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文檔簡介

1、勾股定理基礎(chǔ)知識匯總8已經(jīng)學過的有關(guān)直角三角形中的邊 角關(guān)系4.勾股數(shù)的幾種表達方式(1).2nn21,2 n2 2n ,2 n2 2n (畢達哥拉斯)1,2 n,n2 1 (柏拉圖)m2n2,2mn,m2 n2 (丟番圖)請?zhí)骄可鲜鋈齻€表達式,思考下列問題1.兩銳角之間的關(guān)系:A B 90o2.邊與高的關(guān)系:abch(1)你能從勾股數(shù) 3,4,5; 5, 12,13; 7,24,25;歸3.邊與角之間的特殊關(guān)系: 所對的直角邊等于斜邊的一半;在直角三角形中30納出畢達哥拉斯給出的表達式嗎?這組勾 股數(shù)有何特征?4.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。勾股定理(2)柏拉圖公式與丟番圖公式之間

2、有何聯(lián)系?在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2 b2 c2與你已經(jīng)學過的哪些公式有關(guān)聯(lián)?勾股定理逆定理如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三條 邊的平方,那么這個三角形是直角三角形。四、勾股數(shù)組五、勾股定理應(yīng)用(1)學習過勾股定理之后三角形的特殊關(guān)系2 2 21.如果三個正整數(shù)a, b,c滿足關(guān)系a b c ,那么a, b,c叫做勾股數(shù)。如果A 30,那么 a: b:c 1: J3:22.勾股數(shù)的性質(zhì)如果如果a,b,c是勾股數(shù),k為正整數(shù),那么A 45,那么 a: b:c 1:1:如果a,b,c是直角三角形的三條直角邊,那么以aka, kb, kc也是勾股數(shù)思考:勾股數(shù)的定

3、義中有何限制?+ b,c + h,h的長為邊的三條線段能組成直角三角 形3.常用勾股數(shù):如果a,b,c是直角三角形的三條直角邊,那么以3,4,5; 5, 12,13; 7,24,25; 8,15,17; L1 111的長為邊的三條線段能組成直角三角形b h(4)螞蟻最短路徑問題公式4FAEcBG(2) 藤繞樹問題的解法我國古代有這樣一道數(shù)學問題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周 而達其頂,問葛藤之長幾何?”題意是:如圖所示, 把枯木看作一個圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱 的高為20尺,底面周長為3尺,有葛藤自點A處纏 繞而上,繞五周后其末端恰好到達點B處.則問題中葛

4、藤的最短長度是尺.(3)長方體盒子對角線的長度公式EG六、典型例題例1:我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理, 了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖” 圖(1),圖(2)由弦圖變化得到,它是由八 個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT的面積分 別為Si、S2、S3.若正方形EFGH的邊長為2, 貝y Si+S2+S3=【答案】12創(chuàng)制(如(3)伽菲爾德(Garfield , 1881年任美國第 總統(tǒng))利用(1)中的公式和圖2證明了勾股定理 年4月1日,發(fā)表在新英格蘭教育日志上) 請你嘗試該證明過程.20屆(1876,現(xiàn)2.如圖是用硬紙板做成的四個全等的

5、直角三角形, 直角邊長分別是 a, b,斜邊長為c和一個邊長為 的正方形,請你將它們拼成一個能證明勾股定理的 圖形.(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖.(2 )證明勾股定理.3. (1)如圖 出這個公式;(2 )1是一個重要公式的幾何解釋.請你寫圖 2 , Rt ABC 也 RtCDE ,90,且B, C, D三點共線.試證明ACE 90 ;baa b4. r問題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學定理,它有很多種證明 方法,我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖,利用面積法 進行了證明著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān) 系”(勾股定理)帶到其他星球,作為地球人與其他 星球“人”進行第一次“談話”的語言.定理表述請你

6、根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理(用文 字及符號語言敘述):(3分)bC(圖2)(圖1)嘗試證明 以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ), 為底,以a b為高的直角梯形 圖2,驗證勾股定理;(4分)知識拓展利用圖2中的直角梯形,我們可以證明 a b rV2 其證明步驟如下:可以構(gòu)造出以a、b(如圖2) 請你利用cQ BC a b , AD又Q在直角梯形 ABCD中有BC(填大小關(guān)系),即丘 (3 分)AD利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系,探究 ABC的形 狀(按角分類).(1)當 ABC三邊長分別為 6,8,9時, ABC為 c2 ;當 ABC三邊長分別為 6,8,11時, ABC 為三角形. (4

7、分)猜想:當a2+b2c2時, ABC為銳角三角形;當a2+b2c2時, ABC為鈍角三角形.(4分)(3)判斷當a=2,b=4時, ABC的形狀,并求出對應(yīng) 的c的取值范圍.(4分)7.閱讀材料:5.給出定義,若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱該四邊形為勾股四邊例:說明代數(shù)式4的幾何意義,形.并求它的最小值. 解(1)在你學過的特殊四邊形中,寫出兩種勾股四邊12Jx 3 2 22,如圖,建立平面直角坐標系,點x,0是x軸上一點,形的名稱;(2)如圖,將 ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到 DBE,連接 AD ,DC,CE,已知/ DCB=30 則J X 0 2

8、12可以看成點P與點A 0,的距離,求證: BCE是等邊三角形;7 x 3 222可以看成點P與點B 3,2的距離,求證:DC2+BC2=AC2,即四邊形 ABCD是勾股四邊形.所以原代數(shù)式的值可以看成線段它的最小值就是 PA PB的最小值.設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為 A ,則PA PA,因此, 求PA PB的最小值,只需求 PA PB的最小值, 而點A、B間的直線段距離最短,所以PA PB的最小值為線段 AB的長度為此,構(gòu)造直角三角形PA與PB長度之和,A CB,因為 A C=3, CB=3,所以 A B 3,即原式的最小值為 3近.根據(jù)以上閱讀材料,解答下列問題:x229的值可以看成平面直角坐標系中

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