人教a版高中數(shù)學必修5第3章 不等式全部教案 同步單元測試卷

1、3.1不等關系與不等式3.1.1不等關系與不等式（一）從容說課通過本節(jié)課的學習讓學生從一系列的具體問題情境中感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用，這是學習本章的基礎，也是不等關系在本章內(nèi)容的地位與作用.對不等關系的相關素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較的過程，即能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學模型的過程，這是學習本章第三節(jié)的基礎.在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的學生易于處理的問題，用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望，這

2、也是學生學習本章的情感基礎.根據(jù)本節(jié)課教學內(nèi)容，應用觀察、抽象歸納、思考、交流、探究，得出數(shù)學模型，進行啟發(fā)式教學并使用投影儀輔助.教學重點 1.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題；3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值.教學難點 1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系；2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題.教具準備 投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標一、知識與技能1.通過具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關系；

3、2.了解不等式或不等式組的實際背景；3.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題.二、過程與方法1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學；2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用；3.設計較典型的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生的學習興趣和積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體情境，讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度；2.學習過程中，通過對問題的探究思考、廣泛參與，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣，主動、

4、積極的學習品質(zhì)，從而提高學習質(zhì)量；3.通過對富有實際意義問題的解決，激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的應用性，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的簡潔美，激發(fā)學生的學習興趣.教學過程導入新課師 日常生活中,同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關系.你能舉出一些例子嗎？生 實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32，最低氣溫26.生 實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點a、b，若點a在點b的左邊，則xaxb.(老師協(xié)助畫出數(shù)軸草圖) 生 實例3:若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.實例4:兩點之間線段最短.實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(學生迫不及待地說出這么多,說明課前的預習

5、量很充分,學習數(shù)學的興趣濃,此時老師應給以充分的肯定和表揚)推進新課師 同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活，又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系,非常好.而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標題不等關系與不等式,所舉的實例都是反映不等量關系,這將暗示我們這節(jié)課的效果將非常好.(此時，老師用投影儀給出課本上的兩個實例)實例6:限時40 km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%.過程引導師 能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來

6、說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人來說必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?生 可以用不等式或不等式組來表示.師 什么是不等式呢?生 用不等號將兩個解析式連結(jié)起來所成的式子叫不等式.（老師給出一組不等式-7-5；3+41+4；2x6；a+20;34.目的是讓同學們回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號“，”的含義，是或的關系.回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了）師 能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學模型的過程，通過對不等式數(shù)學模型的研究，反過來作用

7、于我們的現(xiàn)實生活，這才是我們學習數(shù)學的最終目的.（此時，同學們已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點.）合作探究生 我們應該先像實例2那樣用不等式或不等式組把上述實例中的不等量關系表示出來.師 說得非常好，下面我們就把上述實例中的不等量關系用不等式或不等式組一一表示出來.那應該怎么樣來表示呢?（學生輪流回答，老師將答案相應地寫在實例后面）生 上述實例中的不等量關系用不等式表示應該為32t26.生 可以表示為x0.（此時，學生有疑問，老師及時點撥，可以畫出圖形.讓學生板演）（老師順便畫出三角形草畫）生 |ac|+|bc|ab|(只需結(jié)合上述三角形草圖).生 |ab|+|bc|ac|、|ac|+|bc|a

8、b|、|ab|+|ac|bc|.生 |ab|-|bc|ac|、|ac|-|bc|ab|、|ab|-|ac|bc|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.生 如果用v表示速度，則v40 km/h.生 f2.5%或p2.3%.(此時,一片安靜,同學們在積極思考)生 這樣表達是錯誤的,因為兩個不等量關系要同時滿足，所以應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，即可以表示為生 也可表示為f2.5%且p2.3%.師 同學們看這兩位同學的觀點是否正確?生 (齊答)大家齊聲說，都可以.師 同學們的思考很嚴密,很好!應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，也可以用“且”的形式來表達.課堂練習教科書第83頁練

9、習1、2.(老師讓學生輪流回答，學生回答很好.此時，同學們已真正進入了本節(jié)課的學習狀態(tài),老師再用投影儀給出課本上的三個問題.問題是數(shù)學研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識）【問題1】 設點a與平面的距離為d,b為平面上的任意一點.活動與探究師 請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關系.(此時,教室一片安靜,同學們在積極思考,時間較長,老師應該及時點撥)方法引導師 前面我們借助圖形來表示不等量關系,這個問題是否可以?(可以讓學生板演，結(jié)合三角形草圖來表達)過點a作ac平面于點c，則d=|ac|ab|.師 這位同學做得很好,我們在解決問題時應該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想

10、,以形助數(shù),以數(shù)解形.師 請同學們繼續(xù)來處理問題2.合作探究【問題2】 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元,銷售量就可能相應減少2 000本.若把提價后雜志的定價設為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?生 可設雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本.師 那么銷售量變?yōu)槎嗌倌?？如何表示？?可以表示為萬本，則總收入為萬元.老師板書，即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為x20師 是否有同學還有其他的解題思路？生 可設雜志的單價提高了0.1n元，(nn *)，（下面有討論的聲音，有的同學存在疑問，此時老師應密切關注學生的思維狀

11、況）師 為什么可以這樣設？生 我只考慮單價的增量.師 很好，請繼續(xù)講.生 那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為(2.5+0.1n)元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)20.師 這位同學回答得很好，表述得很準確.請同學們對兩種解法作比較.（留下讓學生思考的時間）師 請同學們繼續(xù)思考第三個問題.合作探究【問題3】 某鋼鐵廠要把長度為4 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式?師 假設截得500 mm的鋼管x根，截得600

12、mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應當有什么樣的不等量關系呢？生 截得兩種鋼管的總長度不能超過4 000 mm.生 截得600 mm鋼管的數(shù)量不能超過500 mm鋼管的3倍.生 截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.師 上述的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢？生 它們要同時滿足條件，應該是且的關系.生 由實際問題的意義，還應有x,yn.師 這位同學回答得很好，思維很嚴密.那么我們該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢？生 要同時滿足上述三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：師 這位同學回答很準確.通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等組把實際問題中所隱含的不等量關系表示出來，這一點

13、掌握得很好.請同學們再完成下面這個練習.課堂練習練習：若需在長為4 000 mm的圓鋼上，截出長為698 mm和518 mm兩種毛坯，問怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式組?分析：設截出長為698 mm的毛坯x個和截出長為518 mm的毛坯y個，把截取條件數(shù)學化地表示出來就是：（練習可讓學生板演，老師結(jié)合學生具體完成情況作評析，特別應注意x0,y0,x,yn）課堂小結(jié)師 通過今天的學習，你學到了什么知識，有何體會？生 我感到學習數(shù)學可以幫助我們解決生活中的實際問題.生 數(shù)學就在我們的身邊，與我們的生活聯(lián)系非常緊密，我更加喜愛數(shù)學了.生 本節(jié)課我們還進一步鞏固了初中所學的二元一次不等式及二元一

14、次不等式組，并且用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題.師 我來補充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式組表示實際問題中的不等關系時，思維要嚴密、規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應用.（慢慢培養(yǎng)學生學會自己來歸納總結(jié)，將所學的知識，結(jié)合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而達到三維目標的整合.進而培養(yǎng)學生的概括能力和語言表達能力）布置作業(yè)第84頁習題3.1a組4、5.板書設計不等關系與不等式（一）實例 方法引導 方法歸納如何用不等式或不等式組表示 實例剖析（知識方法應用） 小結(jié)實際問題中不等量關系？ 示范解題備課資料一、備用習題1.一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，

15、生產(chǎn)1車皮甲種肥料需要的主要原料是磷酸鹽4噸、硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.現(xiàn)有庫存磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸，在此基礎上進行生產(chǎn).請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關系表示出來.分析：設x,y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，則2.某年夏天，我國遭受特大洪災，災區(qū)學生小李家中經(jīng)濟發(fā)生困難.為幫助小李解決開學費用問題，小李所在班級學生（小李除外）決定承擔這筆費用.若每人承擔12元人民幣，則多余84元；若每人承擔10元，則不夠；若每人承擔11元，又多出40元以上.問該班共有多少人？這筆開學費用共多少元？請用不等式或不等式組把此實例中的不等量

16、關系表示出來，不必解答.分析：設該班共有x人，這筆開學費用共y元，則.3.制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元.請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關系表示出來.分析：設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目，由題意，知4.某企業(yè)生產(chǎn)a、b兩種產(chǎn)品，a產(chǎn)品的單位利潤為60元，b產(chǎn)品的單位利潤為80元，兩種產(chǎn)品都需要在加工車間和裝配車間進行生產(chǎn)，每件a產(chǎn)品在加工車間和裝配車間各需經(jīng)過0.8 h和2.

17、4 h，每件b產(chǎn)品在兩個車間都需經(jīng)過1.6 h，在一定時期中，加工車間最大加工時間為240 h，裝配車間最大生產(chǎn)時間為288 h.請用不等式或不等式組把此實例中的不等量關系表示出來.分析：設該企業(yè)分別生產(chǎn)a產(chǎn)品x件、b產(chǎn)品y件，則二、課外探究開放性問題已知：不等式組你能舉出符合此不等式組的實際問題嗎？3.1.2不等關系與不等式（二）從容說課本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.為了利用不等式更好地研究不等關系，也能夠讓學生在以后的解不等式以及對不等式的證明奠定一定的理論基礎.在本節(jié)課的學習過程中將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大

18、小.了解不等式的一些基本性質(zhì)并能給出嚴格的理論證明，能用不等式的基本性質(zhì)進行一些簡單的不等式證明，進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.這是學習本節(jié)課的目的也是本節(jié)課的內(nèi)容安排在本章的地位與作用.對實數(shù)基本理論的復習，教師應作好點撥，利用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合，做好歸納總結(jié).對不等式的基本性質(zhì)，教師應指導學生用數(shù)學觀點與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納、邏輯分析，并鼓勵學生從理性角度去分析量與量的比較的過程，進而能利用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.在本節(jié)課的學習過程中，課外作業(yè)仍安排了一些簡單的學生易于處理的實際問題，用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并進一步讓

19、學生體會研究不等式基本性質(zhì)的必要性，這也是學生學習本學時的情感基礎.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小和證明不等式的一些性質(zhì).應用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性質(zhì)，并能利用不等式的基本性質(zhì)進行一些簡單的不等式證明.進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助.教學重點 1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小；2.了解不等式性質(zhì)研究的必要性及不等式的一些基本性質(zhì)；3.能用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.教學難點 1.用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小

20、時對差的合理變形；2.利用不等式的基本性質(zhì)來證明一些簡單的不等式.教具準備 投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標一、知識與技能1.利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小與用實數(shù)的基本理論來證明不等式的一些性質(zhì);2.通過回憶與復習學生所熟悉的等式性質(zhì)類比得出不等的一些基本性質(zhì);3.在了解不等式一些基本性質(zhì)的基礎之上能利用它們來證明一些簡單的不等式.二、過程與方法1.采用探究法，按照聯(lián)想、類比、思考、交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發(fā)式教學;2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用;3.設計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學

21、生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學學習興趣.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象，使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣;2.學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣，主動、積極的學習品質(zhì)，從而提高學習質(zhì)量;3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的應用性，體會數(shù)學的奧秘、數(shù)學的簡潔美、數(shù)學推理的嚴謹美，從而激發(fā)學生的學習興趣.教學過程導入新課師 上一節(jié)課我們通

22、過具體的問題情景，體會到現(xiàn)實世界存在大量的不等量關系，并且研究了用不等式或不等式組來表示實際問題中的不等關系.為了利用不等式更好地研究不等量關系及用不等式或不等式組研究含有不等關系的問題.我們需要對不等式的性質(zhì)有必要的了解.推進新課師 我們已學習過等式、不等式，同學們還記得等式的性質(zhì)嗎？生 等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式.師 很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質(zhì)，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，結(jié)果將會如何呢？（此時很快能讓學生進入

23、對初中所學過的不等式三條基本性質(zhì)的回憶與復習）師 一般地說，不等式的基本性質(zhì)有三條：性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向_.（讓同學回答）性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向_.（讓同學回答）性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數(shù)，不等號的方向_.（讓同學回答）過程引導師 不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學的符號語言表達出來.（讓三位同學板演）性質(zhì)1：aba+cb+c（或a-cb-c）；aba+cb+c（或a-cb-c）.性質(zhì)2：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc(或).性質(zhì)3：ab且c0acbc(或)；ab且c0acbc

24、(或).（用數(shù)學符號表達不等式的性質(zhì)，目的是為下面用符號進行不等式性質(zhì)與證明打基礎，給學生也有一適應過程.老師對學生的板演作點評）師 性質(zhì)2、性質(zhì)3兩條性質(zhì)中，對a、b、c有什么要求？生 對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負數(shù).師 很好，c可以為零嗎？生 c不能為零.因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了.若是“”或“”則可以.師 這位同學回答的非常好，思維既嚴謹又周到.師 對于不等式的這三條基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運用.在初中，我們對這三條性質(zhì)只是作了感性的歸納，現(xiàn)在我們應對它給出嚴格的證明，只有這樣應用這些性質(zhì)才能有理有據(jù).（學生已迫不及待）生（齊聲

25、）那我們來給出嚴格的證明吧.（此處，說明老師點撥很到位.真正體現(xiàn)了課堂上教師的主導地位與學生的主體地位）師 為了對不等式的基本性質(zhì)給出嚴格證明，我們還有必要回憶實數(shù)的基本性質(zhì).（此時學生對這一名詞肯定感到生疏，老師在黑板上應很快給出數(shù)軸）教師精講師 若點對應的實數(shù)為a，點對應的實數(shù)為b，因為點在點的左邊，所以可得ab.ab表示a減去b所得的差是一個大于的數(shù)即正數(shù)，即aba-b0.它的逆命題是否正確？生 顯然正確.師 類似地，如果ab，則a減去b是負數(shù)，如果a=b，則a減去b等于，它們的逆命題也正確.一般地,aba-b0;a=ba-b=0;aba-b0.師 這就是實數(shù)的基本性質(zhì)的一部分，還有任意

26、兩個正數(shù)的和與積都是正數(shù)等.等價符號左邊不等式反映的是實數(shù)的大小順序，右邊不等式反映的則是實數(shù)的運算性質(zhì)，合起來就成為實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關系，它是不等式這一章的理論基礎，是證明不等式以及解不等式的主要依據(jù).師 由實數(shù)的基本性質(zhì)可知，我們?nèi)绾伪容^兩個實數(shù)的大小呢？生 只要考察它們的差就可以了.師 很好.請同學們思考下面這個問題.(此時，老師用投影儀給出問題)合作探究【問題1】 已知x0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.（問題是數(shù)學研究的核心，此處以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識)（讓學生板演，老師根據(jù)學生的完成情況作點評）解：(x2+1)2x4-x2-1=x4

27、+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x0，得x20，從而(x2+1)2x4+x2+1.（學生對x0，得x20在說理過程中往往會忽略）師 下面我們來看一組比較復雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析.（讓學生板演，老師根據(jù)學生的完成情況作點評）【例1】 比較下列各組數(shù)的大?。╝b）.(1)與 (a0,b0);（2）a4b4與4a3（ab）.師 比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.解：（1），a0,b0且ab,a+b0,(a-b)20.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b

28、)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)22a2+(a+b)2,2a2+(a+b)20(當且僅當a=b=0時取等號),又ab,(a-b)20,2a2+(a+b)20.-(a-b)22a2+(a+b)20.a4-b44a3(a-b).師 同學們完成得很好，證明不等式時，應注意有理有據(jù)、嚴謹細致，還應條理清晰.比較大小常用作差法，一般步驟是作差變形判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.(此時，老師

29、用投影儀給出下列問題)合作探究【問題2】 求證：（1）ab且c0acbc；（2）aba+cb+c.師 請同學們思考第一小問該如何證明？生 可用實數(shù)的基本性質(zhì)，ab,a-b0.又c0，由任意兩個正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c0，即acbc.師 這位同學證明的思路很好，很嚴密.同學們還有其他的證明思路嗎？生 ac-bc=(a-b)c，ab，a-b0.又c0，由任意兩個正數(shù)的積都是正數(shù)可得(a-b)c0，所以得證.師 這位同學證明得是否正確？生 正確.師 這兩位同學的證明都正確，請同學們認真地審視一下，比較這兩位同學證題思路的區(qū)別與聯(lián)系.生 第一位同學的證明是由條件到結(jié)論，第二位同學的證明是由結(jié)論

30、到條件，即尋找結(jié)論成立的條件.師回答得非常好，這位同學看出了兩種證明方法的本質(zhì).由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件，這是我們證明問題經(jīng)常采用的思路.（按照教材對不等式的證明要求，此處對不等式證明的分析法與綜合法沒有點明，只是讓學生通過具體的問題了解不等式證明的分析法與綜合法的證題思路）師 請同學繼續(xù)思考第二小問該如何證明？生 可由結(jié)論到條件，a+c-(b+c)=a-b，ab，a-b0，a+cb+c.師 這位位同學回答得很好，有理有據(jù)，嚴謹細致，也很有條理清晰.別的同學有問題嗎？生（齊聲）沒問題.師 這說明同學們對不等式的證明思路掌握得很好.師 下面我們再來看一個比較復雜的問題，請大家繼續(xù)開動腦筋，認真

31、審題，仔細分析.（此處，老師再一次這樣說的目的是能夠激發(fā)起同學們克服難題的欲望，進而增強學習的積極性與主動性）(此時，老師用投影儀給出本課時的例2)例題剖析已知ab0,c0，求證：.師 前面我們已經(jīng)利用不等式及實數(shù)的基本性質(zhì)證明了一些簡單的不等式.請同學思考此該如何證明？生 可由條件到結(jié)論.ab0，兩邊同乘以正數(shù)，得，即b.又c0，.師 這位同學回答得很好.通過此例的解答可以看出，本課時，同學們對簡單不等式的證明掌握得非常好.希望同學們課后進一步探究，對不等式的基本性質(zhì)和實數(shù)的性質(zhì)應用既要嚴密、規(guī)范，又要靈活，才能達到要求.課堂小結(jié)常用的不等式的基本性質(zhì)及證明：（1）ab,bc ac;ab,b

32、c a-b0,b-c0 (a-b)+(b-c)0a-c0ac.（2）aba+cb+c;aba-b0 (a-b)+(c-c)0 (a+c)-(b+c)0a+cb+c.（3）ab,c0acbc;ab,c0a-b0,c0 (a-b)c0ac-bc0acbc.（4）ab,c0acbc.ab,c0a-b0,c0 (a-b)c0ac-bc0acbc.布置作業(yè)課本第84頁習題3.1a組3,組1.（3）（4）、2.板書設計不等關系與不等式（二）引入 方法引導 方法歸納不等式和實數(shù)的基本性質(zhì) 實例剖析（知識方法應用） 小結(jié)示范解題備課資料備用習題1.已知xyz0，求證：.分析：證明簡單不等式常依據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)

33、及直接運用不等式的基本性質(zhì)及推論，也可作差比較.證明：xy,x-y0.又yz,.yz,-y-z.x-yx-z.0x-yx-z.又z0,.由得.小結(jié)：運用性質(zhì)證明不等式時，應注意有理有據(jù)，嚴謹細致，還應條理清晰.上述的證明方法采用的證明思路是由條件到結(jié)論，也可采用由結(jié)論到條件的證明思路去證明，請同學們不妨嘗試一下.2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和2m+5；(2)a2-4a+3和4a+1.點撥：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，我們可以得到另一種比較兩個數(shù)(或代數(shù)式)的大小的方法：若ab0，則ab；若ab=0，則a=b；若ab0，則ab.這種比較大小的方法，稱為“作差比較法”，簡稱“比差法”

34、.本例就可以用這種方法.解：(1)（m2-2m+5）-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2，m20，(m2-2m+5)-(-2m+5)0.m2-2m+5-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2,a20，a2+220.a2-4a+3-4a+1.3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法從容說課本節(jié)課是人民教育出版社a版必修數(shù)學5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學分為三個學時，第一個學時先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出一元二次不等式及其解法中的

35、一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教學.講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結(jié)一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系和一元二次不等式解法的步驟，由學生用表格將一元二次不等式解法與二次函數(shù)的數(shù)形關系的對應關系用圖表形式表示出來；然后用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據(jù)這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次

36、函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個教學過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系本質(zhì)，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學生體驗數(shù)學的奧秘與數(shù)學美，激發(fā)學生的學習興趣.教學重點 1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.教學難點 理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關系.教具準備 多媒體及課件，幻燈片三張三維目標一、知識與技能1.經(jīng)歷從實際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系;3.會解一次二

37、次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖.二、過程與方法1.采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進行啟發(fā)式教學;2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性實驗;3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想;2.通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生認識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辯證的世界觀.教學過程導入新課師 上網(wǎng)獲取信息已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾M成部分，因特網(wǎng)服務公司（internet service provider）的任務就是負責將用戶的計

38、算機接入因特網(wǎng)，同時收取一定的費用.某同學要把自己的計算機接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家isp公司可供選擇，公司a每小時收費1.5元；公司b的收費原則是在用戶上網(wǎng)的第一小時內(nèi)收費1.7元，第二小時內(nèi)收費1.6元，以后每小時減少0.1元.（若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算）一般來說，一次上網(wǎng)時間不會超過17小時，所以，不妨一次上網(wǎng)時間總小于17小時，那么，一次上網(wǎng)在多長時間以內(nèi)能夠保證選擇公司a比選擇公司b所需費用少？假設一次上網(wǎng)x小時，則a公司收取的費用為1.5x，那么b公司收取的費用為多少？怎樣得來？生 結(jié)果是元，因為是等差數(shù)列，其首項為1.7，公差為-0.1，項數(shù)為x的和，即師 如果能

39、夠保證選擇a公司比選擇b公司所需費用少，則如何列式？生 由題設條件應列式為1.5x(0x17)，整理化簡得不等式x2-5x0.推進新課師 因此這個問題實際就是解不等式：x2-5x0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學習討論的重點.什么叫做一元二次不等式？含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）.例如2x2-3x-20，3x2-6x-2，-2x2+30等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？師 在初中，我們已經(jīng)學習過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關知識，那么一元

40、一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關系呢？思考：對一次函數(shù)y=2x-7，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y0？當x為何值時，y0？它的對應值表與圖象如下：x22.533.544.55y-3-2-10123由對應值表與圖象（如上圖）可知：當x=3.5時，y=0，即2x-7=0；當x3.5時，y0，即2x-70；當x3.5時，y0，即2x-70.師 一般地，設直線y=ax+b與x軸的交點是(x0，0),則有如下結(jié)果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；（2）當a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.當a0時，一元一次

41、不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.師 在解決上述問題的基礎上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？生 函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)部分對應的橫坐標.a0a0一次函數(shù)y=ax+b(a0)的圖象一元一次方程ax+b=0的解集x|x=x|x=一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x師 在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系（集中反映在相應一次

42、函數(shù)的圖象上）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？在初中學習二次函數(shù)時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數(shù)y=x2-5x，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y0？當x為何值時，y0？當時我們又是怎樣解決的呢？生 當時我們是通過作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點，通過觀察來解決的.二次函數(shù)y=x2-5x的對應值表與圖象如下：x-10123456y60-4-6-6-406由對應值表與圖象（如上圖）可知：當x=0或x=5時，y=0，即x2-5x=0；當0x5時，y0，即x2-5x0；當x0或x5時，y0

43、，即x2-5x0.這就是說，若拋物線y=x 2-5x與x軸的交點是(0，0)與(5，0),則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x0的解集是x|0x5;一元二次不等式x2-5x0的解集是x|x0或x5.教師精講由一元二次不等式的一般形式知，任何一個一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關，即由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集.如何討論一元二次不等式的解集呢？我們知道，對于一元二次方程ax2

44、+bx+c=0(a0)，設其判別式為=b2-4ac，它的解按照0,=0，0分為三種情況，相應地，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的相關位置也分為三種情況（如下圖），因此，對相應的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的解集我們也分這三種情況進行討論.（1）若0，此時拋物線y=ax 2+bx+c(a0)與x軸有兩個交點圖（1），即方程ax 2+bx+c=0(a0)有兩個不相等的實根x1，x2（x1x2）,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x1xx2.（2）若=0，此時拋物線y=ax2+bx+c

45、(a0)與x軸只有一個交點圖（2），即方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的實根x1=x2=,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.(3)若0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點圖(3)，即方程ax2+bx+c=0(a0)無實根，則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是r；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.=b2-4ac0=00二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c0的解集x|xx1或xx2x|xrax2+bx+c0的解集x|x1xx2對于二次項系數(shù)是

46、負數(shù)（即a0）的不等式，可以先把二次項系數(shù)化成正數(shù)，再求解.知識拓展【例1】 解不等式2x 2-5x-30.生 解：因為0，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是x|x，或x3.【例2】 解不等式-3x 2+15x12.生 解：整理化簡得3x 2-15x+120.因為0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是x|1x4.【例3】 解不等式4x 2+4x+10.生 解：因為=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是x|x.【例4】 解不等式-x 2+2x-30.生 解：整理化簡，得x2-2x+30.因為

47、0，方程x 2-2x+3=0無實數(shù)解，所以不等式的解集是.師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？生 歸納如下：（1）將二次項系數(shù)化為“+”：y=ax 2+bx+c0(或0)(a0).（2）計算判別式，分析不等式的解的情況：0時，求根x1x2，=0時，求根x 1=x 2=x 0，0時，方程無解，（3）寫出解集.師 說的很好.下面我們用一個程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，請同學們將判斷框和處理框中的空格填充完整.學生活動過程方法引導上述過程以學生自主探究為主，教師起引導作用，充分體現(xiàn)學生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設的作用，激起學生學

48、習的興趣與勇于探索的精神.課堂小結(jié)1.一元二次不等式：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）.2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序.布置作業(yè)1.完成第90頁的練習.2.完成第90頁習題3.2第1題.板書設計一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒體演示區(qū) 一元二次不等式概念一元二次不等式解題步驟 例題備課資料一、備用習題1.解不等式x+23x 2.解：原不等式等價于3x 2x20,解方程3x2x2=0得兩根：，x 2=1.原不等式的解集為（，1）.2.解下列不等式：（1）2+3x2x

49、20；（2）x 2+2x3x0；（3）x24x+40.解:（1）原不等式等價于2x 2-3x-20.由2x23x2=0得，x2=2.原不等式的解集是(-,)(2,+).（2）原不等式等價于:x 2-2x+30.由=(-2)2-4130，知原不等式解集為.（3）=(-4)2-44=0，方程x2-4x+4=0有等根x1=x2=2，原不等式的解集為x|xr，且x2.點評:1.要嚴格按“解法步驟”求解.2.最后要用集合表示法表出解集.如本例（1）用區(qū)間表示出解集；本例（3）用大括號表示解集，該題的解集也可用區(qū)間表為(-,2)(2,+)，但有的同學把第（3）題的解集表示為x2，這是錯誤的.二、閱讀材料法

50、國數(shù)學家韋達韋達，1540年出生在法國東部的普瓦圖的韋特奈.他早年學習法律，曾以律師身份在法國議會里工作，韋達不是專職數(shù)學家，但他非常喜歡在政治生涯的間隙和工作余暇研究數(shù)學，并作出了很多重要貢獻，成為那個時代最偉大的數(shù)學家.在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼.韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步.韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關系的結(jié)論稱為“韋達定理”）.韋達是第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對數(shù)學符號進行了很多改進.他在1591年所

51、寫的分析術引論是最早的符號代數(shù)著作.是他確定了符號代數(shù)的原理與方法，使當時的代數(shù)學系統(tǒng)化并且把代數(shù)學作為解析的方法使用.他還寫下了數(shù)學典則，1579年，韋達出版應用于三角形的數(shù)學定律.這是歐洲第一本使用六種三角函數(shù)的系統(tǒng)的平面、球面三角學.主要著作還有論方程的識別與修正分析五章等.韋達的著作以獨特形式包含了文藝復興時期的全部數(shù)學內(nèi)容.只可惜韋達著作的文字比較晦澀難懂，在當時不能得到廣泛傳播.在他逝世后，才由別人匯集整理并編成韋達文集于1646年出版.韋達1603年卒于巴黎，享年63歲.由于韋達作出了許多重要貢獻，成為16世紀法國最杰出的數(shù)學家，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”.中國在一元二次方程方

52、面的成就從“九章算術”卷八說明方程以后，在數(shù)值代數(shù)的領域內(nèi)中國一直保持了光輝的成就.“九章算術”方程章首先解釋正負術是確切不移的，正像我們現(xiàn)在學習初等代數(shù)時從正負數(shù)的四則運算學起一樣，負數(shù)的出現(xiàn)更豐富了數(shù)的內(nèi)容.我們古代的方程在公元前1世紀的時候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種.一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明.不定方程的出現(xiàn)在二千多年前的中國是一個值得重視的課題，這比我們現(xiàn)在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年.具有x3+px2+qx=a和x3+px2=a形式的三次方程，中國在公元七世紀的唐代王孝通“緝古算經(jīng)”已有記載，用“從開立方除之”而求出數(shù)字解答(可惜原解法失傳了)，不難想

53、象王孝通得到這種解法時的愉快程度，他說誰能改動他著作內(nèi)的一個字可酬以千金.11世紀的賈憲已發(fā)明了和霍納(17861837)方法相同的數(shù)字方程解法，我們也不能忘記13世紀中國數(shù)學家秦九韶在這方面的偉大貢獻.在世界數(shù)學史上對方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來不得不推中國天元術的簡潔明了.四元術是天元術發(fā)展的必然產(chǎn)物.級數(shù)是古老的東西，二千多年前的“周髀算經(jīng)”和“九章算術”都談到算術級數(shù)和幾何級數(shù).14世紀初中國元代朱世杰的級數(shù)計算應給予很高的評價，他的有些工作歐洲在十八九世紀的著作內(nèi)才有記錄.11世紀時代，中國已有完備的二項式系數(shù)表，并且還有這表的編制方法.歷史文獻揭示出在計算中有名的盈不足術是由中國傳往歐洲的.內(nèi)插法的計算，中國可上溯到6世紀的劉焯，并且7世紀末的僧一行有不等間距的內(nèi)插法計算