小學(xué)奧數(shù)習(xí)題教案-5-5-5 同余問題.教師版

1、5-5-3.同余問題教學(xué)目標1. 學(xué)習(xí)同余的性質(zhì)2. 利用整除性質(zhì)判別余數(shù)知識點撥同余定理1、定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。2、重要性質(zhì)及推論：（1）若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除例如：與除以的余數(shù)都是，所以能被整除（2）用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整數(shù)，即m|(ab)3、余數(shù)判別法當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計算是很麻煩的建立余

2、數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù)R，使得：N與R對于除數(shù)m同余由于R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù) 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)； 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)； 整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)； 整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)； 整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；（不夠減的話先適當(dāng)加11的倍數(shù)再減）； 整數(shù)N被7，11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個位起從右往左

3、每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù)例題精講模塊一、兩個數(shù)的同余問題【例 1】 有一個整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求這個數(shù).【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 (法1) ，51-3=48，12的約數(shù)是，因為余數(shù)為3要小于除數(shù)，這個數(shù)是；(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，所以這個數(shù)是【答案】【例 2】 某個兩位數(shù)加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，這個兩位數(shù)是_. 【考點】兩個數(shù)的同余問題 【

4、難度】2星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試 【解析】 “加上3后被3除余1”其實原數(shù)還是余1，同理這個兩位數(shù)除以4、5都余1，這樣，這個數(shù)就是3、4、5+1=60+1=61?！敬鸢浮俊纠?3】 有一個自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33求這個數(shù)是多少？【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于這個數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商為33所以所求的數(shù)為【答案】【例 4】 一個大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？【考點】兩個數(shù)的同余問題

5、 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這個自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是的約數(shù)，又大于10，這個自然數(shù)只能是17或者是34如果這個數(shù)是34，那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是22、28、16，不符合題目條件；如果這個數(shù)是17，那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個自然數(shù)是17【答案】【例 5】 兩位自然數(shù)與除以7都余1，并且，求【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 能被7整除，即能被7整除所以只能有，

6、那么可能為92和81，驗算可得當(dāng)時，滿足題目要求，【答案】【例 6】 現(xiàn)有糖果254粒,餅干210塊和桔子186個.某幼兒園大班人數(shù)超過40.每人分得一樣多的糖果,一樣多的餅干,也分得一樣多的桔子。余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量的比是：1：3：2，這個大班有_名小朋友，每人分得糖果_粒，餅干_塊，桔子_個?！究键c】兩個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】南京市，興趣杯【解析】 設(shè)大班共有a名小朋友。由于余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子數(shù)目的和正好等于余下的餅干數(shù)，從而254+186-210一定是a的倍數(shù)，即254+186-210=230=1230=

7、1023=2523是a的倍數(shù)。同樣，2254-186=322=2314=2314=2327也一定是a的倍數(shù)。所以，a只能是232的因數(shù)。但a40,所以a=46。此時254=465+24，210=463+72，186=463+48。故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，餅干3塊，桔子3個。【答案】小朋友46名，每人分得糖果5粒，餅干3塊，桔子3個模塊二、三個數(shù)的同余問題【例 7】 有一個大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到

8、：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，的約數(shù)有，所以這個數(shù)可能為?！敬鸢浮俊眷柟獭?有一個整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問這個整數(shù)是幾?【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第9題【解析】 這個數(shù)除300、262，得到相同的余數(shù)，所以這個數(shù)整除30026238，同理，這個數(shù)整除26220557，因此，它是38、57的公約數(shù)19?！敬鸢浮俊眷柟獭?在除13511，13903及14589時能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是_【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 因為

9、, ，由于13511，13903，14589要被同一個數(shù)除時，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除，所以所求的最大整數(shù)是98.【答案】【鞏固】 140，225，293被某大于1的自然數(shù)除,所得余數(shù)都相同。2002除以這個自然數(shù)的余數(shù)是 .【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】三帆中學(xué)，入學(xué)測試【解析】 這樣我們用總結(jié)的知識點可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個自然數(shù)是293-225=68的約數(shù),又是225-140=85的約數(shù)，因此就是68、85的公約數(shù),所以這個自然數(shù)是17。所以2002除以17余13。【答案】【鞏固】 三個數(shù)：23，51，72，各除以大于1的

10、同一個自然數(shù)，得到同一個余數(shù)，則這個除數(shù)是 ?！究键c】三個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第4題，6分【解析】 ，（28，21）=7，所以這個除數(shù)是7。【答案】【例 8】 學(xué)校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同請問學(xué)校共有多少個班？【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 所求班級數(shù)是除以余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應(yīng)該為和的公約數(shù)，所求答案為17【答案】【例 9】 若2836，4582，5164，6522四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)

11、，除數(shù)和余數(shù)的和為_【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 設(shè)除數(shù)為A因為2836，4582，5164，6522除以A的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被A整除又因為余數(shù)是兩位數(shù)，所以A至少是兩位數(shù)4582-2836=1746，因為，所以A是194的大于10的約數(shù)194的大于10的約數(shù)只有97和194如果，余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符如果，經(jīng)檢驗，余數(shù)都是23，除數(shù)余數(shù)【答案】120【例 10】 一個大于1的數(shù)去除290，235，200時，得余數(shù)分別為，則這個自然數(shù)是多少？【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意可知，這

12、個自然數(shù)去除290，233，195時，得到相同的余數(shù)（都為）既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0那么這個自然數(shù)是的約數(shù)，又是的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因為57和38的公約數(shù)只有19和1，而這個數(shù)大于1，所以這個自然數(shù)是19【答案】【鞏固】 有3個吉利數(shù)888，518，666，用它們分別除以同一個自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a,a+7,a+10,則這個自然數(shù)是_.【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測試【解析】 處理成余數(shù)相同的，則888、518-7、666-10的余數(shù)相同，這樣我們可以轉(zhuǎn)化成同余問題。這樣我們用

13、總結(jié)的知識點可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個自然數(shù)是888-656=232的約數(shù)，也是656-511=145的約數(shù)，因此就是232、145的公約數(shù),所以這個自然數(shù)是29?！敬鸢浮俊纠?11】 一個自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是、，求這個自然數(shù)和的值. 【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為的數(shù)：，、，這樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是，故同余.將這三個數(shù)相減，得到、，所求的自然數(shù)一定是和的公約數(shù)，而，所以這個自然數(shù)是的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是19.經(jīng)過驗證，當(dāng)這個自然數(shù)是時，除、所得的余數(shù)分別為、，

14、時成立,所以這個自然數(shù)是，.【答案】【例 12】 甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求等于多少？【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意，這三個數(shù)除以都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： ，由于，要消去余數(shù), , ,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減這樣我們先把第二個式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴大2倍，同理，第三個式子乘以4于是我們可以得到下面的式子： 這樣余數(shù)就處理成相同的最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被整除，51的約數(shù)有1、3、17、51，其中1、3顯然

15、不滿足，檢驗17和51可知17滿足，所以等于17【答案】【例 13】 已知60，154，200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是，求該自然數(shù)的值【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】5星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意可知，自然數(shù)61，154，201被該數(shù)除所得余數(shù)分別是，由于，所以自然數(shù)與同余；由于，所以與201同余，所以除數(shù)是和的公約數(shù)，運用輾轉(zhuǎn)相除法可得到，該除數(shù)為29經(jīng)檢驗成立【答案】【例 14】 有一個自然數(shù)，它除以、所得到的商()與余數(shù)()之和都相等，這樣的數(shù)最小可能是多少【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】5星 【題型】解答【解析】至少為，至少為，至少為，最小為1081【答案】【例 15】

16、三個不同的自然數(shù)的和為2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個數(shù)是_，_，_?！究键c】三個數(shù)的同余問題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】 設(shè)所得的商為，除數(shù)為，由，可求得，所以，這三個數(shù)分別是，。【答案】523，631，847模塊三、運用同余進行論證【例 16】 在33的方格表中已如右圖填入了9個質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中9個數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？【考點】運用同余進行論證 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】因為表中9個質(zhì)數(shù)之和恰為100，被3除余1，經(jīng)過

17、每一次操作，總和增加3的倍數(shù)，所以表中9個數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?個數(shù)的總和應(yīng)能被3整除，這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會變?yōu)?個相同的數(shù)?！纠?17】 一個三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？【考點】運用同余進行論證 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校【解析】 設(shè)這個三位數(shù)為，它除以17和19的商分別為和，余數(shù)分別為和，則根據(jù)題意可知，所以，即，得所以是9的倍數(shù)，是8的倍數(shù)此時，由知由于為三位數(shù)，最小為100，最大為999，所

18、以，而，所以，得到，而是9的倍數(shù)，所以最小為9，最大為54當(dāng)時，而，所以，故此時最大為；當(dāng)時，由于，所以此時最小為所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是154【答案】最大的是930，最小的是154【例 18】 從1，2，3，n中，任取57個數(shù)，使這57個數(shù)必有兩個數(shù)的差為13，則n的最大值為多少？ 【考點】運用同余進行論證 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】西城實驗【解析】 被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到兩個相鄰的，這兩個數(shù)的差為13；如果沒有兩個相鄰的數(shù)，則沒有兩個數(shù)的差為13，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個數(shù)的差為13，對于任意一條長度為x的序列，都最多能取個數(shù)，使得取出的數(shù)中沒有兩個數(shù)的差為13，即從第1個數(shù)起隔1個取1個基于以上，n個數(shù)分成13個序列，每條序列的長度為或，兩個長度差為1的序列，要使取出的數(shù)中沒有兩個數(shù)的差為13，能夠被取得的數(shù)的個數(shù)之差也不會超過1，所以為使57個數(shù)中任意兩個數(shù)的差都不等于13，則這57個數(shù)被分配在13條序列中，在每條序列被分配的數(shù)的個數(shù)差不會超過1，那么13個序列有8個序