極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展畢業(yè)設(shè)計

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）題目極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展The Emerge ncy and Developme nt OfLimit專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)院部數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院學(xué)號XX姓名XX指導(dǎo)教師答辯時間二C一四年五月論文工作時間：2013年12月至2014年5月極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展摘 要：本文主要論述極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展歷史. 在極限思想產(chǎn)生和發(fā)展的每 個階段，介紹一些相關(guān)的數(shù)學(xué)家代表以及他們的理論. 極限思想是近代數(shù)學(xué)的一 種重要思想，所謂極限思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思 想.極限思想的產(chǎn)生與完善是社會實踐的需要， 它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新 的動力，成為了近代數(shù)學(xué)思想

2、和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點. 通過了解極限思想的產(chǎn)生 和發(fā)展，讓人們對學(xué)習(xí)關(guān)于極限思想的數(shù)學(xué)知識更有興趣；通過了解極限思想的 產(chǎn)生和發(fā)展，人們可以從有限認(rèn)識無限，從“不變”認(rèn)識“變”，從直線認(rèn)識曲線，從量變認(rèn)識質(zhì)變，從近似認(rèn)識精確在探求極限思想起源與發(fā)展的過程中， 會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)這個美麗的世界，享受探求數(shù)學(xué)這個美妙的過程.關(guān)鍵詞：極限思想；產(chǎn)生；發(fā)展The Emergence and Development Of LimitUn dergraduate:xx Supervisor: xx Abstract:This paper mainly discuss the gen erati on of lim

3、it and its developmentI will introduce you some related mathematicians and their theories during its different period. Limit thought is an important thought of modern mathematics, namely a mathematical thought used to solve and an alysis problems. The emerge nee and development of the limit idea is

4、of practical need to society, it also promotes the development of math as a new power, which becomes the foundation and starting point of the moder n mathematical thoughts and methods By lear ning the emerge nee and development of the limit idea, people will be more interested in some mathematical q

5、uestions on limit thought They can know things from finite to infinite, from inv aria nt to varia nt also, they can un dersta nd curve from straight line, qualitative cha nge from qua ntitative cha nge and exact ness from approximati on with the help of the limit thought. I hope that every one will

6、find what a beautiful mathematical world it is and enjoy this won derful process whe n you explore the orig in and developme nt of limit thought in mathematics.Key words：limit thought ; gen erati on; developme nt緒論 11極限思想的產(chǎn)生 12極限思想發(fā)展的分期 22 . 1極限思想的萌芽階段 22 . 2極限思想的發(fā)展時期 32 . 3極限思想的完善時期 33極限思想與微積分 43.1

7、微積分的孕育 53.1牛頓與微積分 63.3萊布尼茨與微積分 63.4微積分的進(jìn)一步發(fā)展 7結(jié)束語 8參考文獻(xiàn) 9致謝錯誤！未定義書簽緒論極限思想作為一種哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想，由遠(yuǎn)古的思想萌芽，到現(xiàn)在完整的極限 理論，其漫長曲折的演變歷程布滿了眾多哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們的勤奮、智慧、嚴(yán)謹(jǐn) 認(rèn)真、孜孜以求的奮斗足跡極限思想的演變歷程，是數(shù)千年來人類認(rèn)識世界和 改造世界的整個過程的一個側(cè)面反應(yīng)，是人類追求真理、追求理想，始終不渝地求實、創(chuàng)新的生動寫照.在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，數(shù)學(xué)問題的來源和發(fā)展表現(xiàn)為多種多樣的途徑和極其復(fù)雜 的情況.縱觀極限思想的發(fā)展，首先哲學(xué)為其提供了直覺上的發(fā)展方向， 數(shù)學(xué)家 們依據(jù)這種直覺或直

8、觀進(jìn)行應(yīng)用和探索； 其后悖論一次次地出現(xiàn)，又促使數(shù)學(xué)家 們一次一次地進(jìn)行探究求證，使這一思想不斷得以發(fā)展和完善.而數(shù)學(xué)的求證又 給予了哲學(xué)以實在的支持，為哲學(xué)更好地描述和論證世界提供了強(qiáng)有力的工 具從最初時期樸素、直觀的極限觀，經(jīng)過了 2000多年的發(fā)展，演變成為近代 嚴(yán)格的極限理論，這其中的思想演變是漸進(jìn)的、螺旋式發(fā)展的、相互推動的.極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，極限方法為人類認(rèn)識無限提供了強(qiáng)有力的工 具，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種重要思想.極限思想蘊(yùn)含著豐富的辯證法思想， 是唯物辯證法的對立統(tǒng)一 規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的極好應(yīng)用.理清極限思想的發(fā)展脈絡(luò)，

9、揭示極限思想的核心 內(nèi)容及其與哲學(xué)思想的內(nèi)在聯(lián)系，對于理解數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)史上的一些問題將 具有一定的理論意義對于培養(yǎng)人的思維方法、思維品質(zhì)，提高其分析問題和解決問題的能力都有極好的促進(jìn)作用.如果把數(shù)學(xué)比作一個浩瀚無邊而又奇異神秘的宇宙，那么極限思想就是這個 宇宙中最閃亮最神秘最牽動人心的恒星之一.結(jié)合自己近期來搜集整理的資料， 我想對極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展以及一些極限的簡單應(yīng)用做一個小小的探究.我覺得，我們可以把極限思想的發(fā)展歷程大致分為三個階段一一萌芽階段、發(fā)展階段、進(jìn)一步應(yīng)用完善階段.1極限思想的產(chǎn)生極限思想的產(chǎn)生和其他科學(xué)思想一樣，是經(jīng)過歷代古人的思考與實踐一步一 步漸漸積累起來的，因此

10、它也是社會實踐的產(chǎn)物.極限的思想可以追溯到古代， 劉徽的割圓術(shù)是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘認(rèn)的窮竭法2也蘊(yùn)含了極限思想，但希臘人對“無限的恐懼”，他們避免明顯的“取 極限”，而是借助于間接證法一一歸謬法來完成有關(guān)的證明.到了 16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘 人的歸謬法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題， 放棄了歸繆法的 證明如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用概念的方向” 數(shù) 學(xué)家拉夫綸捷夫曾說：“數(shù)學(xué)極限法的創(chuàng)造是對那些不能夠用算術(shù)，代數(shù)和初等 幾何的簡單方法來解決的問題進(jìn)行了許多世紀(jì)的頑強(qiáng)探索的結(jié)果”.兩千多

11、年前可以稱作是極限思想的萌芽階段.其突出特點為人們已經(jīng)開始意識到極限的存在，并且會運(yùn)用極限思想解決一些實際問題， 但是還不能夠系統(tǒng)而清晰的利用極 限思想解釋現(xiàn)實問題極限思想的萌芽階段以希臘的芝諾、中國古代的惠施、劉徽、祖沖之等為代表.我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)名著莊子 同記載著惠施的一句名言：“一尺之 錘，日取其半，萬世不竭.”也就是說，從一尺長的竿，每天截取前一天剩下的 一半，隨著時間的流逝竿會越來越短，長度越來越趨于零，但又有緣不會等于 零.這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想. 我國古代的劉徽和祖沖之計算圓周率時所 采用的“割圓術(shù)”貝規(guī)極限思想的一種基本應(yīng)用所謂“割圓術(shù)”，就是用半徑為R的圓的內(nèi)接正

12、多邊形的面積 S就越來越接近于圓的面積n R.在有限次的過 程中，用正多邊形的面積來逼近圓的面積，只能到達(dá)近似的程度但可以想象， 如果把這個過程無限次的繼續(xù)下去，就能得到精確的圓面積.2極限思想發(fā)展的分期2. 1極限思想的萌芽階段遠(yuǎn)在2000多年以前，人們在對無窮的萌芽認(rèn)識中，極限的思想和方法就不 可回避的孕育在其中了.在我國，著名的莊子天下篇一書中記有：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”墨家著作墨子經(jīng)天下中也有“非半弗，則 不動，說在端.”的論述.從中可體現(xiàn)出我國早期對物質(zhì)的無限可分性與連續(xù)性 已有了相當(dāng)深刻的認(rèn)識，雖然這些認(rèn)識屬于哲學(xué)，但已反映出極限思想的萌芽.將 無窮思想創(chuàng)造性地運(yùn)用到數(shù)

13、學(xué)中的是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽.劉徽在注釋九章算術(shù)中多次用到極限思想處理問題，運(yùn)用的比較熟練，說明當(dāng)時他已 經(jīng)對極限思想有了相當(dāng)深刻的認(rèn)識. 對極限的觀念和方法已經(jīng)有了直觀基礎(chǔ)上的 運(yùn)用.正是以“割圓術(shù)”為理論基礎(chǔ)，劉徽得出徽率.至V公元五世紀(jì)，南北朝時 期的大數(shù)學(xué)家、科學(xué)家祖沖之（429 500年）的綴術(shù)中，同樣運(yùn)用“割圓 術(shù)”推算出24576邊形得到：3. 1415926 p 3. 1415927.祖沖之這一成果 領(lǐng)先世界近千年.在國外，古希臘的巧辯學(xué)派6幾何三大問題.安提芬在研究畫圓為方的問 題時想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接正多邊形來接近圓面積，當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷加倍時內(nèi)接正多邊形與圓周之

14、間存在的空隙就被逐漸“窮竭”，而布萊森（約公元前450年）則從相反的方向，提出通過圓的外切正多邊形的面積來逼近圓的面積 的思想.公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯創(chuàng)立了較嚴(yán)格的確定面積和體積 的一般方法一“窮竭法”，這種方法假定量的無限可分性，并且以及下面命題為 基礎(chǔ)：“如果從任何量中減去一個不小于它的一半部的部分，從剩余部分中再減 去不小于它的一半的另一部分，繼續(xù)下去，則最后將留下一個小于任何給定的同 類量的量” 應(yīng)用窮竭法，歐多克斯（約公元前400前347年）正確地證明了 “圓 面積與直徑的平方成正比例”以及“球的體積與直徑的立方成正比例等結(jié)論” 他 的窮竭法也已經(jīng)體現(xiàn)出了極限論思想. 繼

15、歐多克索斯之后，阿基米德使用窮竭法 求出了一系列幾何圖形的面積.他用足夠“內(nèi)接”和“外切”扇形逼近螺線所圍 成的平面圖形，這和我國的“割圓術(shù)”理論大相徑庭，實質(zhì)上是一種極限思想.阿 基米德（Archimedes，公元前287前212年）生于敘拉古（現(xiàn)意大利西西里 島）.他才智過人、成果卓著，被譽(yù)為古代最偉大的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家他的傳世 名著有圓的測量、論球體和圓柱體、論劈錐曲面體與球體、拋物線弓形 求積、論螺線、砂粒計算等.他巧妙地把歐克多索斯與人的窮竭法與德謨 克利特的原子論觀點結(jié)合起來通過嚴(yán)密的計算，解決了求幾何圖形的面積、體積、 曲線場，計算大量的計算問題.他突破了傳統(tǒng)的有限運(yùn)算，采用了無限

16、逼近的思 想，將需要求積的量分成許多微小單元， 再來用另一組容易計算總和的微小單元 來進(jìn)行比較，他的無窮小概念到 17世紀(jì)被牛頓作為微積分的基礎(chǔ).阿基米德的 杰出成就豐富了古代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其思想的深度和論述的嚴(yán)密性在當(dāng)時是極為罕見 的，因而被人們稱為“數(shù)學(xué)之神”，并與高斯、歐拉和牛頓并稱為19世紀(jì)以前的 “數(shù)學(xué)四杰”.由此，我們可以看到數(shù)學(xué)無窮思想發(fā)展之初， 古人已經(jīng)在極限領(lǐng)域開創(chuàng)了光 輝的起點.2. 2極限思想的發(fā)展時期14 世紀(jì)末，歐洲開始有了資本主義的萌芽，到 15世紀(jì)中期，封建制度的解 體，歐洲的生產(chǎn)力得到了迅速地發(fā)展，開始了“文藝復(fù)興”時代.由于生產(chǎn)力的 發(fā)展，也推動了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，

17、當(dāng)時，圍繞著力學(xué)為中心，在天文學(xué)、物理學(xué)、 地理學(xué)等方面都提出了大量的新問題，對這些問題的探究促進(jìn)了相關(guān)科學(xué)的發(fā) 展.如哥白尼“日心說”的誕生帶來了一場自然科學(xué)的革命；由于對天體力學(xué)的 研究，涌現(xiàn)出了一批科學(xué)家，如斯蒂文、伽利略、開普勒等，他們在數(shù)學(xué)方面也 做了大量的研究工作，為微積分的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，為極限思想和方法的發(fā)展同及運(yùn)用帶來了機(jī)遇.16世紀(jì)以后，歐洲處于資本主義的萌芽時期，生產(chǎn)力得到 了極大的發(fā)展.生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)中發(fā)生了大量的變量問題，如曲線切線問題、 最值問題、力學(xué)中速度問題、受力做功問題等，初等數(shù)學(xué)方法對此越來越無能為 力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想，新的數(shù)學(xué)方法，突破只研究常量的

18、傳統(tǒng)范圍，提供 能夠用以描述和研究運(yùn)動，變化過程的新工具，這極大的促進(jìn)了極限思想的發(fā)展.眾多數(shù)學(xué)家為解決上述問題做了不懈的努力，如笛卡爾、費(fèi)馬、巴羅、卡瓦 列里、沃利斯等，并取得了一定成果，尤其是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分的工作， 他們都以不同的角度運(yùn)用了極限的思想和方法， 雖然他們的工作過多的依賴于直 觀，缺乏嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，但在他們的努力和成就為極限思想的進(jìn)一步完善奠定 了堅實的基礎(chǔ).2. 3極限思想的完善時期18世紀(jì)微積分富有成果然而欠缺嚴(yán)密的基礎(chǔ)，因而受到了人們的懷疑和攻 擊.英國哲學(xué)家大主教貝克萊對微積分的攻擊 同最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”.貝克萊認(rèn)為，“它們既不是有限

19、量，也不是無限小，也不是零， 難道我們不可以把它們稱為消失了的量的鬼魂嗎？” 貝克萊的批評雖然出自維護(hù)神學(xué)的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的正因為當(dāng)時缺 乏嚴(yán)密的極限定義，微積分理論才受到嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)弄清極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身的需要，而且還有著認(rèn)識論上的重大意義.柯西的貢獻(xiàn)幾乎遍及所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域， 在他的7本專著和800篇論文中，可以 看出他在微積分學(xué)、級數(shù)理論、微分方程、復(fù)變函數(shù)論、數(shù)論、行列式論、群論 等方面都有研究和貢獻(xiàn).1821年至1826年他的無窮小計算在幾何中的應(yīng)用和無窮小分析講義 等3部專著給出了分析學(xué)的一系列基本理論的嚴(yán)格定義，從而形成

20、了現(xiàn)代微積分10體系，他是近代微積分的奠基著.在復(fù)變函數(shù)方面，柯西在關(guān)于定積分理論的報告中，從可交換積分順序的二重積分11著手，導(dǎo)出來積分于路徑無關(guān)的柯 西理論.他證明了函數(shù)f(z)在極點Z1的留數(shù)為：丄 f(z)d(z)(其中c為包含Z12 i、c的圓).并且他還證明了：如果曲線C包圍著函數(shù)f(z)的一些極點，貝U f(z)沿曲 線C的積分就是該函數(shù)在這些極點上留數(shù)之和的 2二i倍.在微積分方程理論中， 柯西探討了微分方程的存在性問題，證明了微分方程在不包含奇點的區(qū)域內(nèi)存在 著滿足給定條件的解這一事實，從而使微分方程的理論得以進(jìn)一步深化. 在研究 微分方程的解法時，他成功地提出了優(yōu)勢函數(shù)法，

21、柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴 德金、康托爾各自經(jīng)過獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實數(shù)理論，并于 19世紀(jì)70年代各自建立了完整的實數(shù)體系. 魏爾斯特拉斯的理論可歸納為遞增 有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割； 康拓爾提出用有理基 本序列的極限來定義無理數(shù).由此， 沿柯西開辟的道路，建立起來了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限 理論與實數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作.數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納 為實數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了 牢固可靠地基礎(chǔ)之上.3極限思想與微積分極限思想的發(fā)展與微積分的建立有著密不可分的聯(lián)系.16世紀(jì)的歐洲由于資本主義的興起，資本主義手工業(yè)

22、迅速發(fā)展，使得力學(xué)在科學(xué)中的地位越來越重 要.以力學(xué)為中心地一系列實際問題擺在可科學(xué)家面前，歸納起來有大致有以下四個方面：第一，由距離和時間的函數(shù)關(guān)系求物體在任意時刻的速度和加速度； 反之，由物體的加速度和時間的函數(shù)關(guān)系求速度和距離；第二，確定運(yùn)動物體在其軌道上任一點處的運(yùn)動方向，以及通過研究光線透鏡的途徑而提出求曲線的切 線問題；第三，求函數(shù)的最大值和最小值，這是普遍存在的實際問題；例如求行 星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離；第四，尋找曲線長度、曲線圍成的面積和體積、 物體的重心等的一般方法.從這四類問題的出現(xiàn)可以看出，以常對量為主要研究 對象的數(shù)學(xué)已經(jīng)不能滿足社會發(fā)展的需求，因而科學(xué)家門開始由對

23、以常量為主要 研究對象的研究轉(zhuǎn)移到以變量為主要研究對象的研究上來，自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段.3.1微積分的孕育微積分的誕生是數(shù)學(xué)史上的偉大事件然而它是經(jīng)過長期醞釀和孕育的產(chǎn) 物，其根源可以追溯到古希臘時代，例如歐多克索斯的窮竭法，阿基米得的圓、 球、拋物線圖形求積法.此外，我國古代數(shù)學(xué)家對此也做過有益探索，劉徽的割 圓術(shù)、祖恒之的截面原理都可以說明這一點.但是，這些工作由于時代限制，在 數(shù)學(xué)史上僅是一些孤立的技巧.17世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家圍繞著前述四個方面問題 做了大量研究工作，他們?yōu)槲⒎e分的孕育做出了重大貢獻(xiàn).求復(fù)雜面積、體積和線段長度的工作開始于得國科學(xué)家開普勒 （kepler .15

24、71-1630年）.1615年，開普勒發(fā)表酒桶的建立體幾何學(xué)，集中 研究了求旋轉(zhuǎn)體體積問題.其基本方法是-首先，把給定得幾何圖形分成無窮多 個無窮小得圖形，用某種特定的方法把這些圖形的面積或體積加起來，變得到給定的圖形的面積和體積；其次，幾何圖形是由同樣維數(shù)的不可分離量即無窮小面 積或體積組成的.雖然這些計算都是不嚴(yán)格的，但是他得出的結(jié)果卻是正確的.這 些簡單易行的方法，同今天常采用的“微元法”有著相似之處.開普勒是第一個在求積中運(yùn)用無窮小的數(shù)學(xué)家，這就是他對積分學(xué)的最大貢獻(xiàn).1635 年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦利里（1598-1647年）的用新方法促進(jìn)的連續(xù) 不可分幾何學(xué)的正式出版標(biāo)志著積分學(xué)的一

25、個重要進(jìn)展.他認(rèn)為，幾何圖形是由無數(shù)多個維為數(shù)較低的不可分量組成的，即面積是由條數(shù)不定的等距離平行線構(gòu)成的，體積是由等距離的平行平面構(gòu)成的， 他把這些元素分別稱之為面積和體 積的不可分量.這一方法所依據(jù)的一個重要原理就是“祖恒原理”13（國外數(shù)學(xué)家稱為卡瓦利里原理，實際上發(fā)展這一原理我國數(shù)學(xué)家祖沖之、祖恒之父子比卡 瓦利里要早1100多年）.他用他“重新發(fā)現(xiàn)”的這一原理證明：圓錐的體積是外12接圓柱體積的丄，拋物線弓形面積是外接矩形面積的 -.卡瓦利里不可分求和33原理，實際上就是后來定積分概念的雛形.同時，他還證明了：對于1到9的正n 1整數(shù)n ,有xndx =4 .在用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可

26、分幾何學(xué)一書中，還n +1有應(yīng)用微積分概念求極值的某些定理，第一個命題就包含著與羅爾定理14等價的 推斷.意大利物理學(xué)家伽利略對微積分的孕育也做了重大貢獻(xiàn).微積分概念形成于 切線、極值及運(yùn)動速度問題的處理.伽利略在兩種新科學(xué)的對話一書中，給 出了自由落體運(yùn)動距離和時間的關(guān)系式 s = -12 .他在處理迅速運(yùn)動問題時，證明 了在速度-時間曲線下的面積就是距離， 他把面積看成是由無窮多個不可分的單 位堆積而成的.在他的著作中，他描述了無窮大和無窮小的某些性質(zhì)，還求援出 了擺線一個拱尺面的面積和擺線切線的做法.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對微積分的孕育也有重要的影響.1629年，他首次獲得了求函數(shù)極值的法則，即

27、運(yùn)用上了微分學(xué)思想；用類似方法他還求出了平面曲線9y = f (x)的切線，拋物線體積的重心和拐點；他還用極限nlim 1m工:nn2 mn 4m1求出了拋物線n 12y= x的面積等.此外，英國數(shù)學(xué)家沃利斯(john wsillis .1616-1703年)和巴羅(Isaac barrow . 1630-1677年)微積分萌芽中也做了大量工作.1655年沃利斯在其名著無窮算術(shù)中運(yùn)用分析法和不可分原理，得到了一些更為廣泛有用的結(jié)果.他首次把圓錐曲線看作二次曲線，從而使得笛卡兒和卡瓦利里的方法得到系統(tǒng)化和1 n1推廣.同時他還把 xdx二推廣到n維分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)(除-1夕卜).匕入n +1綜上所述，

28、這些數(shù)學(xué)家的先驅(qū)性工作均為微積分的創(chuàng)立奠定了堅實基礎(chǔ). 為 微積分的創(chuàng)立積累了大量的資料，而這些堅實基礎(chǔ)和大量的資料，無一不是以極 限的思想為基石一步一步堆積起來的.3. 1牛頓與微積分牛頓12 (Isaac Newton, 16431727)，英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家.1643年出 生于英格蘭北部林肯郡的一個農(nóng)民家庭.為躲避鼠疫回鄉(xiāng)，兩年間他提出了“流數(shù)法”，發(fā)現(xiàn)萬有引力定律并得到了太陽光譜.牛頓發(fā)現(xiàn)微積分首先得助于其老 師巴羅，巴羅關(guān)于“微分三角形”的深刻思想給他影響極大；另外，費(fèi)馬的切線 方法和沃利斯的無窮算術(shù)也給了他很大啟發(fā).1666年，牛頓寫出第一篇關(guān)于微積分的論文流數(shù)短論，在該文中首先

29、提 出了流數(shù)概念.而于1669年完成到1711年才發(fā)表的運(yùn)用無窮多項方程的分析 學(xué)，則給出了一個求變量對另一個變量的瞬時變化率的普遍方法，并且證明了 面積可以求變化率的逆過程得到.1671年，牛頓完成了流數(shù)法與無窮級數(shù)(1736年出版)，進(jìn)一步對自己 的思想做了更廣泛更明確的說明， 系統(tǒng)的引進(jìn)了他所獨(dú)創(chuàng)的概念和記法. 他將變 量稱作“流”，將變量的變化率稱作“流數(shù)”.1676年牛頓完成了另一部著作求曲邊形的面積(1704年出版)，提出了“最初比”和“最后比”兩個新概念，并且明確的表現(xiàn)出將導(dǎo)數(shù)作為增量比的極 限思想.在牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程中，可以看到牛頓始終不渝地努力改進(jìn)、完 善自己的微積分

30、學(xué)說，經(jīng)過 20年左右的時間，他的微積分從以無窮小為基礎(chǔ)， 轉(zhuǎn)變?yōu)橐詷O限為基礎(chǔ).但由于時代或認(rèn)識的問題，牛頓始終沒能給出無窮小和極 限的嚴(yán)格定義，但瑕不掩瑜，他將自古以來求解無窮小問題的各種方法和特殊技 巧有機(jī)地統(tǒng)一起來.正是在這種意義下，我們說牛頓創(chuàng)立了微積分.3. 3萊布尼茨與微積分德國自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨生于萊比錫.在惠更斯的激勵和 引導(dǎo)下，萊布尼茨步入數(shù)學(xué)和物理之門.他深入研究了笛卡爾，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡，巴羅等人的數(shù)學(xué)論著并做了大量筆記在這段時間，他引進(jìn)了常量、變量， 和參考變量概念，從研究幾何問題入手完成了微積分的基本計算理論.他創(chuàng)作了微積分的符號dx、dy及積分符號，

31、并提出了函數(shù)的和、差、積、商的微分法則和在積分量下對參變量求微分的方法以及旋轉(zhuǎn)體體積公式.1684年，他在博學(xué)文摘上發(fā)表第一篇論文，文中提出了切線、極大值、極小值和拐點的方法.牛頓和萊布尼茨同是微積分的創(chuàng)始人一牛頓和萊布尼茨在創(chuàng)立微積分過程 中都采用了一些新的方法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都有創(chuàng)造性作用.他們都把求面積和 體積以及其他以往作為求和處理的問題都?xì)w于反微分， 從而為積分運(yùn)算開辟了一 個簡單途徑.然而，他們的創(chuàng)造性工作也有所不同.牛頓較多的注重于創(chuàng)立微積分的體系 和基本方法，從考慮變化率出發(fā)解決面積和體積問題. 而萊布尼茨更多地關(guān)心微 積分運(yùn)算公式的建立和推廣，從而建立了微積分法則和公式.綜上

32、所述，眾多數(shù)學(xué)家在解決問題時都不同程度地使用了無窮小，進(jìn)而是極限的思想和方法，但都沒有給出明確的定義，包括被譽(yù)為微積分的創(chuàng)始人牛頓和 萊布尼茲，他們在創(chuàng)立微積分的過程中也沒有給出無窮小和極限的數(shù)學(xué)定義.但這些絲毫也無損于這些科學(xué)偉人的歷史功績，因為任何科學(xué)理論的創(chuàng)立，都不是 某個數(shù)學(xué)家憑空臆想出來的，而是社會發(fā)展的需要.從認(rèn)識論的角度看，人的認(rèn)識規(guī)律是由具體到抽象，那么人類對極限理論的認(rèn)識和發(fā)展也不應(yīng)例外.3. 4微積分的進(jìn)一步發(fā)展繼牛頓和萊布尼茨之后，1718世紀(jì)初產(chǎn)生了不少微積分成果.這些成果 主要包括兩方面：一是對微積分的可靠性進(jìn)行研究，指出不足、做出修正；二是 增補(bǔ)具體成果.歐拉（Le

33、onhard Euler，17071783年），瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.在發(fā)展 微積分方面，他整理了萊布尼茨的支持者一一大陸派的微積分內(nèi)容，先后發(fā)表了無窮小分析應(yīng)論、微分學(xué)、積分學(xué)等著作.在這些著作與一系列論文中， 歐拉對微積分的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn).1、他對函數(shù)概念進(jìn)行了系統(tǒng)的探討， 定義了多元函數(shù)和超越函數(shù)概念，區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)，單值函數(shù)和多值函數(shù)； 2、他給出了用累次積分計算有界區(qū)域的二重積分方法；3、他研究了數(shù)列e;對于發(fā)散級數(shù)丄，他給出了下（1、I 1 + 卜極限的存在性，并把該極限記為I n 丿 J面的結(jié)果（歐拉常數(shù)丫）： Y =1 + 1+丄Inn=0.577215他把實函呵2

34、 n丿一數(shù)的許多結(jié)果都推廣到復(fù)數(shù)域，從而推動了復(fù)變函數(shù)的理論發(fā)展；5、通過對函數(shù)極值問題的研究，他解決了一般函數(shù)問題的極值問題，并成功的找到了極值函 數(shù)必須滿足的微分方程一一歐拉方程;6、歐拉通過對積分.1）= ,o xne dx以及E（m,n）= 此外，他在微分方程、幾何、數(shù)論以及力學(xué)、光學(xué)和天文學(xué)等 申）方面做出了極大的貢獻(xiàn)，難怪人們稱他是：“一個多才的科學(xué)家，一個方法的發(fā) 明家，一個熟練的巨匠”.拉格朗日（Joseph Louis lagrange,1736 1813年），法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家 和天文學(xué)家從1766年起，由歐拉推薦任柏林科學(xué)院院長長達(dá) 21年.在柏林科 學(xué)院工作期間，他對代數(shù)、數(shù)論、微分方程、變分法、力學(xué)、天文學(xué)等進(jìn)行了廣 泛深入的研究，并取得了豐碩成果.關(guān)于微積分他試圖徹底的拋棄模糊不清的無 窮小概念，在其名著解析函數(shù)論（1797年發(fā)表）中他曾經(jīng)嘗試把微分、無 窮小和極限與概念，從微積分中排除. 他用代數(shù)方法證明了泰勒展開式. 他對無 窮小級數(shù)15的收斂問題仍無法回避極限，因而他的“純代數(shù)的微分學(xué)”嘗試并未 成功但他對函數(shù)的抽象處理卻可以說是實變函數(shù)的起點此外，還給出了泰勒級數(shù)的余項公式，研究了二元函數(shù)極值，闡明了條件極值的理論，并研究了三重積分的變量代數(shù)式.結(jié)束語極限思想作為人類思想寶庫中的一種重要思想，它的發(fā)展歷程與數(shù)學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展有著密不可分的關(guān)系