2011屆高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)25圓錐曲線綜合題

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績難點(diǎn)25 圓錐曲線綜合題圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應(yīng)用,與圓錐曲線有關(guān)的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應(yīng)用題和探索性問題，圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識(shí)和三角、復(fù)數(shù)等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形認(rèn)識(shí)能力，要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算,推理轉(zhuǎn)換,并在運(yùn)算過程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整.難點(diǎn)磁場（）若橢圓=1(ab0）與直線l：x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a、b所滿足的條件，并畫出點(diǎn)p(a,b)的存在區(qū)域.案例探究例1已知圓k過定點(diǎn)a(a,0)（a0),圓心k在拋物線c：y2=2ax上運(yùn)動(dòng)，m

2、n為圓k在y軸上截得的弦。(1)試問mn的長是否隨圓心k的運(yùn)動(dòng)而變化？(2)當(dāng)oa|是om|與on的等差中項(xiàng)時(shí)，拋物線c的準(zhǔn)線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？命題意圖:本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識(shí)及學(xué)生綜合、靈活處理問題的能力，屬級題目。知識(shí)依托：弦長公式，韋達(dá)定理，等差中項(xiàng),絕對值不等式,一元二次不等式等知識(shí)。錯(cuò)解分析：在判斷d與r的關(guān)系時(shí)，x0的范圍是學(xué)生容易忽略的。技巧與方法:對第（2)問，需將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+與r=的大小.解：(1）設(shè)圓心k（x0，y0)，且y02=2ax0，圓k的半徑r=ak|=|mn|=2=2a(定值)弦mn的長不隨圓心k的運(yùn)動(dòng)而變化。(2)設(shè)m（0，y1)、n（

3、0，y2)在圓k：(xx0）2+(yy0）2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0y1y2=y02a2oa是|om與|on的等差中項(xiàng)。om|+|on|=|y1|+|y2=2oa|=2a。又mn|=|y1y2|=2ay1+y2|=|y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20.0x0.圓心k到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+a,而圓k半徑r=a。且上兩式不能同時(shí)取等號(hào)，故圓k必與準(zhǔn)線相交.例2如圖,已知橢圓=1(2m5）,過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)閍、b、c、d，設(shè)f(m)=ab|cd|(1)求f(m）的解析式;(2）求f（m)的最值.

4、命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合.屬級題目.知識(shí)依托：直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值.錯(cuò)解分析:在第（1)問中，要注意驗(yàn)證當(dāng)2m5時(shí),直線與橢圓恒有交點(diǎn)。技巧與方法：第（1)問中，若注意到xa,xd為一對相反數(shù),則可迅速將ab|cd|化簡.第（2）問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法.解:(1）設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m，b2=m1,c2=a2b2=1橢圓的焦點(diǎn)為f1（1,0),f2(1，0）。故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=,即x=m.a(m

5、，m+1），d（m,m+1)考慮方程組，消去y得:（m1）x2+m（x+1）2=m(m1)整理得：（2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1）（2mm2)=8m(m1）22m5,0恒成立，xb+xc=。又a、b、c、d都在直線y=x+1上|ab|=xbxa=(xbxa)，cd=(xdxc)|ab|cd|=|xbxa+xdxc=（xb+xc）(xa+xd)|又xa=m，xd=m,xa+xd=0|abcd|=xb+xc|=|= （2m5)故f(m）=，m2，5.（2)由f(m）=，可知f(m)= 又222f（m）故f(m)的最大值為，此時(shí)m=2;f(m)的最小值為,此時(shí)m=5。例3艦a

6、在艦b的正東6千米處，艦c在艦b的北偏西30且與b相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動(dòng)物，某時(shí)刻a發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào),4秒后b、c同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)，a發(fā)射麻醉炮彈。設(shè)艦與動(dòng)物均為靜止的，動(dòng)物信號(hào)的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g(shù)為重力加速度,若不計(jì)空氣阻力與艦高，問艦a發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？命題意圖：考查圓錐曲線在實(shí)際問題中的應(yīng)用,及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，屬級題目。知識(shí)依托:線段垂直平分線的性質(zhì),雙曲線的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，斜拋運(yùn)動(dòng)的曲線方程。錯(cuò)解分析:答好本題,除要準(zhǔn)確地把握好點(diǎn)p的位置（既在線段bc的垂直平分線上，又在以a、b為焦點(diǎn)的拋物線上),還應(yīng)對方位角的概

7、念掌握清楚.技巧與方法：通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時(shí)間差來建立方程.解：取ab所在直線為x軸，以ab的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由題意可知，a、b、c艦的坐標(biāo)為（3，0)、（3，0)、(5,2）。由于b、c同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，記動(dòng)物所在位置為p，則pb=pc。于是p在線段bc的中垂線上，易求得其方程為x3y+7=0。又由a、b兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)的時(shí)間差為4秒，知|pbpa=4，故知p在雙曲線=1的右支上。直線與雙曲線的交點(diǎn)為（8，5），此即為動(dòng)物p的位置,利用兩點(diǎn)間距離公式,可得pa|=10.據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式

8、，得kpa=，所以直線pa的傾斜角為60，于是艦a發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30。設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是，初速度v0=，則,sin2=，仰角=30.錦囊妙計(jì)解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律,通過對知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的.(1）對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式,通過求不等式(組）求得參數(shù)的取值范圍;或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域。（2）對于圓錐曲線的最值問題,解法常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能

9、體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值。殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1。()已知a、b、c三點(diǎn)在曲線y=上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1m4），當(dāng)abc的面積最大時(shí),m等于（ ）a。3b。c。d.2。（)設(shè)u，vr,且u|，v0，則(uv)2+()2的最小值為( )a.4b。2c。8d。2二、填空題3.(）a是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn),o是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)p，使opa=，則橢圓離心率的范圍是_.4。（）一輛卡車高3米，寬1。6米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長,若拱口寬為a米，則能使卡車通過的a的最小整數(shù)值是_.5.()已知拋物線y=x21上一定點(diǎn)b(1

10、，0）和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)p、q，當(dāng)p在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),bppq，則q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.三、解答題6.（)已知直線y=kx1與雙曲線x2y2=1的左支交于a、b兩點(diǎn),若另一條直線l經(jīng)過點(diǎn)p（2，0）及線段ab的中點(diǎn)q,求直線l在y軸上的截距b的取值范圍。7。（)已知拋物線c:y2=4x。(1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線c的焦點(diǎn)f及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)b與焦點(diǎn)f連線中點(diǎn)p的軌跡方程；（2)若m(m,0)是x軸上的一定點(diǎn)，q是（1)所求軌跡上任一點(diǎn),試問|mq有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由。8.（）如圖，為半圓，ab為半圓直徑，o為半圓圓心，且odab，q為線段od的

11、中點(diǎn)，已知|ab|=4，曲線c過q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p在曲線c上運(yùn)動(dòng)且保持|pa|+|pb的值不變。(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求曲線c的方程;（2)過d點(diǎn)的直線l與曲線c相交于不同的兩點(diǎn)m、n，且m在d、n之間，設(shè)=，求的取值范圍.學(xué)法指導(dǎo)怎樣學(xué)好圓錐曲線圓錐曲線將幾何與代數(shù)進(jìn)行了完美結(jié)合。借助純代數(shù)的解決手段研究曲線的概念和性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了坐標(biāo)系那天就已經(jīng)開始。高考中它依然是重點(diǎn)，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有。為此需要我們做到：1.重點(diǎn)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)。這些都是圓錐曲線的基石，高考中的題目都涉及到這些內(nèi)容。2。重視求曲線的方程或曲線的

12、軌跡，此處作為高考解答題的命題對象難度較大.所以要掌握住一般方法：定義法、直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等。3。加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí).此處一直為高考的熱點(diǎn)。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長、垂直問題，因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)各種能力的考查。4。重視對數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程。（1)方程思想解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線,因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡化解題運(yùn)算量.(2)用好函數(shù)思想方法

13、對于圓錐曲線上的一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a,b，c，e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時(shí)就很有效。（3)掌握坐標(biāo)法坐標(biāo)法是解決有關(guān)圓錐曲線問題的基本方法。近幾年都考查了坐標(biāo)法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練.參考答案難點(diǎn)磁場解：由方程組消去y，整理得（a2+b2）x22a2x+a2(1b2）=0則橢圓與直線l在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件是方程在區(qū)間(0，1）內(nèi)有兩相異實(shí)根,令f(x)=（a2+b2)x22a2x+a2（1b2),則有同時(shí)滿足上述四個(gè)條件的點(diǎn)p(a，b)的存在區(qū)域?yàn)橄聢D所示的陰影部分:殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：由題意知

14、a（1，1），b（m,),c（4,2）.直線ac所在方程為x3y+2=0,點(diǎn)b到該直線的距離為d=.m(1,4),當(dāng)時(shí)，sabc有最大值,此時(shí)m=。答案：b2。解析：考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點(diǎn)與雙曲線xy=9上的點(diǎn)的距離的最小值。答案：c二、3。解析：設(shè)橢圓方程為=1(ab0）,以oa為直徑的圓：x2ax+y2=0，兩式聯(lián)立消y得x2ax+b2=0。即e2x2ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a，由韋達(dá)定理x2=a,0x2a，即0aae1.答案：e14。解析:由題意可設(shè)拋物線方程為x2=ay,當(dāng)x=時(shí)，y=；當(dāng)x=0。8時(shí)，y=。由題意知3，即a212a2.560

15、。解得a的最小整數(shù)為13.答案：135。解析:設(shè)p（t,t21），q(s,s21）bppq，=1，即t2+(s1）ts+1=0tr，必須有=（s1)2+4（s1）0。即s2+2s30，解得s3或s1.答案：(,31,+）三、6.解：設(shè)a(x1,y1），b（x2,y2）。由,得（1k2）x2+2kx2=0,又直線ab與雙曲線左支交于a、b兩點(diǎn),故有解得k17.解：由拋物線y2=4x,得焦點(diǎn)f（1，0），準(zhǔn)線l：x=1.（1）設(shè)p(x,y），則b(2x1，2y）,橢圓中心o，則|fo|bf=e,又設(shè)點(diǎn)b到l的距離為d，則bfd=e,|fo|bf=|bf|d,即（2x2)2+（2y）2=2x（2x2)，化簡得p點(diǎn)軌跡方程為y2=x1(x1).(2)設(shè)q（x,y），則mq=（）當(dāng)m1,即m時(shí)，函數(shù)t=x（m）2+m在(1,+)上遞增，故t無最小值，亦即mq無最小值。（)當(dāng)m1,即m時(shí)，函數(shù)t=x2（m)2+m在x=m處有最小值m，|mq|min=。8。解：（1）以ab、od所在直線分別為x軸、y軸，o為原