數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法一、公式法2=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例1已知數(shù)列an滿足an半=2an + 3x2n，解: an+=2an +3x2n兩邊除以2n*，得尹以ai“=2=1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,21 2 2盼an，故數(shù)列*是22n得空=2n1+(n-1)|，31所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = ( n - )2“。22評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an十=2an+3x2n轉(zhuǎn)化為銅是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an2nan=1 +(n-1)-，進(jìn)而求出數(shù)列2n 23，說明數(shù)列2an的通項(xiàng)公式。二、累加法 例2已知數(shù)列

2、%滿足anH1 =an +2 n+1,耳=1，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：由 an+=an+2n+1 得 an+-a2n+1 則an =(an -an) +(anan/) +il|+(a3 -a2)+(a2 -a,)+ai=2 (n-1)+1+2 (n- 2)+1+川 +(22+1)+ (21+1) + 1 =2( n-1)+( n- 2)+川 +2+1 + ( n-1)+1 =2心2+(-1)+1= (n- 1)(n+1)+1=n22 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = n。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a =an +2n+1轉(zhuǎn)化為a -a 2n + 1，進(jìn)而求出(an-anJ 中(an4a

3、nJ+lll + (a3-a2)+(a2-a1)+a1，即得數(shù)列 何的通項(xiàng)公式。例3已知數(shù)列an滿足an =an +2x3n +1, a1 =3，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式。an=an+2x n + 3 得 1an屮一an = 2x3n+1an =(an - an 丄)+(an J - an2)+ 11 + (a3 - a2 ) + (a2 - a1 ) + a1= (2x3n+1)+( 2x32 +1) +川 + (2x32 +1)+( 2X31 +1) + 3=2(3山 +3n/ +川+32 +31) +(n -1)+3(n-1) + 3= 23 +1-3=3n _3 +n -1+3+ n 1所

4、以an=3n +n1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an + = an + 2 X 3n +1轉(zhuǎn)化為ann，- an = 2咒3n +1，進(jìn)而求出an =(an an)+(anan+111 + a2)+2 a,) + ai，即得數(shù)列 佝的通項(xiàng)公式。例4 已知數(shù)列an滿足a卄=3an +2x3n +1,=3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解: an+=3an +2天3n +1 兩邊除以 3n*，得 二顯+13333n41 ，則3, =3 +產(chǎn)，故an / an anj./an4 anJ2j_/an/ an 、丄 i u 丄廠(廠訂+(兀尹)+(產(chǎn)戶+川+丄)+(?) +(? +!) +川 +(Z +

5、 丄)+ 33n) (3 3 (3 32，(3 32) 3十訃仔十是十了1十川十卡十133333=(|2(n-1)丄(1 -gn J) 因此 an = 2l+i3n 31-3nJ+仁2+丄32 2x3n+旦3211則 an=|W3n+-3二評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an出=3an +2X3n +1轉(zhuǎn)化為；：-；：進(jìn)而求出獸巽)+(巽-弄)+(耗予)+川，即得數(shù)列刖的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。三、累乘法例5已知數(shù)列an滿足an半=2( n+1)5吸an, a =3，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解:a因?yàn)?an+ =2(n+1)5帳an, 4=3，所以 a0 ,則 亠=2(n+1)

6、5n，故anananril 邑皂 aian_2a2 ai=anan A=2(n 1 +1)522( n -2 + 1)5HII 2(2 +1)522(1 +1)咒51%3 = 2nFn(n-1) 411 3x2x52WfE妝 3n(n)= 3x2宀n!n(n-1)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =3咒225丁咒n!.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系4=2(n+1)Fxan轉(zhuǎn)化為 益 =2(n + 1)5n，進(jìn)而求an出旦-a 4，吐州 電 皂.a1，即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an -2a2 a1(全國I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列 aJ滿足a1 -1,an =ai+2a2+3a3n -Da門工

7、2)，求 佝的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an =4 +2a2+3a3+111+(n- 1)an(n2)所以 an+=ai +2a2 +3a3 +|i|+(n-1總4 +nan用式一式得an十一an = nan.則 an+ =(n+1)an(n2)an=n +1(n 2)所以ananan1 u a3an!anan_2a2anW a2，從而可得當(dāng)n 3 2時(shí)，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列的an_2a2由 an =印 + 2&2 +3&3 + 111 + (n 1)an(n 2),取n =2得a2 = a2a2，則 a2 = a1,又知n Iai =1，則 a1，代入得 an =1 3 4 5 川 m =

8、。2所以，an的通項(xiàng)公式為an =旦2Oan評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an出=(n+1)an(n2)轉(zhuǎn)化為上1 =n +1(n2)，通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列an滿足an十=2an +3x5n, a6，求數(shù)列牯的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an十 +xx5n =2(an +xx5n)將an十=2an +3x5n代入式，得 2an +3x5 +xx 5n* = 23.+ 2c咒5*，等式兩邊消去2an，得3 T + X =去 5兩邊除以5n，得3 + 5x = 2x貝U x = 1代入式得n*han + _5十=2(an -5“)由651 =6-5=1 HO及式得an5nH0，貝U時(shí)=2

9、，則數(shù)列an5n是以an-56 -51 =1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則 an -5n =2n4，故an =2 +5n 。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an十=2an + 3X5n轉(zhuǎn)化為 可十-5n =2(可-5n),從而可知數(shù)列an-5n是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 an-5n的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列an滿足an出=3an +5x2n +4, a =1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解軍：設(shè) an卡 +xx2n+ + y =3(an +xx2n + y) 將an專=3an +5x2n +4代入式，得 3an +5x2n +4 + xx2n* +y = 3(an +x

10、x2n + y)整理得(5+2x)x2n +4 + y =3xx2n +3y。令p+2x=3x，則x=5，代入式得4 + y=3yy = 2 an+ +5x2n +2=3(an +5x2n +2)由耳+521 +2=1+12=13工0及式,na 丄 +5X 2n* +2得 agg0，則；+5炮+2 =3故數(shù)列an +5咒2n +2是以a + 5X21 +2=1 +12=13為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列,因止匕 an + 5X2n + 2=13x3，貝H an =13x3n1 5咒 2n-2。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+ =3an +5% 2n +4轉(zhuǎn)化為 an+5x2n*+2 =3

11、(an+5x2n+2)，從而可知數(shù)列 佝+5咒2+2是等比數(shù)列，進(jìn)而求 出數(shù)列an +5x2n +2的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 aj的通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列an滿足an4 =2an +3n2 +4n +5, a =1，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an+ +x(n +1)2 + y(n +1) + z =2(an +xn2 + yn + z) 2將an+ =2an +3n +4n+5代入式，得2 2 22an+3n +4n +5+x(n+1)+y(n + 1) + z = 2(an+xn +yn+z)，則2 22an+(3+x) n +(2x + y+4 )n +(x + y+ z+5) =2a

12、n+2x n +2y n + 2z等式兩邊消去 2an，得(3 + x)na1+3x1 +10x1+18=1+31=32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此 +(2x + y +4)n + (x + y + z+5) = 2xn2 +2yn + 2z ,x=33 + x = 2x解方程組2x + y +4 =2y ，則0, an十 0。在 an41=2x3nxa5式兩邊取則 a.半+an +3n2 +10n+18=32x2n，貝U an =2n* -3n2 -10n-18。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+=2an+3n2+4 n+5轉(zhuǎn)化為 an+3( n+1)2 +10( n+ 1)+1

13、8=2(a n +3n2 +10 n+18)，從而可知數(shù)列(n+1) +10(112，故數(shù)列 an +3n2 +10 n+18為以常用對數(shù)得 Igan 十=5lg a. + nlg3 +Ig2設(shè) lgan+x(n+1) + y =5(lg axn + y)將式代入 (11式，得5lgan + n Ig 3 Ig 2x n什 1)y= 5ag+xn + y，兩邊消去Ig3x =4Ig3 Ig25 lgan 并整理，得(Ig3 +X)n + x +y + lg 2 =5xn +5y，則1g3+x=5x 丄 陽，故VX + y+lg2=5y|y=工+亠I 164込、廠、Ig 3Ig 3 Ig 2Ig

14、 3 Ig 3 Ig 2 廠、代入 式，得 Igan.-g4(116g4 5(Iga4 比6 異4) 由Igai中也丨+晝3+也2=Ig7+也1+必+也2 H0及式,41644164得 IganJg3nJg3Jg2H0，4164Iganjn+1)+13 +晉貝 y416L =5Igan+也n+也+也 八 4164所以數(shù)列Igan+朋n+W是以Ig7 + /+也+咗 為首項(xiàng)，以5為公比的等41644164比數(shù)列，則 Igan+也n+g+Ig2=(Ig7+/+/+P2)52，因此41644164Igan=(Ig7+竽+譬+弩)5=罟n 一罟-晉41644641 1 1 1 1= (lg7+lg34

15、 +Ig36 +2)523 Ig316 -Ig24111n 11= lg(7 34 3 右曠-lg(34 撐 刁)1 丄 1n 丄 1= lg(7 34 3憶 24)5n4lg(34 3 24)5n 丄-n 5nT 5n-J-= lg(75n4 3 43甘 2 4)5n4n45丄4= lg(75nr3 2)5n 4n45n丄4則an =75.亠天3 16咒2丁。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an+ = 2咒3n X an轉(zhuǎn)化為Ig3Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2Igan. + 9 (n +1)+十耳=5(Igan+ 門+耳+)，從而可知數(shù)列卡 41644164I

16、g 3 Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2Ig an +衛(wèi)一n+d+衛(wèi)一是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 Ig an +主一n +旦+乩的通項(xiàng)41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an+= a3(n彬;a =5，求數(shù)列%的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n十a(chǎn),，所以an=a3nrr 3(n)2n-,3n2n-= a232(n4)n2(n 蟲華 d= an_2I- 3(n_2) 2n2,32(n)n 刃2*衛(wèi)=an J333(n_2)(n4n 2(n3卡自半d= anj3=IH3丄2 3|川|的_2) (n)n 21單北勻十2如“ =aiMnll3nn!

17、2 2 =6即先將等式兔啡=&3(宀2又q =5，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aIg an+ =3(n +1)2n，再由累乘法可推知評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。兩邊取常用對數(shù)得Iga時(shí)=3(n+1)x2nx|gan,即Ig anIgan 占Ig an 4Igan4 川 IgaIg anIg a2罟 lgai=lg53f2Ig ain(n_1)2n(nJ)3n n! 2-，從而 an =52。七、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列 an滿足 an4t = an十8( n+1)2 2 ?(2n +1)2(2 n+3)2ai8,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。9解：由 an+ =an +8(n

18、0(2n +1)2(2 n +3)82及aiH，得8(1+1)88x224(2d+1)2(2x1 +3)29 9x25258(2+1)a = a2 +22(2x2+1)2(2 x2+3)28(3+1)24 + 8x325 25x494849a a3 +22(2 咒 3 +1)2(2 咒 3 +3)248 8x4=+ 49 49x818180由此可猜測an二冊1，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。）當(dāng)2時(shí)，3=唱帝=9，所以等式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即a-（2（2kl121，則當(dāng)n1時(shí),ak 十 ak+8叮 J2(2 k +1)2(2k +3)2(2k+1)2-1 亠 8(k+1)+ 2 2

19、 2(2k+1)2(2k+1)2 (2k+3)2(2k+1)2 -1(2k+3)2 +8(k+1)(2 k +1)2(2k+3)2(2k +1)2(2k +3)2 -(2k +3)2 +8(k +1)(2k +1)2(2k +3)2 (2k + 1)2(2k+3)2 -(2k+1)2(2k + 1)2(2k +3)2(2k +3)2 -1(2 k+3)22( k +1)+12 -1 2( k +1)+12由此可知，當(dāng)n =k +1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何 n亡N都成立。n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前 公式，最后再用數(shù)學(xué)歸

20、納法加以證明。八、換元法1 例13已知數(shù)列an滿足an= (1+4an +j1+24an), 6=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 161解：令 心；，則 a-(bn1)故 an+ = 1 應(yīng)+1)，代入 an+ = 1 (1 +4an + J1 + 24an)得2416卻“1)詁WWl+bn 即 4b2i =5 +3)2因?yàn)?bn = Jl+24an 刃，故 bn+ = Jl+24a 013則 2bn+=bn +3，即 bn+ = 2b2，1為公比的等比數(shù)21= (-)2+3，得可化為 bn+3=2(bn-3)，所以bn -3是以 d -3 = J1 +24印-3 = 71+24x1 -3 = 2

21、為首項(xiàng)，以1 1 1 列，因此 bn -3 =2()2 =( )2，則 bn =()2+3，即 / + 243.2 22 ran =2(1)n+(2)n。3 423評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將J1+ 24an的換元為0，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化13bn+ =-bn +5形式，從而可知數(shù)列bn-3為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列bn -3的通項(xiàng)公式,最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。九、不動(dòng)點(diǎn)法21a -24例14已知數(shù)列an滿足務(wù)十= n ，3=4，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4an +1解：令 X =21x24，得 4X2 20x24 0 ，則 x1 =2，x2 =3 是函數(shù) f (x) = 2似-24 的4x

22、 +1兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?x +121an-242a”2_ 4an 中121an 24 2(4an+1) 13an26 13an2an + 321an 244an+1_321an -24-3(4an +1)=。所以數(shù)列9a 279 an 3ai 3= 42=2為首項(xiàng)，以13為公比的等比數(shù)列，故 3 = 2()29an 394-3an 3則an評注:本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f(x)21-2421X-24的不動(dòng)點(diǎn)，即方程x=24的兩4x+14x + 1個(gè)根Xi =2, X2 =3，進(jìn)而可推出anH! 2 an + _312 .L?2，從而可知數(shù)列為等比數(shù)9 an -3: an-3J列，再求出數(shù)列a _2J一 的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。an 3J例15已知數(shù)列an滿足anHt =2，印=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2an +3解：令X7 X 23x 1=，得2x2-4x + 2=0，貝U x=1是函數(shù)f(x)