眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系

1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方 圖的關系 用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征 (制作老師制作老師: 歐陽文豐歐陽文豐) 一一 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念 中位數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列， 把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中 間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù)中位數(shù) 眾數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多 的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組眾數(shù)、中位數(shù)、平均

2、數(shù)都是描述一組 數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角 度不同，其中以平均數(shù)的應用最為廣泛度不同，其中以平均數(shù)的應用最為廣泛. 平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù),即 x= )xxx( n 1 n21 1、 平均數(shù)平均數(shù) :由數(shù)據(jù)及頻率計算平均數(shù)由數(shù)據(jù)及頻率計算平均數(shù),即即 x = x1f1+x2f2+xkfk (其中其中fk是是xk的頻率。的頻率。) 2、加權、加權平均數(shù)平均數(shù) :由數(shù)據(jù)及其權數(shù)和樣本容量計算平均數(shù)由數(shù)據(jù)及其權數(shù)和樣本容量計算平均數(shù), 即即 x = (x1n1+x2n2+xknk)/n (其中其中nk是是xk的權數(shù)的權數(shù), n為樣本容量為樣本容量

3、, 且且n1+n2 +nk=n. ) 3、 已知已知xn的平均數(shù)為的平均數(shù)為x, 則則kxn+b的平均數(shù)為的平均數(shù)為kx+b。 平均數(shù)平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù),即即 二二 、 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 與頻率分布直方圖的關系與頻率分布直方圖的關系 (在只有頻率分布直方圖的情況下，也可以估計總體特征在只有頻率分布直方圖的情況下，也可以估計總體特征,而且直方圖比較直觀而且直方圖比較直觀 便于形象地進行分析。便于形象地進行分析。) 1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中， 就是最高矩形的中點的橫坐標。就是最高矩形的中點的橫坐標

4、。 當最高矩形的數(shù)據(jù)組為當最高矩形的數(shù)據(jù)組為a, b） 時時, 那那 么么(a+b)/2就是眾數(shù)。就是眾數(shù)。 頻率頻率 組距組距 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 o 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t) 例題分析:月均用水量的眾數(shù)是月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：如圖所示：(2+2.5)/2=2.25 當最高矩形的數(shù)據(jù)組為當最高矩形的數(shù)據(jù)組為a, b） 時時, 設中位設中位 數(shù)為數(shù)為(a+x)，根據(jù)中位數(shù)的定義得知，根據(jù)中位數(shù)的定義得知， 中位中位 數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為0.5， 列方程列方程 得：得： 當最高

5、矩形的數(shù)據(jù)組之當最高矩形的數(shù)據(jù)組之前所有小矩形的面 積之和為fm；（頻率直方圖的面積計算，即組距乘以頻率頻率直方圖的面積計算，即組距乘以頻率/組距。）組距。） x*最高矩形的最高矩形的(頻率頻率/組距組距)+ fm=0.5 求解x， 那么a+x即為中位數(shù)。即為中位數(shù)。 思考題：如何從頻率分布直方圖中估計思考題：如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)中位數(shù)？ 中位數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為中位數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為0.5 02的小矩形面積之和為： 0.5(0.08+0.16+0.30+0.44)=0.49 0.20 0.40 0.10 0 0.5 1 1.522.53 3.5 4 4.5 0.50

6、 0.30 頻率頻率/組距組距 月均用水量月均用水量 /t 0.08 0.16 0.44 0.50.490.010.01/0.5=0.02 如圖在直線t2.02之前所有小矩形的面積為0.5 所以該樣本的中位數(shù)為2.02 練習練習.（廣東（廣東11變式題變式題1）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn) 某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查 了了20位工人某天生位工人某天生 產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為45,55 55,65 , 65,75 , 75,8585,95 ， ， 分布直方圖如圖分布直方圖如圖3，則這，則這20名工人中一天生產(chǎn)名工人

7、中一天生產(chǎn) 的中位的中位 數(shù)數(shù) . 該產(chǎn)品該產(chǎn)品 數(shù)量在數(shù)量在 由此得到頻率由此得到頻率 3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心重心”. 是直方圖的平衡點是直方圖的平衡點. n 個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由 公式公式: )xxx( n 1 n21 x= 假設每組數(shù)據(jù)分別為假設每組數(shù)據(jù)分別為a1, b1）、）、 a2, b2）、）、 ak, bk）時）時, 且每組數(shù)據(jù)相應的且每組數(shù)據(jù)相應的 頻率分別為頻率分別為f1、 f2 、 fk;那么樣本的平那么樣本的平 均數(shù)均數(shù)(或總體的數(shù)學期望或總體的數(shù)學期望)由下列公式計算即由下列公式計算即 可?？伞?x =( a1+b

8、1)/2* f1+ (a2+b2)/2* f2+ (ak+bk)/2* fk (其中每組數(shù)據(jù)的頻率還可以由頻率直方圖的面積計算而得，即組距乘以頻率其中每組數(shù)據(jù)的頻率還可以由頻率直方圖的面積計算而得，即組距乘以頻率/組距。）組距。） 練習練習.（廣東（廣東11變式題變式題2）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn) 某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查 了了20位工人某天生位工人某天生 產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為45,55 55,65 , 65,75 , 75,8585,95 ， ， 分布直方圖如圖分布直方圖如圖3，則這，則這20名工人中一

9、天生產(chǎn)名工人中一天生產(chǎn) 的平均的平均 數(shù)數(shù) . 該產(chǎn)品該產(chǎn)品 數(shù)量在數(shù)量在 由此得到頻率由此得到頻率 練習：對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：練習：對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下： 壽命壽命 個數(shù)個數(shù) 100200200300300400400500500600 20 30 80 40 30 （1）列出頻率分布表；）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖；）畫出頻率分布直方圖； （3）估計電子元件壽命在）估計電子元件壽命在100h400h以內(nèi)的概率；以內(nèi)的概率； （4）估計電子元件壽命在）估計電子元件壽命在400h以上的概率；以上的概率； （5）估計總體的數(shù)學期望）估計總體的

10、數(shù)學期望. 100200 200300 300400 400500 500600 壽命壽命 合計合計 頻率頻率頻數(shù)頻數(shù)累積頻率累積頻率 20 30 80 40 30 200 0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1 0.10 0.25 0.65 0.85 1 100200300400500600 ）壽命（壽命（h h 頻率頻率/組距組距 0 .65. 0:400100 65. 0: 4001003 的的概概率率為為元元件件壽壽命命在在 ，所所以以我我們們估估計計電電子子為為的的電電子子元元件件出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率 出出，壽壽命命在在）由由頻頻率率分分布布表表可可以以看看（ hh h

11、 .:h .: h 350400 350150200 4004 以以上上的的概概率率為為估估計計電電子子元元件件壽壽命命在在 ，故故我我們們元元件件出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率為為 以以上上的的電電子子命命在在由由頻頻率率分分布布表表可可知知，壽壽）（ . . . . . . 365 3655829014015150 2 600500 200 2 500400 400 2 400300 150 2 300200 100 2 200100 5 期期望望值值（總總體體均均值值）為為 子子元元件件的的壽壽命命的的我我們們估估計計總總體體生生產(chǎn)產(chǎn)的的電電 樣樣本本的的期期望望值值為為： . . ).( 思考：

12、思考：從樣本數(shù)據(jù)可知，所求得該樣本的眾從樣本數(shù)據(jù)可知，所求得該樣本的眾 數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，這與我們從樣本頻率數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，這與我們從樣本頻率 分布直方圖得出的結論有偏差，你能解釋一分布直方圖得出的結論有偏差，你能解釋一 下原因嗎？下原因嗎？ 頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得 到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組 有關有關. . 注注: :在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我 們可以按上述方法估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均們可以按上述方法估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均 數(shù)，并由此估計總體特

13、征數(shù)，并由此估計總體特征. . 三、用頻率分布直方圖估計總體數(shù)字的特征 的利弊：利弊： 總體的各種數(shù)值特征都可以由兩種途徑來估計，總體的各種數(shù)值特征都可以由兩種途徑來估計， 直接利用樣本數(shù)據(jù)或由頻率分布直方圖來估計。直接利用樣本數(shù)據(jù)或由頻率分布直方圖來估計。 兩種方法各有利弊；比如：兩種方法各有利弊；比如： 1、通過頻率分布直方圖的估計精度低；、通過頻率分布直方圖的估計精度低； 2 2、通過頻率分布直方圖的估計結果與數(shù)據(jù)分組、通過頻率分布直方圖的估計結果與數(shù)據(jù)分組 有關；有關； 3 3、在不能得到樣本數(shù)據(jù)，只能得到頻率分布直、在不能得到樣本數(shù)據(jù)，只能得到頻率分布直 方圖的情況下，也可以估計總體

14、特征方圖的情況下，也可以估計總體特征, ,而且直方而且直方 圖比較直觀便于形象地進行分析。圖比較直觀便于形象地進行分析。 （1 1）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點， （2 2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受 少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點， （3 3）由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關，所以任）由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關，所以任 何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這 是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。是眾

15、數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。 1 1、在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)、在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù) 如下：如下： 9.49.4，8.48.4，9.49.4，9.99.9，9.69.6，9.49.4，9.79.7，去掉一個最高分，去掉一個最高分 和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 _； 2 2、已知數(shù)據(jù)、已知數(shù)據(jù) 的平均數(shù)是的平均數(shù)是3 3，方差為，方差為2 2，求，求 數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) 的平均數(shù)、方差、標準差？的平均數(shù)、方差、標準差？ 123 ,a a a 123 2 ,2,2aaa 9.5，0.016 解：平均數(shù)是解：平均數(shù)是6，方差是，方差是8，標準差是，標準差是 . 去掉最高分和最低分合理嗎？ 如果求如果求 的平均數(shù)、方差、的平均數(shù)、方差、 標準差？標準差？已知已知ai的平均數(shù)的平均數(shù)x