概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案第四版第1章浙大

1、1、(1)(2)(3)寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S:記錄一個(gè)班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(設(shè)以百分制記分) 生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為之，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查， 合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”， 如連續(xù)查出了 2件次品就停止檢查，或檢查了 4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查 結(jié)果。在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。(1) 解：設(shè)該班學(xué)生數(shù)為 n總成績(jī)的可取值為0,1,2,3，100n,(2) 解：S=10、11、12 所以試驗(yàn)的樣本空間為S=i/n| i=1、2、3 100n(3) 解：設(shè)1為正品0為次品S=00 , 100, 1100 ,1010(4) 解：取直角

2、坐標(biāo)系，則取極坐標(biāo)系，則S=010,S=(p ,1111, 1110, 1011, 1101, 0111, 0110, 0101,2 2(X, y) |x +y 10 ) | P 0,證明(2) 若 P (A|B) =1，證明(3) 若設(shè)C也是事件，且有P (A) P ( B)P (AB|A) P ( AB|A B)P (P| ) =1(A|C) P ( B|C), P ( A| ) P ( B| )，證明P (AB|A)=因?yàn)樗砸虼俗C明因?yàn)樗运?3)P所以已知所以所以(AB|AP(A) wP (A|B)B) ) ( )筆誤？右邊是并吧(AB|A) P ( AB|A B)P(AB)=P(

3、B)=P (AC)+ P(A =P (BC)+ P(B(A(B)P(A)-P(B)=P(C)( PP (A|C) P ( B|C)P(A)- P(B) 0P (A) P ( B)=P (A|C) P(C)+ P (A| ) P () (B|C) P(C)+ P -P ( B|C) )+ P (A| ) P ( B|)=P(A|C)P(B| ) P ()()(P (A| ) - P (B| ) )0.8和0.9，從中各取一個(gè)，設(shè)各花籽是否發(fā)芽相互獨(dú)立28.有兩種花籽，發(fā)芽率分別為(1) 這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率(2) 至少有一顆能發(fā)芽的概率A為a花籽發(fā)芽，事件B為b花籽發(fā)芽P (AB) =P(A

4、)P(B)=0.72(3) 恰有一顆能發(fā)芽的概率解：設(shè)事件(1)P (A B) =P(A)+P(B)-P(AB)=0.98P(A B)= P (A B) - P (AB) =0.2629、根據(jù)報(bào)道美國(guó)人血型的分布近似地胃：A型為37%, O型為44%, B型為13%, AB型為6%。夫妻擁有的血型是相互獨(dú)立的。(1) B型的人只有輸入 B O兩種血型才安全。若妻為 B型，夫?yàn)楹畏N血型未知，求夫是妻的安全輸血者的概率。(2) 隨機(jī)地取一對(duì)夫婦，求妻為 B型夫?yàn)锳型的概率。(3) 隨機(jī)地取一對(duì)夫婦，求其中一人為A型，(4) 隨機(jī)地取一對(duì)夫婦，求其中至少有一人是 解：(1)設(shè)一個(gè)人的血型為 A,B,

5、0， 設(shè)夫是妻的安全輸血者為事件AB分別為事件C,則 P( C)另一人為B型的概率。0型的概率。A,B,O,AB.=P ( B) + P( 0) =13%+44%=0.57設(shè)妻為B型夫?yàn)锳型為事件D,則 P (D) =P (B) P (A) =13%X 37%=0.0481(4 )設(shè)隨機(jī)地取一對(duì)夫婦，其中一人為A型，另一人為B型為事件X,則事件X包括妻為B型夫?yàn)?A型和妻為 A型夫?yàn)锽型,P ( X) =P(A) P (B)+P (A) P(B)=0.0962(4)法一：設(shè)隨機(jī)地取一對(duì)夫婦，其中至少有一人是 0型為事件Y, 一個(gè)人的血型不是 0為事件0,則事件丫可表示為兩人恰有一人為0型和兩人

6、都是 0型，P (Y)=P(0)-P(0)+P(0) P(0)+P(0) P(O)=0.6864法二：設(shè)隨機(jī)地取一對(duì)夫婦，其中至少有一人是0型為事件丫則事件丫的對(duì)立事件為兩人都不是0型血(事件 Y),則 P(丫)=1-P( Y )=1- P( 0) P(0)=0.686430、( 1)給出事件 A、B 的例子，使得(i ) P( A |b) P (A)(2 )設(shè)事件 A B、C相互獨(dú)立，證明：(i) C與AB相互獨(dú)立 (ii ) C與AjB相互獨(dú)立。(3) 設(shè)事件A的概率P (A) =0,證明對(duì)于任意另一事件 B,有A、B相互獨(dú)立。(4) 證明事件 A B相互獨(dú)立的充要條件是 P (A I B

7、) =P ( a|B)答：(1) (i )當(dāng)事件B發(fā)生會(huì)是事件 A發(fā)生的概率減小時(shí)，P( aI B) P( A)B是課余時(shí)間室友們健身，顯然(iii )比如事件A是課余時(shí)間我去健身，事件 他們很有可能對(duì)我的決定產(chǎn)生影響。(2) (i ) A、B、C相互獨(dú)立 P (ABC) =P (A) P ( B) P (C) =P即 P (AB C) =P (AB) P (C)(AB P (C) C與AB相互獨(dú)立(ii ) P (AU B) =P (A +P ( B) -P (AB) P ( AU B) P ( C) =P (A) P ( C) +P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P(A U B)C)

8、C與AU B相互獨(dú)立(3)因 ABU A,故若 P (A) =0,則0? P (AB ? P(A)從而P(AB)=0=P(B)?0=P(B) ?P(A)按定義，A,B相互獨(dú)立。(4)必要性.設(shè)A,B相互獨(dú)立，則A, B也相互獨(dú)立，從而只(A|B )=P (A),P(A|B)=P(A).故 P (A|B)= P(A| B).(A|B )P(A| B ),按定義此式即表示P(AB 片 P AB P( B) + P(B)尸(A BUB L)p(a)P(AB) _ P(aB)P(B) P(B)由比例的性質(zhì)得P(AB) _ P(AB)+P(AB)p(a(bUB)P(B) P(B) + P(B)=P (A

9、)31.設(shè)事件A，B的概率均大于零，說(shuō)明以下敘述 并說(shuō)明理由。(1)(2)(3)(4)解：(1 )、( 2)必然錯(cuò)原因：若 A, B相互獨(dú)立，則 P(AB)=P(A)P(B) 若A, B互不相容，則 AB=O ,即P(AB)=0 所以(1)、(2)必須錯(cuò)(3) 必然錯(cuò)原因：P (AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)P( A)=P(B=0.6) 筆誤即 P(AB) 0.20則A, B不可能互不相容(4) 可能對(duì)原因：當(dāng) P( AB) =P (A) P(B)=0.36若A與B互不相容，則它們相互獨(dú)立。 若A與B相互獨(dú)立，則它們互不相容。P(A)=P(B)=0.6，且 A,B 互不相容。P(A)

10、=P(B)=0.6，且 A,B 相互獨(dú)立。1)必然對(duì),(2)必然錯(cuò)，(3)可能對(duì)。時(shí)，A, B相互獨(dú)立，否則 A, B不相互獨(dú)立。32.有一種檢驗(yàn)艾滋病毒的檢驗(yàn)法，經(jīng)此法檢驗(yàn)有0.005的概率被認(rèn)為帶艾滋病毒)其結(jié)果有概率0.005報(bào)道為假陽(yáng)性(即不帶艾滋病毒者,，今有140名不帶艾滋病毒的正常人全都接1 1 1所以 P(AB)=P(A)P(B)= , P(AC)=P(A)P(C)= , P(BC)=P(B)P(C)= 434、試分別求以下兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性：(1) 設(shè)有四個(gè)獨(dú)立工作的元件1 , 2, 3,34圖(1)的方式連接(稱為并串聯(lián)系統(tǒng))(2) 設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件 1,2,3,4,5

11、 方式連接(稱為橋式系統(tǒng))。圖1)4,它們的可靠性分別為p1, p2, p3,p4,將它們按題它們的可靠性均為p,將它們按題34圖(2)的受此種檢驗(yàn)，被報(bào)道至少有一人帶艾滋病毒的概率為多少? 解：設(shè)事件A表示被報(bào)道至少有一人帶艾滋病毒P(A)=1-=1-=0.504333、盒中有編號(hào)為1,2,3,4的4只球，隨機(jī)地自盒中取一只球，事件 A為“取得的是1號(hào) 球或2號(hào)球”，事件B為“取得的是1號(hào)或3號(hào)球”，事件C為“取得的是1號(hào)或4號(hào)球”驗(yàn) 證：P(AB)=P(A)P(B) , P(AC)=P(A)P(C) , P(BC)=P(B)P(C)，但 P(ABC)m P(A)P(B)P(C)，即 事件A

12、, B, C兩兩獨(dú)立，但 A, B, C不是相互獨(dú)立的。解、由題意知，事件 AB, AC, BC, ABC均為“取得的是1號(hào)球”12 1則 P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=，且 P(A)=P(B)=P(C)=44 21411但 P(ABC)=-豐 P(A)P(B)P(C)=-。48B,C不是相互獨(dú)立的。故可證明事件 A, B, C兩兩獨(dú)立，但 A,445工作分別為事件A1, A2, A3, A4,則解：(1)設(shè)系統(tǒng)工作為事件B,元件1,2,3,4P ( B) =P (A1) P (A2A3J A4)=P 1 P( A2A3)+P(A4)-P( A2A3A4)=p1p2p3+p

13、1p 4-p1p2p3p4(2)設(shè)系統(tǒng)工作為事件 B,元件1,2,3,4,5法一 P(B)=P3P(A1U A4)P(A2U A5)+(1=P工作分別為事件 A1, A2, A3, A4, A5則 -P3)P (A1A2U A4A5)(p+p-p*p ) (p+p-p*p)+(1-p)(P*P+p*p-p*p*p*p)2p 2+2 p3-5p4+2p5法二 P(B)=P(A1A2 U A1A3A5J A4A5U A4A3A2)=p( A1A2)+P( A1A3A5)+P( A4A5)+P( A4A3A2)-P( A1A2A1A3A5)-P( A1A2A4A5)-P( A1A2A4A3A2)-P

14、( A1A3A5A4A5)-P( A1A3A5A4A3A2)-P( A4A5A4A3A2)+P( A1A2A1A3A5A4A5)+P( A1A2A1A3A5A4A3A2)+P( A1A2A4A5A4A3A2)+P( A1A3A5A4A5A4A3A2)-P( A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2)2p2 + 2p3 5p4 + 2p535、如果一危險(xiǎn)情況C發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我么可以借用兩個(gè)或多個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián) 以改善可靠性.在C發(fā)生時(shí)這些開(kāi)關(guān)每一個(gè)都應(yīng)閉合，且若至少一個(gè)開(kāi)關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā)出.如果兩個(gè)這樣的開(kāi)關(guān)并聯(lián)連接，它們每個(gè)具有0.96的可靠性(即在情況 C發(fā)生時(shí)閉合的概率)，問(wèn)這

15、時(shí)系統(tǒng)的可靠性(即電路閉合的概率)是多少？如果需要有一個(gè)可靠性為 0.9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開(kāi)關(guān)并聯(lián)？設(shè)各開(kāi)關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的.解：法一設(shè) 表示事件“第i只開(kāi)關(guān)閉合”，則 表示事件“第i只開(kāi)關(guān)斷開(kāi)”，i .根據(jù)題 意，(i )之間彼此獨(dú)立且P( )=0.96.另設(shè)表示事件“有i個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)時(shí)遇到情況 C電路閉合”，i .(1)當(dāng)有兩只開(kāi)關(guān)并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)可靠性為P ()=P ()=1-P (=1-P ()=1-P ()=1-(1-0.96) (1-0.96)=0.9984當(dāng)有兩個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)可靠性為0.9984.法二1)2)(2)當(dāng)有P ( =P ( =1-P ( =1-P

16、( =1-=1-所以要使1-即即nn只開(kāi)關(guān)并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)可靠性為)P ()達(dá)到0.99990.00010.9999，即 P () 0.9999，則因?yàn)閚只能為整數(shù)，所以 n至少為3,即如果需要有一個(gè)可靠性為0.9999的系統(tǒng),則至少需要用3只開(kāi)關(guān)并聯(lián).解：設(shè)兩個(gè)開(kāi)關(guān)分別為A和B.電路的可靠性即開(kāi)關(guān)至少一個(gè)閉合，又因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，故P (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P (A)+P(B)-P(A)* P(B)=0.96+0.96-0.96*0.96=0.9984解：為使系統(tǒng)可靠性達(dá)到0.9999，設(shè)需要n個(gè)開(kāi)關(guān)，第i個(gè)開(kāi)關(guān)用X表示,n個(gè)開(kāi)關(guān)相互獨(dú)立，同理，P (X1+X2+X3+.

17、+X i+Xn)則令n=3時(shí)，P(X1+X2+X3)=P(X1)+P(X2)+P(X3)-P(X 1X2)-P(X 1X3)-P(X 2X3)+P(X1X2X3) =P(X1)+P(X 2)+P(X 3)-P(X 1X2)-P(X 1X3)-P(X 2X3)+P(X 1)P(X 2)P(X 3)=0.96*3-0.96*0.96*3+0.963=0.999936 0.9999因此當(dāng)n=3時(shí)，已可以使系統(tǒng)達(dá)到要求的可靠性。故至少需要用3個(gè)這樣開(kāi)關(guān)。36、三人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知個(gè)人能譯出的概率分別為 有一人能將此密碼譯出的概率是多少？解：1/5,1/3,1/4. 問(wèn)三人中至少之間相互獨(dú)立。設(shè)

18、 表示事件“第i個(gè)人譯出密碼”，i=1,2,3. 則事件P (=1-P (=1-P (“至少一人能將此密碼譯出”即)P () P ()=1-(1-)(1- -) (1-)所以三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是3/5。=1-P (37.設(shè)第一只盒子中裝有 3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子中裝有 2只藍(lán)球，3 只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別在兩只盒子中各取一只球。(1)求至少有一只藍(lán)球的概率(2 )求有一只藍(lán)球一只白球的概率(3)已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率解：(1 )設(shè)“至少有一只藍(lán)球”為事件，則其對(duì)立事件為“兩只盒子都未抽到藍(lán)球”(2)設(shè)“有一只藍(lán)球一只白球”為事件

19、 為事件C, “第一只盒子取到白球，由于事件C D互斥，則所求概率P( ) =P ( ) +P ()=-因?yàn)樵趦芍缓凶又腥∏蛳嗷オ?dú)立，所以則所求概率P ( )1 -P ()(3)由(1) (2)所設(shè)及題意知所求概率為P (B|A)38.枚,袋中裝有將它投擲m枚正品硬幣、n枚次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽)，在袋中任取一r次，已知每次都得到國(guó)徽，問(wèn)這枚硬幣是正品的概率為多少？解:設(shè)“一枚硬幣投擲 r次每次都得到國(guó)徽”為事件 A，“這枚硬幣是正品”為事件 B由于每次投擲硬幣相互獨(dú)立，則P (A|B) =(-) P (A| ) =1P (B)=P ( ) = 1- P ()=B，“第一只盒子取到藍(lán)球，第二只盒子取到白球” 第二只盒子取到藍(lán)球”為事件D由題意知所求概率為P( B|A)根據(jù)貝葉斯公式P ( B|A)=(_)(_) -T39.設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸?shù)哪撤N物品損壞的情況共有三種：損壞2(這一事件記為 )，損壞10%(事件 )，損壞90%(事件 )，且知P( )=0.8，P( )=0.15， P( )=0.05.現(xiàn)在從已被運(yùn)輸?shù)奈锲分须S機(jī)地取 3件，發(fā)現(xiàn)這3件都是好的(這一事件記為，取出一件后不