(完整版)第13講-雞兔同籠問題與假設(shè)法

1、第 14 講 雞兔同籠問題與假設(shè)法 知識(shí)結(jié)構(gòu) : 一、雞兔同籠 這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一大約在 1500 年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有 趣的問題 書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠， 上有三十五頭， 下有九十四足， 問雞兔各幾何？ 這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有個(gè)頭知道孫子算經(jīng)中是 如何解答這個(gè)問題的嗎？ 二、解雞兔同籠的基本步驟 解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞” ， 每只兔就變成了“雙；從下面數(shù)，有只腳求籠中各有幾只雞和兔？ 你會(huì)解答這個(gè)問題嗎？你想腳兔” 這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一 只

2、兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即 （只）顯然，雞的只數(shù)就是（只）了 這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已除此之外， “雞兔同籠”問 題的經(jīng)典思路“假設(shè)法” 假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳， 和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到 解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是： （1） 如果假設(shè)全是兔，那么則有： 雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)X雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）十（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔 總數(shù)-雞數(shù) （ 2） 如果假設(shè)全是雞，那么就有： 兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)X雞兔總數(shù)）十（每只兔子腳數(shù) -

3、每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)二雞兔總 數(shù)-兔數(shù) 當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔子是雞的 2倍 當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔子的 2倍 在學(xué)習(xí)的過程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程， 方程等專題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法。 例 1 小梅數(shù)她家的雞與兔， 數(shù)頭有 16個(gè)，數(shù)腳有 44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？ 分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2X16= 32 （只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè) 的情況多了 44-32= 12 （只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的 兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了 2只。因此只要

4、算出 12里面 有幾個(gè) 2，就可以求出兔的只數(shù)。 解：有兔（44-2 X6） -（4-2） =6 （只）， 有雞 16-6= 10（只）。 答：有 6只兔， 10只雞。 當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有 4X6= 64 （只）腳，但實(shí)際上有44 只腳，比假設(shè)的情況少了 6444= 20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每 換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了 4-2=2（只）。因此只要算出 20 里面有幾個(gè) 2，就可以求出 雞的只數(shù)。 有雞（4X16-44） -（4-2） =10 （只）， 有兔 1610= 6（只）。 由例 1 看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，

5、可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也 可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。 例 2 100個(gè)和尚 140個(gè)饃，大和尚 1 人分 3個(gè)饃，小和尚 1 人分 1 個(gè)饃。問：大、小和尚各有多 少人？ 分析與解：本題由中國古算名題 “百僧分饃問題 ”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞 和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。 假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃 300個(gè)，比實(shí)際多300140= 160 （個(gè)）。現(xiàn)在以小和 尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少 3 1 = 2 （個(gè)），因?yàn)?60吃二80,故小 和尚有 80人，大和尚有 100 80=

6、 20（人）。 同樣，也可以假設(shè) 1 00人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。 在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。 例 3 彩色文化用品每套 1 9元，普通文化用品每套 11 元，這兩種文化用品共買了 16 套，用錢 280 元。問：兩種文化用品各買了多少套？ 分析與解：我們?cè)O(shè)想有一只 “怪雞”有 1 個(gè)頭 11 只腳，一種 “怪兔”有 1 個(gè)頭 19 只腳，它們共有 16 個(gè)頭， 280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。 假設(shè)買了 16套彩色文化用品，則共需19X16= 304 （元），比實(shí)際多304280= 24 （元）， 現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套

7、少用19 11 = 8 （元），所以 買普通文化用品248=3 （套）， 買彩色文化用品 16 3=13（套）。 例 4 雞、兔共 100只，雞腳比兔腳多 20只。問：雞、兔各多少只？ 分析：假設(shè) 100 只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳 200 只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比 兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多20020=180 （只）。 現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少 2 只，兔腳增加 4 只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì) 減少4+ 2= 6 （只），而1806 = 30,因此有兔子30只，雞100 30= 70 （只）。 解：有兔（2X10020）

8、-（2 + 4）= 30 （只）， 有雞100 30=70 （只）。 答：有雞 70只，兔 30只。 例 5 現(xiàn)有大、小油瓶共 50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油 4千克，每個(gè)小瓶可裝油 2 千克，大瓶比小瓶共 多裝 20千克。問：大、小瓶各有多少個(gè)？ 分析：本題與例 4非常類似，仿照例 4 的解法即可。 解：小瓶有（4X50-20） -（4 + 2）= 30 （個(gè)）， 大瓶有 50-30= 20（個(gè)）。 答：有大瓶 20 個(gè)，小瓶 30 個(gè)。 例 6 一批鋼材，用小卡車裝載要 45輛，用大卡車裝載只要 36 輛。已知每輛大卡車比每輛小卡 車多裝 4噸，那么這批鋼材有多少噸？ 分析：要算出這批鋼材有多少噸

9、，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。 利用假設(shè)法，假設(shè)只用 36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝 4 噸，所以要剩下4X36=144 （噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9 （輛）小卡車。 這樣每輛小卡車能裝1449= 16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。 解：4X36（45-36） X45= 720 （噸）。 答：這批鋼材有 720噸。 練習(xí) 13 1 雞、兔共有頭 100 個(gè)，腳 350 只，雞、兔各有多少只？ 2學(xué)校有象棋、跳棋共 26副， 2人下一副象棋， 6 人下一副跳棋，恰好可供 120 個(gè)學(xué)生進(jìn)行活 動(dòng)。問：象棋與跳棋各有多少副？ 3班級(jí)購買活頁簿與日記本合計(jì) 32 本，花錢 74元?；铐摬久勘?1.9元，日記本每本 3.1元 問：買活頁簿、日記本各幾本？ 4龜、鶴共有 100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多 20 只。問：龜、鶴各幾只？ 5小蕾花 40元錢買了 14張賀年卡與明信片。賀年卡每張 3 元 5 角，明信片每張 2 元 5 角 問：賀年卡、明信片各買了幾張？ 6一個(gè)工人植樹，晴天每天植樹 20 棵，雨天每天植樹 12棵，他接連幾天共植樹 112 棵，平 均每天植樹 14 棵。問：