天津理工大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計同步練習冊答案詳解

1、第一章隨機變量習題一 1、寫出下列隨機試驗的樣本空間 (1) 同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之和 =3,4,18 (2) 生產產品直到有10件正品為止，記錄生產產品的總件數(shù) = 10 ,11 , (3) 對某工廠出廠的產品進行檢驗，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如 連續(xù)查出2個次品就停止，或檢查4個產品就停止檢查，記錄檢查的結果。用“ 0”表 示次品，用“1”表示正品。 = 00 , 100,0100,0101,0110,1100,1010,1011 , 0111 ,1101 ,1110,1111 (4) 在單位圓內任意取一點，記錄它的坐標 2 2 =(x,y)|x y 1 (5

2、) 將一尺長的木棍折成三段，觀察各段的長度 = (x,y,z)|x0, y 0,z0, x y z 1 其中x , y ,z分別表示第一、二、三段的長度 (6 ) .10只產品中有3只次品，每次從其中取一只(取后不放回)，直到將3只次 品都取出，寫出抽取次數(shù)的基本空間U = “在(6 )中，改寫有放回抽取”寫出抽取次數(shù)的基本空間U = 解：(1 ) U = e3 ， e4 ,e10。 其中ei表示帥取i次”的事件。i = 3、4、10 (2 ) U = e3 , e4， 其中ei表示帥取i次”的事件。i = 3、4、 2、互不相容事件與對立事件的區(qū)別何在？說出下列各對事件的關系 |x a|與|

3、x a |互不相容(2)x 20與x 20對立事件 x 20與x 18互不相容x 20與x 22相容事件 (5) 20個產品全是合格品與20個產品中只有一個廢品互不相容 (6) 20個產品全是合格品與20個產品中至少有一個廢品對立事件 解：互不相容：AB；對立事件：(1)AB 且A B 3、設A,B,C為三事件，用A,B,C的運算關系表示下列各事件 (1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生-ABC(2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生-ABC (3) A,B,C中至少有一個發(fā)生-ABC (4)A,B,C都發(fā)生 -ABC (5)A,B,C都不發(fā)生-ABC(6)A,B,C中不多于一個發(fā)生-AB AC BC (7) A,

4、B,C中不多于兩個發(fā)生-A B C (8) A,B,C中至少有兩個發(fā)生-AB AC BC 4、 盒內裝有10個球，分別編有1- 10的號碼，現(xiàn)從中任取一球，設事件 A表示“取 到的球的號碼為偶數(shù)”，事件B表示“取到的球的號碼為奇數(shù)”，事件C表示“取到的球 的號碼小于5”，試說明下列運算分別表示什么事件. (1)A B必然事件 AB 不可能事件 C 取到的球的號碼不小于5 (4)a C 1或2或3或4或6或8或10 AC 2或4 (6)AC 5或7或9 B C 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或10 5、指出下列命題中哪些成立，哪些不成立 (1) A B AB B 成立 (2

5、) ABA B 不成立 (3) A B C ABC 不成立 (4)(AB)(AB)成立 若A B，則A AB成立 若AB，且C A，則BC 成立 若A B，則B A 成立 (8)若B A，則A B A成立 7、設一個工人生產了四個零件，A表示事件他生產的第i個零件是正 品”(i 1,2,3,4)，用A!,A2,A3,A4的運算關系表達下列事件 (1) 沒有一個產品是次品；(1) BiAA2A3A4 (2) 至少有一個產品是次品；(2) B2 AiA2A3A4A1A2A3A4 (3) 只有一個產品是次品；(3) B3 AAAA AAAA AAAA AAAA (4) 至少有三個產品不是次品 4)

6、B4AA2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4 (3) 8. 設E、F、G是三個隨機事件，試利用事件的運算性質化簡下列各式 (1) E F 解：(1)原式 原式 原式 9、設A, B是兩事件且 P(A) 0.6, P(B) 0.7, 問(1)在什么條件下P(AB )取到最大 值，最大值是多少? (2)在什么條件下 P(AB )取到最小值，最小值是多少? 解：(1)A B,P(AB) 0.6(2) A B S, P(AB) 0.3 10.設事件 A，B， C分別表示開關a，b，c閉合，D表示燈亮， Word資料 則可用事件A, B, C表示：D = AB c

7、；d = A B C 1 11、設 A,B,C是三事件，且 P(A) P(B) P(C) ,P(AB) 4 P(BC) 1 QP(AC)-, 8 求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率 解：P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) AB ABC 0 P(ABC) P(AB) 0 P(ABC) 0 12. (1)設事件A , B的概率分別為 1 1 1 與 1，且 A 與 B 互斥，則 P(AB)= _5_. (2)一個盒中有8只紅球，3只白球，9只藍球 ，如果隨機地無放回地摸 3只球， 14 則取到的3只都是紅球的事件的概率等于 285 一袋中

8、有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 從每只袋中各摸一只球，則摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率 13 等于_24_。 .設A1 , A2 , A3是隨機試驗E的三個相互獨立的事件， 已知 P(A1) =, P(A2) = ，P(A3)=，則 A1 , A2 , A3 至少有一個 發(fā)生的概率是 1 (1)(1)(1 ) (5) . 一個盒中有8只紅球，3只白球，9只藍球，如果隨機地無放回地摸3只球, 34 則摸到的沒有一只是白球的事件的概率等于57 13、在1500個產品中有400個次品，1100個正品，任取200個，求 (1)恰有90個次品的概率； (2)至少有2

9、個次品的概率. c90 c110 P(1)C400 C1100 P(l丿q200 解 :C1500 2001199 C1100C400 C1100 P(2)12002000 C1500C1500 14、兩射手同時射擊同一目標， 甲擊中的概率為 0.9，乙擊中的概率為0.8，兩射手 同時擊中的概率為0.72,二人各擊中一槍，只要有一人擊中即認為“中”的, 求“中”的概率 解:A “甲中” B “乙中” P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.9 0.8 0.720.98 15、8封信隨機地投入8個信箱(有的信箱可能沒有信)，問每個信箱恰有一封信的概 率是多少? 8! 解： P(A)帀

10、8 16、房間里有4個人，問至少有兩個人的生日在同一個月的概率是多少? 解：設所求事件A A “至少有兩個人的生日在同一個月的” “任何兩個人的生日都不在同一個月” P(A) A2 124 P(A) 1 P(A) 0.427 17、將3個球隨機地放入 4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別為 1,2,3的概 率各是多少? 解：3個球放入4個杯子中去共有43種放法，設Bi表示杯子中球的最大個數(shù)為n的 事件(n 1,2,3),B1表示每只杯子最多只能放一個球，共有A種方法，故 Word資料 P(BJ A33 448；B2表示有一只杯子中放2個球，先在3個球中任取2只放入4個杯 子中的任意一只，共有

11、c3 4種方法，剩下的一個球可以放入剩下的3只杯子中的任 一只， 有3種放法，故B2包含的基本事件數(shù)為C； 4 336，于是 P(B2) 369 T ; B3表示有一只杯子中放3個球，共有4種方法，故 4316 P(B3) 41 4316 . 18.設 一個質點等可能地落在xoy平面上的三角形域D內 （其中D是x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所圍成的），設事件A為: y 2 、 1 D 1 質點落在直線y = 1的下側，求P（A）。L P(A) D12(12)3 D2 2 24 19、(1)已知 P(A) 0.3, P(B) 0.4, P(AB) 0.5，求 P(B | A B

12、) (2)已知 P(A) 111 -,P(B | A) -,P(A|B)-，求 P(A B) 432 1 解：(1)P(B|A B) 0.25P(A B) 1 20、一批產品共100個，其中有次品5個，每次從中任取一個，取后不放回 設A（ i =1，2，3，）表示第i次抽到的是次品，求： PA2A , P 兀|A 色 99199 P AA 99 PAA 94 99 ，PAAA 98， P A3 A| A2 94 98 21、市場上供應的燈泡中，甲廠產品占 70%乙廠占30%甲廠產品的合格率為95% 乙廠的合格率是80%若用事件A、A分別表示甲、乙兩廠產品，B表示合格品。 試寫出有關事件的概率.

13、 (1) P(A) 70% P(A) 30% P(B | A) 95% (6) P(B|A) 20% P(B | A) 80% P(B | A) 5% 22、 袋中有10個球，9個是白球，1個是紅球, 10個人依次從袋中各取一球，每人 取一球后，不再放回袋中，問第一人，第二人 ，最后一人取得紅球的概 Word資料 率各是多少? 解：設Ai第i個人取得紅球的事件（i 1,2, ,10)， 則A為第i個人取得白球的事件, 1 顯然 P(A)希，宀 A1A2 AA AA A) 9 p（A2）P（AA2）叱內兀 丄 10 9!1 同理 Pg。)PSA?A9A10)石扁 23、 某種動物由出生活到20年

14、以上的概率為0.8, 活25年以上的概率為0.4，問現(xiàn) 年20歲的這種動物活支25歲以上的概率是多少? 解：設A為由出生活到20歲的事件，B為由出生活到25歲的事件 則所求事件的概率為P (B | A) P(AB ) P(A) AB B P(B | A) P (AB ) P(A) P (B)0.41 p(a) 08 2 24、 十個考簽中四個難的，三人參加抽簽，(不放回)甲先、乙次、丙最后，記事件 A,B,C分別表示甲、乙、丙各抽到難簽，求 P(A), P(AB ), P (Ab ), P(ABC ). 42-41 解：P(A) , P(AB) P(AB)P(ABC) 10151530 25.

15、 設 0 P(C) 1，試證：對于兩個互不相容的事件A，B,恒有 P ( A B ) C = PA C + PB C P AC BC P C P AC P BC P C P AC P BC 26、設事件A與B互斥，且0 P(B) 1，證明 P(A| B ) P(A) 1 P(B) 證明：由于AB ，故A A(B B) AB P(A|B) P(AB) P(B) P(A) 1 P(B) (P(B) 1) 27、一批零件為100個，次品率為10%每次從中任取一個，不再放回，求第三次 能取得正品的概率是多少？ 解：設Ai為第 i次取到正品，(i 1,2,3)由于次品率為10%,故100個零件約有90個

16、正品，次 品10個，設A為第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，則由一一 般乘法公式得 P(A)P(AA2A) p(a)p(A2 |A)P(A IAA2) 10990 100 99 98 0.0083 28、設每100個男人中有5個色盲者，而每10000個女人中有25個色盲者，今在 3000 個男人和2000個女人中任意抽查一人，求這個人是色盲者的概率 解： A :“抽到的一人為男人”；B :抽到的一人為色盲者” 3 51 則 P A -,P BA 5 100 20 2r r 25 1 P A -,P B A 5 10000 400 P B P APB A PAP B A

17、 3 1 2 1 31 5 20 5400 1000 29、設有甲、乙兩袋，甲袋裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球，M只 紅 球，今從甲袋中任取一只球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球，問取到白 球的概率是多少？ 解：設H表示從甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件， H2表示從甲袋中任取一只紅球放入乙袋中的事件， B表示從甲袋中任取一只球放入乙袋后再從乙袋中取一只白球的事件, 所求事件B BH 1 BH 2 由全概率公式： P(B) P(HJP(B|H1)PR) P(B|H2) 易知：P(HJ -, P(H2) n mn m P(B|H2) 于是P(B) nm NM1 nm NM1 P(

18、B|H1) 30、某工廠由甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，它們的產品占全廠產品的比例 分別為25%,35%,40%并且它們的廢品率分別是 5%,4%,2% (1) 今從該廠產品中任取一件問是廢品的概率是多少？ (2) 如果已知取出的一件產品是廢品，問它最大可能是哪個車間生產的? “產品系甲車間生產”， B3“產品系丙車間生產” P(B3)0.4 0.04P(A| B3) 0.02 解：設A “所取出的一件產品是廢品”，Bi B2“產品系乙車間生產”， 已知 P(B1) 0.25P(B2) 0.35 P(A|B1) 0.05P(A|B2) (1) 由全概率公式： 3 P(A)P(A|Bi)P(

19、Bi) 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345 i 1 由貝葉斯公式: P(B1 |A) P(A|B1)P(BJ 0.25 0.05 0.3623 P(A) 0.0345 P(B2 |A) P(A|B2)P(B2) 0.35 0.04 0.4058 P(A) 0.0345 P(B3|A) P(A|B3)P(B3) 0.02 0.4 0.2319 P(A) 0.0345 所以，所取出的一件廢品最大可能是乙車間生產的 31、如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點。假設每一繼電器接點閉合的概率為p，且設 各繼電器接點閉合與否相互獨立，求 L至R是通路的概率. 解：設A為

20、第i只繼電器閉合的事件，B為有電流從L流向R的事件, 已知 P(Ai)p (n 1,2, 5) 顯然 B Ai A2 A A5 Ai A3 A5 A2 A A4 故 P(B) P(AiA2)P(A4A5)P(AiAsA5)PS2A3A4) P(AiA4AzA5) P(AiA2AaA5)P(AiA4A2Aa) P(A4A5AiAs) P(A2A5AaA4) P( Ai A3 A5 A2 A4) P( Ai A4 A2 A5 A3) P( A1A4 A2 A5 A3) P ( A2 A5 A1A3A4) P(AA4A3AsA2) P( A1A2 A3 A4 A5 ) 2p2 2p3 5p4 2p5

21、 32、在18盒同類電子元件中有5盒是甲廠生產的，7盒是乙廠生產的，4盒是丙廠 生產的，其余是丁廠生產的，該四廠的產品合格品率依次為0.8, 0.7, 0.6, 0.5， 現(xiàn)任意從某一盒中任取一個元件，經測試發(fā)現(xiàn)是不合格品，試問該盒產品屬于 哪一個廠生產的可能性最大 ？ 解:Ai ( i = 1,2,3,4): “所取一盒產品屬于甲，乙，丙，丁廠生產” B : a 所取一 個元 件 為不合 格品” 則 P A 5 P A 2 Z P A ，P A - 2 18 18 18 18 P BA 0.2， P B A2 0.3， P B A 0.4， P B A40.5 由 全 概 率 4 57 公式

22、： P B P A P B A i 1 180 由 貝 葉 斯 公式： PAiB 57，PAB |1,PA3B 珈小 10 57575757 故該盒產品由乙廠生產的可能性最大 33、甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.7。 飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6。若 三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率. 解：設Ai (n 0,1,2,3)表示“恰有i人擊中飛機”，B為飛機被擊落， P(A1)0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36 同理 P(A2)0.40.50.30.60.50.70.

23、40.50.70.41 Word資料 P(A3)0.4 0.5 0.70.14 易知 P(B |Aj) 0, P(B|AJ 0.2, P(B | A2) 0.6, P(B|A3) 1 由全概率公式 P(B) P(B|A0)P(A0)PWIAJPW) P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(A3) 0 0.09 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14 0.458 34、袋中裝有N 1只白球，一只紅球，每次從袋中隨機地摸出一球，并換入一只白 球，這樣繼續(xù)摸下去，問第k次摸球時摸到白球的概率是多少？ 解：設事件 A表示第k次摸到白球，則事件 A表示第k次摸到紅球。 因為袋中只有1只紅球，

24、而每次摸出一球總換入一只白球，故為了第k次摸到紅球，前 k-1 次_ 一定不能摸到紅球，因此A等價于下列事件：在前k-1次摸球時都摸到白球而第 k次摸出紅球， 所以 p(A) k 1 (N 1)1 Nk 1 N 因此 P(A) 1 P(A) 1 (1 丄)k 1 N N 第2章一維隨機變量 習題2 4 Word資料 .填空題: 1.設離 散型隨機變量 的分布 函數(shù)是F 則用F（X）表示概 2.設隨 P 0 X0 解：F X0 F X0 機變量 的分布函 1 1= 解: P 0 0，則C的值應是e K 解: P k 1C - K 0 k 0k! K 1 C1 Ce 1 C e k o k! 5設

25、隨機變量 的分布律是 P k k A 1 , k 1,2,3,4 則 P 15 =0.8。 2 2 4 1 1 1 1 解: P k A k 1 2 4 8 16 15 A 16 令 A 1 得 A 16 15 1 5 P p 1 p 2 2 2 6若 疋 義分 布 函數(shù) F x P x 布函數(shù)的充要條件是 16 16 1 1 0.8 15 2 4 則函數(shù)F(x)是某一隨機變量 的分 F ( x )單調不減， 函數(shù)F (x)右連續(xù)，且F (_) = 0， F ( +) = 1 7. 隨機變量 N(a, 2)，記 g( ) P a ， 則隨著的增大，g()之值保持不變 8. 設 N ( 1 ，

26、1 )，記 的概率密度為(x )，分布函數(shù)為F ( x )，則 P 1 P 10.5。 9、分別用隨機變量表示下列事件 (1) 觀察某電話總機每分鐘內收到的呼喚次數(shù)，試用隨機變量表示事件 “收到呼喚3次” X3“收到呼喚次數(shù)不多于6次” X 6 X k k 0 (2) 抽查一批產品，任取一件檢查其長度，試用隨機變量表示事件 “長度等于 10cm ” = X 10； “長度在 10cm 到 10.1cm 之間” =10 X 10.1_ (3) 檢查產品5件，設A為至少有一件次品，B為次品不少于兩件，試用隨機變量表示事件 大號碼，則X的分布律為： X 3 4 5 Pk 1 3 6 10 10 10

27、 10、一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取 A,B,B,A B,AB . 解：A 沒有次品 X 0 B 次品少于兩件 X 2 B 次品不少于兩件 X 2 A B至少有一件次品 X 1 AB 次品數(shù)不到兩件 X 2 3只，以x表示取出的3只球中的最 .計算題: Word資料 Px 1 P(AA2) P(A)P(A2)0.6 0.4. 3、（1）設隨機變量X的分布律為: PX k a , k 0,1,2, k! 0為常數(shù)，試確定常數(shù) a. 解：因 PX k k 0 k a1 k 0 k! ae 1, 故 a e a 設隨機變量X的分布律為：PX k , k 1,2, N ,N

28、，試確定常數(shù)a . PX k a丄aN丄1 k 1NN 分別寫出X, X 2的分布律 X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Pk 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 2、設在15只同類型的零件中有 2只次品，在其中取 3次，每次任取一只，作不放回抽樣，以 X 表示取出次品的只數(shù)求X的分布律； X 0 1 2 Pk 22 12 1 35 35 35 k 4、飛機上載有3枚對空導彈，若每枚導彈命中率為0.6,發(fā)射一枚導彈如果擊中敵機則停止, 如果未擊中則再發(fā)射第二枚，再未擊中再發(fā)射第三枚，求發(fā)射導彈數(shù)的分布

29、律 X 1 2 3 Pk 0.6 0.24 0.16 5、汽車需要通過有 4盞紅綠信號燈的道路才能到達目的地。設汽車在每盞紅綠燈前通過 （即遇到 綠燈）的概率都是0.6；停止前進（即遇到紅燈）的概率為0.4,求汽車首次停止前進（即遇到紅燈， 或到達目的地）時，已通過的信號燈的分布律. 解：汽車在停止前進時已通過的信號燈數(shù)是一個隨機變量，用x表示x可取值為0,1,2,3,4， 又設A的表示事件：汽車將通過時第i盞信號燈開綠燈，n 1,2,3,4 由題意 P（An） 0.6, P（An） 0.4_ x 0表示已通過的信號燈數(shù)是0（即第一盞信號燈是紅燈）,故Px 0P（A10.4 x 1表示已通過的

30、 信號燈數(shù)是1（即第一盞信號 燈是綠燈，而第二盞是紅燈），故 2 同理 Px 2 P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)0.60.4 Px 3 P(AAA3A4)P(A)P(A)P(A3)P(a0 0.63 0.4 Px 4 P(AiA3A4) P(AJP(A2)P(A3)P(A4)0.64 0.6k0.4, k 0,1,2,3 于是x的分布律為Px k4 0.64 , k 4 即 x 0 1 2 3 4 Pk 0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296 6、自動生產線調整以后出現(xiàn)廢品的機率為 次調整之間生產的合格品數(shù)的分布律 p，生產過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進行調整

31、，求兩 x 0 1 2 k Pk P (1 P)P (1 P)2P (1 P)kp 7、 一大樓內裝有5個同類型的供水設備。調查表明在任一時刻t每個設備被使用的概率為 0.1, 問在同一時刻： 223 (1) 恰有兩個設備被使用的概率是多少？Px 2C5 (0.1) (0.9)0.0729 (2) 至少有3個設備被使用的概率是多少？ Px 3 C；(0.1)3(0.9)2 C；(0.1)40.9 c5(0.1)5(0.9)0.00856 (3) 至多有3個設備被使用的概率是多少？ Px 3)1 Px 31 C：(0.1)40.9 C；(0.1)50.99954 (4) 至少有1個設備被使用的概

32、率是多少？ Px 11 C0(0.1)0(0.9)50.40951 8、 設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號， (1) 進行了 5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率. (2) 進行7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率. 3324455 解：(1)P5 次獨立試驗，指示燈發(fā)出信號= C5 (0.3) (0.7)C5(0.3) 0.7 C5(0.3)0.163 (2) P 7次獨立試驗，指示燈發(fā)出信號 00716225 1 C7(0.3) (0.7) C70.3(0.6) C7 (0.3) (0.7)0.353 9、設某批電子管正品率為 -，次品率為 丄

33、，現(xiàn)對這批電子管進行測試，只要測得一個正品，管 44 Word資料 子就不再繼續(xù)測試，試求測試次數(shù)的分布律 解：解：設測試次數(shù)為X,則隨機變量x的可能取值為：1,2,3,，當x k時，相當于前k 1 次測得的都是次品管子，而第k次測得的是正品管子的事件， 1 3 PX k (；)k1；，(k 1,2,) 44 10、每次射擊命中率為0.2，必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的命中率， (1)不小于0.9 ？(2)不小于0.99 ？ 解：已知n次獨立射擊中至少擊中一次的概率為P 1 (1 0.2)n 1 (0.8)n ； (1)要使P 1 (0.8)n 0.9，必須n lg 0.1 lg

34、 0.8 10.3，即射擊次數(shù)必須不小于n 11次. (2)要使P 1 (0.8)n 0.99，必須n lg 0.01 lg0.8 20.64，即射擊次數(shù)必須不小于 n 21次 11、電話站為 300 個用戶服務，在一小時內每- 電話用戶使用電話的概率等于0.01， 試用泊松 疋理近似計算，在一小時內有 4個用戶使用電話的概率. 解：由二 二項分布得 Px k k k n k Cn p qPx 4 44296 C300(0.01) (0.99) 現(xiàn) 用泊 松定理 近似計算，n 300, p 0.01np 3, ,故 、34e 3 Px 4“ -0.168 4! 12、某一繁忙的汽車站，每天有大

35、量汽車通過，設每輛汽車在一天的某段時間內出事故的概率為 0.0001，在某天的該段時間內有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于 2的概率是多少? (利用泊松定理計算) 解：設X為發(fā)生事故的次數(shù)，則Px k G爲(0.0001)k(0.9999)1000 k 用泊松定理計算，np 1000 0.0001 0.1 Px 2 1 Px 0 Px 1 0.1 1 e 10.1e 0/1 0.00468 13設X服從泊松分布，且已知 PX 1 PX 2，求 PX 4 解：Px k e i-U D/ xz 1 Px 得e 2 e k k! ，由 Px 2，得 1! 2! 2, 0(舍去 0,因為 0)

36、 Px 4、24e2 0.0903 44! k 14、.求離散型隨機變量 的分布律為P k b ，( k = 1，2，)，的 充分必要條件。 解：由1 P 在區(qū)間(2, 3 )內取值的概率是 試確定常數(shù)A , B o 解: 由條件 P 2 3 2p1 3 2 即 Ax B dx 2 Ax B dx 2 1 3 又 由 x dx 1 即 Ax 1 B 0 1 解 2 得 A = ，B = 4A 2B 1 3 在區(qū)間(1 , 2 )內取值的概率的 2 1 知有一 A B 0 2 B dx 4A 2B 1 1 6 且 P k 1bb k b 1 b k 1 b k 1 k 1 k 0 1 1 b1

37、且b 0 1 b1 b 15設 服從參數(shù) =1 的指數(shù)分布，求方 程 2 4x + 4 x + + 2 = 0 無實根的概率 。 解： 16 2 16( 2) 0 知 1 2 故 P 2 x 12e x 0 dx 1 e 2 Ax B 1 x 3 16.已 知連續(xù) 型 隨機變量的 概 率密度 為 (x) 且 0 Word資料 17、設有函數(shù) F(x) sin x , 0 x 0 ,其它 試說明F (x)能否是某隨機變量的分布函數(shù) 解:不能 3亠 因為當 x時， (x ) = sin x 0 2 0, (x ) = sin x 不是非負。 18、設某人計算一連續(xù)型隨機變量x的分布函數(shù)為： 0 ,

38、 x 0 sinx, 0 x 4 F (x)試冋他的計算結果是否正確？答：不正確 x , x 1 4 1 , x 1 0,a中任意 19、在區(qū)間0, a上任意投擲一個質點，以X表示這個質點的坐標，這個質點落在 小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求 x的分布函數(shù). 解: P 0 x = cx ； F x 20、 設連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)為 0) F(x) A Be 求常數(shù)A,B P X 2, PX 3 (3)概率密度 f(x) f(x) 21、 某種型號的電子管壽命 X(以小時計)，具有如下概率密度: f(x) 1000 ,x x 0,其它 1000 現(xiàn)有一大批此種電子管(設各電

39、子管損壞與否相互獨立 ),任取5 只，問其中至少有 2只壽命大于1500小時的概率是多少？并求 F(x). 解：設使用壽命為 x小時 Px 150C1 Px 1500 1 1 Px 1500 ，所求事件的概率: 3 15001000 1000 x2 dx 1(1000) 1500 1( ) 1000 P C；P(x 1500)2 P(x 1500)3 C；P(x 1500)3P(x 1500)2 C；P(x 1500)4P(x 1500) c5P(x 1500)5 10(I)2 再求F(x) /1、32、31、22、4 125 (3)10 (3)(3)5 (3)3(3) xx 1000 100

40、0 f (x)dx廠 dx 1- 1000 x2x 232 243 F(x) 1 1000 ,x 1000 x 0,其它 22、設隨機變量 X具有對稱的概率密度 f (x)，即f (x)為偶函數(shù), f( x) f (x)，證明：對任 意 a 0 有: (1)F( a) F(a) 1 a 0 f (x)dx ； P| X | a 21 F(a) P| a 2F(a)1 證明: (1)F( a) a f (x) dx，令 x F( a) a f(x)dx a f(x)d( x) f (x)dx f(x)dx a f (x)dx 1 F(a) 1 a 又因為：一 2 1 JF(a) (1F(a) f

41、 (x)dx - 0 2 1 a f (x)dx 2 a 1 1 2 2F(a) 1 1 -F(a) F(. 2 11 F(a) 22 a) 1 F(a) P| x| a 21F(a) 證明: P| x| a 1P| x| a 1 P a x a 1 F(a) F( a) 1 F(a) 1 F(a)1 F(a) 1 F(a) 2 2F(a) 21 F(a) P| x | a 2F(a)1 證明：P| x| a P a x a P a x a F(a) F( a) F(a) 1F(a)2F(a)1 23、設顧客在銀行的窗口等待服務的時間X(以小時計)服從指數(shù)分布，其概率密度為 x 15 e 5

42、x 0 f(x) 5某顧客在窗口等待服務，若超過 0,其它 10分鐘，他就離開，他一個月要 到銀行5次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數(shù), 寫出Y的分布律，并求PY 1. ,、夕、k2k/2、5k i 解: PY k C5e (1 e ), k 0,k,1,2,3,4,5 PY 10.5166 2 24、設 X N(3,2 )，求(1)P2 X 5 P 2 X 7 P| X | 2 PX 3 (5)確定c使得PX c PX c 解：(1)P2 x 50.5328 0.9710 0.6977 (4) 0.5 25、一個工廠生產的電子管壽命X(以小時計)， P120 X 2000.80

43、，允許 最大為多少？ 解 服從參數(shù) 160， 的正態(tài)分布，若要求 Word資料 4040 -()2_() 1 31.25，故允許最大為31.25 200 160- 120 160- 40 P120 x 200-()-()-() C(40) 1 0.80Z(40) 0.940 1.28 26、 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01米以下設計的，設男子身高x服 2 從 170cm, 6cm的正態(tài)分布，即 X N (170,6 )問車門的高度應如何確定？ 解：設車門高度為 hcm，按設計要求Px h 0.01，或Px h 0.99， 因為 x N(170,62)，故 Px h F(

44、h) Z(h 回)0.99 6 h 170 查表得(2.33)0.99010.992.33 即 h 184cm 6 設計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭的機會不超過0.01。 27、設隨機變量X的分布律為 X 0 1 2 3 4 5 p. 丄 1 1 丄 2 丄 Pi 12 6 3 12 9 9 2 求Y 2(X2)的分布律. 解： Y02818 H 1 1 11 1 Pi 3 4 36 9 丫 1的概率密度 的概率密度 2X2 eX 28、設 X N(0,1)，求(1)Y (3)求丫 |X|的概率密度 解：設 x N(0.1), f(x) x2 T ,y ex0, x ln y,

45、x1 (y) 1 fl n y ,0 y y ,其它 (y) 2x2 1 當y 1時, Y的分布函數(shù), FyW) PY y 2 P2x 1 y Px 1 y21 -2 e 2 dx 嚴 edx, 當 y 1 時，F(xiàn)/y) 0, Y的概率密度 (y) S 4y 1f(21)f( 即(y)2、.(y 0 -e - 1) (3)丫 |x|, y |x| 0,當y 0時, Fy() PY y P|x| x2 y 虧 e 2 dx y (In y)2 e ),y y 1 2 Y的分布函數(shù) y P y x y x2 y t e 2 dx 0 P 1門 ,0 y y ,其它 y f(x)dx y Word資

46、料 當y 0時， FyW) 0, Y的概率密度 (y) F (y) 2f(y),y 0 0 ,y 0 當y 0時， FyW) P| x| y 0, (y) 0 2 2 y e乏 y 0 (y) 2 e7 0 , y 0 29、設電流 I是一 個隨機變量，- 它均勻分布在 9 安 11 安之間， 若此電流通過 2歐姆的電阻，在 解：由題意I的概率密度為f(x) 1,9 X 11 0,其它 對于 由于 2I 0, 2x2, Fw(w) 所以當 Pw P 11時，162 w 2 1 ；2 w 0時，其分布函數(shù)Fw(w) 242 2 f(x)dx 2 其上消耗的功率為 W 212，求W的概率密度 故w

47、的概率密度f(w) Fw(w)1 4(w f (w)2、2w 2二 2) 2)， 22w 1 ,162 w 242 4 2w 其它 30、設正方體的棱長為隨機變量 求正方體體積的 概率密度。( (0 , a )上均勻分布， 正方 體體積 o X 數(shù) 函 反 的 上 y h 的概率密 1 y 3a 0 2 3(0 a3) 31設隨機變量 2 2 ,x 0 x 1 0,x 求隨機變量 解：函數(shù)y = l n x的 x在(0，+)上 變化時， 上變化， h (y) ey,h y 于是 的 概率密度 (y) 2ey 32.已 種產品的質 量指標 服從N(, 2), 并規(guī)定| | m時產品 ，問 函數(shù)

48、m取多大時， (x)的值: 才能使 (1.96) = 0.975 產品的合格率達到95%。已 ,(1.65) = 0.95 ,(1.65) = 0.05 ,( 知標準正態(tài) 0.06) = 0.475. 解: P I | m = 0.95 ，此式等價于 P m + m = 0.9 2 ), P + m= m (- mmm ()()2()10.95 1.96 得 m = 1.96 故m取1.96 時才能使產 品合格率達到95%。 第三章多維隨機變量及其分布 一、填空題 1、隨機點(X,Y)落在矩形域人 x X2, yi y y?的概率為 Fgyz) F(X2,yJ F(xi, yi) Fg y?)

49、. 2、(X,Y)的分布函數(shù)為 F(x, y)，則 F( ,y) 0 . 3、(X,Y)的分布函數(shù)為 F(x, y)，則 F(x 0,y) F(x, y) 4、(X,Y)的分布函數(shù)為 F(x, y)，則 F(x, ) Fx(x) 5、設隨機變量（X,Y）的概率密度為 f (x, y) k(6 x y) 0 x 2,2 其它 4，則 k 1. -8 7、設f （x, y）是X,Y的聯(lián)合分布密度, fX （x）是X的邊緣分布密度，則 fx（X）二 問 3 27 F(x , y)是 是某二維隨機變量的 0 Word資料 聯(lián) 合分 布 函 數(shù) ? 并 說明 理 由 。 解： F(x , y) 不 可

50、能 是 某 二維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 因Pi 0 2 , 0 1= F( 2 , 1) F(0 ,1) F ：(2 , 0) + F(0 ,0) =1 1 1 + 0 = 1 4 ,(x) =1。 P 60 60 50 100 P 25 50 100 50 25 25 P 2 50“ 10 2 i0 5 由 隸莫佛-拉普拉斯定理 得 查N ( 0 ,1 )分布函數(shù)表，得 P 60 0，如果 lim P | ?n $ |0則稱n 是的一致估計量 (6 )樣本方差Dn 2 X 是總體X N (, 2)中2的無偏 2 估計量。D*- Xi X是總體X中2的有偏估計 n i 1

51、 10設X1,X2,X3是取自總體X的一個樣本，則下面三個均值估計量 1 1X1 X2 1 X3,?2 1X1 X2 坐，1?3 -X1 3x2 5102341234 是總體均值的無偏估計，其中方差越小越有效，則? 最有效. 二、選擇題 1、設總體 服從正態(tài)分布 N(N, 2 2)，其中 已知, 未知, 3是取自總體 的一 個樣本，則非統(tǒng)計量是 1(1 2 (D ). A、 3) B、 C、 max( 1, 2, 3) 3) 2、設 是來自正態(tài)總體 N( ,2)的簡單隨機樣本 Sf )2， S； )2， SC n )2 ， S：丄 n i 1 )2 ，則服從自由度為 t分布的隨機變量是( ).

52、 A、 S/.n 1 B、 S2 / n 1 S4 / ” n 3、設 N(1,22)， n為的樣本，則 ). A、 1 N(0,1) 2 B、 C、 1 2/.nN(0,1) 4、設 1, 2, n是總體 A、 N(0,1) B、 5.簡 N(0.1) N(0,1) n (C ) Xi i 1 N(0,1)的樣本, N(0,1) 本(X 1 ,X 2 成立的是( 2 (Xi X ?獨立 i 1 n 2 與 Xi獨立 i 1 c、 ,Xn)來 C )。 ,S分別是樣本的均值和樣本標準差, 則有(C ) 2 2 i x (n) /St( n 1) 某正態(tài)總體, (B )Xi與X j獨立( 2 (

53、D )Xi與Xj獨立( j) 平均值, 6.設 X1,X2, ,Xn1,來自總體 X,X N( 1, 2), YY2, ,Yn2 來自總體 丫 _ 1 1 丫N( 2,2),且X與Y獨立。X n1 i ni Xi, Y i 1 n2 Y i, n2 i 1 1 n1 疏喬 (Xi, X)2，S2 n2 1 n21 心1( Y)2, 則如下結論中錯誤的是 (d )。 (X Y)( 12) ,n2 2 2 n2 N(0,1) 2 Shi n2(n 1)2 s2 2 2 n1S1n1n 2S2n2 22 12 mg 1) F(ni 2(ni 1, n2 n2 1) 2) m n2 2 -t( n1

54、n2 2) 7.設X1,X2, Xn是取自總體N(0, 2)的樣本，則可以作為 的無偏估計量是 ). 1 n 2 1 n 2 1ny 1 n A、 Xi2 B、 X iC、 Xi D、 Xi n i 1 n 1 i 1 n i 1 n 1 i 1 8. 3、設 X1,X2,X 3是來自母體 X 的容量為 3的樣本， ?1-X1 3 1 X2X 5 10 2 ?21X 1亠2 X3，?3 1 XX 2 1 X3 ,則下列說法正確的是 (B ). 3 4 12 3 6 2 2 A、?1, ?2, ?3都是E(X)的無偏估計且有效性順序為？?2 ?3 B、 1 , ?2 , ?3 都是 E(X)的無

55、偏估計，且有效性從大到小的順序為 -,?2, ?3 都是 E(X)的無偏估計，且有效性從大到小的順序為 D、？1,?2,?3 不全是 E(X)的無偏估計，無法比 計算題 1、在總體X N (30,22)中隨機地抽取一個容量為16的樣本，求樣本均值X在 29到31之間取值的概率. 解：因 X N(30,22)，故 X N(30, )，即 X N(30,(-)2) 16 2 P(20 X 31) P( 2 X 1 302)(2)( 2)2 (2) 1 2 0.9544 2、設某廠生產的燈泡的使用壽命 X N(1000, 2)(單位：小時)， 抽取一容量 為9的樣本，其均方差S 100，問P(X 9

56、40)是多少? _ 2 解：因 2未知，不能用 X N(1000,)來解題, n X 而 Tt(n 1) S .n t(8) P(X 940) P(X 940 S 3 而 S 100,1000 P(X 940) (940 1000) 3) 100 P(T 1.8) P(T 1.8) 由表查得P(X 940) P(T 1.8)0.056 7 3、設 Xi,X2, X7 為總體 XN(0,0.52122 即一(X1 X2 X3)-(X4 X5 X6)x (2) 3 1 2 C 時，CY x2(2) 3 )的一個樣本，求 P( X24). i 1 2 解：X N(0,0.5 )2Xi N(0,1)

57、7 2 (2Xi) 7 2 2 4 Xi x (7) i 1 7 2 P( Xi4) i 1 7 2 P(4 Xi 16) 0.02 5 i 1 4、設總體X N(0,1)，從此總體中取一個容量為 6 的樣本 X1,X2,X3,X4,X5,X6， 設 Y (X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2，試決定常數(shù)C，使隨機變量CY服 從x2 Word資料 分布. 解：X1 X2 X3 N(0,3)，X4 X5 X6 N(0,3) X1 X2 X3N(0,1)，X4 .3 X3 X6N(01 5、設隨機變量 T服從t(n)分布，求T2的分布. 解：因為T ，其中 X N(0,1)，Yx2(n)，

58、 Y/n T2 X2 Y/n 2 X /1 Y/n 2 2 X x (1) 2 T F(1 ,n) 6.利用 計算分位數(shù)t0.975( 50 )的近似值。 (X1 X3 X3)2 (卷 牛 X6)2 x2 (2) 13V3 (已知 N ( 0 ,1 ) , p ( 1.96 ) = 0.975 ) 2 解：當n足夠大時，t分布近似N (0,1), 當 u N (0 , 1 ) p u u 0.975 =0.025 時，分位數(shù)U1- 時，U0.975 = 1.926 近似t1- ( n ) 2 , t.975 ( 50 ) 7.設X1,X2, Xn為來自有均值 和r階中心矩 r的總 Word資料

59、 1 n 體X的樣本，試證明E 1Xi n i 1 r r。又此式說明總體的r階 矩與樣本r階矩有什么關系 ？ 1 n r 1 nr 1 n 證 : E Xi 1 -E Xir r r n i i 1 n i 1 n i 1 上 述 結 果 表 明 總 體 的 r階矩與樣本 的r 階 矩 相 等，說明樣本的 r 階 中 心 矩 是 總 體 X 的r階中心矩 r的 無 偏 估 計。 8.設總體XN(0,22) , X1,X2,L ,X10為來自總體X的樣本.令 10 2 Xi i 1 Xj j 6 試確定常數(shù)C,使CY服從 2分布，并指出其自由度. 2 X 解：由 X - N(0,2 ),得N(

60、0,1),i1,2,L ,10. 又X1,X2,L ,X10互相獨立, 1 51 10 故一 Xi N(0,5), Xj - N(0,5), 2 i 12 j 6 10 Xj Xi 25 i2；N(0,1),j26rN(0,1), 且二者獨立. 10 從而有 20 Xi i 1 Xj j 6 2 2, 得C 20, 2分布的自由度為2. 9. 本,Z 設Xi,X2,L ,X4與 Y,Y2, L ,Y5分別是來自正態(tài)N(0,1)的總體X與丫 的樣 4_ (Xi X)2 (Yi i 1 Y)2，求 EZ. n (Xi X)2 i 1 解:方法1：由2 2 2 2(n 1),E 2(n 1) n 1