概率統(tǒng)計(jì)公式大全復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備16第一章隨機(jī)事件和概率（1 ）排列 組合公式m!(m - n)!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。cmm!n!(m -n)!從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成， 第一種方法可由 m種方法完成，第二種方法可由n種 方法來(lái)完成，則這件事可由 m+n種方法來(lái)完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成， 第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種 方法來(lái)完成，則這件事可由 mX n種方法來(lái)完成。t 重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）（3） 一些禹E排別些 對(duì)立事件（至少有一個(gè)

2、）常見排列心宀、心順序冋題如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下,不管事件有多少個(gè),總可以從其中找出這樣一組事件,它具有如下性質(zhì)： 每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用05來(lái)表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用（2）加法 和乘法原 理（4）隨機(jī) 試驗(yàn)和隨 機(jī)事件（5） 事件、 空間 件基本 樣本 和事（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算一個(gè)事件就是由 O中的部

3、分點(diǎn)（基本事件 3 ）組成的集合。通常用大寫字母A,B, C表示事件，它們是 Q的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q ）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。關(guān)系:如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件 B發(fā)生）：AU B如果同時(shí)有 AU B , B二A ,則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B： A=B A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：aUb,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與 B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A

4、B同時(shí)發(fā)生：AB,或者AB B=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?-A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對(duì)立事件，記為A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算：結(jié)合率：分配率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C(AB) U C=(AU C)n (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)德摩根率:AUb = a , An B = AUB(7)概率的公理化定義設(shè)0為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件 A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足 下列三個(gè)條件：1230 W P(A) W 1,P( Q )

5、 =1對(duì)于兩兩互不相容的事件A1 , A2，有g(shù)cP U Ai =!： P(Ai) J rn丿常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典 概型12p 1)= p( 2)=Pn) 。n設(shè)任一事件A，它是由 402m組成的，則有P(A) = 1)U 佝 2)UU m) = P1 ) + P2)+Pm)m A所包含的基本事件數(shù) 基本事件總數(shù)(9)幾何 概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概 型。對(duì)任一事件A,P(A)=。其中L為幾何度量(長(zhǎng)度、面積、體積)。(10) 加法 P

6、 (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)公式當(dāng) P(AB) = 0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)P (A-B)=P(A)-P(AB)(11) 減法 當(dāng) BUA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)公式一當(dāng) A=Q 時(shí)，P( B )=1- P(B)定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且 P(A)0，則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事件P(A),7)條件 B發(fā)生的條件概率，記為P(B/AH-P(A。概率P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1 = P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P (AB) = P(A)P (B/A)(13)乘法 更一般地

7、，對(duì)事件 A, A,An,若P (A1A2A-1) 0,則有公式P(AiA2 An) = P(Ai)P(A2| Ai)P(A3| A1A2). P(An | A1A2 An_i)。 兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨(dú)立的。 若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A) A。，則有P(B| A)=P (AB)P(A) P(B)=P(B)P(A) P(A)(14)獨(dú)立 性若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨(dú)立。 必然事件0和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。 多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立

8、的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P (ABC)=P(A) P(B) P(C)那么A B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。設(shè)事件Bl, B2,，Bn滿足1(15)全概 公式Bl, B2,，Bn 兩兩互不相容，P(Bi) A 0(i = 12，,n),nAU U Bi2則有P(A) = P(B1)P(A| B1)+ P(B2)P(A| B2)十+P(Bn)P(A| Bn)。y ,設(shè)事件B1 , B2，Bn及A滿足B1 , B2，Bn 兩兩互不相容，P(Bi)0, i=l, 2, nAuU Bi(16)貝葉 斯公式V

9、 , P(A)0 ,P(Bi/A)=nP (Bi) P(A/Bi)，i=1，2,r 2 P(Bj)P(A/Bj)j 二=1 2 ? ? ?并作出了 “由此公式即為貝葉斯公式。P(Bj) ,( i , 2，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bj/A) , (in),通常稱為后驗(yàn)概率。 貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律， 果朔因”的推斷。_我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足(17)伯努 利概型每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用

10、P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為-pq，用Pn(k)表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0 k 0 , k =1,2,(2)Z pk =1心。(2)連續(xù) 型隨機(jī)變 量的分布 密度(3)離散 與連續(xù)型 隨機(jī)變量 的關(guān)系P(X = xk) = pk 在離設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有xF(x) = Lf(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1f(x0。2 Lf(X)dx=1。P(X = X)止 P(x C X X + dx)止 f (x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)

11、變量理論中所起的作用與 散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分布 函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x) = P(X x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a C X b) = F (b) - F (a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a, b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-X內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì):0 F(X)1, _處 V X +處；F (x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即X1 C X2時(shí)，有 F(X1) F(X2)；F( = ) = lim F(x)=0, F(畑)= lim F(x)=1;F(x +0) = F(x)，即F(x)是右連續(xù)的;P(X =

12、x) =F(x)-F(x-0)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=送Pk ；XkX對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)= Jf(x)dx。(5)八大 分布0-1分布P (X=1)=p, P (X=0)=q二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件 A發(fā)生的概率為 P。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為0,1,2，,n 。P(X =k) = Pn(k) -C： pkqZ q=1-p,00 , k =0,1,2, k!則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為A的泊松分布，記為 X；I(A)或者 P( k)。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=入，n78)。P(X _k)CM 2壯 k=0,1Z，l ()cN ,mi

13、n(M,n)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。p(X=k)=q2 p,k=1,2,3,，其中 P 0, q=1-P。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(P)。設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a , b 1上為常數(shù)，即b -aaw xw bf(x) =b-a10,則稱隨機(jī)變量 分布函數(shù)為其他,X在a , b上服從均勻分布，記為XU(a, b)。1F(x) = (x)dx =0,X a b -axb。當(dāng)aw X1X2W b時(shí)，X落在區(qū)間(X2 -XtcX X2)=。b aXl,X2 )內(nèi)的概率為指數(shù)分布r 1 _eF(XT 0,x0f

14、(xn 0,其中A 0，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為幾的指數(shù)分布。 X的分布函數(shù)為記住積分公式：-beJxnedx = n!0正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為12)2f(X)KeFx為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 卩、2的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為X N（巴b）of（X）具有如下性質(zhì):1f（x）的圖形是關(guān)于x = P對(duì)稱的；2當(dāng)x =卩時(shí)，f（P）=為最大值;2 72若XN （巴b ），則X的分布函數(shù)為F(滬J2 OJ dt參數(shù)卩=X N(,1)1b =1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為其密度函數(shù)記為e 2，一處 X +處,分布函數(shù)為1 X -（X）Je 2dto#2兀皿（X）是

15、不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1oN（,1） oO(-X) = 1-(X)且()=X如果X N(巴CT2)，則一 f X 3P(X1 X X2)=!| （6）分位 數(shù)下分位表：P（X 0 (i,j=1,2,);,X2，,Xn,P (X =xi)P1,P 2 Wpij 1.i j,pn,Y =g(X)的分布列(yi =g(Xi)互不相等)如下：Yg(xi), g(X2),g(xn),P(丫 =yi)p1,p2, , pn, 連續(xù)型若有某些g(xi)相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)白的 pi相加作為g(xi)的概率。先利用X的概率密度f(wàn)x(x)寫出丫的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X) y)，再利

16、用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y) O(1 )聯(lián)合 分布第三章二維隨機(jī)變量及其分布離散型如果二維隨機(jī)向量 (X, Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?x,y ),則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)匕=(X, Y)的所有可能取值為(X ,yj)(i, j =1,2，),且事件=(xi, yj)的概率為pij，,稱P(X,Y)=(Xi,yj) = Pij(i,j =1,2，)為 = (X, Y)的分布律或稱為 X和丫的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量E =(X, Y),如果存在非負(fù)函數(shù) f (x, y)(= v X V y 嚴(yán) c y +=c)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行

17、于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|axb,cy 0;(2)二維隨機(jī)變量的本質(zhì)(X =x, Y =y) =(X =xn Y = y)(2 LLf(x,y)dxdy = 1.17(3)聯(lián)合 分布函數(shù)(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,y,二元函數(shù)F(x,y)= PX x,Yy稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量 X和丫的聯(lián)合分布函 數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件(1,化)I N i) x,N Y2 y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì):(1)0xi 時(shí)，有 F ( X2,y ) F(x i,

18、y);當(dāng) y2yi 時(shí)，有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對(duì)X和y是右連續(xù)的，即F(x, y)=F(x +0,y),F(x,y) = F(x, y+0);(4) F (嚴(yán)一=c) = F (嚴(yán) y) = F(X,亠)=0,F (憐址)=1.(5)對(duì)于 Xi VX2, yi vy2.F(X2, y2)-F(X2, yi)-F(Xi, y2)中 F(Xi，yj 0.P (X =x, Y =y)俺 P(xvXx+dx, y cY 0,6：0,|卩|1是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分 布, 記為（X, 丫）N （卩 1，卩2,62,；, P）.由邊緣密度的計(jì)算

19、公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分 布，即 XN (41),Y N (卩2,2).但是若XN （卩1衛(wèi)2）,丫 N（42b；） , （X, Y）未必是二維正態(tài)分布。（10 ）函數(shù) 分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：FZ=P（Z Z）= P（X +丫 Z）-be對(duì)于連續(xù)型，fZ（z）= Jf（x,z-x）dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（卩2,； + b；）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。4 =送 Cit ,宀 Ci22iiZ=max,mi n(X1,X2，Xn)若X1,X2Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx (x), Fx2(X)(x)，則 Z=max,mi

20、n(X i,X2,Xn)的分布函數(shù)為:Fmax(X)= Fi(X) Fx2(X)FxQ)Fmin(X)= 1 -1 Fxi(X) *1 - Fx2(X)1 - Fxn(x)工2分布t分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi,X2,，Xn相互獨(dú)立,布，可以證明它們的平方和的分布密度為且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分nXi2i 4n.nUf(u)I12丿1，U ,我們稱隨機(jī)變量 W服從自由度為n的7 2分布，記為W-工2(n),其中們 訟Jr - U f x2 edx.12丿0所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。X2分布滿足可加性：設(shè)Yi -門nJkZYi X2(n1 +n2 十+nk).iz1

21、設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X N(0,1),Y/2(n),可以證明函數(shù)的概率密度為f(t)-vY/n門丿(蟲 t oo,y )(1)E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)(3)nnE(X+Y)=E(X)+E(Y) , EO： CiXi)=2 GEX)iTiU(4)E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和丫不相關(guān)。(1)D(C)=0; E(C)=C(2)2D(aX)=a D(X); E(aX)=aE(X)(3)2D(aX+b)= a D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X2)-E 2(X)的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。D(

22、X Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和丫獨(dú)立； 充要條件：X和丫不相關(guān)。 Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無(wú)條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。D(X期望方差0-1 分布 B(1, p)P(1-P)的期 望和 方差(5)維機(jī)量數(shù)特隨 變 的 字 征二項(xiàng)分布B(n, P)npnp(1- P)泊松分布P仏)AA幾何分布G(p)1P1- P2P超幾何分布H(n,M,N)nMNnMN；M Y N - n 3I NAN1 丿均勻分布U (a,b)a +b2(b-a)212指數(shù)分布e仏)171 TTA正態(tài)分布N(巴CT2)kb 2/2分布n2nt分布

23、0n , c、(n 2)n 2期望nE(X)=S XiPi.y-beE(X)= Jxfx(x)dxnE(Y yjPj 4-beE(Y)= yfY(y)dy函數(shù)的期望EG(X, Y)=EG(X, Y)=S Z G(Xi, yj)Piji j-be -beJ jG(x,y)f(x,y)dxdy-oO-oC方差D(X)=I； Xi -E(X)2 Pii-beD(X)= Jx-E(X)2fx(x)dxD(Y)=Z： Xj -E(Y)2 p.jj-beD(Y)= Jy-E(Y)2fY(y)dy差或相關(guān)矩，記為 cXY或cov(X,Y)，即而當(dāng)P =0時(shí)，稱X與丫不相關(guān)。協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于

24、隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩k11為X與丫的協(xié)方bxY =11 =E(X-E(X)(Y-E(Y).與記號(hào)CT XY相對(duì)應(yīng)，X與丫的方差D( X)與D( Y)也可分別記為CT XX對(duì)于隨機(jī)變量 X與丫，如果D(X) 0, D(Y)0，則稱bxY為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作 PxY (有時(shí)可簡(jiǎn)記為 P)。| P| 1,當(dāng)I P|=1 時(shí)，稱 X與 丫完全相關(guān)：P(X=aY+ b) = 1完全相關(guān)正相關(guān)當(dāng)7時(shí)(5)，負(fù)相關(guān)，當(dāng)P = -1時(shí)(acO),以下五個(gè)命題是等價(jià)的: PXY =0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y

25、)=D(X)+D(Y).Gxxf LyXyy 丿對(duì)于隨機(jī)變量X與丫，如果有E(XkYl)存在，則稱之為 X與丫的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為 vkl ； k+l階混合中心矩記為:kl(6)(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);協(xié)方(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);差的(iii)cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y);性質(zhì)(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).Uki =E(X -E(X) (Y-E(Y).(7)獨(dú)立和不相關(guān)(i)(ii若隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，則 PXY =0 ；反之不真。若(X, Y)N (出，2，

26、12,2 ,P ),則X與丫相互獨(dú)立的充要條件是 X和丫不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理(1 )大數(shù)定律切比雪 夫大數(shù) 定律設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,湘互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一 常數(shù)C所界：D(X) C(i=1,2,)，則對(duì)于任意的正數(shù) ，有h J；1 二lim P-Z Xi一一送 E(Xi) n_)pG 1In yn y丿=1.特殊情形：若X, X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (X)=卩， 則上式成為11 n、lim P-Z Xi p sn_J=1.伯努利 大數(shù)定 律設(shè)卩是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，P是事件A在 每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)，有l(wèi)im PJn-p伯

27、努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即lim P- p in 1njqc=0.辛欽大數(shù)定律這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。設(shè)X1, X2,，Xn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(%)=卩，則對(duì)于任意的正數(shù) 有1J,lim P-z Xi A =此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗 -拉普 拉斯定 理設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù) n, p(0 p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,有1t2Xn-nP. !1/ 右. = f e 2 dt.42 二= lim ty jjnp(1 - p)若當(dāng)NT，普T p(n,k不變)，則cN(Nt 處

28、).Q k Q n -kCMCNJM 一 Qkkz.rnAT Cn P (1 p)超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4 )泊松定理若當(dāng)nT 處時(shí)，npT 扎0，ikA尹k!(nT 處).C k k ., n -kCnP (1- P) T其中k=0, 1, 2，n，。 二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理 統(tǒng)計(jì)的基 本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)(或多個(gè))指標(biāo)的全 體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨 機(jī)變量(或隨機(jī)向量)。個(gè)體總體中的每一個(gè)單兀稱為樣品(或個(gè)體)。樣本樣本函數(shù)和 統(tǒng)計(jì)量常見統(tǒng)計(jì)量 及其性質(zhì)我們把從總體中抽取的部分樣品X

29、1,X2/- , Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下, 總是把樣本看成是 n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī) 變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，Xi,X2,，Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一次抽取之后，X1,X2, Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。設(shè)Xi,X2,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱 N ( Xi,X2,Xn)為樣本函數(shù)，其中 護(hù)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果 護(hù)中不包含任何未知參數(shù)，則稱護(hù)(X1,X2/- ,Xn )為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。樣本均值樣本方差S2樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩Xi. n y(Xi -

30、X)2.評(píng)2M k =W Xik,k =1,2,.n y樣本k階中心矩1 nM k =_送(Xin yk-X),k =2,3，.E(X)二卩c2D(X)= nE(S2)=cr2，E(S*2)= d2n彳 n QIQ其中S* =-Z (Xi X)，為二階中心矩。n y（2 ）正 總體下 四大分布正態(tài)分布設(shè)Xi,X2,，Xn為來(lái)自正態(tài)總體 N（4,cr2）的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def X 4u_N(0,1).b / THt分布設(shè)X1,X2，,Xn為來(lái)自正態(tài)總體 N（巴CT2）的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def x-At=t( n-1), s/V n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。/2分布設(shè)X

31、i,X2,Xn為來(lái)自正態(tài)總體 N（巴CT2）的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)wdef匸2(n_1),O其中/2（n1）表示自由度為n-1的/2分布。F分布設(shè) X1, X2 , ,Xn為來(lái)自正態(tài)總體N （比円2）的一個(gè)樣本，而2yi, y2,yn為來(lái)自正態(tài)總體 N （巴cr2）的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def s2/2其中S2 (Xi -X)2,S221 n2 - 2y);F （n4 1,門2 -1）表示第一自由度為ni 1，第二自由度為n 21的F分布。（3）正態(tài) 總體下分 布的性質(zhì)X與S2獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù) 6,日2,月m,則其分布函數(shù)可以表成F（x;&i,

32、62,，）它的 k 階原點(diǎn)矩 Vk =E（X k）（k = 1,2,m）中也包含了未知參數(shù)01,日2,，日m，即Vk =Vk但1,日2,月m）。又設(shè)Xi,X2，Xn為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的 k階原點(diǎn)矩為1 n-S Xik （k =1,2，,m）. n y這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩” 的原則建立方程，即有A AA 1 nV1（6,T2em）=-：S Xi,n yA AA 1 nV2（日1,日2,月m）=-2n i呂2Xi ,A AA 1 nVm（ ,日2，fm）=送n ymXi A AA由上面的m個(gè)方程中，解出的 m個(gè)未知參數(shù)（,9 2,，8m）即為參數(shù)（

33、4,6,，瞪）的矩估計(jì)量。A若&為日的矩估計(jì)，g（x）為連續(xù)函數(shù)，則g（珂為g（T）的矩估計(jì)。（2 ）估 計(jì)量的 評(píng)選標(biāo) 準(zhǔn)極大似 然估計(jì)無(wú)偏性有效性當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度f(wàn) （X；&1 ,日2 ,，気），其中為未知參數(shù)。又Xi ,X2,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱nL1，日2，日 m） =n f（Xi；&1，日 2,月 m）i 4為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為 Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律PX = p（X；i，日 2，m），則稱nL（X1,X2，Xn；6,日 2,fm）=n P（Xi；6 ,日 2,為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L（X1,X2,A A，Xn；6月2,月m）在日1月2,Pm）A月m處取到最大值，則稱 &,92，fm分別為002，9m的最大似然估計(jì)值, 相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。創(chuàng)nLn胡i=0,i =1,2,m若&為日的極大似然估計(jì)，g（X）為單調(diào)函數(shù)