox,o y,o z為三定直線圖7變動(dòng)性abc第二頂點(diǎn)c點(diǎn)的軌跡co結(jié)構(gòu)圖，a與b為二定點(diǎn)，其連線通過o點(diǎn)，r為oz上的動(dòng)點(diǎn)，且ra, rb交ox, oy于p, q。試證:pq通過ab上一定點(diǎn)。證明 如圖7，設(shè)r在oz上變動(dòng)到f時(shí)，連接fax o x=d;連接fbxoy=e。在adp與beq中，dp x eq=o,” x bq=r, ad x be=foo,r,f

13、三點(diǎn)共線。abx d ex p q=s，由desargues逆命題，.-ab 為定直線，pqx a b=s，當(dāng)f在oz上變動(dòng)時(shí)，e在oy上變動(dòng)，d在ox上變動(dòng)，.-.de一定通過ab x pq=s，故pq通過ab上一定點(diǎn)so圖7例 8 設(shè) a,b,c為不共線的三點(diǎn)，p是過c的定直線上的一動(dòng)點(diǎn)，ap與bc交于x, ac與bp交于y，求證:xy通過ab上的一定點(diǎn)。證明 如 圖6，當(dāng)p在過c點(diǎn)的定直線r上移動(dòng)到f時(shí)，apx b c=x,a c圖5 pq通過ab上定點(diǎn) s的結(jié)構(gòu)圖x bp-y, af x bc=d, ac x bf=ho xy-dh，這時(shí)可以看作把pxy移動(dòng)到fdh,-.-fpxhy

14、xxd=c,它們?nèi)龑叺慕稽c(diǎn)fd x px=a, bf x yp=b, dh x xy=e，則由desargues命題知:a,b，e三點(diǎn)共線，xy x ab=e o圖82.5應(yīng)用desargues命題作圖例 9 在平 面上已知二直線a和b，此外還曉得不在a, b上的一定點(diǎn)p，試問不用先定出a, b的交點(diǎn)，如何用直尺作一直線通過p及該交點(diǎn)。解 如 圖 7，在a和b二直線之外任取一點(diǎn)。，過。引出三條直線u, m, n,設(shè)uxa=q, uxb=b;nxa=r; nxb=c;pq x m=s, pb x m=d, sr x dc=a，那么pa就是所求的直線。因?yàn)閜qb與arc合乎desargues逆

15、命題的條件。圖9結(jié)論應(yīng)用desargues定理（或逆定理）去解決一些初等幾何的相關(guān)問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造，選擇兩個(gè)恰當(dāng)?shù)娜c(diǎn)形，這就需要綜合分析已知條件和所證明結(jié)論的因素，熟練的掌握并靈活運(yùn)用desargues定理（或逆定理）的構(gòu)圖特點(diǎn)才能完成。高等幾何的原理和方法在初等幾何中應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)用高等幾何原理去解決初等幾何問題，非常簡捷，方便，體現(xiàn)了高等幾何對初等幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義。參考文獻(xiàn)1 梅向明，劉增賢，林向巖. 高等幾何m. 北京：高等教育出版社，1983 . 43 - 49 .2 朱德祥. 高等幾何m. 北京：高等教育出版社，1983 . 58 - 65 .3 鐘集. 高等幾何m. 北京：高等教育出版社1983 .24 - 32 .4 方德植，陳奕培. 射影幾何m. 北京：高等教育出版社，1983 . 131 - 137 .5 陳啟旭，王大淦，林達(dá)堅(jiān)，等. 高等幾何m. 福州：福建人民出版社，1983 . 74 - 180 .6趙宏量. 幾何教學(xué)探索m. 西南師范大學(xué)出版社，1987.7姜樹民等. 高等幾何學(xué)m. 陜西人民教育出版社