多尺度方法在力學中的應用

1、多尺度方法在力學中的應用作者 楊陶令指導老師張鵬蘇先樾1. 背景概述多尺度科學是一門研究各種不同長度或者時間尺度相互耦合現(xiàn) 象的一門科學。 多尺度科學的研究領域十分寬廣， 涵蓋的學科之多難 以一一羅列。在諸如流體動力學、復合材料力學、生物力學、環(huán)境科 學、化學、地質學、氣象學和高能物理之類的各門科學中，多尺度科 學及其相應的方法發(fā)揮著相當重要的作用。 正如同隨機現(xiàn)象和非線性 科學受到了廣泛的重視一樣， 多尺度科學因其處于當代科學的許多極 富挑戰(zhàn)性問題的核心地位，未來的發(fā)展前途不可限量。在材料科學領域中， 材料的動態(tài)特性就是多尺度的問題。 金屬的 塑性變形問題是從位錯流動著手研究的， 但是位錯理

2、論本身并不能預 測塑性流動率和屈服強度位錯與晶界、 點缺陷以及原子振動之間 的相互作用才是導致諸如應變強化和材料強度特性動態(tài)變化等現(xiàn)象 的主導因素。所以將固體的微觀結構與原子層次的組成成分相結合來 預測固體材料的宏觀特性， 就是材料科學的宏偉理想， 并可期望達到 人工設計材料的終極目標。在氣象學領域中，在大氣環(huán)流模擬中計算尺度的典型數(shù)量級為100km，但是局部降水量、水汽含量以及某些風暴系統(tǒng)的數(shù)量級則要 小得多，因而必須在較小尺度層次上進行模擬， 這也是典型的多尺度 問題，應該用多尺度方法來處理。必須說明的是， 正是因為多尺度科學廣泛的應用背景， 多尺度方 法作為一種研究的手段和方法， 在各種

3、截然不同的研究領域的應用過 程中，往往與該研究領域的具體背景相結合，具有一定的特殊性。從 算法的角度來說， 與線性方程組的解法等常規(guī)算法不同的是， 目前多 尺度方法本身沒有固定的算法格式， 它所體現(xiàn)的更多的是一種研究的 需求和應用的思想， 在程序上的實現(xiàn)必須結合具體的研究模型， 這將 在下文中得到充分的體現(xiàn)。2. 多尺度的力學分析方法在多尺度的分析方法中已經(jīng)發(fā)展了若干力學分析的方法， 目前比 較典型算法有： 宏觀細觀平均化計算方法、 材料強度的統(tǒng)計計算方 法等。下面將詳細介紹這兩種方法。2 . 1宏觀一細觀平均化計算方法典型的宏觀細觀平均化算法是： 利用材料的細觀周期性的胞元 模型和強調宏觀與

4、細觀之間相連接的廣義自洽模型相結合所進行的 計算。首先討論胞元模型。 胞元是材料的一個基本結構，它嵌含材料 的細觀幾何和相結構的要素。 就復合材料來說， 胞元應嵌含顆粒形狀、 顆粒百分比、顆粒分布幾何、基本結構、界面狀況等要素。自洽方法 是考慮宏觀和細觀交互作用的研究方法。 廣義自洽方法則是將平均化 的小尺度的胞元與大尺度的宏觀等效介質進行自洽連接。把宏觀-細觀平均化計算方法在多尺度思想上作一定的推廣，即并不要求達到細觀尺度，而是相對于宏觀大尺度來說，胞元尺寸構成 相對的小尺度。一個典型的例子就是復合材料等效模量計算中常用的 復合圓柱模型。下面就以復合圓柱模型（圖1）為例，給出一個多尺 度計算

5、的具體算例。圖1 復合圓柱模型（坐標圖）我們的問題是計算橫向剪切模量 03。在圖2中我們?yōu)榱艘曈X上 的清晰起見，夸大了胞元的尺寸。實際上，我們只取出宏觀等效均勻 介質中周期性分布的一個微小胞元，雖然胞元本身并沒有達到細觀尺 度，但是可以肯定的是，胞元的尺寸與周圍的宏觀等效均勻介質相比 起來，在尺度上已經(jīng)相差很大的數(shù)量級。而在計算的過程中，我們將分別考慮較小尺度的胞元內的物理量和胞元周圍較大尺度的等效均勻介質中的物理量，然后再通過廣義自洽方法將平均化的小尺度的胞元與大尺度的宏觀等效均勻介質進行自洽連接。圖2 復合圓柱模型（橫截面圖）在無限遠場的剪切變形條件下，根據(jù)力學知識,我們可以計算出在大尺度

6、的宏觀等效均勻介質中，位移場是:b2rbb3Ure(1)-a3飛 C3】COS2d4匕3 brrb2rbb3.口丁( -1)-a3=C3】sin2,423brr在平均化的小尺度的胞元中，基體和纖維內的位移場分別是:其中br rb b.urm( m - 3)飛 a2d2( m 1) C33 b2 C0S2tb br r344mbr3 rb bu -m( m 3)pa2d2-(m-1)C23 b2 S i 2nb br rUrfb Cfu旦( . f4f3rr-3)-aidicos2bb3rr3)aidisi n2 二bb連接小尺度的胞元和大尺度的宏觀等效均勻介質的條件在不同的問題中可能不盡相同，

7、在我們以上考慮的這個問題中，這一條件就 是連續(xù)性條件，即二r, ；中Ur, 在界面r二a, b上連續(xù)。這樣就得到 了一系列方程，另外再補充其他一些方程，例如應用能量原理得到的 方程，可以想見，以上問題就歸結為解一個非線性方程組，而我們所 要求的 鼻只是其中的一個未知量。以上這個具體問題的求解比較特 殊，消去不相關的未知元ai、a2等，只留下23，我們得到一個二次 方程:A(子)2 b(屮)C = 0mm其中A，B，C是材料常數(shù)的函數(shù)，可以由給定的具體材料來決定， 其形式不是本文所要討論的重點，故不再贅述。通過復合圓柱模型，我們可以總結出宏觀-細觀平均化算法的流 程圖，如圖3所示圖3.宏觀一細觀

8、平均化算法的流程圖2. 2材料強度的統(tǒng)計計算方法在材料強度的統(tǒng)計計算方法中，應用比較成熟的是有關帶有強相 互作用共線裂紋的脆性材料強度的統(tǒng)計計算。 這個算法與宏觀-細觀 平均化算法有所不同，宏觀-細觀平均化算法連接了宏觀尺度和細觀 尺度，換句話說，我們可以很明確地看到在尺度上的大幅度的跳躍。 而帶有強相互作用共線裂紋的脆性材料強度的統(tǒng)計計算這一算法，它注重的則是裂紋或者間距在尺度上小幅度的漲落， 所以我們用統(tǒng)計理論來處理這種漲落這個算法的核心思想是： 用微裂紋長度和間距的統(tǒng)計分布來描述 它們在尺度上的漲落， 進而來確定材料的統(tǒng)計強度。 下面將通過一個 具體的脆性材料強度統(tǒng)計計算的例子來介紹這個

9、算法。含有共線裂紋的無限大平板的破壞幾率的統(tǒng)計分析算例： 問題描述：無限大平板，包含N個共線裂紋，無窮遠處作用有均勻拉應力(7a：半裂紋長c：裂紋間距a和c都是統(tǒng)計變量見圖4(a),它們的統(tǒng)計分布用函數(shù)f(a)、p(c)來 表示，都是正態(tài)分布，c-,c+,a-,a+是 c和a的下屆和上屆。求解應力強度因子非常繁瑣, 為簡化問題, 我們主要考慮相鄰的兩個 微裂紋之間的強相互作用，這兩個相鄰的微裂紋的長度用a以及a表示,其它裂紋用周期性分布的裂紋代替(裂紋長度及間距分別是 2ao以及co),如圖4 (b)所示。CT2au2a2do2a o(b)=迪2ara圖4 (a)裂紋長度不同，間距不同(b)只

10、考慮臨近的兩裂紋之間的強相互作用，簡化成遠場裂紋為周期性分布A 點的 SIF(stress intensify facto):皿F二豈旦0lao a0 a0 a0 丿F是無量綱函數(shù)為分析簡便起見，下面具體計算一個特例：N個長度相同的裂紋，間距不同（即aa=o）則f（a）是Dirac delta函數(shù)S （a-比）當aa =a0時，c的分布函數(shù)p（c）是一個正態(tài)分布，c的取值范圍為（c-,c+）,平均間距為q =c= cp（c）dc oLc考慮到當aa二o時，Ka是一個c/ao單調遞減函數(shù)，見圖50.125OOQ 0.250 50075100圖5應力強度因子Ka曲線（N = 100, aa=時）（

11、T的臨界值（T th可被給定為Gh = K/F（=1,1単）:h a0aoaoKic是基體斷裂剛度，對給定的。二有一個與之對應的臨界裂紋間距Ccr1,滿足F （血,1,1単）二K aoao、- a0由以上兩式可知: 1 . 如果 C（T thm，應力小于使基體斷裂的最小應力，裂紋不會擴展。2. 如果 J(7 J，貝恫距小于Ccr1的相鄰裂紋將連通。裂紋連通后，裂紋長度和間距的分布函數(shù)p(c)和f(a)將改變B(C)=2&)1 -afl (a) =5(a a。)+ P(2a_4a)H(2a 4ao cH(2a 4a。 &)1_a1_a上式中：cCr p(c)dc代表連通概率 cH 代表 Heav

12、iside step方程fi(a )的第一部分代表那些沒有連通的裂紋，它們的長度仍然是2ao第二部分代表連通的裂紋部分第一次擴展后的微裂紋長度及間距的期望值分別是2a0 2ccrc -2ai =2af1 (a)da ci1 cp-i (c)dca0ccr這是一個循環(huán)的過程第一次擴展后的微裂紋右端點SIF為Kright =嚴隔卩二色,1,里0 a1a1 /如果Kright Kic，該裂紋將和臨近的期望長度為21的裂紋連通。與2a1相關聯(lián)，我們又可以找到一個臨界裂紋間距，用Ccr2表示，滿足,_ ( 2 一 、Ke 呱&冬色,1,里a1 a1a1 ；上式表明，如果裂紋間距c在(Ccr1, Ccr2

13、)范圍內，這個長度為2的裂紋將和臨近的期望長度為2；1的裂紋連通，這一擴展過程的概率為Pi(c)dc當這一步驟重復n次后裂紋長度變?yōu)閚2an =4a0 2(n -1)ai c( ck(c1)k=2第k次擴展后的裂紋間距期望值為- J：cpi(c)dcSrck衛(wèi)k = 2,3,./ Pi(c)dcr其中C0代表第k次擴展的臨界裂紋長度，由下式給出裂紋間的總連接次數(shù) M可用下式求得1閃2aM 4 ： K / ；”- aMJI對于長度為2ai的裂紋，如果M = 1,那么它的破壞概率為1;否則等 M cn于成功鏈接概率Pf(G)：丨丨Pi(c)dcn=2&進而該裂紋的存活概率為Ps(G)=1 -Pf

14、(cj根據(jù)WLT,我們又可得到存活概率 FS(cJ - 1 - Pf(q)VP(c1) j expNPjGpgdc累積存活概率為= expkN jcPf (c)p(c)dc最終，我們可以得到對于含有 N個微裂紋的脆性材料的破壞概率為(0 th 時)C1Rail =1-expNPf(c)p(c)dc?利用直接數(shù)值模擬進行校驗0.400.450.500.550 60Q.550.70nomorlized strength圖6統(tǒng)計預測與直接數(shù)值模擬的對比（其中Ng意義為直接數(shù)值模擬中，在同樣的s和N下，生成Ng個不同裂紋分布狀態(tài)進行計算，顯然 Ng越大越精確）另外，Weibull提出用如下帶三個參數(shù)（

15、m, co）的分布函數(shù)描述 脆性材料的強度mW（G =1 - exp（-（-）%W（ c ）是應力為c時的破壞概率（橫軸為KJ 屁）,c -表明累積破 壞概率開始增長的位置，c 0標示了破壞概率曲線的過渡區(qū)的尺度，無量綱的參數(shù)m （稱為Weibull模量）描述了脆性材料中的裂紋分布 特性。上式可化為1lnln（rWn）En（ u）*。）即上式在一個InIn-In的Weibull圖中為一條斜率為 m的直線如果前面分析的累積破壞概率函數(shù)可以用Weibull分布近似，那么它應該在InIn-In的Weibull圖中呈直線。我們可以把數(shù)據(jù)在 Weibull圖 中標示出測定 Weibull模量m,也可以估計m,c u, 0這三個參數(shù)與s 和N之間的關聯(lián)。這就是采用統(tǒng)計方法對材料強度進行多尺度分析的例子， 例子中推算 出了材料的破壞概率，并利用直接數(shù)值模擬進行校驗，最后用分布進 行擬和。以上詳細介紹的是宏觀-細觀平均化計算、材料強度的統(tǒng)計計算這兩種力學上的多尺度分析方法。最后還需要強調的是，正如我們前文所說，多尺度方法是迎合研究過程中的具體需要而產生的一種計算 思想，它本身沒有固定的計算格式，不論是在力學方面，還是在其他 領域，多尺度方法的應用都必須結合其具體的研究模型來展開。參考文獻1. “材料的多尺度力學與強韌化設計”，力學2000P39-