誤差與數(shù)據(jù)處理

1、誤差與數(shù)據(jù)處理一、測量與誤差1、所謂測量：就是用計量儀器對被測物理量進行量度。2、測量值：用測量儀器測定待測物理量所得的數(shù)值。3、真值：任一物理量都有它的客觀大小，這個客觀量稱為真值。最理想的測量就是能夠測得真值， 但由于測量是利用儀器， 在一定條件下通過人來完成 的，受儀器的靈敏度和分辨能力的局限性，環(huán)境的不穩(wěn)定性和人的精神狀態(tài)等因素的影響， 使得待測量的真值是不可測得的。4、誤差： 測量值和真值之間總會存在或多或少的偏差，這種偏差就稱為測量值的誤差。被測量的真值為 a, 測量值為 x, 則測量誤差為 我們所測得的一切數(shù)據(jù)都毫無例 外地包含一定的誤差，因而誤差存在于一切測量之中。5、測量的任

2、務(wù)是：（ 1）設(shè)法使測量值中的誤差減到最小。（ 2）求出在測量條件下被測量的最近真值。（ 3）估計最近真值的可靠程度二、誤差的分類：1、系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：在同一條件下（觀察方法、儀器、環(huán)境、觀察者不變）多次測量同一物理 量時， 符號和絕對值保持不變的誤差叫系統(tǒng)誤差。 當條件發(fā)生變化時， 系統(tǒng)誤差也按 律變化。系統(tǒng)誤差反映了多次測量總體平均值偏離真值的程度。例如：用天平測量物體質(zhì)量，當天平不等臂時，測出物體質(zhì)量總是偏大或偏小；再例如 當我們的手表走的很慢時，測出每一天的時間總是小于 24 小時。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因：（1）儀器誤差：由測量儀器、裝置不完善而產(chǎn)生的誤差。（ 2） 方法誤差（理論誤差

3、）：由實驗方法本身或理論不完善而導(dǎo)致的誤差。（3） 環(huán)境誤差：由外界環(huán)境（如光照、溫度、濕度、電磁場等）影響而產(chǎn)生的誤差。（4） 讀數(shù)誤差：由觀察者在測量過程中的不良習慣而產(chǎn)生的誤差。系統(tǒng)誤差的消除：由于系統(tǒng)誤差主要是由于儀器不完善，方法（或理論）不完善、環(huán)境影響而產(chǎn)生，在實驗過 程中要不斷積累經(jīng)驗，認真分析系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，采取適當?shù)拇胧﹣硐?。例如：對不等臂天平，可以用交換被測物和砝碼的位置，分別測出被測物質(zhì)量 和 ，則待測物的質(zhì)量2、偶然誤差偶然誤差（隨機誤差）：在同一條件下， 多次測量同一物理量時， 測量值總是有稍許差異而變化不定， 這種絕對值和 符號經(jīng)常變化的誤差稱為偶然誤差。偶然

4、誤差的規(guī)律性：（1） 絕對值相等的正的誤差和負的誤差出現(xiàn)的機會相同。（2）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多。（3）超出一定范圍的誤差基本不出現(xiàn)。偶然誤差的消除：在一定測量條件下， 增加測量次數(shù)， 可以減小測量結(jié)果的偶然誤差， 使算術(shù)平均值趨于真值。 因此，可以取算術(shù)平均值為直接測量的最近真值（最佳值）。3、絕對誤差：絕對誤差： 測量值 x 與被測量真值 a 之差，同被測量有相同單位，它反映了測量值 偏離真值的大小。這種有單位的誤差稱為絕對誤差。在同一測量條件下，絕對誤差可以表示一個測量結(jié)果的可靠程度；但比較不同測量結(jié)果時， 問題就出現(xiàn)了。例如：用米尺測量二個物體的長度時，測量值分別是

5、0.1m和 1000m,它們的絕對誤差分別是 0.01m 和 1m,雖然后者的絕對誤差遠大于前者，但是前者的絕對誤差占 測量值的 10%，而后者的絕對誤差僅占測量值的 0.1%，說明后一個測量值的可靠程度遠大 于前者，故絕對誤差不能正確比較不同測量值的可靠性。4、相對誤差：相對誤差： 測量值的絕對誤差與測量值之比叫相對誤差。相對誤差是一個比值，沒 有單位，通常用百分比表示。三、直接測量結(jié)果的誤差估計1、單次測量的誤差估計由于有些物理量的測量精度要求不高， 或者這一物理量的誤差對整體影響較小， 因而只測量 一次即可滿足測量要求，此時測量誤差的估計分兩種情況：（1）在給定儀器誤差情況下，單次測量的

6、誤差取儀器誤差；（ 2）在沒有給出儀器誤差的情況下，對連續(xù)讀數(shù)的儀器，取 測量儀器最小分度值的一半作為單次測量的誤差。 對非連續(xù)讀數(shù)的儀器， 取測量儀器的最小 分度值作為單次測量的誤差。對于其余一些特殊情況，單次測量的儀器誤差示具體情況而定。例如：秒表和天平。2、多次測量的誤差估計算術(shù)平均值 ：在相同測量條件下，對同一物理量獨立測量 n 次的測量值 為 x1,x 2,x n, 其算術(shù)平均值為殘差 ：測量值 與平均值 之差稱為殘差。（i=1,2,n ）標準偏差 ：需要注意的是： 測量值的標準偏差并不表示測量值的誤差的實際大小， 因為測量值的偶然誤 差是隨機的，所以測量值的標準偏差只表示，任一測量

7、值的誤差落在區(qū)域（ + 、 - ） 內(nèi)的概率為 68.3%, 這就是標準偏差的統(tǒng)計意義。多次測量的誤差 ：在充分考慮多次測量的標準偏差和儀器誤差的情況下，多次測量的誤差為算術(shù)平均值的標準偏差 s:（ 本教材不做要求 ）3、可疑數(shù)字的剔除一般測量的誤差出現(xiàn)在 內(nèi)的概率為 68.3%, 誤差出現(xiàn)在 內(nèi)的概率為 95.5%, 而出 現(xiàn)在 區(qū)間內(nèi)的概率為 99.7%, 而一般我們的測量次數(shù)又不是很多，故測量值誤差超出 區(qū)間的可能性及小，對誤差超出 的數(shù)據(jù)可以剔除，但要在原始數(shù)據(jù)記錄表格 中保留，并用紅色筆做刪除標記。4、測量次數(shù)的確定在基礎(chǔ)實驗中，一般測量次數(shù)為 4 10 次5、重復(fù)測量所得測量值相等

8、時誤差估計重復(fù)測量的測量值相等， 此時用前面所講的計算標準偏差公式計算的結(jié)果為零， 這并不意味不足以反映測量的偶然誤差， 在這b, 測量的標準偏差為著測量中不存在偶然誤差， 這是由于測量儀器精度較低， 種情況下，計算標準偏差的方法為：設(shè)儀器的最小分辨值為四、間接測量的誤差傳遞由直接測量量代入公式計算得到的結(jié)果稱為間接測量， 由于直接測量存在誤差， 因此由 計算得到的間接測量量也存在誤差，這就是誤差傳遞。1、 差傳遞的基本公式設(shè)： x,y,z, 為獨立的測量量，N為待測物理量，其函數(shù)關(guān)系為：N=f (x,y,z, )對上式進行全微分有：上式表示，當測量值 x,y,z 有微小改變 dx,dy,dz

9、 時，間接測量量 N 改變 dN ，通常誤差遠 小于測量值，把 dx,dy,dz,dN 看作是誤差，上式就是誤差傳遞公式了。當然上式表示的是 絕對誤差。在某些情況下，計算間接測量量的相對誤差較為簡便，其計算公式為：以上兩式就是誤差傳遞的基本公式，其中等于號“=”后面的每一項稱為絕對誤差或相對誤差的分誤差 項； dx,dy,dz 前面的系數(shù)稱為誤差傳遞系數(shù)。可以看出，一個獨立測量量的誤 差對總誤差的影響，不僅取決于本身誤差的大小，還取決于誤差傳遞系數(shù)。2、偶然誤差的傳遞和合成在一般情況下， 直接測量的誤差要求計算標準偏差， 而以上兩式對標準偏差并不成立， 根據(jù) 誤差理論，在誤差傳遞過程中，標準偏

10、差的合成方式為：（1）絕對誤差：2）相對誤差：（2）常用函數(shù)的標準偏差傳遞公式 （a、b） 為常數(shù)函數(shù)關(guān)系誤差傳遞公式N=ax+byN=ax-byN=axy五、測量結(jié)果的表示測量結(jié)果的誤差：無論是直接測量還是間接測量其結(jié)果的誤差只有一位有效數(shù)字， 測量結(jié)果有效數(shù)字的最后一位與誤差位對齊。測量結(jié)果的表示：測量結(jié)果包括測量值、誤差、單位三部分。其表達式為：（單位）式中 在單次測量中是算術(shù)平均值， 在多次測量中是由函數(shù)關(guān)系計算出的間接測量值； 為多次測量的誤差。數(shù)值舍入規(guī)則：在基礎(chǔ)實驗中，本教材對數(shù)字的取舍一律采用四舍五入的規(guī)則。六、有效數(shù)字1、有效數(shù)字有效數(shù)字：反映被測量實際大小的數(shù)字稱為有效數(shù)字

11、。一般從儀器上讀出的數(shù)字均為 有效數(shù)字， 它和小數(shù)點的位置無關(guān)， 有效數(shù)字的位數(shù)是由測量儀器的精度確定的， 它是由準 確數(shù)字和最后一位有誤差的數(shù)字組成。在測量時， 對于連續(xù)讀數(shù)的儀器， 有效數(shù)字讀到儀器最小刻度的下一位的估計值， 不論估計 值是否是“ 0 ”都應(yīng)記錄，不能略去?！?0”是不是有效數(shù)字：在測量中，凡是從儀器上讀出的零都是有效數(shù)字；由單位變 換得出的零均不是有效數(shù)字。單位變換時有效數(shù)字的位數(shù)保持不變。2、有效數(shù)字運算規(guī)則在有些情況下， 由于不做誤差計算的要求， 在計算間接測量值時， 經(jīng)常會遇到除法運算除不 盡，或者結(jié)果出現(xiàn)一串很長的數(shù)字， 結(jié)果保留幾位有效數(shù)字最為合理呢， 有效數(shù)字運算規(guī)則 對此做了嚴格規(guī)定。加、減法運算：加、減運算結(jié)果的有效數(shù)字的末位，與參與運算的各數(shù)字中小數(shù)點 后位數(shù)最少者對齊。例如： 397.8+7.625-312.4198=93.0乘、除運算：乘、除運算后結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)，與參與運算的各數(shù)字中有效數(shù) 字位數(shù)最少者相同。例如： 78.625 9.06 11.38=62.6乘方、開方后有效數(shù)字的位數(shù)保持不變對數(shù)運算：對數(shù)運算后，結(jié)果的真數(shù)部分不算有效數(shù)字，結(jié)果的假數(shù)的位數(shù)與首數(shù) 的位數(shù)相同。例如：七、實驗數(shù)據(jù)