注冊土木工程師巖土基礎(chǔ)考試各科常用公式

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備導(dǎo)數(shù)公式:高等數(shù)學(xué)公式(tgx)，=sec x(ctgx) = -csc x (secx/ =secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax/=axl na (logaxr +xl na(arcsin x) =-x1(arccos x) = 一 一?Jl -x2(arctgx)，=1 +x1(arcctgx) = 一1 +x基本積分表:1 X c =-arctg +C a a1 , x-a =ln+C2a X +a丄占+C2a a - xX=arcsi n- +CaaX -aX +a a +xJchxdx= shx+CJ 青 Wx+Ej+cJtgxdx

2、 = -In cosx +CJctgxdx =1 n|sin * + CJsecxdx=l nsecx +tgx +CJcscxdx = In |cscx - ctgx +CJ 2 ,2a +xF dx22x -adx22a -xdxJ2Va -x 密 =fsec xdx = tgx + C、cos xdxf=fcsc2 xdx = -ctgx + C sin Xfsecx tgxdx = secx + C f cscx ctgxdx = -cscx + Cxfaxd+C ln aJshxdx= chx + C22=Jsinn xdx =Jcosn0 0xdx止 Izn. 2 .Mx2 +a2

3、dx = Jx2 +a2 + l n(x + Jx2 + a2) + C 2 2, , 2fJx2 -a2dx =xfx2 -d2 a2 2,2f22. Xrf22, aX.cfva -xdx= va -x + arcsin-+C22 aIna2 - Jn x +Jx2 -a2 +C三角函數(shù)的有理式積分:X函數(shù) 角A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 acos asin actg atg a90 acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 a-sin a-cos atg actg a270

4、 a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 a-sin acos a-tg a-ctg a360 asin acos atg actg a2usin X =2-,1+u1 -u2cosx =1+u2 u=tg2d-221 + u一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦:shxx e e_x雙曲余弦:chx2X_x e +e雙曲正切2q shx ex:thx = xchx elim 沁=1T x1 xym：1+ )x =e = 2.718281828459045.arshx=1 n(x + Jx2 +1)archxarthx=ln(

5、X + Jx21 1 + x=-In2 1 -x三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：_x-e+ e-和差角公式:-和差化積公式:tge3)*tgtg3sin(a P) =sind cosP co護 sin Pcos0 P) =cosa cosP 斗sin a sin Ptgq tgPr,a + p a - psina + si nP =2sincos2 2na + P a - Psin -sinP =2cossin2 2na + p a 一 pCOSa + COSP =2 cosCOs2 2na + P a - Pcosa -cosP =2sinsin2 2倍角公式:sin 2a=2s in a cosa

6、cos2a=2COS2a -1 =1 -2sin2a =cos2a-si n2actg2alctg2a -12ctga2tga.2-tg Ct3sin直=3sina -4sin acos% =4cos a -3cosa-半角公式:.aSin2acos2+ p - cosaV1 + cosa1 -cosasi not si not1 + cosactg” + cosa V 1 - cosa 1 + cosasin ot si na1 - cosa-正弦定理：sin A=2Rsin B sin C-余弦定理：c2 =a2 + b2 -2abcosC-反三角函數(shù)性質(zhì):高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(JIarc

7、s in x =arccosx2Leibniz )公式:arctgx = -arcctgx2n/ (n) V* c k (n _k) (k)(uv)(Cn u()v(k 土= u(n)v+ nu(Zvqn(n j)u -v 2!(n _2)十.+n(n -1廠(n-k+1)u(2)v(k)i +uv(n) k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理:f(b)-f(a) = f)(b-a)柯西中值定理：f(b)-仙*F(b)-F(a)F 徉)當(dāng)F(x) =x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式:平均曲率:ds = (1 + y 2 dx ,其中 y=tgaAaM點，切線斜率的傾角

8、變化量；As: M M弧長。M點的曲率:adotAsds.也a :從M點到K =P% +y2)3直線：K =0;半徑為a的圓: 定積分的近似計算:b矩形法：ff (x)ab梯形法：f f (x)ab拋物線法：f f (x)abaza(y。+ y1 十+ yn 丄) nb a： n-a 12(y0 + y)+ yi 十+ yb a俺京(yo+yn)+2(y2+y4+ yn/) +4(y1 + y3 + yn)定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W = F s 水壓力：F = p .A引力：F=kmim2,k為引力系數(shù)r函數(shù)的平均值：ff(x)dx b -a a均方根：f f 2(t)dtYb-aa多元函數(shù)微

9、分法及應(yīng)用全微分：dz ：=互dxex全微分的近似計算： 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法和dxex+ dyaAz 止 dz = fx (x, ypix + f y(x, y)iydu,CU,cu+ dy + dzaJacyczdz dtreccz cu ,cz 十cuczex= u(x, y), v =v(x,y)時，du =dx + dy excy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：fu(x, y), v(x, y)czcvTctcvctafafczcu 丄 czcv：=r T.-ercuexcvexdv1cv .=dxexVdycy隱函數(shù)F(x, y) =0.F隱函數(shù) F (X, y, z) = 0,xdx fFxF

10、zz _ex隱函數(shù)方程組:F (X, y,u,v)G(x, y,u,v)d2y dx2=自卡)+空(_F exFycyFy)fdxFlFzJ ,(F,G) c(u, v)cFcucGcucFdvcGcvFuFvG uG v1& Jcu1=cyJ點(F,G)図 x, v)級 F,G)點(y,v)1J1J云(F,G)(u,x)0,（X0,y0）為極小值 貝AC -B2 0時，無極值A(chǔ)C-B2 =0時,不確定重積分及其應(yīng)用:JJf(X, y)dxdy = JJ f (r cos8, rsin )rdrd 9 DD、DN曲面Z = f （x,y）的面積平面薄片的重心：xA-* 斗嚴(x,y)db丄El

11、 + I dxdy5丿平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量:JJ yP(x, y)dcrD對于JJ P(x,y)dcrDX軸 I x = JJy2P(x,y)dcr,DJJP (x,y)dcrD對于 y軸 I y = JJx2 p(x,y)dcrD平面薄片(位于xoy平面)對L rr P(x, y)xdcrFx = f JJD z 2 丄 2(x +y3 5+ a2)2z軸上質(zhì)點 M (0,0,a), (a a0)的引力： F =Fx,Fy,Fz，其中:F fa rr P(x,y)xdcrFz = fa JJ3-Dz 2,2.22D (x + y + a )2Fy = f JJD(X2 +y2P(x, y) y

12、db3，+ a2)2常數(shù)項級數(shù):等比數(shù)列:等差數(shù)列:調(diào)和級數(shù):_1-qn1 -q+ 2+3+n =( n+Qn21 1 1+丄+丄十+丄是發(fā)散的23+q +q2i +q2級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判:p1時，級數(shù)收斂* P A1時，級數(shù)發(fā)散P=1 時，別法）：不確定2、比值審斂法:p 1 時，nfUn P=1時，不確定Un十級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散3、定義法：Sn =比+U2屮+Un；lim sn存在，則收斂；否則發(fā)n散。交錯級數(shù)U1 -U2 +U3 -U4十（或-U1 +U2-U3 +，Un 0）的審斂法萊布尼茲定理:TUn Un申如果交錯級數(shù)滿足:limUn =0 ln護絕對

13、收斂與條件收斂：（1）5 +U2 +Un +，其中Un為任意實數(shù)；（2）|uJ +應(yīng)| +|u3+-+Un，那么級數(shù)收斂且其和SU1,其余項rn的絕對值rn 1時收斂幕級數(shù):|x| C時，收斂于 11-xX 31時，發(fā)散對于級數(shù)（3）ao+ a2X2十+anx +，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全x| C R時收斂 R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。1 +x +x2 + x3 十+xn數(shù)軸上都收斂，則必存十.在R，使|x| = R時不定求收斂半徑的方法：設(shè)an +ni%an/ P H 0時，R = 1=p，其中an，an十是（3）的系數(shù)，則/ P = 0時，R =+= p = 時，R = 0函數(shù)

14、展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):f(x) = f (x0)(X-X0)+f(x0)(X-X0)2 + + (XX0)n+2!n!f （n十）疋）余項：Rn = （X -X0）n十，f（X）可以展開成泰勒級數(shù)的 充要條件是：limRn =0（n +1）!Y+ f （n） （0） xn + x.n!x0 =0時即為麥克勞林公式：f (x) = f (0) + f 0) f 0) x2一些函數(shù)展開成幕級數(shù):，m(m-1)2 十.+m(m-1)(m-n+1) n .(1 +x) =1 +mx+X 十 +X +2!n!35sin x=x-X +(-1)2X2n3!5!(2n -1)!歐拉公式:ix.e

15、 =cosx+is inxeix +e山cosx =或 iix2 jx!sinx =2三角級數(shù):a處f(t) =A0 +送 An sin(nt + 叫)=0 +送(an cosnx + bn sinnx) n2n 4其中，a。=aA0, an = An sibn=AiCOsWn, t=x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx任意兩個不同項的乘積 在-兀，兀上的積分=0o傅立葉級數(shù)：a比f(X)=寸 +送(an cos nx+bn sinnx), 周期 =2兀an其中*bn1 +丄+丄十325212242n 二1兀= Jf(x)cos nxdx (n =

16、 0,1,2) 兀T1兀= Jf(x)si nn xdx(n = 1,2,3)兀T_兀2 8兀22462正弦級數(shù):a n ：= 0,bn心2兀+丄+丄+ 32+32 -421422=(相加)62/ (相減)12余弦級數(shù):bn =0，an一 J f (x)sin nxdx兀02兀 =J f (x)cos nxdx兀0n =1,2,3 n = 0,1,2 周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：一、向量代數(shù)1、向量的有關(guān)概念：向量間的夾角、向量的方向角、一斗JI 片 4向量的坐標 a =tax, ay,a = axi +ay j +azk模長:=Ja； +a： +aZf(X)=2 bn sin nx是奇

17、函數(shù)心)=乎+2 an cos nx是偶函數(shù)方向余弦、向量在數(shù)軸上的投影4在相應(yīng)坐標軸上的投影方向余弦： cos aaxaxX +ay +azcos P = 2|a|ayJa： +ay +3；cosY = azaz丄 XX+ ay +azTo單位向量 a=cosa,cos P,cosY2、向量的運算：線性運算：加法、減法 ?-?、數(shù)乘乘積運算：數(shù)量積、向量積向量的數(shù)量積a bT T!a b =abCOS0 =axbx +ayby +azbz幾何意義;T T!XT(1) a a =aa性質(zhì):=Ja； +a： +azI加T TT Ta 七=0= a 丄 bu axbayb y + azb 0微分方

18、程的相關(guān)概念:一階微分方程：y=f(x, y) 或P (x,y)dx+Q(x, y)dy =0可分離變量的微分方程Jg(y)dy =Jf(x)dx:一階微分方程可以化 為g(y)dy = f (x)dx的形式，解法: 得：G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。程可以寫成dy = f(x,y)=W(x,y)，即寫成y的函數(shù)，解法:dx設(shè)u=y，則魚=u+x屯，u+屯山(u)x dxdx dx即得齊次方程通解。齊次方程：一階微分方xdx du分離變量，積分后將丿代替u,x一階線性微分方程:1、一階線性微分方程：空+ P(x)y=Q(x)dx當(dāng)Q(x) =0時,為齊次方程，y =CeJP(x)dxrP

19、(x )dx_fP (x )dx當(dāng)Q(x) h0時，為非齊次方程，y=(jQ(x)edx+C)e2、貝努力方程： 取+ P(x)y =Q(x)yn,(n H0,1) dx全微分方程：如果P(X, y)dx+Q(x, y)dy =沖左端是某函數(shù)的全微分方程，即： du(x, y) = P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0,其中:史=P(x, y), =Q(x, y)excy/. u(x, y) =C應(yīng)該是該全微分方程的通解。二階微分方程：d2ydy/f(x)三0時為齊次尹 + P(x) F +Q(x)y = f (x),c 時出非乂沙dxdxf(X)H 0時為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方

20、程及其解法：(*) / +py+qy=O,其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：(A)r2 + pr + q=O,其中r2，r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y,y：y的系數(shù);2、求出()式的兩個根r1,r23、根據(jù)帯2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解:r1, r2的形式(*)式的通解兩個不相等實根(P 2-4q0)r1 X 丄2 Xyie+c2e兩個相等實根(P2 4q =0)y = (Ci +c2X)er1X一對共軛復(fù)根(P2 -4q 0)y =(G cos Px + c2 sin Px)r, +iP, T2=a -iP”PJg-P22 2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y + p

21、y+qy = f(x), p,q為常數(shù) f(x)=eEpm(x)型，幾為常數(shù)； f(x) =eR(x)cos x + Pn(x)si nx型二、空間解析幾何（一）空間直角坐標系（三個坐標軸的選取符合右手系）空間兩點距離公式 |PQ| = J(X2 -xj2 +(y2 -yj2 +(Z2 乙)21、（二）空間平面、直線方程a、點法式A(x -Xo) +B(y - yo) +C(z -Zo) =0b、一般式Ax + By + Cz + D = 0c、截距式亠亠1a b cAxo + Byo + Czo + Dd、點到平面的距離d/=空間平面方程+ B2 +C2、空間直線方程a、般式(Ax+Bry+

22、CrZ + Dr =O lA2x+B2y+ C2z + D2 =Ob、點向式（對稱式）x-xo y-y。 z-zo （分母為o，相應(yīng)的分子也理解為o）c、參數(shù)式+ mtz = Zo + kt3、空間線、面間的關(guān)系a、兩平面間的夾角:兩平面的法向量Tn1，Tn2的夾角日（通常取銳角）兩平面位置關(guān)系:AiBiCiA2B2C2AA + B1 B2 +GC2 =0平面兀1與兀2斜交，b、兩直線間的夾角:兩直線的方向向量的夾角日（取銳角）l2m2n2T T兩直線位置關(guān)系:L1 / L2 二a-i / a2 二T TL1 丄 L2 = a1 丄 a2 u I1I2 + mim2 + mn2 = 0b、平面

23、與直線間的夾角線面夾角：當(dāng)直線與平面不垂直時，直線與它在平面上的投影直線之間的夾角角）稱為直線與平面的夾角。當(dāng)直線與平面垂直時,(護=-0)2線面位置關(guān)系:T TL/兀二 a 丄 n =IA + mB + nC=0n Jixf(x)=並+送(anCos+bnSin2n 二l1； .、n;ix.=-f f (x) cosdxl；ll1 f f /、 n 兀X . =-f f (x)sindxl ；lannnxI ），周期(n =0,1,2)=21其中bn(n =1,2,3 )物理執(zhí)學(xué)八、41、pV = M RT ； P = nkT ；3kT ；一 i卡；-M2rtdN2、麥氏分布：f（V ）=上

24、也，表示單位速度間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。NdviRTIRT1=最概然速率Vp =1.4Ju-；平均速率V =1.6一；方均根速率Vv2 =1.7Y R 43、平均碰撞次數(shù) Z = J2兀d2 vn ；平均自由程幾= 廠1 2v2%d nVP4、等溫過程PV =c ；等壓過程=c ；等容過程二=c ;絕熱過程比等溫線陡。, E 丄 RAT 卩2V2.M=JP dV =u-RTlnV2總功A = JPdV ；等溫過程AtV1熱一律的應(yīng)用：功是過程曲線下面的面積,等容 A =0，QV=iE=M_RiT ；卩2等壓心罟專曲,qp叫:竹村等溫込E =o, QT =MRTln;絕熱過程Q = 05

25、、順時針：正循環(huán)，熱機效率= 1-T2T2T1T1-T2二、波動1、簡諧振動表達式 y =Acos（t +0=2兀/7波動方程y = Acosbft手一中W I I u丿y = A C Os(-X - x0 t+% I.I u丿 丿V.2、波的能量：動能和勢能的大小相等,方向、相位相同；波能量不守恒; 1 2 2平均能量密度=PA C223、駐波：振幅相同，方向相反的兩列波的疊加。相鄰波腹（波節(jié)）距離為半波長。 U V04、多普勒效應(yīng)：V =一V，其中V為觀察者接收的頻率， V為波源頻率，V0為觀察者U +Vs速度，Vs為波源速度。觀察者向著聲源運動時,Vo前取正號，遠離取負號；波源向著觀察者

26、運動時，Vs前取負號，遠離取正號。三、光學(xué)f kA1、干涉：光程差6 =門22 -n心= +（2k +1，相位差雙縫干涉：相鄰明（或暗）條紋中心間距x= de = 2- = I 日2nrA薄膜干涉：劈尖6 =2ne+，半波損失，從光疏到光密的反射光;22、衍射:明紋單縫衍射asin = 42k ”：=kA 暗紋20 中央明紋3、光學(xué)儀器分辨率：最小分辨角00 =1.22上，分辨率R=D1.22 ZX射線，衍射，布拉格 2d sin護=kZ4、光柵常數(shù)明紋dsinW=kA25、偏振：馬呂斯定律I = 1。COS a布儒斯特方程：i =io =arctan空，反射光全是線偏振光，折射光為部分偏振光

27、 ni三、化學(xué)反應(yīng)速率v可表示為:反應(yīng)速率常數(shù) k隨溫度T變化的定量關(guān)系:心=Gg-G = C；/-TS)2- CH-TS)=(出一HJ (G 登一nSJ = Af/-A(TS)對于等溫過程而言iT, = T, = T貝IM =aH TAS(3-1-7)式稱為吉布斯亥姆茲公式.范荷甫公式表示了平衡常數(shù)K與反應(yīng)溫度 T的定量關(guān)系:（1）筒吊分教蟄腫的廈垃3 .葉 EE溶液的質(zhì)址（gUO物研的聊濃度溶質(zhì)的物庾的址5101? 惻貝-聶溶液的體積亦r心質(zhì)W宰爾濃度=迦瞬黑聽沖浴劑的質(zhì)S （kg）U 4 J jx爾5卜灼一i?L! （或溶劑）6勺物質(zhì)的蜀5門仙 需質(zhì)的物質(zhì)的Tft（ mol） 溶/Pll

28、WWffiWhl （mol）電離常數(shù)，用 K F表示（弱酸也可用K表示，弱堿用KP表示）例如;K護HAc， H + AKLilllrIQ“ CuacKNHi HzO一NHJ+OH 朋NH門OH- r NHa - HjO(3-3-1)(3-3-2)上二式中表示各平衡組分的相對平衡濃度，即相應(yīng)組分的平衡濃度與標濃度 之比例如Ab=（k/e.因此Ac：-呈無a綱的數(shù)*這樣就能保證KF、 K *郁是常數(shù)而無凰綱.對任何指定的弱酸開減而言.或足對于任一指定的酸堿平衡而 言在指定溫度下，其K9或K F都是定值，并不隨任何平衡組分的濃度（無論是起始 濃度還是平衡濃度）而改變。弱酸及其鹽組成的緩沖溶液（酸性緩

29、沖液）H *(3-3-9)pHwpKF -Ig平I盤式中（前、Gt為ffl成級沖液的弱酸及弱酸鹽的起始濃度 Kf為弱酸的電離常數(shù)。由弱及其鹽組成的緩沖溶液（tt性緩沖液）同樣有；OHp =K冷(3-3-10)p（）H = pK;； -Ig （Cp（）H=l 1 pHl lpKp +ig 7=L tt式中K自為組成緩沖對的弱緘的電離常數(shù)，Gt/Gt是緩沖液的組份配比.若5心或 等于1時則緩沖溶液的兇1等于相應(yīng)的弱酸或弱堿的pK印或PK仁必須指 岀.緩沖溶液的緩沖陡力是有限的。若加入大B強酸或強誠后，緩沖（*系中某一組分消 耗完了 則緩沖溶液將失去其緩沖能力*溶液的pH將會發(fā)生較大的變化而如果只是將 緩沖溶液輛釋*由于（dGt或Cja比值不變則緩沖溶液稀釋后PH值K持不變氧化態(tài)一述原蕊，其能斯特方程可耳成:_0. 059Vi_還原態(tài)=匕録拓M蠱-店is化態(tài)1電動機的實際轉(zhuǎn)速(i7min)o3. 最大轉(zhuǎn)矩7：電動機能發(fā)岀的最大轉(zhuǎn)矩。(fi-5-9) 式中久為電動機的過載系數(shù)，一般為1.8-2.2o電動機發(fā)出城大轉(zhuǎn)矩時對應(yīng)的轉(zhuǎn)速為 臨界轉(zhuǎn)速咔界。(8-5-10)4. 起動轉(zhuǎn)矩7；,:電動機起動時發(fā)岀的轉(zhuǎn)矩。一