無窮級數(shù)知識點(diǎn)介紹整理人王浩

1、專轉(zhuǎn)本專題知識點(diǎn)無窮級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義1設(shè)給定一個數(shù)列 山，U2，U3,Un，則和式U1 u2 u3 . un .QO稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)，簡稱為級數(shù)，簡記為7 Un ,即n 4二 Un = Ui U2 U3. Un n A其中，第n項(xiàng)Un稱為級數(shù)的一般項(xiàng)或者通項(xiàng)。式（11.1）的前n項(xiàng)和nSn =U1U2U3 . Un 八 Ukk呂稱為式（11.1）的前n項(xiàng)部分和。當(dāng)n依次取1，2， 3，.時，部分和S, S2, S3,., Sn.構(gòu)成一個新的數(shù)列 En ， 數(shù)列3也稱為部分和數(shù)列 定義2若級數(shù)a Un的部分和數(shù)列 怎?有極限Sn =1lim .Sn - S，n-則稱級數(shù)a Un收斂，稱S是級數(shù)a U

2、n的和，即n An =100S 八 Un = U1 U2U3.n A. Un .如果部分和數(shù)列數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)Sn沒有極限，則稱為級數(shù)QO二U n發(fā)散n d（1 ）若級數(shù)a Un和級數(shù)a 都收斂，它們的和分別為 S和二，則級數(shù)a （片-）也ndn=1n T收斂，且其和為S上匸a(2) 若級數(shù)v Un收斂，且其和為 S,則它的每一項(xiàng)都乘以一個不為零的常數(shù)k,所得到的n 二co級數(shù) kun也收斂，且其和為kSn 二(3) 在一個級數(shù)前面加上(或去掉)有限項(xiàng)，級數(shù)的斂散性不變O0(4) 若級數(shù)a Un收斂，則將這個級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后，所成的級數(shù)n=1(qu2.uni)(uni!. un2).(unk

3、. - unk).也收斂，且與原級數(shù)有相同的和Q0(5)(級數(shù)收斂的必要條件)若級數(shù)Un收斂，則limun =0F旳hoi y i收斂其和為a綜上所述，幾何級數(shù)-aqnJ的斂散性 0其 1-q心i,發(fā)散。調(diào)和級數(shù)1的斂散性發(fā)散n 二 n數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性研究對象：正項(xiàng)級數(shù)、交錯級數(shù)、任意項(xiàng)級數(shù)cd正項(xiàng)級數(shù)：若級數(shù)Un = u1 u2u3 . - un -.滿足條件un _ 0(n =123,.)，則稱此nd級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)定理1正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列：Sj有界cooa定理2(比較判別法)若級數(shù)V Un和級數(shù)7 vn為兩個正項(xiàng)級數(shù)，且unvn(n =1,2,3,.),n =1n =1那

4、么：oOcd(1 )若級數(shù) Vn收斂時，級數(shù) Un也收斂n Tn =1oO(2)若級數(shù)v Un發(fā)散時，級數(shù)v Vn也發(fā)散n -1n -1 1D 1 發(fā)散那么p級數(shù)訂孑的斂散性是收斂定理3 (達(dá)朗貝爾比值判別法)若正項(xiàng)級數(shù)cO Un( Un 0, n =1,2,3,)滿足條件n =1limnl =inUn則(1 )當(dāng)1 1時，級數(shù)收斂(2 )當(dāng)I .1時，級數(shù)發(fā)撒(3)當(dāng)| =1時，無法判斷此級數(shù)的斂散性oO級數(shù)(-儼山(un 0, n =1,2,3,.)稱為交錯級數(shù)n =1QO定理4 (萊布尼茲判別法)若交錯級數(shù) 、(-1)n ( un 0,n=：1,2,3,.)滿足下列條件n二(1) Un

5、- Un 1(2) lim Un =on:則交錯級數(shù) (一 1)口 n收斂，其和S_U其余項(xiàng)的絕對值n =1.絕對收斂和條件收斂n若級數(shù) (-1) Un的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，則稱級數(shù) a Un為任意項(xiàng)級數(shù)nWn TOOQOOQ定義 如果任意項(xiàng)級數(shù)瓦Un的各項(xiàng)絕對值組成的級數(shù)Z Un收斂，則稱級數(shù)E Un絕對收n n zin ToOQOoo斂；如果送Un發(fā)散，而瓦Un收斂，則稱級數(shù)送Un條件收斂n n n定理5如果級數(shù)7 Un絕對收斂，則級數(shù) V比必收斂ngn 4qQ定理6如果任意項(xiàng)級數(shù)v Un滿足條件n -1（1 ）當(dāng)| ,1時，級數(shù)絕對收斂（2 ）當(dāng)I .1時，級數(shù)發(fā)撒 幕級數(shù)定義1如果u（x）

6、（n =1,2,3,）是定義在某個區(qū)間I上的函數(shù)，則稱函數(shù)0二 Un（X）= U1（X）U2（X）. Un（X）. （ 11.4 ）n 4為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)QO定義 2 形如 a an（x -x0）n = a0 a/x - x0） a2（x - x0）2 an（x - x）n （11.5） n 二的級數(shù)稱為（x-xo）的幕級數(shù)，其中a,a1,a2,.,an,均為常數(shù)，稱為幕級數(shù)的系數(shù)。當(dāng)Q0xo =0時，級數(shù) 7 anXn =ao - a - a2x2. anxn - . （ 11.6 ）稱為 x 的幕級數(shù)nm定義3對于形如式（11.6 ）的幕級數(shù)若設(shè)liman 1an=lUn 1lim

7、5 un + an 1Xn=limn* anXan 1=lim an根據(jù)任意項(xiàng)級數(shù)判別法可知：（1 ）當(dāng) 1=0 時，1若Ix 1，即X 1，即 |x=R，式（11.6 ）發(fā)散l11.6 ）可能收斂也可能發(fā)散1若Ix =1，即X =- =R，則比值判別法失效，式（l(2)當(dāng)I =0，由于I=0 ：: 1，式(11.6 )對任何x都收斂1稱R為幕級數(shù)式(11.6 )的收斂半徑I定理1如果幕級數(shù)oO anXn =aa2x.anxn -.n 4的系數(shù)滿足條件limn =l，貝yj an 1(1 )當(dāng) 0 ： I ： :時，R = -I(2) 當(dāng) I =0時，Rh：(3) 當(dāng) | 二訂二時，R =0幕

8、級數(shù)的性質(zhì)QOO0Z anXn z bnXn設(shè)幕級數(shù)nm與n的收斂半徑分別是R1與R2( R1與R,均不為0),它們的和函數(shù)分別為S(x)與S2(x)1. (加法與減法運(yùn)算)O0QOQOanxn 二，bnxn(an 士bn)xn =Sj(x) _ S2(x)n =0n n qQS (an 土bn)xn所得的幕級數(shù)n=0仍收斂，且收斂半徑是R與R2中較小的一個2. (乘法運(yùn)算)QOQO(anXn)bnXn) =a0b。ab0)x(ab2a20)x2. -(abn.-and)xn-.n n = S(x) S2(x)兩幕級數(shù)相乘所得的幕級數(shù)仍收斂，且收斂半徑是 R1與R2中較小的一個3. (微分運(yùn)算

9、)O0、-nL anx若幕級數(shù) 心的收斂半徑 R，則在(-R,R)內(nèi)和函數(shù) S(x)可導(dǎo)，且有S (x)anXn)八一(anXn)八一 nanXnn衛(wèi)n衛(wèi)門國且求導(dǎo)后所得的幕級數(shù)的收斂半徑仍為R4. (積分運(yùn)算)CQ 送 anXnQO anxn)dx 二二 n=0Xanxndx =二若幕級數(shù)n衛(wèi) 的收斂半徑R,則和函數(shù)S(x)在該區(qū)間內(nèi)可積，且有XX -0 S(x)dx 二 0 (n =0且求導(dǎo)后所得的幕級數(shù)仍收斂，且收斂半徑仍為R函數(shù)展成幕級數(shù)1. 泰勒級數(shù) f (n) (x )設(shè)f (X)在x=Xo處任意階可導(dǎo)，則幕級數(shù)巴(X-Xo)n稱為f (X)在X=X處的泰n 二n!勒級數(shù)2. 麥克勞林公式當(dāng)Xo=0時，級數(shù)、n 二0f(n)(0)n!xn稱為f (x)的麥克勞林級數(shù)3. 幾個常見的麥克勞林展開式1 00二、xn, x (-1,1)1 _ X n =01丄1 X八(-1)nxn,