導(dǎo)數(shù)講義(學(xué)生版)

1、導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 y=f(Xo+ x ) -f (x。)，比值 丄叫做函數(shù)y=f (x)在x。到Xo+ x之間的平均變x化率，即 丄=x) f(x。)。如果當(dāng)x 0時(shí)，上 有極限，我們就說(shuō)函xxx數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f（X。）或 y | x x。f （x 0）= limpx 0-=limx 0f(X。x） f（X。）例、若lim少0x 0x） f（X。）Xk，則lim f（X。2 x） f（x。）等于（x 01A . 2k B . k C . -k D .以上都不是

2、2變式訓(xùn)練： 設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x。處可導(dǎo)，試求下列各極限的值.limxx0x0/V f h2h3若 f(xo)2，則肌4=?二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f (x)在點(diǎn)p (x0, f (x0) 處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線 y=f (x)在點(diǎn)p (x0, f (x0)處的切線的 斜率是f (X。)。切線方程為 y-y0=f/ (x0) (x-x0)。三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1 .基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： C 0; ( C為常數(shù)) xnnxn 1; (sin x)cosx ; (cosx)sinx; (ex) ex； (ax) ax l na;1 Inx 丄；

3、x1 I Oga x -lOgae.x習(xí)題：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(8分鐘獨(dú)立完成)(1)f(x)( 2)f(x)4 x(3)f(x)(4)f (x) sin x(5)f (x)cosx(6)f(x)3x(7)xf(x) e(8) f (x) log2 x(9)f (x) ln x(10)f(x)1(11)y31cosxx4 4(12)y (13) ylg xx e(14)y3x cosx1 x2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：f(X)g(x)f (x) g(x)f(X)g(x)f (x) g(x)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)f(x) f (x)g(x) f(x)g(x) g(x)

4、g2(x)練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(2) y x ln x ；(1) y x22x ；(3) yxsin x ；(4) y xlnx。(5) y 叱x(6) yx2oIn x3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：如果函數(shù)(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)f (u)在點(diǎn)u=(X)處可導(dǎo)，則復(fù)合函 數(shù)y= f ( u) =f (x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且(例、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=、1 2xcos xf (x) / = f (x)(x)(2) y=ln ( x+ ； 1 x2 )練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y=i(3x 1)2(2)y=sin (3x+ )4?？碱}型：類型一、求導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題例1、若曲線y = e_x上點(diǎn)P處

5、的切線平行于直線2x+ y+ 1 = 0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是例2、曲線y = xr1在點(diǎn)(1 , 1)處切線的斜率等于()A. 2e B . eC. 2 D . 1例3、2014 新課標(biāo)全國(guó)卷U 設(shè)曲線y = ax- ln( x + 1)在點(diǎn)(0 , 0)處的切線方 程為y = 2x，則a=()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3類型二、求切線方程(一) 已知切點(diǎn)坐標(biāo)，求切線方程例1.曲線y x3 3x2 1在點(diǎn)(1,1)處的切線方程（二）已知切點(diǎn)斜率，求切線方程例2.與直線2x y 4 0的平行的拋物線y x2的切線方程（三）已知曲線外一點(diǎn)，求切線方程例3.求過(guò)點(diǎn)（2,0）且與曲線y -

6、相切的直線方程.x（四）已知曲線上一點(diǎn)，求過(guò)該點(diǎn)的切線方程例4.求過(guò)曲線y x3 2x上的點(diǎn)（1 1）的切線方程.變式訓(xùn)練：1、 2014 廣東卷曲線y二一5ex+ 3在點(diǎn)（0，- 2）處的切線方程為 .b2、2014 江蘇卷在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y = ax2 +-（a，b為常數(shù)）X過(guò)點(diǎn)P（2，- 5），且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x + 2y+ 3= 0平行，則a+ b 的值是.23、與直線x y 1 = 0平行，且與曲線y= 1相切的直線方程3類型三、求單調(diào)區(qū)間及極值、最值考點(diǎn)一求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.求函數(shù)y=x2（1 x）3的單調(diào)區(qū)間.變式訓(xùn)練：1. 函數(shù)y xl

7、nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()1 11A. (e ,) B. ( ,e )C. (0,e )D. (e,)2. (05年廣東高考題)函數(shù)f (x) x3 3x2 1是減函數(shù)的區(qū)間為()(A) (2,) (B)(,2) (C)(,0) (D)(0,2)考點(diǎn)二 求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考例1、已知函數(shù)f(x) - x2 ml nx (m 1)x , m R .當(dāng)m 0時(shí)，討論函數(shù) 2f (x)的單調(diào)性.例2、設(shè)函數(shù)f(x)=求f(x)的單調(diào)區(qū)間;322x 3(a 1)x1,其中 a 1.例3、設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln( x+1)，其中a -1 ,求f (x)的單調(diào)區(qū)間。變式訓(xùn)練:X 一 11

8、、2014 山東卷設(shè)函數(shù)f (x) = aln x+ x，其中a為常數(shù). 若a= 0,求曲線y= f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線方程；(2) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.2、【2014 安徽卷】設(shè)函數(shù) f (x) = 1 + (1 + a)x x2-x3,其中 a0.(1)討論f (x)在其定義域上的單調(diào)性；考點(diǎn)三：利用單調(diào)區(qū)間求未知參數(shù)取值范圍：例1、2014 新課標(biāo)全國(guó)卷U 若函數(shù)f (x) = kx In x在區(qū)間(1 , +) 單調(diào)遞增，貝U k的取值范圍是()A. ( x, 2 B . ( x, 1C. 2 ,+x)D . 1 ,+x)例2、2014 全國(guó)新課標(biāo)卷I 已知函數(shù)f

9、(x) = ax3 3x2 + 1,若f(x)存在 唯一的零點(diǎn)xo,且Xo0,則a的取值范圍是()A. (2 , +x)B . (1 , +x)C. ( x, 2) D . ( x, 1)例3、2014 遼寧卷當(dāng)x 2, 1時(shí)，不等式ax3 x2 + 4x + 30恒成立, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()9A. 5, 3 B. 6, 8C. 6, 2 D . 4, 3變式訓(xùn)練：(山東省煙臺(tái)市2011屆高三上學(xué)期期末考試試題(數(shù)學(xué)文)已知 函數(shù)f (x) ax3 bx2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4)，曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線 x 9y 0垂直.(I)求實(shí)數(shù)a,b的值；(U)若函數(shù)f (x)在區(qū)間m,m

10、1上單調(diào)遞增，求m的取值范圍.考點(diǎn)四：結(jié)合單調(diào)性求極值問題求函數(shù)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f (x).求方程f (x)0的根用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表 格檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值注：可導(dǎo)函數(shù)yf(X)在x X。處取得極值是f(x0)的充分不必要條件.例1、已知函數(shù)f (x) 2ax b 41 nx在x 1與x -處都取得極值.x3(1)求a、b的值；變式訓(xùn)練：設(shè)x 1,x 2是f x

11、 al nx bx x函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).(1) 試確定常數(shù)a和b的值；(2) 試判斷x 1,x 2是函數(shù)f x的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求相應(yīng)極 值.例 2、(06 安徽卷)設(shè)函數(shù) f x x3 bx2 cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是 奇函數(shù)。(I)求b、c的值。(U)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。例3、已知函數(shù)f (x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的圖象如圖所示.(I)求c,d的值；(II )若函數(shù)f(x)在x 2處的切線方程為3x y 11 0 ,求函數(shù)f(x)的解析式;1(III )在(II )的條件下，函數(shù)y f(x)與y f (x) 5x m的圖

12、象有三個(gè)不同3的交點(diǎn)，求m的取值范圍.例 4、2014 江西卷已知函數(shù) f (x) = (x2+ bx+ b) 1-2x(b R).(1) 當(dāng)b= 4時(shí)，求f(x)的極值；1(2) 若f(x)在區(qū)間0, 3上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.變式訓(xùn)練：1、已知函數(shù)f(x) x b的圖象與函數(shù)g(x) X2 3x 2的圖象相切，記 F(x) f(x)g(x).(I)求實(shí)數(shù)b的值及函數(shù)F(x)的極值；(U)若關(guān)于x的方程F(x) k恰有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.322、(2011 全國(guó)U文 20)已知函數(shù) f(x) x 3ax (3 6a)x 12a 4(a R) (I)證明：曲線y f (x

13、)在x 0的切線過(guò)點(diǎn)(2,2);(U)若f(x)在x Xo處取得極小值，Xo (1，3),求a的取值范圍.考點(diǎn)五：結(jié)合單調(diào)性求最值問題 求函數(shù)在a，b上最值的步驟：(1)求出f(x)在(a,b)上的極值.(2) 求出端點(diǎn)函數(shù)值f (a), f(b).(3) 比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值32例1、(2010年重慶卷)已知函數(shù)f(x) = ax + x + bx(其中常數(shù)a, b R), g(x) =f(x) + f (x)是奇函數(shù). 求f(x)的表達(dá)式； 討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值.例2、設(shè)函數(shù)f(x) = ax3 + bx+ c(a工0)為奇函數(shù)，

14、其圖象在點(diǎn)(1 , f(1)處的切 線與直線x 6y 7= 0垂直，導(dǎo)函數(shù)f (x)的最小值為12.(1)求a，b，c的值； 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在1,3上的最大值和最小值.、 1 2 例 3、已知函數(shù) f (x)x aln x, g(x) (a 1)x ,a 1 .2(I )若函數(shù)f (x), g(x)在區(qū)間1,3上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(II )若 a (1, e (e 2.71828L )，設(shè) F(x) f (x) g(x)，求證：當(dāng)羽龍1,a 時(shí)，不等式| F(X1)F(X2)| 1成立.例 4、2014 安徽卷設(shè)函數(shù) f(x)

15、 = 1+ (1 + a)x x2 x3，其中 a0.(1) 討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2) 當(dāng)x 0 , 1時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.四、導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題：可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”思路1、mf(x)在xD上恒成立mf(x)max思路2、mf (x)在xD上恒成立mf(x)min例1.設(shè)函數(shù)f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在X 1及x 2時(shí)取得極值. 求a、b的值； 若對(duì)于任意的x 0,3，都有f(x) c2成立，求c的取值范圍.例2、已知函數(shù)fx ax3 3x2 a 1 x 1，其中a為實(shí)數(shù)。32已知不等

16、式f x x2 x a 1對(duì)任意a 0,都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍例 3、設(shè)函數(shù) f xx4 ax3 2x2 b,(x R)，其中 a,b R。若對(duì)于任意的a 2,2，不等式f x 1在1,1上恒成立，求b的取值范圍例4、若實(shí)數(shù)a 0且a 2，函數(shù)f xax31 a 2x2 2x 1。32(1) 證明函數(shù)f X在x 1處取極值，并求出函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間。(2) 若在區(qū)間0,上至少存在一點(diǎn)Xo，使得f X。 1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍變式訓(xùn)練：1、(2010遼寧文)已知函數(shù) f(x) (a 1)1 nx ax2 1.(I)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(U)設(shè) a 2，證明：對(duì)任意 X1,X2 (0

17、,) , | f (xj f(X2) | 4 | 捲 X21.2、已知函數(shù)f (x) = x3+ 3|x-a|( a0).若f (x)在1,1上的最小值記為g(a).(1)求 g(a)；證明：當(dāng) x 1，1時(shí)，恒有 f(x) g( a) + 4._ 23、設(shè)函數(shù) f(x) (x a) x, a R.(I)若x 1為函數(shù)y f (x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a ;(U)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x (,2，恒有f(x) 4成立.4、設(shè)函數(shù) f(x)-x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R)3(I)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值；(U)若對(duì)任意的x a 1,a 2,不等式f x a成立，求a的取值范圍存在性問題：a f x 能成立 a f x min