巖土彈塑性力學(xué)中南大學(xué)PPT課件

1、參考書 材料受力三個階段：材料受力三個階段： 彈性彈性 塑性塑性 破壞破壞 彈性力學(xué)彈性力學(xué) 塑性力學(xué)塑性力學(xué) 破壞力學(xué)破壞力學(xué) 斷裂力學(xué)等斷裂力學(xué)等 1-1 1-1 概述 彈性階段：內(nèi)力與變形存在著完全對應(yīng)的關(guān)系，外力消除后變形就完全 恢復(fù)。 應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是一一對應(yīng)的，知道了應(yīng)力立即可求應(yīng)變 。這種應(yīng)力和應(yīng)變之間能建上一一對應(yīng)關(guān)系的稱全量關(guān)系。 塑性階段：研究材料在塑性階段內(nèi)的受力與變形，這階段內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 要受到加載狀態(tài)、應(yīng)力水平、應(yīng)力歷史與應(yīng)力路徑的影響。 差別：在應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系不同，即本構(gòu)關(guān)系不同。 本質(zhì)差別：在于材料是否存在不可逆的塑性變形 彈性階段：應(yīng)力與應(yīng)變

2、之間的關(guān)系是一一對應(yīng)的，這種應(yīng)力和應(yīng)變之間能建上一一對 應(yīng)關(guān)系的稱全量關(guān)系 塑性階段： 由于塑性變形中加卸載規(guī)律不一樣，當一定時，由于加載路徑不同，可以 對應(yīng)不同的（圖a) 。給定值時，也可以對應(yīng)于不同的(圖b)。即進入塑性狀態(tài)后如 不給定加載路徑是無法建立應(yīng)力應(yīng)變之間的全量關(guān)系，通常在塑性理論中建立應(yīng)力增 量與應(yīng)變增量的增量關(guān)系而只有一些簡單加載情況(例如不卸載)才可能建下全量關(guān)系 。 1864年Tresca公布了最大剪應(yīng)力屈服準則塑性力學(xué)作為一 門獨立學(xué)科開始 (1) 金屬材料簡單拉壓試驗 A點：材料的比例極限P B點：材料的彈性極限C D點：材料的強度極限b 金屬材料的基本試驗 C點卸載

3、：沿CFG 從G點重新開始拉伸，沿GFC，超過c點的應(yīng)力以后才又發(fā)生新的塑性變形。表明經(jīng)過前 次塑件變形以后彈性極限提高了 為與初始屈服應(yīng)力相區(qū)別，稱為加載應(yīng)力 這種現(xiàn)象稱為加工硬化或應(yīng)變硬化G對J：低碳鋼材料，在屈服階段中，卸載后 重新加載并沒有上述強化現(xiàn)象，被稱為理想 塑性或塑性流動階段。 s+ s (2)靜水壓力(各向均勻受壓)試驗結(jié)果 勃里奇曼(Bridgman)通過試驗曾對靜水壓力對變形過程影響作較全面的研究。 試驗表明，在壓力不太大的情況，體積應(yīng)變實際上與靜水壓力成線性關(guān)系；對于一 般金屬材料，可以認為體積變化基本上是彈性的，除去靜水壓力后體積變形可以完全 恢復(fù)，沒有殘余的體積變形

4、。因此，在傳統(tǒng)塑性理論中常假定不產(chǎn)生塑性體積變形 而且在塑性變形過程中，體積變形與塑性變形相比往往是可以忽略的 。 Bridgman和其他研究人員的實驗結(jié)果確認：在靜水壓力不大條件下、靜水壓力對材料 屈服極限的影響完全可以忽略。因此在傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，完全不考慮體積變形對塑性 變形的影響。 巖石類介質(zhì)的壓縮試驗結(jié)果 OA段:壓密階段，曲線緩慢增大，反映巖石試件內(nèi)裂縫逐漸壓密， 體積縮小。 AB段:彈性階段，曲線斜率為常數(shù)或接近常數(shù)，此時體積仍有所壓 縮，B點稱為屈服強度 BC段: 破壞的先行階段，隨著荷載繼續(xù)增大，變形和荷載呈非線性 關(guān)系，這種非彈性變形是由于巖石內(nèi)微裂隙的發(fā)生與發(fā)展，以及結(jié) 晶

5、顆粒界曲的滑動等塑性受形兩者共同產(chǎn)：從B點開始，巖石就出 現(xiàn)剪脹現(xiàn)象(即在剪應(yīng)力作用下出現(xiàn)體積膨脹)的趨勢 CD段:曲線下降，巖石開始解體，巖石強度從峰值強度下降至殘余 強度，這種情況叫做應(yīng)變軟化這是巖土類材料區(qū)別于金屬材料的一 個特點。在軟化階段內(nèi)，巖土材料成為不穩(wěn)定材料，傳統(tǒng)塑性力學(xué) 不適應(yīng) 巖石類介質(zhì)的壓縮試驗結(jié)果 圍壓對三軸應(yīng)力應(yīng)變曲線和巖體塑性性質(zhì)有明 顯影響。當圍壓低時屈服強度低，軟化現(xiàn)象 明顯。隨著圍壓增大，巖石的峰值強度和屈服 強度都增高，塑性性質(zhì)明顯增加。 假定試樣土粒本身體積不變，土的 壓縮僅由于孔隙體積的減小，因此 土的壓縮變形常用孔隙比e的變化 來表示。 壓力p與相應(yīng)的

6、穩(wěn)定孔隙比的關(guān)系 曲線稱為壓縮曲線 土與巖石樣，其體應(yīng)變不是純彈性的 ，與金屬材料不同 土的壓縮試驗結(jié)果 在三軸情況下，隨土性和應(yīng)力路徑不同，應(yīng)力應(yīng)變曲線有兩種形式：一是硬化型， 一般為雙曲線；另一為軟化型， 般為駝峰曲線。 1在一定范圍內(nèi)，巖土抗剪強度和剛度隨壓應(yīng)力的增大而增大，這種特性可稱為巖 土的壓硬性。 巖土的抗剪強度不僅由粘結(jié)力產(chǎn)生，而且由內(nèi)摩擦角產(chǎn)生。這是因為巖土由顆粒材 料堆積或膠結(jié)而成，屬于摩擦型材料，因而它的抗剪強度與內(nèi)摩擦角及壓應(yīng)力有關(guān) ，而金屬材料不具這種特性，抗剪強度與壓應(yīng)力無關(guān)。 2巖土為多相材料，巖土顆粒中含有孔隙，因而在各向等壓作用下，巖土顆粒中 的水、氣排出，就

7、能產(chǎn)生塑性體變，出現(xiàn)屈服，而金屬材料在等壓作用下是不會產(chǎn) 生體變的。這種持性可稱為巖土的等壓屈服特性。 巖土類材料的基本力學(xué)特點 3 與金屬材料不同巖土的體應(yīng)變還與剪應(yīng)力有關(guān)，即剪應(yīng)力作用下，巖土材料會產(chǎn) 生塑性體應(yīng)變(膨脹或收縮)，即巖土的剪脹性(包含剪縮性)。反之，巖土的剪應(yīng)變也 與平均應(yīng)力有關(guān)，在平均壓應(yīng)力作用下引起負剪切變形，導(dǎo)致剛度增大，這也是壓硬 性的一種表現(xiàn)。 4土體塑性變形依賴于應(yīng)力路徑。即土的本構(gòu)模型， 計算參數(shù)的選用都與應(yīng)力路徑 相關(guān)。應(yīng)力路徑的突然轉(zhuǎn)折會引起塑性應(yīng)變增量方向的改變。即：塑性應(yīng)變增量的方 向與應(yīng)力增量的方向有關(guān)，而不像傳統(tǒng)塑性儀勢理論中規(guī)定的塑性應(yīng)變增量方向

8、只與 應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而與應(yīng)力增量無關(guān)。且，當主應(yīng)力值不變，主應(yīng)力軸方向發(fā)生改變時 土體也會產(chǎn)生塑性變形。 經(jīng)典塑性理論對材料性質(zhì)的假設(shè) (1)靜水壓力只產(chǎn)生彈性體積變化，不產(chǎn)生塑性體應(yīng)變；因 此，材料屈服與靜水壓力無關(guān)。 (2)材料屬于理想塑性材料或應(yīng)變硬化塑性材料(即穩(wěn)定性材料)， 故不可能發(fā)生軟化現(xiàn)象(不穩(wěn)定性材料) （3）抗拉屈服極限與抗壓屈服極限相同 (4)材料具有Bauschinger效應(yīng) (5)塑性應(yīng)變增量方向服從正交流動法則，即塑性 應(yīng)變增量方向沿著屈服面的梯度或外法線方向 巖土塑性力學(xué)與經(jīng)典塑性力學(xué)的不同點 (1)巖土材料的壓硬性決定了巖土的剪切屈服與破壞必須考慮平均應(yīng)力與巖土

9、材料 的內(nèi)摩擦。采用不同于金屬材料的屈服準則、破壞準則。 (2)傳統(tǒng)塑性力學(xué)只考慮剪切屈服，而巖土塑性力學(xué)不僅考慮剪切屈服，還要考慮體 積屈服。表現(xiàn)在屈服面上，傳統(tǒng)塑性力學(xué)是開口的單一的剪切屈服面、而巖土塑性 力學(xué)需考慮剪切屈服面與體積屈服面，以及在等壓情況下產(chǎn)生屈服。 (3)根據(jù)巖土的剪脹性，不僅靜水壓力可能引起塑性體積變化，而且偏應(yīng)力也可能引起 體積變化；反之，平均應(yīng)力也可能引起塑性剪切變形。即巖上的球應(yīng)力與偏應(yīng)力之間 存在著交叉影響 (4)傳統(tǒng)塑性力學(xué)的基礎(chǔ)是傳統(tǒng)的塑性流動法則，它只具有一個塑性勢面，服從塑性應(yīng) 變增量方向與應(yīng)力的惟一性假設(shè)。巖土塑性力學(xué)基于廣義塑性流動法則，它以應(yīng)力分

10、量方向為塑性勢，在不考慮應(yīng)力主軸旋轉(zhuǎn)時有三個塑性勢面，不服從塑性應(yīng)變增量方 向與應(yīng)力的惟一性假設(shè)。 (5)傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)相同，稱為關(guān)聯(lián)流動法則，這時塑性應(yīng) 變增量方向與屈服面正交。巖土塑性力學(xué)中，塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)不同，屬于非 關(guān)聯(lián)流動法則，這時塑性應(yīng)變增量方向與屈服面不正交，但仍保持著與塑性勢面正 交。 （6)傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，勢函數(shù)確定了塑性應(yīng)變增量總量的方向，屈服函數(shù)確定了總 量的大小；巖土塑性力學(xué)中勢函數(shù)確定了塑性應(yīng)變增量3個分量的方向，相應(yīng)的三 個屈服函數(shù)確定了分量的大小，因而巖土塑性力學(xué)采用了分量理論。 (7)巖土塑性力學(xué)中應(yīng)力路徑的影響較傳統(tǒng)塑性力學(xué)中更為復(fù)

11、雜，塑性變形應(yīng)力路 徑的相關(guān)性也更為明顯。在傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，假設(shè)塑性應(yīng)變增量的主軸與應(yīng)力主 鈾一致；而在巖土塑性力學(xué)中一般應(yīng)當考慮兩者不共主軸產(chǎn)生的塑性變形即應(yīng) 考慮主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的塑性交形。 (8)傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，只考慮穩(wěn)定材料，無應(yīng)變軟化現(xiàn)象；巖土塑性力學(xué)可以是穩(wěn)定材料 也可以是不穩(wěn)定材料，它不受穩(wěn)定材料的限制亦即允許出現(xiàn)應(yīng)變軟化。 (9)傳統(tǒng)塑性理論中，材料的彈性系數(shù)與塑性變形無關(guān)，稱為彈塑性不耦合。而巖土塑性 理論中，有時要考慮彈塑性耦合，即彈性系數(shù)隨塑性變形發(fā)展而減少 巖土塑性力學(xué)的基本內(nèi)容 (1)巖土類材料的塑性本構(gòu)關(guān)系理論與模型 (2)巖土類材料的極限分析理論 (3)它們在巖土

12、工程設(shè)計和施工中的應(yīng)用 彈性本構(gòu)關(guān)系的基本特征 塑性本構(gòu)關(guān)系的類型與特征 基本特征是材料的屈服與硬化都與靜水壓力無關(guān)； 而且材料只可能產(chǎn)生硬化（強化）不產(chǎn)生軟化 塑性變形的基本特性 無論是理想塑性材料、應(yīng)變硬化或軟化型塑性材料，其塑性本構(gòu)關(guān)系和變形都 有如下的特征： (1)應(yīng)力值必須達到或超過某一臨界值發(fā)生塑性變形； (2)塑性變形是不可逆的 (3)應(yīng)力與應(yīng)變之間無唯一對應(yīng)關(guān)系。這是由于塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受應(yīng)力 歷史和應(yīng)力路徑影響的結(jié)果 (4)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性和由此而引起的應(yīng)力和應(yīng)變的不可疊加性 (5)在塑性變形階段，加載和卸 載時應(yīng)力應(yīng)變之間服從不同 的本構(gòu)關(guān)系 粘性本構(gòu)關(guān)系 材料的應(yīng)力或

13、應(yīng)變隨時間而變化 常常和彈性或塑性性質(zhì)同時發(fā)生，因此,材料的粘性本構(gòu)方程分為 在工程中，常稱材料的粘性性質(zhì)為流變 應(yīng)力下變形隨時間的不斷變化為材料的蠕變 應(yīng)變下應(yīng)力隨時間的下降為應(yīng)力松弛 粘彈性 粘塑性 粘彈塑性 塑性力學(xué)和彈性力學(xué)在基本假設(shè)和研究方法 相同點有： (1)假設(shè)都相同：連續(xù)性、小變形。 (2)平衡方程、幾何方程相同。 (3)解題方法基本相同：通過求解基本方程組得到應(yīng)力和位移 本質(zhì)區(qū)別：本構(gòu)關(guān)系的不同。 彈性力學(xué)：本構(gòu)關(guān)系遵循廣義虎克定律 塑性力學(xué)：變形的不可恢復(fù)性，導(dǎo)致了塑性力學(xué)中的本構(gòu)關(guān)系是多方面的，比較復(fù)雜。 彈性 塑性 粘性 巖石力學(xué)性質(zhì) 體力和面力體力和面力 Fi，Ti

14、位移位移ui 應(yīng)力應(yīng)力 ij應(yīng)變應(yīng)變 ij 平衡平衡 相容性（幾相容性（幾 何）何） 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 固體力學(xué)問題解法中各種變量的相互關(guān)系固體力學(xué)問題解法中各種變量的相互關(guān)系 1-2 1-2 應(yīng)力狀態(tài) 333231 232221 131211 zzyzx yzyyx xzxyx ij 應(yīng)力狀態(tài)一點所有截面應(yīng)力矢量的集合。 1 應(yīng)力張量 mzxyzx yzmyyx xzxymx m m m ij 00 00 00 張量和運算法則 ijijmij S 應(yīng)力球形張量應(yīng)力偏斜張量 )( 3 1 zyxm 平均正應(yīng)力： ji ji Kronec ij 0 1 ker符號： 在彈性理論和經(jīng)典塑性理論中:

15、 : 應(yīng)力球張量只產(chǎn)生體應(yīng)變，即受力體只發(fā)生體積變化而不發(fā)生 形狀變化； 應(yīng)力偏張量則產(chǎn)生剪變形，即只引起物體形狀變化而不發(fā)生體積大小的變化。 在經(jīng)典塑性理論中，體應(yīng)變常常假設(shè)為彈性的。體應(yīng)變就只有彈性分量，而與塑性 無關(guān)，只有剪應(yīng)變有塑性分量，使研究大為簡化。 斜切面上的應(yīng)力 時當0 3 1 dhdh ds dv 0 x對四面體 nmlp zxyxxx 0Xdvndsmdsldsdsp zxyxxx 同理： nmlp zyyxyy nmlp zyzxzz 斜面上的正應(yīng)力； 2222 Nzyxv ppp nlmnlmnml npmplp xzyzxyzyx zyxv 222 222 斜面上的剪

16、應(yīng)力 2 主應(yīng)力與應(yīng)力主方向主應(yīng)力與應(yīng)力主方向 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx nmlp zxyxxx nmlp zyyxyy nmlp zyzxzz 斜面ABC為主微分面，面上只有正應(yīng)力 mp y lp x np z 投影到坐標軸上 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組， 非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即 0 zzyzx yzyyx xzxyx 展開 0 32 2 1 3 III 0 32 2 1 3 III zyx I 1 其中： 主元之和 ij 22

17、2 2xzyzxyxzzyyx I代數(shù)主子式之和 zzyzx yzyyx xzxyx I 3 應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列 式 主應(yīng)力特征方程 求解主應(yīng)力特征方程得主應(yīng)力i i（i=1i=1，2 2，3 3） 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 1 222 nml 上式任意二個方程 主方向 主應(yīng)力是一點所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力。 主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其作用方位； 應(yīng)力狀態(tài)特征方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程 確定彈性體內(nèi)部任意一點主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。 主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標軸的選取無關(guān)。 因此，特征方程的根是

18、確定的，即I1 1、I2 2、I3 3的值是不隨坐標軸的改變而變化的。 I1 1、I2 2、I3 3 分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三第一、第二和第三不變量不變量。 主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標系無 關(guān)。 因此特征方程的三個根是確定的。 特征方程的三個根，即一點的三個主應(yīng)力均為實數(shù)。 根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。 任意一點三個應(yīng)力主方向是相互垂直的三個應(yīng)力主軸正 交的。 應(yīng)力不變量性質(zhì)應(yīng)力不變量性質(zhì) 坐標系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。 應(yīng)力不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。 l不變性 l實數(shù)性 l正交性 zyx I 1 222 2 xzyzxy xzzyy

19、x I zzyzx yzyyx xzxyx I 3 mzxyzx yzmyyx xzxymx ij s 應(yīng)力偏斜張量不變量 zzyzx yzyyx xzxyx ij 03 1 mzyx J )(6 )()()( 6 1 222 222 2 zxyzxy yxyxyx J mzzyzx yzmyyx xzxymx J 3 3 八面體及八面體應(yīng)力應(yīng)力 應(yīng)力空間中8個象限有8個等傾斜面： 3 1 nml nlmnlmnml npmplp xzyzxyzyx zyxv 222 222 2222 Nzyxv ppp 1 3218 3 1 )( 3 1 )( 3 1 I mzyx 22 2 1 13322

20、1 2 321 2 13 2 32 2 218 3 2 62 3 1 )(6)(2 3 1 )()()( 3 1 JII 八面體正應(yīng)力=平均正應(yīng)力 八面體剪應(yīng)力與應(yīng)力偏量有關(guān) 2 1 2 23 2 32 2 21 28 )()()( 2 1 3 2 3 Jq 廣義剪應(yīng)力 4 4 偏量平面及偏量平面應(yīng)力 等壓力線(等傾線)：在主應(yīng)力空間中，與三個坐標軸等傾（l=m=n= ）的 空間曲線 3 1 常數(shù) 321 偏平面：與等壓力線垂直的平面 平面：與等壓力線垂直的平面，且經(jīng)過原點 0 321 應(yīng)力點 N P P m oo 3)( 3 1 321 82 2 1 2 111 2 3 2 2 2 1 22

21、 32 )( 3 1 J OOOPPO 偏平面上的應(yīng)力： 應(yīng)力空間中向量OP，分量為：OO、OP平面上的應(yīng)力： 與應(yīng)力球張量有關(guān) 與應(yīng)力偏張量有關(guān) 物體整體平衡，內(nèi)部任何部分 也是平衡的。 5 5 平衡微分方程 ),(zyxf x ),(zydxxf x .)( ),( 21 1),( ),(),( 2 2 2 dx x zyxf dx x zyxf zyxfzydxxf 級數(shù)展開 dx x x xx 略去高階微分項 切應(yīng)力互等定理 jiij 0, bjiij F 0 bx zx yx x F zyx 0 0 bz z yz z by zyyxy F zyx F zyx (ij) 1 變形與應(yīng)

22、變概念變形與應(yīng)變概念 位移形式 剛體位移： 變形位移 1-3 1-3 應(yīng)變狀態(tài) x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy zyx 幾何方程( (柯西方程) ) 幾何方程位移導(dǎo)數(shù)表示的應(yīng)變 應(yīng)變描述一點的變形，但還不足以完全描述彈性體的變形 原因是沒有考慮單元體位置的改變單元體的剛體轉(zhuǎn)動 剛性位移可以分解為平動與轉(zhuǎn)動 剛性位移不產(chǎn)生變形 zzyzx yzyyx xzxyx xy xz yz x w x w x w z v y v x v z u y u x u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 )( 2 1 , )( 2 1

23、, )( 2 1 y u x v x w z u z v y w zyx 轉(zhuǎn)動矢量描述微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動分量 剛體轉(zhuǎn)動 變形 幾何方程 2 2 應(yīng)變張量 333231 232221 131211 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx ij mzxyzx yzmyyx xzxymx m m m ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 00 00 00 ijijmij e 張量和運算法則 應(yīng)變球形張量應(yīng)變偏斜張量 )( 3 1 zyxm 平均正應(yīng)變： ji ji Kronec ij 0 1 ker符號： 應(yīng)變球張量：代表只發(fā)生體積

24、變化的應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)變偏張量：代表只發(fā)生形狀變化的應(yīng)變狀態(tài) 應(yīng)變張量一旦確定，則任意坐標系下的應(yīng)變分量均可確定。 因此應(yīng)變狀態(tài)就完全確定。 坐標變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但作為一個整體，所描 述的應(yīng)變狀態(tài)并未改變。 主應(yīng)變與應(yīng)變主軸 切應(yīng)變?yōu)?的方向 應(yīng)變主軸方向的正應(yīng)變 應(yīng)變主軸 主應(yīng)變 3.2 主應(yīng)變主應(yīng)變2 0)( 2 1 2 1 0 2 1 )( 2 1 0 2 1 2 1 )( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 應(yīng)變狀態(tài)特征方程 l，m，n齊次線性方程組 非零解的條件為方程系數(shù)行列式的值為零 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx y

25、zyyx xzxyx 0 32 2 1 3 JJJ展開 3 應(yīng)變不變量應(yīng)變不變量 第一，第二和第三應(yīng)變不變量 ij zxyzxyxzxyyx zyxii J J J 3 222 2 1 )( 4 1 4 體積應(yīng)變 . z w y v x u 1 )1()1()1( * J dxdydz dxdydzdzdydx V VV zyx zyx 引入體積應(yīng)變有助于簡化公式 5 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x 幾何方程： 6 6個應(yīng)變分量通過3 3個位移分量描述 力學(xué)意義: :變形連續(xù) y v x u y x

26、 2 3 2 2 2 3 2 2 xy v x yx u y y x yxx v y u yxxy xyy x 2 2 2 2 2 )( x w z u z v y w y u x v zx yz xy yx w yz u y xz v xy w x zy u zx v z zx yz xy 22 22 22 yx w zyx xy zx yz 2 2 分別輪換x,y,z，則可得如下六個關(guān)系式 yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2

27、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 圣維南 （Saint Venant）方程 物體在載荷作用下 應(yīng)變、應(yīng)力 位移法：先確定位移，由幾何方程確定應(yīng)變，因連續(xù)方程由幾何 方程推出，自然滿足 力法：先確定應(yīng)力，變形必須要連續(xù)方程 1.4 邊界條件邊界條件 彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。 邊界面力已知：F Fsj sj 應(yīng)力邊界條件 設(shè)物體表面為S 位移已知邊界Su 面力已知邊界S 確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。 面力邊界條件描述彈性體表面的平衡 平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡 這

28、種平衡只是靜力學(xué)可能的平衡 真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足變形連續(xù)條件 iijsj nF nmlF zxyxxsjx nmlF zyyxysjy nmlF zyzxzsjz 位移邊界條件位移邊界條件 邊界位移已知： 位移邊界條件就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào) 彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 wwuvuu wuu q應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部的變形單值連續(xù)。 q邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。 q位移邊界條件表面的位移或變形與已知邊界位移或變形相等。 混合邊界條件混合邊界條件 彈性體邊界 SS Su 部分邊界位移已知位移邊界Su 部分邊界面力已知面力邊界S 一、 廣義

29、虎克定律 彈性體內(nèi)任一點的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系都可寫為 ： zxyzxyzyxx cccccc 161514131211 zxyzxyzyxy cccccc 262524232221 zxyzxyzyxz cccccc 363534333231 zxyzxyzyxxy cccccc 464544434241 zxyzxyzyxyz cccccc 565554535251 zxyzxyzyxzx cccccc 666564636261 （1 1） 1.5 1.5 線彈性本構(gòu)關(guān)系 66636261 36333231 26232221 16131211 cccc cccc cccc cccc D 用矩陣表

30、示 為：D 稱為應(yīng)變列陣 T zxyzxyzyx T zxyzxyzyx 稱為應(yīng)力列陣 式中： 稱為彈性矩陣，由6 66 63636個彈性常數(shù)組成的6 66 6階矩陣。 D （2 2） 二、極端各向異性體的本構(gòu)方程 1 1、極端各向異性體物體內(nèi)任一點沿任何兩個不同方向的彈性性質(zhì)都 互不相同。 2 2、特點：任何一個應(yīng)力分量都會引起6 6個應(yīng)變分量。也就是說正應(yīng)力不僅 能引起線應(yīng)變，還能引起剪應(yīng)變。 3 3、本構(gòu)方程： zx yz xy z y x zx yz xy z y x aaa aaa aaa aaa 666261 363231 262221 161211 （3 3） A 即：即： 為了

31、說明問題，將6 6個應(yīng)力分量編號為： x x y y z z xy xy yz yz zx zx 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 將6 6個應(yīng)變分量產(chǎn)生的位置編號為： X X軸 y y軸 z z軸 x-yx-y面 y-zy-z面 z-xz-x面 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 則： x x 所引起的6 6個應(yīng)變分量為： 在x x軸引起的線應(yīng)變?yōu)? : a a11 11 x x 在y y軸引起的線應(yīng)變?yōu)? : a a21 21 x x 在z z軸引起的線應(yīng)變?yōu)? : a a31 31 x x 在x-yx-y面引起的剪應(yīng)變?yōu)? :a a41 41 x x 在y-zy

32、-z面引起的剪應(yīng)變?yōu)? :a a51 51 x x 在z-xz-x面引起的剪應(yīng)變?yōu)? :a a61 61 x x 即 上式用應(yīng)力表示應(yīng)變。 1 AD ij ij c a 1 式中：a aij ij代表第j j個應(yīng)力分量等于1 1 個單位時在i i方向所引起的應(yīng)變分量， 如a a31 31表示 x x等于一個單位時在z z方向引 起的應(yīng)變分量。 可以證明，c cij ij=c =cji; ji; a aijij=a =aji ji, ,是對稱 矩陣。3636個彈性常數(shù)中只有2121個是獨立 的。 三、正交各向異性體 1 1、概念 （1 1）彈性對稱面：在任意兩個與某個面對稱的方向上，材料的彈性相

33、同（彈性常數(shù)相同），那 么，這個面就是對稱面。 （2 2）彈性主向：垂直于彈性對稱面的方向為彈性主向。 （3 3）正交各向異性體：彈性體中存在3 3個互相正交的彈性對稱面，在各個對稱面的對稱方向上， 彈性相同，但在這3 3個彈性主向上的彈性并不相同，這種物體稱為正交異性體。 2 2、特點：由于對稱關(guān)系，正應(yīng)力分量只能引起線應(yīng)變，不能引起剪應(yīng)變。 剪應(yīng)力不會引起線應(yīng)變，并且，只能引起相對應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變， 不會影響其它方向的剪應(yīng)變. . 以三個正交的彈性對稱面為坐標面，x,y,zx,y,z坐標軸為彈性主向。根 據(jù)對稱性，正應(yīng)力分量只能引起線應(yīng)變，不能引起剪應(yīng)變。則有： 0 0 0 63534

34、3 625242 615141 aaa aaa aaa zx yz xy z y x zx yz xy z y x a a a aaa aaa aaa 66 55 44 333231 232221 131211 00000 00000 00000 000 000 000 只有9 9個獨立的彈性常數(shù)。 同樣，作用在正交各向異性體上的剪應(yīng)力不會引起線應(yīng)變的變化，并且，只 能引起相對應(yīng)的剪應(yīng)變分量的改變，不會影響其它方向的剪應(yīng)變. .即xy xy只引起 xy xy的變化。則有： 0 0 0 5646362616 6545352515 6454342414 aaaaa aaaaa aaaaa 3 3、

35、正交各向異性體的本構(gòu)方程： 由（由（3 3）式得：）式得： （4 4） 四、橫觀各向同性體 1 1、概念 各向同性面： 某一平面內(nèi)的所有各方向的彈 性性質(zhì)相同，這個面為各向同性面。 橫觀各向同性體：具有各向同性面，但垂直此 面的力學(xué)性質(zhì)是不相同的，這類物體稱為橫觀各向 同性體。 2 2、特點 在平行于各向同性面的所有各個方向（橫向）都具有相同的彈性。 層狀巖體屬于橫觀各向同性體，平行于層面的各個方向是橫向，垂直 層面的方向是縱向。 設(shè)x-zx-z平面為各向同性面，根據(jù)橫觀各向同性體的特點，z z方向和x x方向的彈性 性質(zhì)相同，則： (1)(1)單位z z所引起的z z等于單位x x所引起的x

36、 x, ,即a a33 33=a =a11 11 ( (2 2) )單位 z z所引起的y y等于單位x x所引起的y y, ,即a a23 23=a =a21 21 ( (3 3) )單位 xy xy所引起的 xy xy等于單位 zy zy所引起的 zy zy, ,即a a4444=a =a55 55 3 3、橫觀各向同性體的本構(gòu)方程 由（4 4）式得： （5 5） zx yz xy z y x zx yz xy z y x a a a aaa aaa aaa 66 44 44 111213 122212 131211 00000 00000 00000 000 000 000 可見：在矩陣

37、 AA中只剩下a a11 11,a ,a12 12,a ,a13 13,a ,a22 22,a ,a44 44,a ,a66 66六個常數(shù)項，并且由彈性 力學(xué)公式有： ( (單位x x在X X軸上產(chǎn)生的變形） 1 11 1 E a ( (單位y y在y y軸上產(chǎn)生的變形） 2 22 1 E a ( (單位z z在X X軸上產(chǎn)生的變形） 1 1 13 E a ( (單位xy xy在X X-Y -Y面上產(chǎn)生的剪應(yīng)變） 2 44 1 G a 單位zx zx在Z-X Z-X面上產(chǎn)生的剪應(yīng)變） 1 66 1 G a ( (單位y y在X X軸上產(chǎn)生的變形） 2 2 12 E a 可見，橫觀各向同性體只有

38、5 5個獨立的彈性常數(shù)：E E1 1、E E2 2、1 1 、 2 2 、 G G2 2 。 E E1 1、 1 1 分別為各向同性面內(nèi)巖石的彈性模量和泊松比，E E2 2、 2 2分 別為垂直于各向同性面方向的彈性模量和泊松比。 并且： )1(2 1 1 1 E G ( (在橫觀各向同性面內(nèi)） 1 1、概念 各向同性體：物體內(nèi)任一點沿任一方向的彈性都相同。 2 2、特點：X X、Y Y、Z Z三個方向的彈性相同，即 五、各向同性體 E aaa 1 332211 E aaa 231312 G aaa 1 665544 且: : )1(2 , 2121 E GEEE 可見，各向同性體只有2 2個

39、獨立的彈性常數(shù)E E和。 3 3、本構(gòu)方程 由（5 5）式得：（6 6） zx yz xy z y x zx yz xy z y x G G G EEE EEE EEE 1 00000 0 1 0000 00 1 000 000 1 000 1 000 1 （6 6）式可寫為：）式可寫為： 應(yīng)力表示應(yīng)變應(yīng)力表示應(yīng)變 （7 7） )( 1 zyxx E )( 1 zxyy E )( 1 xyzz E xyxy G 1 yzyz G 1 zxzx G 1 應(yīng)變表示應(yīng)力：應(yīng)變表示應(yīng)力： )( 1)21)(1( )1( zyxx E xyxy E )1(2 )( 1)21)(1( )1( yxzz E

40、 )( 1)21)(1( )1( zxyy E zxzx E )1(2 yzyz E )1(2 )( )1( zyxxx EE )( ijijmij S mxx E S E 211 K K、G G形式：形式： ) )1(2)21(3 ( 3 1 2 1 E G E K K S G mxx )( 3 1 zyxm mxx S ijmijij KGe32 ij mx ij KG S 32 應(yīng)變表示應(yīng)力：應(yīng)變表示應(yīng)力： 本構(gòu)關(guān)系中將偏應(yīng)力和平均應(yīng)力、偏應(yīng)變和平均應(yīng)變分離，本構(gòu)關(guān)系中將偏應(yīng)力和平均應(yīng)力、偏應(yīng)變和平均應(yīng)變分離， 利于塑性本構(gòu)關(guān)系研究利于塑性本構(gòu)關(guān)系研究 、G G形式：形式： ijmiji

41、j KGe32 ijijmij e ) 3 2 (2GKG ijijkkij 1.6 1.6 非線性彈性本構(gòu)關(guān)系 嚴格來說：巖石的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系都是非線性的嚴格來說：巖石的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系都是非線性的 非線性彈性非線性彈性 彈塑性彈塑性 1 應(yīng)力空間和應(yīng)變空間 應(yīng)力空間：九維空間，應(yīng)力狀態(tài)的九個分量是該空間中的正交 笛卡爾坐標系九個軸上的分量。 坐標的零點為零應(yīng)力狀態(tài)（自然狀態(tài)）。 該空間的一點表示為指定的應(yīng)力狀態(tài)ij 應(yīng)力狀態(tài)變化的歷史應(yīng)力狀態(tài)變化的歷史 一條空間曲線一條空間曲線 應(yīng)力路徑應(yīng)力路徑 應(yīng)變空間：九維空間，應(yīng)變狀態(tài)的九個分量是該空間中的正交 笛卡爾坐標系九個軸上的分量。 坐標的零點為零

42、應(yīng)變狀態(tài)（自然狀態(tài)）。 該空間的一點表示為指定的應(yīng)變狀態(tài)ij 應(yīng)變狀態(tài)變化的歷史應(yīng)變狀態(tài)變化的歷史 一條空間曲線一條空間曲線 應(yīng)變路徑應(yīng)變路徑 狀態(tài)變量狀態(tài)變量狀態(tài)函數(shù)狀態(tài)函數(shù)表述表述 應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力空間應(yīng)力空間 應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變空間應(yīng)變空間 彈性體：兩種表述等價彈性體：兩種表述等價 Cauchy 型本構(gòu)方程 定義：物體在外力作用下，各點的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)之間定義：物體在外力作用下，各點的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)之間 存在一一對應(yīng)的關(guān)系。存在一一對應(yīng)的關(guān)系。 線彈性的本構(gòu)關(guān)系線彈性的本構(gòu)關(guān)系Cauchy Cauchy 彈性本構(gòu)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)系 彈性常數(shù)彈性常數(shù)E E、G G值為當前應(yīng)力下

43、的割線值值為當前應(yīng)力下的割線值E ES S、 、 s、GS 1.7 1.7 塑性本構(gòu)關(guān)系 塑性：材料的一種變形性質(zhì)，材料進入塑性卸載后產(chǎn)生 不可恢復(fù)的變形 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系 屈服條件屈服條件 加載條件加載條件 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 塑性本構(gòu)關(guān)系：塑性狀態(tài)下的物理關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系：塑性狀態(tài)下的物理關(guān)系 定義定義 屈服：屈服：彈性進入塑性彈性進入塑性 屈服條件（塑性條件）：屈服條件（塑性條件）：屈服滿足的應(yīng)力或應(yīng)屈服滿足的應(yīng)力或應(yīng) 變條件變條件 屈服面：屈服面：屈服條件的幾何曲面屈服條件的幾何曲面 初始屈服條件初始屈服條件后繼屈服條件后繼屈服條件破壞條件破壞條件 初始屈服面初始屈服面加載面加載

44、面破壞面破壞面 初始屈服函數(shù)的表達式初始屈服函數(shù)的表達式 0),( 321 F 均質(zhì)各向同性，坐標方向?qū)ηl件沒有影響均質(zhì)各向同性，坐標方向?qū)ηl件沒有影響 0),(TtF ijij 或 0)( ij F0)( ij F 略去時間與溫度的影響，并考慮應(yīng)力與應(yīng)變的一一對應(yīng)關(guān)系，則有略去時間與溫度的影響，并考慮應(yīng)力與應(yīng)變的一一對應(yīng)關(guān)系，則有 0),( 0),( 0),( 0),( 88 321 321 F qpF JJJF IIIF 巖土材料，靜水壓力影響屈服巖土材料，靜水壓力影響屈服 傳統(tǒng)塑性力學(xué)中與傳統(tǒng)塑性力學(xué)中與I1無關(guān)無關(guān) 0),( 0),( 0),( 0),( 0),( 8 2 32

45、 321 F JF qF JJF F p q p ,q,空間金屬材料屈服面空間金屬材料屈服面主應(yīng)力空間金屬材料屈服面主應(yīng)力空間金屬材料屈服面 1，1 2，2 3，3 1)一般的巖土類材料都具有應(yīng)變硬化或軟化特性，故屈服 與破壞函數(shù)不同。 2)三個主應(yīng)力或三個應(yīng)力不變量都對屈服和破壞有影響。 3)單純的靜水壓力也可以產(chǎn)生屈服。 4)具有SD效應(yīng)，即拉壓的屈服與破壞強度不同。 5)高壓下，屈服及破壞與靜水壓力呈非線性關(guān)系 6)除堅硬的巖塊，溫凝土等可以承受一定的拉力破壞而外，一般的巖土破壞部屬于剪切破壞。例如 巖石和土的無側(cè)限抗壓試驗實際上是剪切破壞。 7)初始各向異性與應(yīng)力導(dǎo)致的各向異性。 巖土

46、類材料不同于金屬材料的屈服與破壞特性主要有以下幾點 一個較好的巖土類材料屈服與破壞準則或條件，不但應(yīng)當盡量滿足或反映上述巖土類材料的屈服 與破壞特性，而且還應(yīng)當滿足屈服曲面外凸性的要求以及材料參數(shù)較少且易于測定，準則的數(shù)學(xué) 方面應(yīng)盡量符合簡單、實用等方面的要求。 屈服面與屈服曲線屈服面與屈服曲線 屈服面屈服面狹義：初始屈服函數(shù)的幾何曲面狹義：初始屈服函數(shù)的幾何曲面 廣義：屈服函數(shù)的幾何曲面（加廣義：屈服函數(shù)的幾何曲面（加 載面）載面） 一個空間屈服面可以采用兩個平面上的屈服曲線表達：一個空間屈服面可以采用兩個平面上的屈服曲線表達： 平面的屈服曲線平面的屈服曲線 子午平面屈服曲線子午平面屈服曲線

47、 屈服曲線與屈服面屈服曲線與屈服面 理想塑性：理想塑性： 屈服面內(nèi)屈服面內(nèi)F(ij)0：不可能不可能 硬（軟）化塑性：硬（軟）化塑性： 加載面加載面(ij,H)0 加載：加載面由于應(yīng)變硬化而擴大加載：加載面由于應(yīng)變硬化而擴大 d d=0 =0 中性變載：應(yīng)力點在中性變載：應(yīng)力點在加載面上加載面上變化，但塑性內(nèi)變量變化，但塑性內(nèi)變量Ha不變，即不產(chǎn)生新不變，即不產(chǎn)生新 的塑性變形，只產(chǎn)生彈性變形的塑性變形，只產(chǎn)生彈性變形 卸載時當 中性變載時當 加載時當 0 0 0 nd nd nd 0 在應(yīng)力空間表示：在應(yīng)力空間表示： b 非正則屈服面加卸載準則：非正則屈服面加卸載準則： 0 ml 卸載時當

48、中性變載時當 加載時當 0),max( 0),max( 0),max( ij ij m ij ij l ij ij m ij ij l ij ij m ij ij l dd dd dd 兩個屈服面為：兩個屈服面為：l、m C 應(yīng)變軟化材料應(yīng)變軟化材料 應(yīng)變軟化材料：加載時，加載面收縮應(yīng)變軟化材料：加載時，加載面收縮 即即 ： 0 與卸載準則無法區(qū)別與卸載準則無法區(qū)別 應(yīng)變空間表示應(yīng)變空間表示 0),( aij HF 卸載時當 中性變載時當 加載時當 0 0 0 ij ij ij ij ij ij d F dF d F dF d F dF 加載條件：加載條件： a 正則屈服面加卸載準則：正則屈服

49、面加卸載準則： b 非正則屈服面加卸載準則：非正則屈服面加卸載準則： 0 ml FF 卸載時當 中性變載時當 加載時當 0),max( 0),max( 0),max( ij ij m ij ij l ij ij m ij ij l ij ij m ij ij l d F d F d F d F d F d F 兩個屈服面為：兩個屈服面為：Fl、Fm 加載條件：加載條件： c 討論：討論： 應(yīng)變空間表示的加卸載準則同樣適應(yīng)：應(yīng)變空間表示的加卸載準則同樣適應(yīng)： 理性塑性材料 應(yīng)變硬化材料 1 概述概述 增量塑性理論要求材料在受力過程中要遵循的能量守恒定律增量塑性理論要求材料在受力過程中要遵循的能量

50、守恒定律 附加應(yīng)力對附加應(yīng)變作功為非負 （d d dd00） 如：應(yīng)變硬化材料、理想塑性材料 穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料 不穩(wěn)定材料不穩(wěn)定材料 附加應(yīng)力對附加應(yīng)變作功為負 （d d00:0:塑性加載 =0=0：中性變載 理想塑性材料：0:0:無意義 =0=0：塑性加載 0dd p ijij 考慮加載過程彈性變形，彈塑性功為： Drucker 公設(shè)內(nèi)容a的數(shù)學(xué)表達 屈服面的外凸性屈服面的外凸性 塑性應(yīng)變增量的正交性塑性應(yīng)變增量的正交性 0d)( 0 p ijijij 重要結(jié)論：重要結(jié)論： （1）屈服面）屈服面/加載面的外凸性加載面的外凸性 （2）塑性應(yīng)變增量方向與屈服面的法向平行（正）塑性應(yīng)變增量方向與屈

51、服面的法向平行（正 交流動法則）交流動法則） （3） 線性相關(guān)與 ij p dd ij 0d)( 0 p ijijij 0dAB p ij p ij d 2 dAB 的夾角與 p ij 出于 永遠指向加載面外側(cè) 要使 成立0dAB p ij 加載面外凸性 （1）屈服面/加載面的外凸性 （2）塑性應(yīng)變增量方向與屈服面/加載面的法向平行 （正交流動法則） 如果 不與 重合，則總可以找到一個人點使得 與（1）矛盾 p ij d n 2 ij p ij dd 推論2 非負標量塑性因子 線性相關(guān)與 ij p dd ij )3( ij ij dh d ij p ij dd 硬化模量或硬化函數(shù) 大小由 應(yīng)力

52、增量產(chǎn)生 dd p ij 與 線性硬化規(guī)律 ij p ij dd ij ij dh d )(d mn mnij p dh ij Drucker公設(shè)： 穩(wěn)定材料 適用 非穩(wěn)定材料 不完全適用 在彈塑性材料的一個完整的應(yīng)變循環(huán)過程中，外部作用作功是非負。 如果作正功：產(chǎn)生了塑性變形 如果作功為0：只產(chǎn)生彈性變形 數(shù)學(xué)表達為： 0d)d 2 1 ( 0 p ijijijij p E dW 0d)d 2 1 ( 0 p ijijijij p E dW 兩個重要不等式兩個重要不等式 0d)( 0 p ijijij 0dd p ijij ij p ij dd 非負標量塑性因子 1 概述概述 確定塑性應(yīng)變增

53、量方向（或塑性流動方向）確定塑性應(yīng)變增量方向（或塑性流動方向） ij p ij dd DruckerDrucker公設(shè)推論2 塑性應(yīng)變增量方向與加載面的梯度方向一致塑性應(yīng)變增量方向與加載面的梯度方向一致 是充分條件，非必要條件是充分條件，非必要條件其他方法可確定其他方法可確定 2 正則加載面流動法則正則加載面流動法則 彈性勢函數(shù)彈性勢函數(shù) 彈性本構(gòu)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)系 彈性理論：彈性理論： 塑性理論：塑性理論： Mises 塑性勢函數(shù)塑性勢函數(shù)Q 塑性流動方向塑性流動方向 ),(),( 321 JJIQQ ij Mises位勢理論位勢理論 假設(shè)塑性流動狀態(tài)假設(shè)塑性流動狀態(tài) 存在某種塑性勢函數(shù)存在某

54、種塑性勢函數(shù)Q，并設(shè)，并設(shè)Q為應(yīng)力或應(yīng)力不變量的函為應(yīng)力或應(yīng)力不變量的函 數(shù)數(shù) 即：即： ),(),( 321 JJIQQ ij 則則 塑性流動的方向與塑性流動的方向與Q的梯度或外法線方向相同的梯度或外法線方向相同 由于由于Q代表材料在塑性變形過程中的某種勢能（或位能）代表材料在塑性變形過程中的某種勢能（或位能） Mises位勢理論位勢理論 ij p Q ij dd Mises位勢流動理論數(shù)學(xué)表達：位勢流動理論數(shù)學(xué)表達： 非負標量塑性因子 流體力學(xué)中，由于流體的流動速度方向總是沿著速度等勢面的梯度方向。 Mises位勢流動理論位勢流動理論 塑性勢函數(shù)可假定不同的形式 服從Drucker公設(shè)的穩(wěn)

55、定材料， 假定塑性勢函數(shù)為屈服函數(shù)或加載函數(shù)： QfQ或 ij p Q ij dd ij p ij dd 與屈服條件或加載條件相關(guān) 聯(lián)的流動法則 與屈服條件或加載條件 相關(guān)聯(lián)的本構(gòu)關(guān)系 如：A點 塑性流動方向與屈服面或加載面不正交 但與塑性勢面正交 QfQ或 與塑性勢面正交 ij p Q ij dd 與屈服條件或加載條件不相關(guān)聯(lián)的流動法 則 如：B點 3 非正則加載面流動法則非正則加載面流動法則 理想材料理想材料 fQ ij m ij lp ff ij 21 ddd 兩個屈服面為：兩個屈服面為：fl、fm 兩個屈服面產(chǎn)生的塑性應(yīng)變增量的線性組合兩個屈服面產(chǎn)生的塑性應(yīng)變增量的線性組合 fl非負標

56、量塑性因子 fm非負標量塑性因子 硬化規(guī)律（模型）：加載面位置、 形狀、大小變化規(guī)律 硬化定律：確定加載面依據(jù)哪些 具體的硬化參量而初始硬化的規(guī) 律 等向強化和隨動強化示意圖等向強化和隨動強化示意圖 1 1 硬化模型種類：硬化模型種類： 1 1）等向強化（硬化）/ /各向同性強化（硬化）： 加載面在應(yīng)力空間只作形狀相似的擴大 加載面大小變化，形狀、位置、主軸方向不變 等向硬化（偏平面上）等向硬化（偏平面上） 加載函數(shù) 0),( aij H 2 2）運動強化（硬化）/ /隨動強化/ /機動強化： 加載面在應(yīng)力空間作形狀與大小不變的平移運動 隨動硬化（偏平面上）隨動硬化（偏平面上） 0)( 0 H

57、 ijij 剛性平移，形狀、大小、主軸方向不變 加載函數(shù) 常數(shù)，反映初始屈服面大小 移動應(yīng)力張量 3 3）混合強化（硬化）/ /組合強化）： 加載面在應(yīng)力空間同時發(fā)生形狀相似的大小變化和平移 大小、位置變，形狀、主軸方向不變 混合硬化混合硬化 0)(),(HH ijijijij 加載函數(shù) 意義與隨動強化同，但變化規(guī)律不同 2 2 ij ij dh d 硬化模量或硬化函數(shù) 為推導(dǎo)方便 令： h A 1 確定A后，代入流動法則 建立dij 、dij ij的增量本構(gòu)關(guān)系 0),(H ijij 0),(dHHdd ijijijij 混合強化加載函數(shù) 增加應(yīng)力后，加載面擴大，加載函數(shù)為： 0 dH H

58、ddd ij ij ij ij 硬化材料的相容條件 假設(shè) 為塑性應(yīng)變及應(yīng)變歷史的函數(shù) H ij )( )( p klijij p ij HH 等向強化：ij ij不變，對H H微分 ij p Q ij dd kl kl d A 1 d p p ij ij d H dH kl klij p p p d QH A ij ij ij 1 d H dH 隨動強化：H H為常數(shù)，對ij ij微分 ij p Q ij dd kl kl d A 1 d kl klij p d Q A cc ij 1 dd ij p ij cdd ij 0 dH H ddd ij ij ij ij ij ij ij ij d

59、d 隨動強化：H H為常數(shù)，此項為0 0 混合強化： kl klij p d Q A cc ij 1 dd ij kl klij p p p d QH A ij ij ij 1 d H dH 0 11 kl klij p kl klijij ij ij d QH HA d Q A cdd ij ij ij ij ij dd 0 dH H ddd ij ij ij ij 21 AA Q c QH H A ijijij p ij 在、Q Q、H H、c c確定后，可確定A A ijij ij p Q cA QH H A ij 2 1 隨動強化模量 等向強化模量 屈服條件 加載條件 是否進入塑性 塑

60、性本構(gòu)關(guān)系； 全量理論 增量理論 全量理論（塑性形變理論）：建立應(yīng)力應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系 增量理論（塑性流動理論）：建立應(yīng)力增量應(yīng)變增量的本構(gòu)關(guān)系 1 1 由于塑性本構(gòu)關(guān)系與應(yīng)力或應(yīng)變路徑有關(guān)，應(yīng)力和應(yīng)變之間不存在唯一的對應(yīng)關(guān)系 ；因此，對一般的復(fù)雜加載歷史和應(yīng)力路徑不可能建立起全量本構(gòu)關(guān)系。 當規(guī)定了具體的應(yīng)力或應(yīng)變路徑之后，就可以沿應(yīng)力或應(yīng)變路徑積分，建立相應(yīng)的 全量型本構(gòu)關(guān)系。 條件非?？量?巖土類材料主要應(yīng)用增量型塑性本構(gòu)理論。 全量型的塑性應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系 小變形（伊留申理論） 如果假設(shè)： 比例加載，即保證應(yīng)力各分量之間按一定比例增加 體積變化是彈性，即無塑性體積應(yīng)變 應(yīng)變偏張量eij與應(yīng)力