廣義積分的收斂判別法

1、上一節(jié)我們討論了廣義積分的計(jì)算 , 在實(shí)際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是 不能直接計(jì)算的，有的積分雖然可以直接計(jì)算，但因?yàn)檫^程太復(fù)雜，也不為計(jì)算工 作者采用，對(duì)這類問題計(jì)算工作者常采用數(shù)值計(jì)算方法或 Monte-Carlo 方法求其近 似值 . 對(duì)廣義積分而言，求其近似值有一個(gè)先決條件 積分收斂，否則其結(jié)果毫 無意義。 因此，判斷一個(gè)廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理9.1 (Cauchy收斂原理)f(x) 在 a, + )上的廣義積分f(x)dx收斂的充分a必要條件是：0,存在A0,使得b, b A時(shí)，恒有證明：對(duì) lim f (x)dx 0使用柯西收斂原理立即得此結(jié)論bb同樣對(duì)瑕積分f (

2、x)dx( b為瑕點(diǎn)),我們有a定理9.2 (瑕積分的Cauchy收斂原理)設(shè)函數(shù)f (x)在a, b)上有定義，在其任何閉 子區(qū)間a, b-上常義可積，則瑕積分a f(x)dx收斂的充要條件是：0,0, 只要 01,那么積分 f(x)dx 收斂，如 f(x) 二,p 1,xpaxp則積分f(x)dx發(fā)散.a *其極限形式為p1),則積分 f (x)dx收斂.定理 9.9 如 lim xpf(x) l (0 lx如 lim xpf (x) l ,而0 lbp 1,f (x)dx 發(fā)散.例9.8判斷下列廣義積分的收斂性。(1) 11ln(1-)xm(m0, n0)x . ndx 1 x解：(1)

3、因?yàn)? ln(1 丄)x1/dx收斂推出1dx收斂.(2)因?yàn)閘imxm 1時(shí)，積分對(duì)于瑕積分，使用mn m xx n1 xmdx發(fā)散.11 xnb1dx作為比較標(biāo)準(zhǔn)，我們有下列柯西判別法.a (x a)p1,所以當(dāng)nm1時(shí)，積分xmrvdx收斂.當(dāng)n定理9.10 設(shè)x=a是f (x)在a, b)上的唯一奇點(diǎn)，在其任意閉區(qū)間上可積,那么(1)c如0f(x) E (c0), pv1,b則a f (x)dx收斂.(2)c如f(x) p (c0), p 1,wba f (x)dx發(fā)散.定理瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為9.11 設(shè) lim (x a)p f (x) kx ab如 0 kv ,

4、 p1,貝y f (x)dx收斂a如0k, p 1,那么 f(x)dx發(fā)散.a *例9.9判別下列瑕積分的斂散性。(1)1dx0 (1 x2 *)(1 k2x2)2(k0)（1）1是被積函數(shù)的唯一瑕點(diǎn)1因?yàn)?lim (1 x)2x 1 (1dxx2)(1 k2x2)2(1 k2)1由P 知瑕積分收斂.20與2都是被積函數(shù)的瑕點(diǎn).先討論4dx0 sinp xcosq x由limx 0xp 1sin xcos xp1時(shí)，瑕積分dx40- pq0 sin xcos x收斂；當(dāng)p 1時(shí)，瑕積分dx；sin pxcosqx 發(fā)dx再討論散.x)Ppqsin xcos x因 lim (x _22_ dx所

5、以當(dāng)q1時(shí)，瑕積分p dx q收斂，4 sinp xcosq x_ dx當(dāng)q 1時(shí)，瑕積分 2p發(fā)散.4 sinp xcosq xdx綜上所述，當(dāng)p1且q1時(shí)，瑕積分02pdx q收斂；其他情況發(fā)散.0 sinp xcosq x1例9.10求證：若瑕積分0f(x)dx收斂，且當(dāng)x 0時(shí)函數(shù)f (x)單調(diào)趨向于+,則lim x f (x)=0.x 0證明：不妨設(shè) x (0,1, f(x) 0,且f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。1已知0f (x)dx收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，有0,0(1),0 x 有xx f (t)dt2從而02x f (x) 2或00),當(dāng)cosx)1v-時(shí)收斂3當(dāng)1-時(shí)發(fā)散.3

6、33證明：Tlim x=limx 0 x(1 cosx) x 031 cosx=limx 011 cosx22 x1所以當(dāng)3 1時(shí)，即 丄時(shí)，瑕積分收斂.當(dāng)31,即卩-時(shí)，瑕積分發(fā)散.33前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對(duì)一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果.定理9.12 (積分第二中值定理)設(shè)g(x)在a,b上可積，f(x)在a, b上單調(diào)，則存在E a, b使ba f (x)g(x)dx = g(a) a f(x)dx g(b) a f (x)dx為了證明定理9.12，我們先討論下列特殊情況.引理9.1設(shè)f(x)在a, b上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù) g(

7、x)在a, b上可積，則存在c a, b，使bca f (x)g(x)dx=f(a) a g(x)dxx證明：作輔助函數(shù)(x)二f (a)g(t)dt,對(duì)a, b的任一分法aP:a=xoxix2 A)時(shí)，有 xg(x)|4M于是，對(duì) A,AA有+ =2 2由Cauchy收斂原理知f(x)g(x)dx收斂a例9.12討論廣義積分C0SX dx的斂散性，1 x1解：令 f(x)=,g(x)=cosxx則當(dāng)x 時(shí)，f(x)單調(diào)下降且趨于零，AF(A)=1 cosxdx=sin A sin1 在a,)上有界.由Dirichlet判別法知co空dx收斂，1 x另一方面因1 dx發(fā)散，1 cos2x dx

8、收斂1 2x1 2x從而非負(fù)函數(shù)的廣義積分Co dx發(fā)散1 2x由比較判別法知1叵兇dx發(fā)散，1 x所以 沁dx條件收斂1 x例9.13討論廣義積分1Cosx arcta n xdx 的斂散性.x)上單調(diào)有界,解：由上一題知，廣義積分cosxdx收斂，而arctanx在a, +1 xcos x所以由Abel判別法知arctanxdx收斂。1 x另一方面，當(dāng)x 3,)時(shí)，有前面已證Lcsx| dx 發(fā)散由比較判別法知1|cosxarctanx|dx發(fā)散，所以 cosxarctanxdx條件收斂.1x1x對(duì)瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet 判別法b定理9.14若下列兩個(gè)條件之

9、一滿足，則f(x)g(x)dx收斂：(b為唯一瑕點(diǎn))ab(1) ( Abel判別法)f (x)dx收斂，g (x)在a, b)上單調(diào)有界ab(2) (Dirichlet 判別法) F( ) = f (x)dx在a, b )上有界，g(x)在a(0, b a上單調(diào)，且 lim g(x) 0.x b證明：(1)只須用第二中值定理估計(jì)2)的證明.例9.14討論積分.1 sin 1 xdx 0 xp dx(0p 2)的斂散性解：對(duì)于0p1 ,因?yàn)? 1由dx收斂知0xp絕對(duì)收斂斂對(duì)于0 p2,因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = x2 p，當(dāng)x 0時(shí)單調(diào)趨于0,而函數(shù)g(x)=1 sin x 1sin 1_x0 xp

10、dx滿足所以積分 1 sin pTdx收斂. x但在這種情況下,dx是發(fā)散的,1 sin x xp事實(shí)上1 sin x xp.2 1sin xxp2xp2cosx2xp1 1因0dx發(fā)散，dx發(fā)散21cos0莎dx收斂，從而當(dāng)0 p1/.1 sin 1 當(dāng) 0時(shí)，上式無極限，所以積分0dx發(fā)散.x值得注意的是，兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系設(shè) & f (x)dx中 x=a 為a1f (x)的瑕點(diǎn)，作變換y=,貝卩有x aba f (x)dx =f(a-)2 dy,而后者是無限y區(qū)間上的廣義積分.習(xí)題9.21、論下列積分的斂散性(包括絕對(duì)收斂,條件收斂，發(fā)散)(1)In In x .,sin

11、xdx ；In x sin x2dx ；-dx ；2.2 匕入,cos xsin x(5)i In xx21dx;10xp 1(1 x)q 1 In xdx ;p 1 q 1(6)(p,q 0)；1X x ,dx0 In xdx;(8)(9)p 1 xx e dx;xp1dx;x(10)(11)(12)sinxe sin2xqx sin x , 廠dx1 xsin(x 丄)dx;(p 0)；(p 0) 10時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)趨于+,則2. 證明：若瑕積分f(x)dx收斂，且當(dāng)x lim x f (x)=0 .x 03. 若函數(shù)f (x)在a,)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f lx), 且無窮積分 f(x)dx與 f/(x)dx都收斂， 則 lim f (x)=0 .ax4. 設(shè)f(x)在a,)上可導(dǎo)，且單調(diào)減少，lim f (x)=0,求證：xf (x)dx 收斂xf z(x) dx 收斂.aa5. 證明：若函數(shù)f(x)在a,)上一致連續(xù)，且無窮積分f (x)dx收斂，則lim f (x)=0.x6. 求證：若無窮積分f (x)dx收斂， 函數(shù)f(x)在a,)內(nèi)單調(diào)， 則a7. 計(jì)算下列廣義二重積分的值.(1)