25.用凸凹函數(shù)的切線研究高考試題

1、中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號(hào))用凸凹函數(shù)的切線研究高考試題“以直代曲”的思想方法 “以直代曲”是微積分最基本、最樸素的思想方法,“以直代曲”的思想就是利用直線段來(lái)近似曲線,這樣可使有關(guān)曲線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直線段上來(lái),從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.其中,以曲線的切線來(lái)近似曲線就是典型的方法.母題結(jié)構(gòu):()若f(x)在區(qū)間d上連續(xù)可導(dǎo),且(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增,則當(dāng)x0d時(shí),f(x)(x0)(x-x0)+f(x0),當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí),等號(hào)成立;()若f(x)在區(qū)間d上連續(xù)可導(dǎo),且(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞減,則當(dāng)x0d時(shí),f(x)(x0)(x-x0)+f(x0),當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí),等號(hào)成立.母題解析:

2、()令g(x)=f(x)-(x0)(x-x0)-f(x0),則(x)=(x)-(x0);由(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增當(dāng)xx0時(shí),(x)(x0)(x)0g(x)在xx0內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x(x0)(x)0g(x)在xx0內(nèi)單調(diào)遞增g(x)g(x0)=0f(x)(x0)(x-x0)+f(x0),當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí),等號(hào)成立;同理可證(); 母題的實(shí)質(zhì)是凹凸函數(shù)的性質(zhì),具有明顯的幾何意義,如下圖所示,當(dāng)函數(shù)是凹函數(shù)時(shí),函數(shù)圖像均在其切線之上(切點(diǎn)除外);當(dāng)函數(shù)是凸函數(shù)時(shí),函數(shù)圖像均在其切線之下(切點(diǎn)除外). 1.直線與曲線的位置 子題類型:(2014年課標(biāo)高考試題)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2

3、,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.()求a;()證明:當(dāng)k1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).解析:()由f(x)=x3-3x2+ax+2(x)=3x2-6x+a(0)=a曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線:y=ax+2;由切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2-2a+2=0a=1;()當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3-3x2+x+2,(x)=3x2-6x+1f(x)的圖像如圖:過(guò)p(0,-2)作曲線y=f(x)的切線,設(shè)切點(diǎn)為q(t,t3-3t2+t+2),則kpq=(t)t2-3t+1+=3t2-6t+1t=2kpq=1;由直線y=kx-2過(guò)p(0,-

4、2),且k0時(shí),f(x)gt(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立;(ii)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x0,使得g8(x0)gt(x0)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.解析:()由y=f(x)-g8(x)=-4x+=x2-4單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-2)和(2,+),單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2);()(i)由(x)=x2(t)=t曲線y=f(x)在x=t處的切線:y-=t(x-t),即y=gt(x)=tx-t;當(dāng)x0時(shí),(x)=x2在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增f(x)gt(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立;(ii)令h(t)=gt(x0)=tx0-t,則(t)=tx0-hmax(t)=h(x03)=x03;所以,g8(x0)gt(x0)4x0-

5、x03;又曲線y=f(x)在x=2處的切線:y=4x-當(dāng)x0時(shí),f(x)4x-x34x-x034x0-.故當(dāng)且僅當(dāng)x0=2時(shí),g8(x0)gt(x0)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.點(diǎn)評(píng):母題最常見(jiàn)的應(yīng)用是證明或構(gòu)造不等式,如:若f(x)在區(qū)間d上連續(xù)可導(dǎo),且(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增,則當(dāng)x0d時(shí),f(x)(x0)(x-x0)+f(x0);若f(x)在區(qū)間d上連續(xù)可導(dǎo),且(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增,則存在唯一的xd,使得:f(x)(x0)(x-x0)+f(x0)(x0d);若兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,且(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增,(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞減,則f(x)g(x

6、). 3.逼近函數(shù)零點(diǎn) 子題類型:(2015年天津高考理科試題)已知函數(shù)f(x)=nx-xn,xr.其中nn*,且n2.()討論f(x)的單調(diào)性;()設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為p,曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y=g(x)求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x);()若方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:|x2-x1|+2.解析:()由(x)=n-nxn-1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-1)和(1,+);()當(dāng)x0時(shí),由(x)=n-nxn

7、-1在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x);()由曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程:y=nx,g(x)=(n-n2)(x-n),則f(x)4x,且f(x)-12(x-4);設(shè)nx=a,g(x)=(n-n2)(x-n)=a的根分別為x3,x4,則x3=,x4=-+n;不妨設(shè)x10.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.()用a表示b,并求b的最大值;()求證:f(x)g(x)(x0).3.(2007年遼寧高考試題)已知函數(shù)f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=(x).()證明:當(dāng)tk時(shí),g(x)在閉區(qū)間a,b上是

8、減函數(shù);()證明:f(x).4.(2015年天津高考文科試題)已知函數(shù)f(x)=4x-x4,xr.()求f(x)的單調(diào)區(qū)間;()設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為p,曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y=g(x)求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x);()若方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x10),則(x)=l的方程為:y=x-1;()由(x)=(x)=當(dāng)x(0,e)時(shí),(x)遞減當(dāng)x(0,e)時(shí),f(x)x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立;當(dāng)xe時(shí),x-1e-1,f(x)f(e)=10)處的切線相同,則f(x0)=g(x0),(x0)=(x0)x02+2ax0=3a2l

9、nx0+b,x0+2a=x0=a(-3a舍去),b=a2-3a2lna;令h(x)=x2-3x2lnx,則(t)=2x(1-3lnx)hmax(x)=h(e)=eb的最大值=e;()設(shè)公切線:y=kx+m;由(x)=x+2a在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,(x)= 在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減f(x)kx+m,kx+mg(x)f(x)g(x)(x0).3.解:()由g(x)=e2x-t(ex+1)+x(x)=2e2x-tex+1=ex(2ex+e-x-t);又由2ex+e-x2當(dāng)t0g(x)在r上是增函數(shù);()由g(x)在閉區(qū)間a,b上是減函數(shù)當(dāng)xa,b時(shí),(x)02ex+e-x-t0;令h(x)=

10、2ex+e-x,則(x)=2ex-e-xh(x)在(-,-ln2)上單調(diào)遞減,在(-ln2,+)上單調(diào)遞增,故只需取k=maxh(a),h(b);()(法一)由f(x)2t2-2(ex+x)t+e2x+x2-0=4(ex+x)2-8(e2x+x2-)0(ex-x)21;作y=ex在x=0處的切線:y=x+1知exx+1ex-x1(ex-x)21f(x);(法二)由f(x)e2x-2tex+t2+x2-2tx+t2(ex-t)2+(x-t)2;設(shè)p(x,ex),q(t,t),則點(diǎn)p(x,ex)在曲線y=ex上,點(diǎn)q(t,t)在直線y=x上,作y=ex在x=0處的切線:y=x+1,則|pq|min=直線y=x與y=x+1的距離=|pq|pq|2(ex-t)2+(x-t)2f(x).4.解:()由(x)=4-4x3f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+);()由(x)=4-4x3在區(qū)間(-,+)上單調(diào)遞減f(x)g(x);()由曲線y=f(x)在