等價(jià)無(wú)窮小替換,極限的計(jì)算[致遠(yuǎn)書(shū)屋]

1、 無(wú)窮小 極限的簡(jiǎn)單計(jì)算【教學(xué)目的】1、理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念； 2、掌握無(wú)窮小的性質(zhì)與比較 會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；3、不同類(lèi)型的未定式的不同解法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、無(wú)窮小與無(wú)窮大；2、無(wú)窮小的比較； 3、幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小 等價(jià)無(wú)窮小替換； 4、求極限的方法。【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)是掌握無(wú)窮小的性質(zhì)與比較 用等價(jià)無(wú)窮小求極限。難點(diǎn)是未定式的極限的求法?！窘虒W(xué)設(shè)計(jì)】首先介紹無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念和性質(zhì)（30分鐘），在理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生重點(diǎn)掌握用等價(jià)無(wú)窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習(xí)（15分鐘）。【授課內(nèi)容】一、無(wú)窮小與

2、無(wú)窮大1.定義前面我們研究了數(shù)列的極限、（、）函數(shù)的極限、（、）函數(shù)的極限這七種趨近方式。下面我們用表示上述七種的某一種趨近方式，即定義：當(dāng)在給定的下，以零為極限，則稱是下的無(wú)窮小，即。例如, 【注意】不能把無(wú)窮小與很小的數(shù)混淆；零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)，任何非零常量都不是無(wú)窮小。定義： 當(dāng)在給定的下，無(wú)限增大，則稱是下的無(wú)窮大，即。顯然，時(shí)，都是無(wú)窮大量，【注意】不能把無(wú)窮大與很大的數(shù)混淆；無(wú)窮大是極限不存在的情形之一。無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)的，在不同的極限形式下，同一個(gè)函數(shù)可能是無(wú)窮小也可能是無(wú)窮大，如 ， ，所以當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小，當(dāng) 時(shí)為無(wú)窮大。2無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：在自變量的同一變化過(guò)

3、程中，如果為無(wú)窮大，則為無(wú)窮?。环粗?，如果為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大。小結(jié)：無(wú)窮大量、無(wú)窮小量的概念是反映變量的變化趨勢(shì)，因此任何常量都不是無(wú)窮大量，任何非零常量都不是無(wú)窮小，談及無(wú)窮大量、無(wú)窮小量之時(shí)，首先應(yīng)給出自變量的變化趨勢(shì)。3.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理1 其中是自變量在同一變化過(guò)程（或）中的無(wú)窮小.證：（必要性）設(shè)令則有（充分性）設(shè)其中是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小，則 【意義】（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);（2）3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理2 在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.【注意】無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. 定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.如：，推

4、論1 在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.二、無(wú)窮小的比較例如，觀察各極限：不可比.極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.1定義: 設(shè)是自變量在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且 例1 證：例2 解2常用等價(jià)無(wú)窮小:（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如3等價(jià)無(wú)窮小替換定理：證：例3 （1）； （2） 解: （1） 故原極限= 8（2）原極限=例4 錯(cuò)解: =0正解: 故原極限【注意】和、差形式一般不能進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小替換，只

5、有因子乘積形式才可以進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小替換。例5 解: 原式三、極限的簡(jiǎn)單計(jì)算1. 代入法：直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限，例如；若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進(jìn)去了，但我們看出了這是一個(gè)型未定式，我們可以用以下的方法來(lái)求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化無(wú)窮大為無(wú)窮小法例如，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以這個(gè)無(wú)窮大量。由此不難得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用無(wú)窮小量性質(zhì)、等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限例如，（無(wú)窮小量乘以有界量）。又如，解：商的法則不能用由無(wú)窮小

6、與無(wú)窮大的關(guān)系,得再如，等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限的例子見(jiàn)本節(jié)例3例5。6. 利用兩個(gè)重要極限求極限（例題參見(jiàn)1.4例3例5）7. 分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求極限例如，解: 左右極限存在且相等, 【啟發(fā)與討論】思考題1：解： 無(wú)界， 不是無(wú)窮大結(jié)論：無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.思考題2：若，且，問(wèn)：能否保證有的結(jié)論？試舉例說(shuō)明.解：不能保證. 例 思考題3：任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？解：不能例如當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在且不為無(wú)窮大，故當(dāng)時(shí)和不能比較.【課堂練習(xí)】求下列函數(shù)的極限（1）；解：原極限=（2）求【分析】 “”型，拆項(xiàng)。解：原極限=（3） ； 【分析】“抓大頭法”，

7、用于型解：原極限=，或原極限（4）；【分析】分子有理化解：原極限=（5）【分析】型，是不定型，四則運(yùn)算法則無(wú)法應(yīng)用，需先通分，后計(jì)算。解：=（6）【分析】“”型，是不定型，四則運(yùn)算法則失效，使用分母有理化消零因子。 解：原極限=6（7）解: 先變形再求極限.【內(nèi)容小結(jié)】一、無(wú)窮小（大）的概念無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.1、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:(1) 無(wú)窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2） 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.二、無(wú)窮小的比較:1.反映了同一過(guò)程中, 兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較。高(低)階無(wú)窮小; 等價(jià)無(wú)窮小; 無(wú)窮小的階。2.等價(jià)無(wú)窮小的替換: 求極限的又一