均值不等式常考題型

1、均值不等式及其應(yīng)用一.均值不等式1. （1）若心訂,則a2+b22ab（2）若則ab 2y （當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取“=”）2若gb丘，則“s （當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）2丿3 若0,則x + -2 （當(dāng)且僅當(dāng)兀=1時(shí)取“=”）；若x0,則 + !L2 （當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“）b a-+ - 22 即-+ -2- + -.2 （當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取“=”） h a h a b a4若agR,貝ij （出）2 上工（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）2 2注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的 積的曇小值，正所謂“積定和最小

2、，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三相等”均值定理在求最值、比較大小、求變長的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用. 應(yīng)用一：求援值例1:求下列函教的值域1 1 f=3.v2+7（2） /=.v+值域?yàn)椋ㄒ?, -2U2, +oo）解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)例1：已知無學(xué) 求函數(shù)y = 4x-2+L_的黒大值。441-5解：因4x-50,所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又（4x-2）1不是常教，所以對(duì)4x-2要迸行拆、湊項(xiàng),4x-55i/i vx0, /. y = 4x-2 += - 5-4x + +3 0,利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式于技巧二：湊

3、系數(shù)例1.當(dāng)OCX 4時(shí)，求y = X(S-2x)的黒大值。積的形式，但其和不是定值。注意到2x + (8-2x)= 8為定值，故只雷將y = x(8-2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。 z = x(8-2x)=l2x =8當(dāng)加=8-力，即乂=2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x=2時(shí)，y = x(8 2x)的最大值為8。評(píng)注：本題無法宜接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不尊式求臺(tái)大值。 3變式：設(shè)0求函數(shù)y = 4x(3-2Q的杲大值。解:vOx0/. = 4x(3-2a) = 2-2x(3-2x)-l)的值域。X + 1解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分于配方湊出含有(x+1)的項(xiàng)

4、，再將其分離。X2 +7x4-100 + 1)2 +冷+ 1)+4/ 八 4-l,gft=X+l 0 時(shí),)72 打孑 + 5 = 9 (當(dāng) 1=2 gpx=l 時(shí)取“=”號(hào))。評(píng)注：分式函數(shù)求最宣，通常直接將分于配湊后將式于分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式于分開再利用不等式求舅A值。即化為y = (x) + + B(A0,B0),能)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。 g(x)技巧五：注就在應(yīng)用援值定理求屢值時(shí)，若遇椚阿到的惜況，應(yīng)結(jié)合驅(qū)心)十單調(diào)性。f + 5例：求函數(shù))=；-的值域。VP+4解：V-V2 +4 = t(t 2),貝i、_ 二 + =厶?+4+一 =+ -(宀2)&+4J

5、x，+41+解得/=1不在區(qū)間2,-ho),故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因 / 0,/ - = 1，但F = 因?yàn)閥F + 十在區(qū)間1,+S)單調(diào)遞增，所以在其于區(qū)間2,+8)為單調(diào)遞增函數(shù)，故)7*。 所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,+s。1_2練習(xí).求下列函數(shù)的是小值，并求取得屋小值時(shí)，x的值.兀？ + 3x +111(1) y=,(%0) (2) y = 2x+ ,x3 (3)y = 2sinx+ xx-3sinx2已知0xl,求函數(shù)y二Jx(l-X)的最大值.；3. 0A-/F歹=6當(dāng)3“ =3時(shí)等號(hào)成立，由a + b = 2n3a =3b得“ =b = 1即當(dāng)a=b = 1時(shí)，3“+3“的最

6、小值是6.1 1變式：若log4x + log4y = 2,求一+二的最小值并求紀(jì)的值x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求聶值時(shí)，要注意取軫號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。192:已知x0,y0,且一+ = 1,求x + y的最小值。% y臂解： x0,y 0 ,且 + - = 1, /. x + .y = 丄+ ?(x+y)n2 仁2 歷=12 故( +，)訕=12。錯(cuò)因：押法中兩次連用均值不等式，在x+y2等號(hào)成立條件是x = y,在1+22 F等號(hào)成立 x y 如19條件是-=即y = 9取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出 A V等號(hào)成立條件是解

7、題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：gOjO.丄+2 = 1,x y； x+y = (x+ y) - + y)106 + 10 = 16v 9x1 9當(dāng)且僅當(dāng)一=一時(shí)，上式等號(hào)成立，又一+ = 1,可得x = 4,y = 12時(shí)，(x + y). =16。xyx ynun變式：(1)若匕y w/r且2x+y = l,求丄+丄的最小值x y(2)已知。上,兀,y w F H- + - = i,求X + y的最小值技巧七.巳知拓y為正實(shí)數(shù),且=1,求的最大值分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式同時(shí)還應(yīng)化簡屮工戸 中P前面的系數(shù)為!， Z+2 =丫寸2 -下面將X,冷-4

8、-y分別看成兩個(gè)因式：技巧八：巳知, b為正實(shí)數(shù)，2Z+必+三=30,求函數(shù)/=占的屢小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào) 性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因巳知條 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最宣，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式 的途徑進(jìn)行。亠30-2b. 30-26-2 b2+30b法：；/= 6+1，：lb= 5+1 b=b+由彳0 得，015一 2疋+3牡一311616/1?令十=卄1, lr2A /1 - =81 處成18/ -當(dāng)且僅當(dāng)r=4,

9、即*3,心6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得：30力=:汁2，a+2bd2y正令 u=yb 貝ij ir+Zyfi U-30W0,-52 u323-/2 ,點(diǎn)評(píng)：本題考査不等式斗n佈的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式ab = a + 2b + 3OSbwR)出發(fā)求得肪的范圍，關(guān)鍵是尋找到a + b與加之間的關(guān)系，由此想到不等式牛丫而(gbwRT ,這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，迸而解得“方的范圍.2變式：1已知Q0, 40,力一(n+Q=1,求方+6的最小值。2若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x, y為正實(shí)數(shù)，3卄2丿=10,求函數(shù)W=y3x +

10、苗的曇值.a+b ab2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，0, W=3x+2y+2伍苗=10+2伍曲 W 10+(伍嚴(yán)(苗尸=10+(3x4-20=20W/20 =2/變式：求函數(shù)y = sj2x- + j5-2x(占 X ,2 = (J2x-1 + /5-2x)2 =4+2yJ(2x-l)(5-2x) 5 4 + (2x-1) + (5-2x) = 8 又yo,所以0)ab + bc + ca1)正數(shù)彳，b、c滿足 /?+ b+ c= 1,求證：(1 )(1 6)(1 例 6:已知冬 b、ce/? 且c+b + c = l。求證：j -1 I -1 I -118八b 八c丿分析

11、：不等式右邊數(shù)宇8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又 丄+巳=土2匝,可由此變形入手。aa a a初-q+ / . i 1 i 1一0b + c、2伍b切 1、2歸1_2yfab 2、 b、 cwR yd+z?+c = i。.1 = =noHf* in, in。aa a abb cc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得込區(qū).年工婭=8 o當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c = 時(shí)取等號(hào)。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：巳知X 0,y 0且丄+ 2 = 1 ,求使不等式x+y也恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。 v y解：令x+y = k,x0,y 0. + = 1x+y 9x + 9y10 y 9x _+= 1 .：+ v 1kx kyk kx ky10312o .k 16