將軍飲馬模型(終稿)(可編輯修改word版)

1、焙軍欲鳥於理將軍飲馬模型一、背景知識(shí)：【傳說】早在古羅馬時(shí)代，傳說亞歷ft大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一 位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題.將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會(huì)，應(yīng)該怎樣疋 才能使路程最短？這個(gè)問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它.從此以后，這個(gè) 被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今.【問題原型】將軍飲馬造橋選址費(fèi)馬點(diǎn)【涉及知識(shí)】兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系；軸對(duì)稱：平移；【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將軍飲馬間題常見模型1. 兩定一動(dòng)型：兩龍點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小例1：在圧直

2、線/上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)泄點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB,與直線/的交點(diǎn)Q,Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處,PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。證明：連接AB,與直線/的交點(diǎn)Q, P為直線/上任意一點(diǎn)，在Z1PAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PB全AB（當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取=）1將軍欲鳥找理例2 :在左宜線I上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)泄點(diǎn)A與B的距離之和最小,即PA+PB的和最小.BAf矢鍵：找對(duì)稱點(diǎn)7信去：作泄點(diǎn)B關(guān)于泄直線I的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC,與直線1的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn), 即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+P

3、B和最小，且最小值等于AC.原理：兩點(diǎn)之間.線段最短證明：連接AC,與直線/的交點(diǎn)Q, P為直線/上任意一點(diǎn)，在ZJPAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PC全AC（當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取=）2. 兩動(dòng)一定型例3：在ZMON的內(nèi)部有一點(diǎn)A,在0M上找一點(diǎn)B,在ON上找一點(diǎn)C,使得ABAC周長最短作法：作點(diǎn)A關(guān)于0M的對(duì)稱點(diǎn)A作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)X、,連接A A 與0M 交于點(diǎn)B,與ON交于點(diǎn)C,連接AB, AC, AABC即為所求.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短例4：在ZMON的內(nèi)部有點(diǎn)A和點(diǎn)B,在OM上找一點(diǎn)C,在ON上找一點(diǎn)D,使得四邊 形ABCD周長最短.作法:作點(diǎn)A關(guān)于0M的對(duì)稱點(diǎn)A作點(diǎn)B關(guān)

4、于ON的對(duì)稱點(diǎn)B，,連接A B爲(wèi)與OM交 于點(diǎn)C,與ON交于點(diǎn)D,連接AC, BD, AB,四邊形ABCD即為所求.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短3.兩走兩動(dòng)型最值例5：已知A、B是兩個(gè)泄點(diǎn)，在立直線/上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N,且MN長度等于立長（動(dòng) 點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在泄長的動(dòng)點(diǎn)問題一立要考慮平移作法一：將點(diǎn)A向右平移長度d得到點(diǎn)A作A，關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A：連接MB 交直線/于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向左平移長度d,得到點(diǎn)M。作法二：作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)Aj,將點(diǎn)A1向右平移長度得到點(diǎn)A?,連接A2B, 交直線/于點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q向左平移長度d,得到點(diǎn)Q。原理：兩點(diǎn)之間，線

5、段最短，最小值為AB+MN例6：（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)的瞭望臺(tái)觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請(qǐng)問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？瞭望臺(tái)例6：直線M12,在直線/上找一個(gè)點(diǎn)C, 直線“上找一個(gè)點(diǎn)D,使得CD丄“且AC+BD+CD 最短.1/2信去：將點(diǎn)A沿CD方向向下平移CD長度至點(diǎn)AS連接AB 劉2于點(diǎn)D.過點(diǎn)D作DC丄“ 于點(diǎn)C,連接AC.則橋CD即為所求.此時(shí)最小值為A B+CD原理：兩點(diǎn)之間，線段最短，4.垂線段最短型例7：在ZMON的內(nèi)部有一點(diǎn)A.在OM上找一點(diǎn)B,在ON上找一點(diǎn)C,使得AB+BC 最短.原理：垂線段最短點(diǎn)A是泄點(diǎn)，OM, ON是

6、左線，點(diǎn)B、點(diǎn)C是OM、ON上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn).作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A,過點(diǎn)&作AC丄ON, 交OM于點(diǎn)B, B. C即為所求。例&在左直線/上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)泄點(diǎn)A與B的距離之差最小，即PA-PB 最小.作法：連接AB,作AB的中垂線與I的交點(diǎn),此時(shí)|PA-PB |=0原理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等例9：在左直線/上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)宦點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PAPB |最大例10：在定直線/上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PAPB|最大作法：作點(diǎn)B關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB,交交/于點(diǎn)P即為所求，最大值為AB的長

7、度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊典型例題三角形1 如圖，在等邊AABC中，AB = 6, AD丄BC, E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn),且AE = 2,求EM+EC的最小值解：點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B,連接BE,交AD于點(diǎn)M,則ME+MD最小, 過點(diǎn)B作BH丄AC于點(diǎn)H,則 EH = AH-AE = 3-2=1, BH = BC2- CH2= y/62 - 32= 3在直角 ABHE 中，BE = VBFP + HE=、/(3rF+頁 2、廳2 如圖，在祝角-ABC中，AB =如2 , zBAC = 45。, 2BAC的平破交BC于原D , M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn).則十

8、MN的最小值是解：作忌B關(guān)于AD的對(duì)稱庶 過點(diǎn)B作BE丄AB于點(diǎn)E.交AD于點(diǎn)F, 刖壩段BE的壇就是BM + MN換小傅 左等腰RUAEB1中f根翳勾股定理得到 B E =43 如長，ABC中，AB=2 , zBAC=30 若在AC、AB上各取一點(diǎn)M N ,使BfvMN的恒最小，則這個(gè)晟4佢解：作AB關(guān)于AC的対稱線段AB，,過庶B作丁N丄ABr垂足為N 交AC于篇M , HJB-N = MB4-MN =MB-MNBN的長就是MB-MN的最小值則zBAN = 2zBAC= 60c r AB* = AB = 2 , zANB = 90。，zB = 30AN = 1在宜;IT ABN中,勾股定理

9、BN =書Part2%正方形1 如圖，正方形ABCD的邊長為8小4在DC上.且DM二2 , N是AC MT點(diǎn)，DN + M N的最小值為c裁AC上求一點(diǎn)N ,使DN+MN最小解：故作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B ,連接BM , 交AC于點(diǎn)Nc則DN十MN二BN豐MN二BM 鶴BM鵬就是DN + MN斕小值角二 BCM中.CM= 6 f BC= 8 f 則BM=10故DN+MN的最小值1102如哥陽示,正方形ABCD的面積為12 , MBE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi).在對(duì)角妊AC上有V P,便PD - PE的和最小f則這個(gè)最小值為（）A2#3B2p6C.3 D 寸6解:即左AC上求一點(diǎn)P 使PE+PD的值最小忌D夭于直線AC的對(duì)稱原是羔B .連接 BE 交 AC 于點(diǎn) P f 則 BE = PB+PE 二 PD+PE ,BE的氏就是PD+PE的最小值BE = AB = 2 3在邊長為2 on的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)甬線AC上T）點(diǎn),連接PB、PQ