01-第1講常數(shù)項級數(shù)的概念

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 本章教學(xué)要求： ,ll , 0, 0l 性質(zhì)。件以及收斂級數(shù)的基本 必要條性質(zhì)。掌握級數(shù)收斂的理解常數(shù)項級數(shù)概念和 本節(jié)學(xué)習(xí)要求： 一. 無窮級數(shù)的概念 二. 級數(shù)收斂的必要條件 三. 級數(shù)的基本性質(zhì) 一.無窮級數(shù)的概念 1.無窮級數(shù)的定義 設(shè)有數(shù)列 un: u1 , u2 , , un , n n n uuuu 21 1 為一個無窮級數(shù), 簡稱為級數(shù). 稱 un 為級數(shù)的一般項或通項. 則稱表達(dá)式 . , 1 數(shù)則稱該級數(shù)為常數(shù)項級 均為常數(shù)的每一項若級數(shù) n n n uu . )( ),( : 1 數(shù)項級數(shù) 為函則稱級數(shù)函數(shù) 一個變量的若級數(shù)的每一項均為同 n

2、 nnn xuxuu 下列各式均為常數(shù)項級數(shù) ; 2 1 4 1 2 1 2 1 1 n n n ; 21 1 nn n ; ) 1(1111) 1( 1 1 1 n n n . cos2cos1coscos 1 nn n 例1 下列各式均為函數(shù)項級數(shù) ,) 1(1) 1( 112 1 11 nn n nn xxxx.Rx , 2 210 0 n n n n n xaxaxaaxa. 1|x ,sin2sinsinsin 1 nxxxnx n .Rx 例2 2. 級數(shù)的斂散性定義 無窮級數(shù) 1n n u的前 n 項之和： , 21 1 n n k kn uuuuS 稱為級數(shù)的部分和. 若SSn

3、 n lim存在, 則稱級數(shù) 1n n u收斂. S 稱為級數(shù)的和： . 1 Su n n 若 n n S lim不存在 ( 包括為 ) , 1n n u發(fā)散.則稱級數(shù) 討論等比級數(shù)的斂散性. 1 1 n n ar 等比級數(shù)的部分和為： 1n n u 當(dāng)公比 | r | 1 時,. 1 )1 ( limlim r ra S n n n n 當(dāng)公比 r =1時,. limlim naS n n n Sn= a, n為奇數(shù) 0, n為偶數(shù) 當(dāng)公比當(dāng)公比 | r | 1 時時, 等比級數(shù)收斂；等比級數(shù)收斂； 當(dāng)公比 r = 1時, 當(dāng)公比當(dāng)公比 | r | 1 時時, 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散. 綜

4、上所述, . lim ,不存在故 n n S 討論級數(shù)的斂散性. 1 ) 12)(12( 1 n nn 12 1 12 1 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn 12 1 12 1 2 1 7 1 5 1 2 1 5 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 nn Sn 12 1 1 2 1 n 解解 75 1 53 1 31 1 例4 而 12 1 1 2 1 limlim n S n n n 故 2 1 ) 12)(12( 1 1 n nn 1n n u 即該級數(shù)收斂, 其和為. 2 1 S 1n n u 二. 級數(shù)收斂的必要條件 若級數(shù) 1n n u收斂, 則必有 . 0lim n n

5、 u定理 )(limlim 1 nn n n n SSu 1 limlim n n n n SS 0SS 證證設(shè) , 1 Su n n . lim SSn n 則 由于 ,1 1 ) 1( lim |lim 1 n n u n n n n 故該級數(shù)發(fā)散. , 0lim n n u 解解 例5 . 1 ) 1( 1 1 的斂散性判別級數(shù) n n n n 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的: 調(diào)和級數(shù)的部分和有： ， 1 1 S ， 2 1 1 1 2 2 SS 4 1 3 1 2 1 1 2 2 4 SS 證證 2 1 2 1 1 3 2 8 SS 1n n u 例6 . , 111 2 1 調(diào)和中項 的與為

6、則稱 若 cab bca 1 . 1 3 1 2 1 1 1 n nn 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 ， 2 2 1 2 0 1 ? 2 1 2 k S k 由數(shù)學(xué)歸納法, 得 ， 2 1 2 k S k k = 0, 1, 2, 而 2 1lim k k 故 n n S lim不存在, 即調(diào)和級數(shù)發(fā)散. #include main() int k,i=0; double tot=0; scanf(%d, while(tot=k) i+; tot+=1.0/i; printf(“%d,%fn,i,tot); getch();

7、 1 2 1 1d n p n n x x 由于 解解 例7 . 1 , )0( 11 1 的斂散性討論級數(shù)收斂且級數(shù) 的部分和為設(shè)級數(shù) n n n n n nn n nn u，v ， S vSuu . lim , 0lim 1 1 發(fā)散故級數(shù) 所以則收斂級數(shù) n n n n n n n n u Sv，v 三.無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 有相同的斂散性, 且 若 c 0 為常數(shù), 則 1n n cu 1n n u與 1. 性質(zhì)性質(zhì) 1 . 11 n n n n uccu 證證 1n n u的部分和為， n k kn uS 1 1n n cu的部分和為, 11 n n k k n k kn cSuccu

8、S 故 n n n n n n SccSS limlimlim 同時收斂或同時發(fā)散, 即與 1n n u 1n n cu 且有 . 11 n n n n uccu 2. 性質(zhì)性質(zhì) 2 , , 21 11 SSvu n n n n 和其和分別為收斂與若 且也收斂則級數(shù) , )( 1 n nn vu 21 1 )(SSvu n nn . 11 n n n n vu 證證 1 )( n nn vu 的部分和為： 1n n u n k kkn vuS 1 )( 故 nn SS 21 )()()( 2211nn vuvuvu 2121 limlimSSSS n n n n 即 級數(shù) 1 )( n nn

9、vu收斂, 且 21 111 )(SSvuvu n n n n n nn )(limlim 21nn n n n SSS 因為等比級數(shù), 3 1 2 1 11 收斂與 n n n n 所以級數(shù) . 3 1 2 1 1 也收斂 n nn 例8 討論級數(shù)討論級數(shù) 的斂散性的斂散性 1 0 1 1 n n a a )( 例例 解解如果如果 0 1 , 則由則由 1 1 0 11 1 1 aa aa n nn , )( 及及 收斂收斂 , 據(jù)比較判別法知據(jù)比較判別法知 收斂收斂 1 1 n n a )( 11 1 n n a 問 題 一個收斂級數(shù)與 一個發(fā)散級數(shù)的和是 收斂的還是發(fā)散的？ 是發(fā)散的 問

10、 題 兩個發(fā)散的級數(shù) 之和是收斂的還是發(fā) 散的？ 不一定 . ) 1( ) 1( 1 1 1 之和與看看 n n n n 在一個級數(shù)的前面加上或者去掉 有限項后, 所得到的新的級數(shù)與原級 數(shù)的斂散性相同. 3. 性質(zhì)性質(zhì) 3 kmmmk uuuS 21 )( 21m uuu mkm SS 證證 No Image 設(shè)級數(shù) 1n n u 的部分和為 Sn , 去掉級數(shù)的前 面 m 項后得到的級數(shù) 1mk k u的部分和為: k S mkm k k k SSS limlim 由于 Sm 當(dāng) m 固定時為一常數(shù), 所以 故 級數(shù) 1n n u與級數(shù). 1 有相同的斂散性 mk k u 級數(shù)仍然收斂,

11、且其和不變. 對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新 在級數(shù)運(yùn)算中, 不能隨意加上或去掉括 號, 因為這樣做可能改變級數(shù)的斂散性. 4. 性質(zhì)性質(zhì) 4 問 題 收斂的級數(shù)去掉 括號后所成的級數(shù)仍 收斂嗎？ 不一定 ) 11 () 11 ( 看看 問 題 發(fā)散的級數(shù)加括 號后所成的級數(shù)是否 仍發(fā)散？ 不一定 1111 看看 問 題 如果加括號后的 級數(shù)仍發(fā)散, 原級數(shù) 是否也發(fā)散？ 原級數(shù)也發(fā)散 加括號可引起收斂, 去括號可引起發(fā)散. 一.正項級數(shù)斂散性判別法 二.交錯級數(shù)及其斂散性判別法 三.任意項級數(shù)及其斂散性判別法 常數(shù)項級數(shù) 正項級數(shù) 交錯級數(shù) 任意項級數(shù) 一.正項級數(shù)的審斂法 正項級數(shù)收斂的充

12、要條件 比較判別法 達(dá)朗貝爾比值判別法 柯西根值判別法 1.正項級數(shù)的定義 若級數(shù) 1n n u 則稱之為正項級數(shù). 滿足 , ) , 2 , 1( 0nun 實質(zhì)上應(yīng)是非負(fù)項級數(shù) 收斂 1 n n u 2.正項級數(shù)收斂的充要條件 正項級數(shù) Sn 有界. 它的部分和數(shù)列 正項級數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限 在某極限過程中有極限的量必有界 級數(shù)是否收斂？ 1 12 1 n n 該級數(shù)為正項級數(shù), 又有 nn 2 1 12 1 (n =1, 2, ) 故 當(dāng)n 1 時, 有 n k k n k k n S 11 2 1 12 1 即其部分和數(shù)列 Sn 有界, 從而, 級數(shù) .

13、 12 1 1 收斂 n n 解解 2 1 1 2 1 1 2 1 n 1 2 1 1 n 例1 3. 正項級數(shù)斂散性的比較判別法 且 0 un vn ( n = 1, 2, ) , 11 n n n n vu 與設(shè)有正項級數(shù) . , (1) 11 收斂則收斂若 n n n n uv . , (2) 11 發(fā)散則發(fā)散若 n n n n vu 大收小收, 小發(fā)大發(fā). 記, 1 n k kn uS, 1 n k kn vG 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn 證證 (1) , , 1 有界則部分和收斂若 n n n Gv , 1 也有界的部分和從而 n n n Su . 1

14、收斂故級數(shù) n n u 記, 1 n k kn uS, 1 n k kn vG 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 Sn Gn , , 11 n nn n n vSu從而無界則部分和發(fā)散若 . , 1 發(fā)散故級數(shù)也無界的部分和 n nn vG 證證 (2) 判斷級數(shù) 1 3 sin2 n n n x 的斂散性. ( 0 0 ) 的斂散性. 當(dāng) p1時, P 級數(shù)為調(diào)和級數(shù): , 1 1 n n 它是發(fā)散的. 當(dāng) 0 p 1 時, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 項 7 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 ppppp n p n 而 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 ppppp 對 P 級數(shù)加括號, 不影響其斂散性： ppp 15 1 9 1 8 1 pppp 4 1 4 1 4 1 4 1 ppp 7 1 5 1 4 1 ppp 15 1 9 1 8 1 ppp 8 1 8 1 8 1 2 11 2 1 4 1 pp 3 11 2 1 8 1 pp 故當(dāng) p 1 時, P 級數(shù)收斂. 綜上所述: 當(dāng) p 1 時, P