數(shù)學(xué)建模——投籃命中率的數(shù)學(xué)模型

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦投籃命中率的數(shù)學(xué)模型摘要隨著籃球運(yùn)動(dòng)的普及，籃球比賽中緊張、激烈的氣氛和更加具有攻擊性的防守等因素導(dǎo)致投籃命中率大大降低。根據(jù)研究顯示，影響投籃命中率有兩個(gè)關(guān)鍵因素：出手角度和出手速度。本文主要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，建立有效的籃球投射模型, 從籃球投射時(shí)球的出手角度、出手速度、出手高度和籃球球心與籃框中心的水平距離、籃球入射角之間的關(guān)系入手，分析各種因素對(duì)投籃命中率的影響，并作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，在合理估計(jì)出手點(diǎn)與籃框中心距離并保持出手速度穩(wěn)定的情況下, 確定投籃的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一個(gè)既能使投籃時(shí)不過(guò)多耗費(fèi)體力又能提高投籃命中率的結(jié)論。首先，本文將三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分等

2、數(shù)學(xué)知識(shí)及運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)等物理知識(shí)相互結(jié)合，在罰球投籃這一具體問(wèn)題的相應(yīng)具體情境下對(duì)此進(jìn)行了深入分析。其次，本文建立了與之相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)不同投籃情況的圖表分析歸納出對(duì)應(yīng)的公式，在多重公式的累加條件下最后整理得到滿足要求的最終條件范圍，得出模型的結(jié)果。在求解過(guò)程中，本文使用了MathType數(shù)學(xué)軟件對(duì)所用的數(shù)學(xué)符號(hào)作了系統(tǒng)的整理，借此列出了各組公式，同時(shí)給出了詳細(xì)的計(jì)算及分析過(guò)程，并得出最終結(jié)果。本文在第一問(wèn)中所設(shè)定的不考慮球出手后自身的旋轉(zhuǎn)及球碰籃板或籃框的情況，即在只針對(duì)空心球的情況下又限制變量，分別討論籃框大小、籃球大小、空氣阻力及出手角度和速度的最大偏差這四個(gè)不同變量下命中率受到的的

3、影響，給出公式，計(jì)算出結(jié)果。最終，本文探討出提高罰球命中率的方法是控制投籃時(shí)的出手角度和出手速度，使之分別限制在一定的范圍內(nèi)。出手角度和速度的過(guò)高或過(guò)低都會(huì)使罰球命中率不能保持在較高水平。在第二問(wèn)中本文針對(duì)籃球擦板后進(jìn)籃的情況，假定籃球在碰撞過(guò)程中沒(méi)有能量損耗的理想情況，討論出了分別在限制區(qū)邊線距籃框中心30度、45度、90度（罰球線）位置上這三種不同情境下出手角度、出手速度與投籃的命中率之間的關(guān)系。當(dāng)運(yùn)動(dòng)員所站的位置改變時(shí)，即投籃出手點(diǎn)到籃框的距離改變時(shí)，出手角度和出手速度的增加或減少都影響了投籃的命中率。關(guān)鍵詞：命中率、出手角度、出手速度、投籃出手點(diǎn)、籃框中心、MathType數(shù)學(xué)軟件一、

4、問(wèn)題重述在激烈的籃球比賽中，提高投籃命中率對(duì)于獲勝無(wú)疑起著決定性作用。而出手角度和出手速度是決定投籃能否命中的兩個(gè)關(guān)鍵因素。第一問(wèn)，在各種投籃方式中，罰球投籃是最簡(jiǎn)單也是很重要的投籃方式。這一問(wèn)只考慮罰球投籃這一簡(jiǎn)化模型，根據(jù)題目已給出的假設(shè)條件，假設(shè)罰球投籃不考慮球出手后球自身的旋轉(zhuǎn)及球碰籃板或籃框的情況，即只考慮空心球，在此情況下，站在罰球線上怎樣罰球才能使命中率高；第二問(wèn)，考慮籃球擦板后進(jìn)籃的情況，即籃球與籃板彈性碰撞的情況下，討論在限制區(qū)邊線上分別距籃框中心30度、45度、90度這三種不同（罰球線）位置上出手角度、出手速度與投籃的命中率之間的關(guān)系。二、問(wèn)題分析籃球是一項(xiàng)技術(shù)綜合性較強(qiáng)的

5、運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，需要隊(duì)員們的共同努力與協(xié)作。但是，個(gè)人的投籃得分也十分重要。就罰球投籃而言，這是最簡(jiǎn)單但也很重要的投籃方式。投籃的關(guān)鍵是向上舉球和起跳動(dòng)作協(xié)調(diào)一致，同時(shí)保持籃球在空中最高點(diǎn)被迅速穩(wěn)定地投出。投球的過(guò)程可以認(rèn)為是一個(gè)拋物的過(guò)程，球飛行的弧線可看作是一條拋物線。據(jù)科學(xué)和實(shí)踐證明，球的出手角度影響著球的飛行路線，球的飛行路線一般有低弧線、中弧線和高弧線三種，一般以中弧線為最佳。過(guò)去的種種實(shí)驗(yàn)表明，若投籃的拋物線過(guò)高，那么球飛行的時(shí)間會(huì)過(guò)長(zhǎng)，路程也大，受空氣的阻力和風(fēng)力的影響就大，這樣不宜控制球的飛行方向，從而影響到投籃的命中率。若籃球飛行的拋物線太低，那么球的入射角較小，在這種情況下也難將

6、籃球投中。為了在比賽中更好地取勝，就必須有效地提高投籃命中率，而影響投籃命中率的兩個(gè)最為關(guān)鍵的因素就是投球時(shí)的出手角度和出手速度。因此，考慮合適的出手角度和出手速度是解決問(wèn)題的最大關(guān)鍵。在這里，本文根據(jù)題目要求依次研究如下問(wèn)題：第一問(wèn):在不考慮球出手后球自身的旋轉(zhuǎn)及球碰籃板或籃框的情況，根據(jù)以下分類具體研究如何提高罰球命中率1.只考慮籃框的大小，忽略空氣阻力的影響；2.考慮籃球和籃框的大小，同樣忽略空氣阻力的影響；3.考慮出手角度和出手速度的最大偏差；4.考慮有空氣阻力影響的情況。第二問(wèn):考慮籃球擦板后進(jìn)籃的情況,此時(shí)忽略碰撞時(shí)的能量損耗，分別討論以下三種情況時(shí)出手角度、出手速度與投籃的命中率

7、之間的關(guān)系1.在限制區(qū)邊線上距籃框中心30度位置；2.在限制區(qū)邊線上距籃框中心45度位置；3.在限制區(qū)邊線上距籃框中心90度位置。三、模型假設(shè)假設(shè)一：運(yùn)動(dòng)員有良好的心理素質(zhì)，防守隊(duì)員的防守不影響投籃的命中率；假設(shè)二：運(yùn)動(dòng)員掌握熟練的投籃技術(shù)，并能根據(jù)實(shí)際需要控制球的出手角度與相應(yīng)出手速度，準(zhǔn)確判斷出手點(diǎn)與籃框中心的水平距離；假設(shè)三: 投球的運(yùn)動(dòng)曲線和籃圈中心在同一平面內(nèi)；假設(shè)四：在考慮籃球擦板進(jìn)籃時(shí)，籃球與球板的碰撞是完全彈性碰撞，沒(méi)有能量損失；假設(shè)五：出手后，籃球在空中的旋轉(zhuǎn)不影響投籃效果；假設(shè)六：在第一問(wèn)中不考慮球碰籃板或籃框的情況；假設(shè)七：在第二問(wèn)中忽略空氣阻力的影響。四、符號(hào)說(shuō)明s0:

8、投籃出手點(diǎn)到籃框中心水平距離,單位為米（m），這里s0=4.600mH0:籃框的高度, 單位為米（m），這里H0=3.050mR:籃框半徑, 單位為米（m），這里R=0.225mD:籃框直徑,單位為米（m），這里D=0.450md:籃球直徑,單位為米（m）h0:籃球運(yùn)動(dòng)員出手的高度, 單位為米（m）v:投籃出手速度, 單位為米/秒（m/s）g：重力加速度，單位為米/秒2，這里取g=9.8m/s2:投籃出手角度,單位為度()b:籃球入框時(shí)的入射角,單位為度()Dx：球入籃框時(shí)球心可以偏離（前后）的最大距離，單位為米（m）A()：入籃籃球空中運(yùn)行軌跡位于圖中兩曲線之間區(qū)域，單位為平方米（）L：限制

9、區(qū)底邊邊長(zhǎng)的一半，單位為米（m），這里L(fēng)=3.000mhiqu五、模型建立與求解對(duì)問(wèn)題一的模型求解：1.只考慮籃框的大小,忽略空氣阻力的影響如圖，設(shè)P1P2為籃框橫截面，籃框高為H0，半徑為R投籃出手點(diǎn)到籃框中心水平距離為s0，出手高度為h0投籃出手角度為，速度為v，入籃籃球空中運(yùn)行軌跡位于圖中兩曲線之間區(qū)域，其面積為A()建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及求解：顯然，投球入籃與否與距離s0、出手角度、出手速度v、籃框高、半徑等因素有關(guān)，為了綜合考慮這些因素，我們用入籃籃球的空中運(yùn)行區(qū)域的大小來(lái)刻畫(huà)投籃的命中程度。于是，該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)角度0(h0, s0)，能使運(yùn)行區(qū)域面積A()最大，即V P1 P2圖

10、1O h0 H0S0第一步：由運(yùn)動(dòng)學(xué)知弧、的方程為斜上拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程，方程式為：由于過(guò)點(diǎn)，則有：則的方程為同理，得方程為 另外，直線P1P2的方程為第二步，求運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積A()運(yùn)用定積分求面積，得第三步，求A()得極值點(diǎn)：由A()的表達(dá)式可以看出，當(dāng)tan越大（即越大，33.1 。此外，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，可以得出球心前后偏離框心的最大距離Dx滿足由已知籃框直徑D=0.450（米），得3.考慮出手角度和出手速度的最大偏差A(yù) B圖3D記出手角度和出手速度的允許的最大偏差的為Da和Dv，因?yàn)槌鍪纸嵌群统鍪炙俣鹊淖畲笃羁梢钥醋鳟?dāng)罰球點(diǎn)到籃框的水平方向距離L變?yōu)長(zhǎng)Dx引起的偏差，此時(shí)籃框的高度是不發(fā)生變

11、化的，于是式（2）可以用方程 （*）代替。在式（*）中假設(shè)出手速度v不變，a可以看作是x的函數(shù)，將式（*）對(duì)x求微分，并令x=L代入，有用Da和Dx代替da和dx,得到出手角度允許的最大偏差Da與Dx的關(guān)系類似地，將式（*）中的出手速度v只看成是x的函數(shù)，將式（*）對(duì)x求微分，并令x=L代入，有得到出手速度的允許的最大偏差D v與Dx的關(guān)系4. 考慮有空氣阻力影響的情況這里只考慮水平方向的阻力，不考慮垂直方向的阻力，因?yàn)橥痘@時(shí)對(duì)球運(yùn)動(dòng)的阻力主要體現(xiàn)在水平方向上。通常水平方向的阻力與速度成正比，如果設(shè)比例系數(shù)為k, 則籃球在水平方向上的運(yùn)動(dòng)可以由如下微分方程描述：這是常系數(shù)線性微分方程，用高等數(shù)

12、學(xué)中的特征方程法可以求出它的解于是得到如下球的運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程：注意到通常罰球時(shí)阻力并不大（阻力系數(shù)一般不超過(guò)0.05秒-1），而罰球后球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也很短（大約1秒左右），因此，我們可以把運(yùn)動(dòng)方程（16）中的e kt在t=0處做泰勒展開(kāi)并略去t的二次冪以上的項(xiàng)，就可以得到更為簡(jiǎn)潔的運(yùn)動(dòng)方程將此式與式（1）相比，可以看到阻力對(duì)x(t)的影響因子為(1-kt/2),因?yàn)閗=0.05,t1，因此有阻力對(duì)命中率的影響約為0.05/23%。此外，如果不考慮籃球和籃框的大小，就有球心命中框心的條件為5.計(jì)算結(jié)果與分析51 以出手點(diǎn)高=2.9m為例,籃球運(yùn)動(dòng)員投空心籃時(shí),利用公式(26),可以求得在不同的落球點(diǎn)

13、的相應(yīng)出手角度范圍如下：投空心籃時(shí)落球點(diǎn)與出手角度的情況統(tǒng)計(jì)表8256255254253252 以出手點(diǎn)高為=2.5m,運(yùn)動(dòng)員投空心籃時(shí),可以利用公式(26)在不同的落球點(diǎn)的相應(yīng)出手角度范圍如下:投空心籃時(shí)落球點(diǎn)與出手角度的情況統(tǒng)計(jì)表82562552542532因此，從表中可以看出，當(dāng)投籃的出手點(diǎn)高=2.5m，在罰線線投球的最佳出手角度是，這與現(xiàn)實(shí)中的投籃結(jié)果差異很小。對(duì)問(wèn)題二的求解：1針對(duì)在限制區(qū)邊線上距籃框中心90度（罰球線）位置上的投籃現(xiàn)在假設(shè)與籃球板背面的那邊也有一個(gè)“籃框”，這時(shí)根據(jù)假設(shè)，補(bǔ)出籃板背面的部分，籃球運(yùn)動(dòng)的曲線也構(gòu)成一條拋物線，這種情況考慮為這條拋物線也通過(guò)籃板后面的那個(gè)

14、籃框。但這時(shí)球員要正確估計(jì)球出手點(diǎn)到虛擬籃框圈心的水平距離，這時(shí)投籃的情況轉(zhuǎn)化為投空心籃的情況給予考慮，（原變?yōu)?0.750，計(jì)算機(jī)程序如附錄），如圖4： y圖4 xo2針對(duì)在限制區(qū)邊線上距籃框中心30度（罰球線）位置上的投籃同樣假設(shè)與籃球板背面的那邊也有一個(gè)“籃框”，這時(shí)根據(jù)假設(shè)，補(bǔ)出籃板背面的部分，籃球運(yùn)動(dòng)的曲線也構(gòu)成一條拋物線，這種情況考慮為這條拋物線也通過(guò)籃板后面的那個(gè)籃框。但這時(shí)球員要正確估計(jì)球出手點(diǎn)到虛擬籃框圈心的距離，這時(shí)投籃的情況轉(zhuǎn)化為投空心籃的情況給予考慮，（原變?yōu)椋﹫D5如圖所示，A為籃框中心正下面，B，C，D為限制區(qū)邊線，E為人所站的在限制區(qū)邊線上距籃框中心30度的位置。H

15、GFECDAB先求出AE的長(zhǎng)度，再進(jìn)而算出。在如圖所示中，有RtCHERtCGB，又BG=L-R，CG=，設(shè)AE=S，則EH=SCOS-R，求得又CH+AF=，即+=EAM解得 又在圖中，由余弦定理得，即從而可解得3針對(duì)在限制區(qū)邊線上距籃框中心45度（罰球線）位置上的投籃同樣假設(shè)與籃球板背面的那邊也有一個(gè)“籃框”，這時(shí)根據(jù)假設(shè)，補(bǔ)出籃板背面的部分，籃球運(yùn)動(dòng)的曲線也構(gòu)成一條拋物線，這種情況考慮為這條拋物線也通過(guò)籃板后面的那個(gè)籃框。但這時(shí)球員要正確估計(jì)球出手點(diǎn)到虛擬籃框圈心的距離，這時(shí)投籃的情況轉(zhuǎn)化為投空心籃的情況給予考慮，（原變?yōu)椋﹫D6如圖所示，A為籃框中心正下面，B，C，D為限制區(qū)邊線，N為人

16、所站的在限制區(qū)邊線上距籃框中心45度的位置。BGHNCDFA先求出AN的長(zhǎng)度，再進(jìn)而算出。在如圖所示中，有RtCHNRtCGB，又BG=L-R，CG=，設(shè)AN=k，則NH=kCOS-R，求得又CH+AF=，即+=NAM解得 又在圖中，由余弦定理得即從而可解得4結(jié)果分析當(dāng)出手高度為=2.5m投碰板籃,運(yùn)動(dòng)員投碰板籃時(shí),可以利用公式(26)在不同的落球點(diǎn)的相應(yīng)出手角度范圍如下:投碰板籃時(shí)落球點(diǎn)與出手角度范圍的情況統(tǒng)計(jì)表82562552542532六、模型評(píng)價(jià)與推廣本文所用的模型是建立在罰球投籃的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)具體投籃問(wèn)題中具體情況的詳細(xì)分析，給出了滿足不同情況下有效提高投籃命中率對(duì)出手角度和出手速

17、度的要求。本模型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言即數(shù)字、圖表以及公式符號(hào)等來(lái)表達(dá)出罰球投籃這一實(shí)際問(wèn)題，更科學(xué)具體地分析了投球過(guò)程中影響命中率的兩個(gè)條件對(duì)命中率的具體影響所在。此外，模型通過(guò)具體的公式計(jì)算得出適合投籃的最佳出手角度和速度范圍，使這三者之間的相互關(guān)系有了數(shù)據(jù)的支持和保障。同時(shí)，本模型最終結(jié)論和結(jié)果給了籃球運(yùn)動(dòng)員們合理訓(xùn)練的科學(xué)依據(jù)，也方便研究人員在此基礎(chǔ)上展開(kāi)對(duì)投籃運(yùn)動(dòng)的深入研究。此次建立的數(shù)學(xué)模型還可用于制定有針對(duì)性的訓(xùn)練計(jì)劃，包括專門(mén)針對(duì)不同身高的籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃訓(xùn)練計(jì)劃以及運(yùn)動(dòng)員不同距離下的投籃訓(xùn)練。在現(xiàn)實(shí)籃球運(yùn)動(dòng)中，還有很多情況可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有效分析,數(shù)學(xué)模型也表現(xiàn)出越來(lái)越廣泛的作用

18、。用數(shù)學(xué)方法研究體育運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明數(shù)學(xué)在體育訓(xùn)練中也在發(fā)揮著越來(lái)越明顯的作用，所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)也越來(lái)越深入。七、參考文獻(xiàn)郭鼎文，投籃的技巧M，北京：北京體育大學(xué)出版社，2003年投籃命中率，楊遠(yuǎn)波，第六屆中國(guó)大學(xué)生籃球聯(lián)賽男子強(qiáng)攻防能力研究J，成都體育學(xué)院學(xué)報(bào)，(1)：72-74，2006年 何惠民，對(duì)CUBA男籃得分能力的研究與分析J，杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，（10）：16-18，2003年 張新儀，寇振聲，籃球運(yùn)動(dòng)理論與方法M，山東：石油大學(xué)出版社，2001年程守洙，江之永，普通物理學(xué)M，北京：高等教育出版社，2001年翁荔，CUBA若干技術(shù)指標(biāo)與隊(duì)員比賽能力的分析和探究J，上海體育學(xué)院學(xué)報(bào)，(1)

19、：37-38，2003年八、附錄為了得到關(guān)于最小出手速度和出手角度的計(jì)算結(jié)果，取在出手高度h=1.82.1(m)下，由式（8）和（9）編程計(jì)算出最小出手速度和相應(yīng)的最小出手角度，程序?yàn)椋篐=3.05;l=4.60;Dov=9.8*(H-h+Sqrtl2+(H-h)2); a0=ArcTanv/9.8/l*180/Pi/N;v=Sqrtv;Printh=,h, vmin=,v, a0=,a0, h,1.8,2.1,0.1執(zhí)行的計(jì)算結(jié)果為h=1.8 vmin=7.67885 a0=52.6012h=1.9 vmin=7.59851 a0=52.0181h=2. vmin=7.51861 a0=51

20、.429h=2.1 vmin=7.43917 a0=50.8344這里出手角度a0的單位為度，出手高度h的單位為米，速度單位為米/秒。 這個(gè)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明最少出手速度和相應(yīng)的最小出手角度都是隨著出手高度的增加而有所減少，而出手速度一般不要小于8m/s。 為了得到出手速度和出手高度對(duì)出手角度的計(jì)算結(jié)果，取出手速度v=8.09.0(m/s)和出手高度h=1.82.1(m)下，由式（5）和（10）編程計(jì)算出手角度a1和a2及對(duì)應(yīng)的入射角度b1和b2，程序?yàn)椋篐=3.05;l=4.60;Dov2=v2;at=Sqrt1-2*9.8*(H-h+9.8*l2/(2v2)/v2; a1=v2*(1+at)/9

21、.8/l;a2=v2*(1-at)/9.8/l; b1=a1-2*(H-h)/l;b2=a2-2*(H-h)/l; a1=ArcTana1*180/Pi/N; a2=ArcTana2*180/Pi/N; b1=ArcTanb1*180/Pi/N; b2=ArcTanb2*180/Pi/N; Printv=,v, h=,h; Printa1=,a1, a2=,a2, b1=,b1, b2=,b2, v,8.0,9.0,0.5,h,1.8,2.1,0.1 執(zhí)行的計(jì)算結(jié)果為v=8. h=1.8a1=62.4099 a2=42.7925 b1=53.8763 b2=20.9213v=8. h=1.9a1=63.1174 a2=40.9188 b1=55.8206 b2=20.1431v=8. h=2.a1=63.7281 a2=39.13 b1=57.4941 b2=19.6478v=8. h