常見輔助線作法

1、12 / 11輔助線的作法正確熟練地掌握輔助線的作法和規(guī)律， 也是迅速解題的關(guān)鍵，如何準(zhǔn)確地作出需要的輔助線，簡單介紹幾種方法: 方法一：從已知出發(fā)作出輔助線:FMC例1.已知：在 ABC中, AD是BC邊的中線，E是AD的中點,AC的交點，求證：AF=1FC分析：題設(shè)中含有D是BC中點，E是AD中點，由此可以聯(lián)想到三角形中與邊中點有密2切聯(lián)系的中位線，所以，可有如下 2種輔助線作法:（1）過D點作DN / CA，交BF于N，可得N為BF中點，由中位線定理得11DN=FC，再證 AEF DEN，貝U有 AF=DN，進而有 AF=FC221(2)過 D 點作 DM / BF,交 AC 于 M,可

2、得 FM=CM，F(xiàn)M=AF，則有 AF= FC2方法二：分析結(jié)論，作出輔助線例2:如圖，AD是 ABC勺高，AE是ABC的外接圓直徑,求證：AB- AC=AE ADAB AE分析：要證AB AWE AD，需證一淀AB ad(或=),需證 ABE sA ADC (或 ABD AEC ), AE AC這就需要連結(jié)BE （或CE），形成所需要的三角形，同時得 / ABE= / ADC=90 (或/ ADB= / ACE=90 0)又/ E= / C (或/ B= / E)因而得證。AD分別交于點MCB方法三：“兩頭湊”（即同時分析已知和結(jié)論）作出輔助線A例3：過厶ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及

3、中線F和E;求證：AE： ED=2AF FB分析：已知D是BC中點，那么在 三角形中可過中點作平行線得中位線;若要出現(xiàn)結(jié)論中的AE : ED，則應(yīng)有一條與EF平行的直線。所以，過 D點作AEDM EF交AB于M，可得EDAF 2AF，再證FM 2FMBF=2FM 即可。方法四：找出輔助線的一般規(guī)律,將對證題時能準(zhǔn)助。例如：在“圓”部分就有許多規(guī)律性輔助線:(1)有弦，作“垂直于弦的直徑”出所需輔助線有很大幫B0n例4:已知，如圖，在以0為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦 ABA小圓于 C D兩點，求證：AC=BD分析：過0點作OEIAB于E,則AE=BE CE=DE 即可證得 AC=BD(2)有直

4、徑，構(gòu)成直徑上的圓周角(直角)例5:已知：如圖，以 ABC的 AC邊為直徑,作O0交BC BA于D E兩點，且CD =DE , 求證：/ B=/ C分析：連結(jié)AD由于AC為直徑，則有ADI BC又CD = DE，/ 2,由內(nèi)角和定理得/ B=/ C(3)見切線，連半徑，證垂直例6:如圖，AB為O 0的直徑，C為O 0上一點，AD和過C點有 / 1 =AB0的切線互相垂直，垂足為 D,求證：AC平分/ DAB分析：連結(jié)0C由于CD為切線，可知0CICD易證：/ 仁/ 2,又因為/ 2=/ 3,所以/仁/3,則可得AC平分/ DAB(4)證切線時，“連半徑，證垂直”或“作垂直，證半徑”例7:已知，

5、直線 AB經(jīng)過O 0上的一點，并且 0A=0BCA=CB求證：直線AB是OO的切線 分析：連結(jié)OC要證AB是O O的切線,需證OCLAB由已知可證 OAC OBCAE徑,可得/ OCAh OCB=90結(jié)論得證。例 &已知,梯形 ABCD, AB/ CD /A=9d , BC是O O的直BC=CD+AB求證：AD是O O的切線分析：過O點作OE1AD,垂足為E, 要證AD是OO的切線，只要證 OE是O O的半徑即可,也就是說需要證 OE=1 BC，由于/ A=90, AB/ CD可得AB/ CD/ OE再由平行OE=1(AB + CD) JbC ,2 22線等分線段定理得 DE=E A進而由梯形

6、中位線定理得所以E點在O O上, AD是OO的切線。（二）練習(xí)AD= DB AE= EC1、已知：如圖，在 ABC中,求證：DE/ BC DE= -BC2A2、已知： 少圖27.3.12所示, AD/ BCDAEBp 求玩/ EF/ BC,在梯形迅匹JE，DF= CF.BCCEN 1 (AD+3、已知：如圖 27.3.13所示，在 ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.c27.3.12圖27 3.13F本圖形與基 適當(dāng)?shù)妮o助A C B 助大家現(xiàn)就圓中輔助線的常規(guī)作法分類總結(jié)如求證：AE、DF互相平分。c4、如圖：已知：AB為O O的直徑，弦CD丄AB , M為AC上一點，AM的延長

7、線交DC的延長線于F, 求證：/ AMDMFMC與圓有關(guān)的輔助線常規(guī)作法解析 與圓有關(guān)的幾何問題，幾乎涵蓋了初中幾何 本性質(zhì)，題型的復(fù)雜程度可想而知。為此，常常需線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，從而方便求解。正確理解并掌握圓中有關(guān)計算或證明題的一般解法，下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考一一一、圓中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半徑或直徑，有時還要連結(jié)過弦端點的半徑）1解：過 A作 AHLBD于 H,則 BH=2BD=5cm。例1.如圖，以Rt ABC的直角頂點 A為圓心，直角邊 AB為半徑的O A分別交BC AC 于點 D E,若BD=10cm DC=6cm求o A的半徑。6 v BA! AC, /

8、CAB玄 AHB=90。又 v/ ABH玄 CBA ABHT /v I CBA - 營 AB 2BE =BH =X12 =8。 BC BH BD DChEH 13 5 =80m =, r =AB =y80 =4藥術(shù)。P弦PN與AB相交于點M求證:例2.如圖，AB是O O的直徑，PO! AB交O O于點PM PN =2PO3例4.如圖,AB是半圓的直徑，C為圓上的一點，CD丄AB于D,求證：CD2 =AD BD。 v AB為直徑，/ ADC玄 CDB=90 ,匹竺，即CD2CD BD評析：由于直徑所對的圓周角為直角，所以在有關(guān)圓的證明或計算問題中，利用該性質(zhì)極易構(gòu)造出直角三角形，從而可以很方便地

9、將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中進行解決。三、圓中有切線，常作過切點的半徑例5.如圖，已知MN為O O的直徑，若PA=PM求/ A的度數(shù)。解：連結(jié)OP,設(shè)/ A的度數(shù)為X。1 證明：過O作OCL NP于點C,則PC =- PN。OPMMCPO 2/ OCL NP, PCL AB,./ POMM P CO=90。又v/P性（P,N即 OPMCPQ 巴=巴, po2 = PM.PC=PC POPM -PW 2Po評析：求解圓中與弦有關(guān)的問題，常需作弦心距（即垂直于弦的直徑或半徑），其目的是構(gòu)造以半徑、弦心距、弦為邊的直角三角形，并利用垂徑定理來溝通弦、弧、弦心距之間 的聯(lián)系。二、圓中有直徑，常作直徑所對的

10、圓周角（在半圓中，同樣可作直徑所對的圓周角）例3.如圖，AB為半圓的直徑， OHI AC于H, BH與OC交于E,若BH=12,求BE的長。 解：連結(jié)BCo廠1_OHbc12/ AB 為直徑， AC 丄 BG 又 v OH! AC, AO=BO O - BC, 2C證明：連結(jié)AC、BC。 / ACB=90 , / 1+/ 2=90 。又v CD! AB, / 1 + / 3=90, / 3=/ 2, BCBA CAD =AD BD 。（若無切點，則過圓心作切線的垂線）AP是OO的切線，P為切點，點A在MN的延長線上,AOPMW M / POA= OPM/ M=2/ OHE/ CBE / HOE

11、/ BCE OH&A CBE -匱 BE/ M=2Z A=2x。又 AP切O O于點 P,. API OPA+Z POA=90，即 x+2x=90 ,x=30,./ A=30o例6.如圖,AB為O O的直徑,C為O O上的一點,AD和過C點的切線垂直/ 1 = / 2o證明：連結(jié)OC/ DC切O O于點 C,. OCL DC 又 ADX DC OC/ AD,仁Z 3。OA=OC. / 2=Z 3,.Z 仁Z 2o評析：當(dāng)欲求解的問題中含有圓的切線時，常常需要作出過切點的半徑，利用該半徑與切線的垂直關(guān)系來溝通題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系。四、圓中有特殊角，常作直徑構(gòu)造直角三角形（若題中有三角函數(shù)但無直角

12、三角形，構(gòu)造直角三角形）例7.如圖，點A B、C在O O上（AC不過O點），若Z ACB=60 ,AB=6,解：作直徑AD,連結(jié)BDb解之得求證,垂足為D,DCA0則也需作直徑/ ACB與/ D都是AB所對的圓周角，/ D=/ ACB=60。又: AD是直徑，/ ABD=90 , ad=475 ,si nD sin 60例8.如圖，在銳角 ABC中，若BC=a CA=b, AB=cbasinA si nB sinC證明：作直徑=2R。CD連結(jié)BDCD為直徑,CBD=90 , sinD =2DC 2Rasin A =sin D = 2R1 r =AD =23 o2 ABC的外接圓半徑為DA0求證

13、:求O O半徑的長。Bab=2R，同理可得=2R , sinAsi nBcsinC=2R，R又/ A=/ D,.a si nA si nB si nC評析：當(dāng)題設(shè)中未告訴有直角三角形但卻含有30某個角的三角函數(shù)值時，通常需要作直徑構(gòu)造直角三角形來幫助求解。五、兩圓相切，常作公切線（或者作兩圓的連心線）例9.如圖，O O和O Q外切于點 A, BC是O O和O Q外公切線，B、C為切點，求證：AB 丄ACo證明：過點A作OO與O Q的公切線 AM交BC于點M=/ MA和MB分別切O 0于點A、B,： MA=MB同理可得 MA=MC MA=MB=MC即點A、B、C同在以M為圓心，BC為直徑的圓周上

14、，二 AB 丄ACo例10.如圖，O A和O B外切于點 P, CD為O AO B的外公切線，與O B的半徑分別為r和3r,求：CD的長；Z B的度數(shù)。解：連結(jié)AB,連結(jié)AC BD過點A作AE丄BD于Eo、 CD是O A和O B的外公切線， C D為切點， AC! CD BD丄CD。又 AE! BD,：四邊形 ACDE為矩形，二 CD=AE DE=AC=r; =2R。、45 、 60、90。等特殊角或MO2BE=BD-DE=3r-r=2r o AB=r+3r=4r , CD =AE =Jab2 -BE2 =273r o0iO在OQ上，連A0,D BA0,將DE兩邊延長分別交 AB AC于M N

15、,（法二：圖 1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理:BE 2r 1 、在 RtAEB中， cosB=BE=2= , / B=60oAB 4r 2評析：在解決有關(guān)兩圓相切的問題時，常常需作出兩圓的公切線或連心線，利用公切線等性質(zhì)來溝通兩垂直于經(jīng)過切點的半徑、切線長相等、連心線長等于兩圓半徑之和（或差）圓間的聯(lián)系。六、兩圓相交，常作公共弦（或者作兩圓的連心線）例11.如圖，O O和O O相交于 A B兩點，AD是O 0的直徑，且圓心 結(jié)DB并延長交O Q于點C,求證：CO丄ADO證明：連結(jié)ABo/ AD 為O O 的直徑，/ ABD=90 , / D+

16、Z BAD=90。又/ C和/ BAO都是O C2中BOi所對的圓周角，/ C=/ BAO,即/ C=/ BAD二/ D+Z C=90,. CO丄 AD。例12.如圖，O O和O O相交于A、B兩點，兩圓半徑分別為 6/2和4j3，公共弦AB的 長為12,求Z OAQ的度數(shù)。解：連結(jié)AB OQ，使之交于H點。 AB為O O與O O的公共弦，.連心線OQ垂直平分 AB,.AH=1AB = 6,. cogAH=2= , coNQAH =少上,2AO 6j2 2AQ 4/3 2/ OAH=45,/ QAH=30 , / OAQ=/ OAH+Z QAH=75。評析：在解決有關(guān)兩圓相交的問題時，最常見的

17、輔助線是兩圓的公共弦或連心線，公 共弦可以聯(lián)通兩圓中的弦、角關(guān)系，而連心線則垂直平分公共弦。全等三角形作輔助線的常用方法一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如:例1、已知如圖1-1 : D E為 ABC內(nèi)兩點，求證：AB+AOBD+DE+CE.證明：（法一）在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時,延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上,例如：如圖 2-1 :已知 D為 ABC內(nèi)的任一點，求證：/ BDCN可連接兩點或小角處

18、于這個BAG分析因為/ BDC與/ BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置;證法一：延長BD交AC于點E證法二：連接AD并廷長交BC于F注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如:例如：如圖3-1 :已知AD為 ABC的中線，且/ 仁/ 2, / 3=/ 4,求證：BE+CFEF分析要證BE+CFEF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明,須把BE, CF, EF移

19、到同一個三角形中，而由已知/仁/ 2,/ 3=/ 4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把 EN FN, EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取 DN=DB連接 NE NF,貝U DN=DC注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1:ABC的中線，且/ 仁/ 2,/ 3=/ 4,求證：BE+CFEFC圖4 1證明：廷長ED至M 使DM=DE連接CM MR注意:當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段,

20、構(gòu)造全等三角形,五、在三角形中線時，常廷長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 5-1 : AD為 ABC的中線，求證： AB+AC2AD分析要證 AB+AO2AD 由圖想到：AB+BDAD,AC+CDAD所以有AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD左邊比要證結(jié)論多 BD+CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線,把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD至E,使DE=AD連接BE, CE（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）使題中分散的條件集中。練習(xí):已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF

21、=2AD八、截長補短法作輔助線。例如:求證:AB-AC PB-PC已知如圖 6-1 :在 ABC中，ABAC /仁/ 2, P為AD上任一點分析要證：AB-ACPB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差,AN等于AC,故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取得 AB-AC=BN 再連接 PN 貝U PC=PN 又在 PNB中，PB-PNPB-PC證明:（截長法）在AB上截取 AN=A（連接PN證明:（補短法）延長 AC至M 使AM=AB連接PM七、延長已知邊構(gòu)造三角形:例如：如圖 7-1 :已知 AC=BD AD丄AC于A , BC丄BD于B,求

22、證：AD=BC分析：欲證 AD=BC先證分別含有 AD, BC的三角形全等，有幾種方案： ADC與 BCD AODWA BOC ABD與 BAC但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA CB,它們的延長交于 E點，（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1 : AB/ CD AD/ BC求證：AB=CD分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必 須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC （或BD）九、有和角平分線垂直的

23、線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 9-1 :在 Rt ABC中，AB=AC / BAC=90求證：BD=2CE仁/ 2，CE1BD的延長于E。F分析要證BD=2CE想到要構(gòu)造線段 2CE同時CE與/ ABC的平分線垂直，想到其延長。證明：分別延長 BA CE交于F。十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。頂角例如：已知：如圖 10-1 ； AC BD相交于 0點，且AB=DC AC=BD求證：/ A=/ D。分析：要證/ A=/ D,可證它們所在的三角形 ABD和 DCO全等，而只有 AB=DC和對兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DCAC=BD如連接BC則

24、ABDn DCO全等，所以，證得/ A=/ Db證明：連接 BC 在 ABCn DCB中取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1 : AB=DC / A=/ D 求證：/ ABC=Z DCB分析：由AB=DC / A=/ D,想到如取 AD的中點N,連接NB, NC,再由 SAS公理有 ABNA DCN 故 BN=CN/ ABN2 DCN 下面只需證/ NBC=/ NCB再取BC的中點M,連接 MN則由SSS公理有 NBM NCM所以/ NBC=/ NCB問題得證。證明：取 AD BC的中點N、M連接NB NM NC圖 111梯形問題中的輔助線1、連結(jié)對角線例1 如圖1 ,梯形ABCD中

25、，AB / CD, AD = BC ,延長AB使BE = CD，試說明 AC = CE.解：如圖1 ,連結(jié)BD ,由口BDCE可證得BD = CE,由等腰梯形E圖1性質(zhì)得AC = BD，所以AC = CE.2、平移一腰，即從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化為一個平行四邊形和一個三角形如圖 2,梯形 ADCB 中，AB / CD, AB = 2cm,CD = 8cm，AD = 4cm，求BC的取值范圍.解析:過點B作BE / AD，交CD于點E，則四邊形ADEB是平行四邊形，可知BE = AD = 4cm， DE = AB = 2cm.D 14 / 11圖3于是 EC = CD DE =

26、 8 2= 6cm.在 ABC 中，EC BE BC EC+ BE，所以 2cm BC 10cm.3、平移兩腰，將兩腰轉(zhuǎn)化到同一個三角形中C例3 如圖3,在梯形 ABCD中，AD / BC，/ B + / C=90 , E、F 分別為 AD、BC 的中點，BC = 8, AD = 4，試求EF.解：過點 E 分別作 EM / AB , EN / CD，交 BC 于 M、N，則/ EMF = / B，/ ENF =所以/ MEN = 90, AE = BM , DE = CN，所以 MF = NF,111所以 EF = - MN = - (BC AD) = - (8 4) = 2.2224、作梯

27、形的高，即從同一底的兩端作另一底的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為一個矩形和兩個直角三角形例4 已知，如圖4,梯形ABCD 中,AD / BC，/ B = / C = 45,梯形 ABCD是等腰梯形嗎?圖4解：過點A作AE丄BC于點E,過點D作DF丄BC于點F,則/ AEB = / DFC = 90, AE = DF,又/ B = / C= 45 .于是 ABE與 DCF能夠完全重合，即 AB = CD.5、延長兩腰，即延長兩腰交于一點，得到兩個三角形例 5 如圖 5,梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = 5, BC = 9, / B= 80 , / C= 50 .求AB的長.解：延長BA、CD交

28、于點E,因為AD / BC ,所以/ ADE =/ C= 50 .圖5因為/ E = 180/ B / C= 50所以/ E = / ADE =/ C.所以 AE = AD = 5, BE = BC = 9.所以 AB = BE AE = 9 5= 4.6、平移對角線，即過底的一個端點作對角線的平行線，將已知條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中例6 如圖6所示，在梯形 ABCD中，上底AD = 1cm,下底BC =4cm,對角線BD丄AC ,且BD = 3cm, AC = 4cm.求梯形ABCD的面積.解:過點D作DE / AC交BC的延長線于點 E,因為在梯形CD 中,圖3AD / BC ,所以四邊形 ACED是平行四邊形則AC = DE , AD = CE.又因18 / 11同高，且梯圖7為AC丄BD ,所以BD丄DE ,即 BDE是直角三角形.因為 BDE與梯形 ABCD形 ABCD 中 AD + BC = BC + CE= BE ,1 2 所以 S 梯形 ABCD = $ bde= - X 2 X 4= 6(cm ).27、利用中點，割補三角形如圖7,梯形ABCD