線性空間與子空間

1、第一講線性空間線性空間得定義及性質(zhì) 知識預(yù)備集合:籠統(tǒng)得說就是指一些事物（或者對象）組成 得整體集合得表示:枚舉、表達式集合得運算:并（U）,交（n）另外,集合得“與”（+）：并不就是嚴格意義上集合得運算，因為 它限定了集合中元素須有可加性。數(shù)域：一種數(shù)集，對四則運算封閉（除數(shù)不為零）。比如有理數(shù) 域、實數(shù)域（R）與復(fù)數(shù)域（0。實數(shù)域與復(fù)數(shù)域就是工程上較常用得兩 個數(shù)域。線性空間就是線性代數(shù)最基本得概念之一，也就是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣 論得重要基礎(chǔ)。線性空間得概念就是某類事物從量得方面得一個抽 象。1 . 線性空間得定義:設(shè)V就是一個非空集合，其元素用等表示；K就是一個數(shù) 域,其元素用k,l,m等表示

2、。如果V滿足如下8條性質(zhì)，分兩類（I）在V中定義一個“加法”運算，即當x,y V時，有唯一得與x + yeV （封閉性），且加法運算滿足下列性質(zhì)結(jié)合律x + (y + z) = (x + y)+z；（2）交換律x+y=y+x；零元律存在零元素O,使X + 0= X ；負元律對于任一元素xgV,存在一元素yeV,使x + y=o,且稱y為X得負元素，記為(-X)O則有x + (-x)= Oo(I I)在V中定義一個“數(shù)乘”運算，即當xeV, keK時，有唯一得 kxeV (封閉性)，且數(shù)乘運算滿足下列性質(zhì)(5)數(shù)因子分配律k(x + y) = kx + ky ；分配律(k + l)x = kx4

3、-lx;(7)結(jié)合律k(lx) = (kl)x ；(8)恒等律lx = x ;數(shù)域中一定有1則稱V為數(shù)域K上得線性空間O注意：1)線性空間不能離開某一數(shù)域來定義，因為同一個集合，如果數(shù)域不同，該集合構(gòu)成得線性空間也不同。(2) 兩種運算、八條性質(zhì)數(shù)域K中得運算就是具體得四則運算，而V中所定義得加法 運算與數(shù)乘運算則可以十分抽象。(3) 除了兩種運算與八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉得情況：集合小、 運算本身就不滿足。當數(shù)域K為實數(shù)域時，V就稱為實線性空間；K為復(fù)數(shù)域，V就 稱為復(fù)線性空間。例1設(shè)IT = 全體正實數(shù)，其“加法”及“數(shù)乘”運算定義

4、為xi+y=xykox = x證明：R +就是實數(shù)域R上得線性空間。證明首先需要證明兩種運算得唯一性與封閉性唯一性與封閉性唯一性顯然若 x0, y0, keR,則有x0y=xyR*kox = x* eR* 封閉性得證。八條性質(zhì)XS (yEz) =x (yz) = (xy) z= (xEiy) bzxi+iy=xy=yx= yEHX1就是零元素XE01 =X Y=X xE0=XX0=X0=1 丄就是X得負元素 Xffi- = X.- =XXXx+y=o (7)ko (xEiy) =(xy) =x*y* = koxEkoy(k + I)ox = xk 利=xx = (ko 力田(lox)ko(lo

5、x) = (xj =x* =(kl)ox數(shù)因子分配律I：分配律結(jié)合律恒等律lox = x =x由此可證，IT就是實數(shù)域R上得線性空間。2 定理：線性空間具有如下性質(zhì)(1) 零元素就是唯一得,任一元素得負元素也就是唯一得。(2) 如下恒等式成立：Ox=o, (-l)x = (-x)o證明(1)釆用反證法:零元素就是唯一得。設(shè)存在兩個零元素6與02,則由于01與02均為零元素，按零元律有交換律6+02=6=2+01=6所以 Ol=O2即與6相同，與假設(shè)相矛盾,故只有一個零元素。任一元素得負元素也就是唯一得。假設(shè)VxgV,存在兩個負元素y與乙則根據(jù)負元律有x+y=o=x+zy = y + o = y

6、 + (x + z) = (y + x)+z = o+z = z零元律結(jié)合律零元律即y與Z相同，故負元素唯一。 ：設(shè) w=Ox,則 x+w=1 x+Ox= (1 +0) x=x,故 w=o aj.E. + A = 0iji.j即EjjliJm,j = ln構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組，所以該空間得維數(shù)為mrio 二、線性空間得基與坐標1 .基得定義:設(shè)V就是數(shù)域K上得線性空間，1，笛(21)就是屬于V得r個任意元素，如果它滿足X,X2Xr線性無關(guān);V中任一向量X均可由百,*2Xr線性表示。則稱xg 孔為y得一個基，并稱XiNXy為該基得基元素。基正就是V中最大線性無關(guān)元素組;V得維數(shù)正就是基中所含

7、元素得個數(shù)?；褪遣晃ㄒ坏?，但不同得基所含元素個數(shù)相等?？紤]全體復(fù)數(shù)所形成得集合Co如果K=C(復(fù)數(shù)域)，則該集合對復(fù)數(shù)加法與復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)得乘法構(gòu)成線性空間，其基可取為1,空間維數(shù)為1;如果取K=R(實數(shù)域)，則該集合對復(fù)數(shù)加法及實數(shù)對復(fù)數(shù)得數(shù)乘構(gòu)成線性空間，其基可取為1, i,空間維數(shù)為2o數(shù)域K兩種運算基一般元素空間類型維數(shù)復(fù)數(shù)域C(1)復(fù)數(shù)加法;(2)復(fù)數(shù)對復(fù)數(shù)得數(shù)乘1C = CJ復(fù)線性空間1實數(shù)域/?(1)復(fù)數(shù)加1,1c = a- 1 + b-i實線性2法;（2）實數(shù)對空間復(fù)數(shù)得數(shù)乘2坐標得定義:稱線性空間V得一個基XpX,-x為W得一個坐標系，VxeV,它在該基下得線性表示為:(gi e

8、K,Xi w V，i = l,2, n)il則稱,2gti為X在該坐標系中得坐標或分量，記為（乩2弭 討論：（1）-般來說，線性空間及其元素就是抽象得對象，不同空間得元素完全可以具有千差萬別得類別及性質(zhì)。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基與基元素，由坐標所組成得新向量僅由數(shù)域中得數(shù)表示出來。（2）更進一步，原本抽象得“加法”及“數(shù)乘”經(jīng)過坐標表示就演化為向量加法及數(shù)對向量得數(shù)乘。X + y = (X + 2X2 + + gXn ) + (幾百 + + Vn)=(&+巾風+債2+%見+ +(+%)正對應(yīng)4 X一戶05 0)TX + y = (g|+Th，g2+Tl2，r&+

9、qn)17 = 011，%，)2 kx = k(gN + g2X2 +gnXj=(k&)Xi + (kg2)X2 +(k&)XnT(k，kg2,k&)正對應(yīng) X，心）=,kgj（3）顯然，同一元素在不同坐標系中得坐標就是不同得。后面我們還要研究這一變換關(guān)系。三、基變換與坐標變換基就是不唯一得，因此，需要研究基改變時坐標變換得規(guī)律。設(shè)XiNX就是V得舊基，丫1，丫2九就是v得新基，由于兩者 都就是基，所以可以相互線性表示nYj = 2?ijXii-lIn卩12 yn = Xi，X2 21 222nnn其中c稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，c就是可逆得。設(shè)XW V,它在舊基下得線性

10、表示為nil它在新基下得線性表示為n二y】，yj則丫1汙2,yjL 1B&A.由于基元素得線性無關(guān)性，得到坐標變換關(guān)系L |=cA.補充:證明對于線性空間得零元素0, V wK,均有Zf0=0o線性子空間一、線性子空間得定義及其性質(zhì)1.定義:設(shè)就是數(shù)域K上得線性空間V得一個非空子集合，且對V已有得線性運算滿足以下條件(1)如果 X、ywV則 x+yeVi；(2)如果 xgVvRgK,則 kxwV“則稱比就是V得一個線性子空間或子空間。2性質(zhì)：（1）線性子空間與線性空間V享有共同得零元素;（2） V,中元素得負元素仍在中。證明(1)0x = 0.xeVjcV V中得零元素也在V（中,V,與V享有

11、共同得零元素。 VxeV,封閉性y中元素得負元素仍在y中3. 分類:子空間可分為平凡子空間與非平凡子空間平凡子空間：0與V本身非平凡子空間：除以上兩類子空間4、生成子空間：設(shè)X,、X2、人為V中得元素，它們得所有線性組合得集合工kjXi Iki eK,i = l,2-m j-i也就是V得線性子空間，稱為由X1. X2、.人生（張）成得子空間，記為L（xi、X2、xj或者Spang、X2、xj O若X：、X2、滄線性無關(guān)，則dimL(x(、X2、xj=m5、基擴定理:設(shè)V,就是數(shù)域K上得線性空間y得一個m維子空間，小X2、x就是Vi得一個基，則這m個基向量必可擴充為護得一個基;換言之，在V沖必可

12、找到n-rn個元素x” 心2、Xn,使得人、X2、Xn成為護得一個基。這n-m個元素必不在中。二、子空間得交與與 仁 定義:設(shè)/、V2就是線性空間V得兩個子空間，則V,nV2 = xlxGVpXGV2 y + V,=x + ylxe,yVj分別稱為必與仏得交與與。2、定理:若V,與呂就是線性空間V得兩個子空間，則V|CV2，W+V2均為V得子空間證明 Vx,yenv,x + y eV, x + y V2 二 x + y w V】Cl V?VxeVnV keKkxeV, kxeV .kxeynv?% n V2就是V得一個線性子空間0 VXpXeVj VyyeV(Xj + yJeVj + V (x

13、 + yJeVj + V (x,+x)e(yi+y?) WV2(Xi + y) + (X2 + y2)= (X + X2)+ (y + y2)eV + V2VkeK kXj e kyj e V2k(x, + y,) = kx, + ky, e V, + V2就是V得子空間。4.維數(shù)公式:若V（、V2就是線性空間V得子空間，則有dim(V,+V2)+ diin(VCV2)= di mV,+ dim/證明設(shè) dimVi=ni, dimVyrh, dim(V, c V2)=m需要證明 dim(Vi+V2)=ni+n2m設(shè)Xi、X2、Kn就是Vj n 得一個基,根據(jù)基擴定理存在 1）如、丫2、yrdr

14、eVi,使 XI、X2、*% 人、如、丫2、Ynl-n.成為Vi得一個基;2) Z1 Z 、Zn2 - .eV?,使冷、X2、&、Z,、Z2、Zn2-成為V2得一個基;考察 XI、X2、人、如、y2y”1r、Zl、Z2、Zn2-n.,若能證明它為Vf*%得一個基，則有dim(Vi+V2)=m+n2-m。成為基得兩個條件:1) 它可以線性表示V(+V2中得任意元素2) 線性無關(guān)顯然條件1)就是滿足得,現(xiàn)在證明條件2),采用反證法。假定上述元素組線性相關(guān)，則存在一組不全為0得數(shù)k、應(yīng)、k-、Pl、P2Pni- qi、q2、qn2f 使令為qi wv?,則1厲 + 為 PiVi = -見 e V2

15、但冬 n V2根據(jù)基擴定理 kiXieVCV2 y； Vj n V2，Xi、X2、人、丫、丫2、y” -m成為Vl得一個基Pi = O同理：Qj = 0 k- = 0這與假設(shè)矛盾，所以上述元素線性無關(guān)，可作為VfHV?得一個基。dim(Vi+V2)=rb+n2m三、子空間得直與1、定義:設(shè)、V2就是線性空間V得子空間，若其與空間也刊2中得任一元素只能唯一得表示為得一個元素與呂得一個元素之與，即 Vxe 乂 +V?,存在唯一得ye V、ze V2，dx = y + z,則稱乂 + V2為V,與呂得直與，記為V V,子空間得直與并不就是一種特殊得與，仍然就是Vi + V2=x + ylxwVi，y

16、eV2,反映得就是兩個子空間得關(guān)系特殊。2、定理:如下四種表述等價a)y+v2成為直與yV2 (2)ycV2=0 dim(Vi+V2)=dimV,+ di mWX,、X2、X為V,得基，匕、丫2、%為得基，則XI、X2、X.、2、為 V1 + V2得基證明與得等價性顯然采用循環(huán)證法：TTT T (2)：已知 V| + V2 = VV2假定X工OJLx V c V2,則O = O+O = x + (-x)0eV, + V,0,0eV2，xeV,-xeV2說明對0元素存在兩種分解，這與直與得定義矛盾，所以假定不成立，在VCV2中只能存在0元素，即cV2 = 0 T：已知VCV2 = 0成為基得兩個條件:1) 可以線性表示y+V2中得任意元素2）線性無關(guān)HxeV、y e V2,存在如下坐標表示式SI1-11-1x + y可表示VfW2中得任一元素,XI、X2、X.、丫、y2、yr可表示 V1+V2中得任意元素。假設(shè)X,、X2、x、y、y2、yt線性相關(guān)，即存在不全為