2015級碩士研究生凝聚態(tài)物理導論測驗考試題目及答案自己整理

1、 年“凝聚態(tài)物理導論”課程考試題目2015 月）級碩士研究生，2016年1（2015 字）30分，要求給出簡潔和準確的解答，字數(shù)不少于1000一、簡答題（合計 固體物理學的范式？1. ）固體比熱理論，涉及晶2（1）晶體學研究，涉及晶體的周期性結(jié)構（答：1 ）鐵磁性研究相關內(nèi)容。3）金屬導電的自由電子理論 （4格振動的研究（ 2. 凝聚態(tài)物理學的新范式？研究相互作用多粒子系統(tǒng)組成的凝聚答：凝聚態(tài)物理學是從微觀角度出發(fā)，經(jīng)態(tài)物質(zhì)的結(jié)構和動力學過程以及其與宏觀物理性質(zhì)之間關系的一門科學。為核心概念所建立的凝聚態(tài)物過長時間的發(fā)展，如進行成了以“對稱破缺”等4）臨界區(qū)域 （3）缺陷 （理學新范式，包括了

2、（1）基態(tài) （2）元激發(fā) 2 。四個不同的層次，而且這些層次之間又彼此相互關聯(lián) Hartree-Fock近似？3. 近似是一種對“原子核和周圍與其保持電中答：總的來看，Hartree-Fock它這一系統(tǒng)哈密頓量的一種簡化處理，以實現(xiàn)單電子近似。性的一組電子”這種簡化并“電子之間的相互作用勢”這一項的簡化與修正。主要涉及到對假設每個電子運動于其他Hartree的自洽場近似，非是一蹴而就的，首先是2）所決定的場里，引入電子之間的相互 所有電子構成的電荷分布（通過 作用勢：?22re1?ji?Vdrr? （1） ji?i4r?rij?0ji 量中的電子之間的相互作用勢。之所以稱為“自洽”Hamilt

3、on來代替原先 是因為最終的方程組可以通過自洽的方式求解。另外一方面，如果考慮電子的自旋，總波函數(shù)相對于互換一對電子應是每對平行自旋電反對稱的，最終求解出的電子系統(tǒng)的總能量還要增加一項： 子的交換能。21e? （2） rrr?r?drdEr j?iij?rr8?j?i0結(jié)合以上兩種處理就是Hartree-Fock近似。 4. 密度泛函理論？ 答：密度泛函理論的含義從其英文“Density functional theory”更能直觀的反映出來，它應用“電子密度泛函數(shù)”來處理多體問題。而泛函數(shù)通常指一種定義域為函數(shù)，而值域為實數(shù)的函數(shù)，換句話說，是一種函數(shù)組成的3。泛函數(shù)常用來尋找某個能量泛函的

4、最小系統(tǒng)向量空間到實數(shù)的一個映射狀態(tài)，這為密度泛函理論的應用提供了一個基礎。下面對密度泛函理論的理當我們把原子或者離一般在固體周期性結(jié)構中，論基礎做一些初步的解釋：奧本海默近似）的時候，那么靜態(tài)電子態(tài)的波動方子實看作是不動（波恩-? 將滿足下面的靜態(tài)薛定爾方程：程)(r,.,rN1?2?NNN?2?UHTV 3）（U?r,?V?r?r?E? jiiim2?ijii?i 方解決多體薛定諤的方法很多都非常復雜，其中最簡單的事 Hartree-Fock 更加復雜的法，但是這類方法的計算量都非常大，使得難以處理粒子更多，Hohenberg-Kohn表示）則提供了一種從系統(tǒng)。而密度泛函理論（以下DFT4

5、出發(fā)，通過自洽迭代求定理,即體系的基態(tài)唯一的決定于電子密度的分布利用電子密度可以使得原先獲得電子密度分布。解單電子多體薛定諤方程，這是因為電子密。的3N個空間變量直接減少到3（N為體系中電子的個數(shù)）中最主要的DFT度本身只具有三個參量，這顯然大大降低了計算的難度。在? 有：變量是粒子密度，對于一個歸一化的)n(r?33? （4）rn,rr?Nrdrd,rr,r,r,?N2N22N 通過一系列變換與計算，可以得出單粒子有效勢為：? 2?ren?3?s ）（5 rrnr?V?rV?dV?sXCs?r?r描述的是電子與電子之間的庫倫斥力作用，項，第二項叫做 Hartree其中， -關聯(lián)勢。最后一項是

6、交換 絕熱近似？5. 近似與密度泛函理論，絕熱近似Hartree-Fock答：相比于前兩個問題中的量由五項組是一種更加基礎的近似。我們知道，固體晶格陣列的Hamilton 成，具體形式如下：?2222?NeZ1?22?H? ip?m822MRR?ip?qpip0qp ?2211Zee?）（6? ?48rr?Rr?pi?ij,00?jiip 在固體物理學問題中在許多問題中，起作用的只是最外層電子，即價電子，應將這些電子的質(zhì)量其余的電子將和電子與原子核一起運動，構成離子實，值，其次由于離子實的質(zhì)量要遠比電子大得多，而相應的調(diào)整歸入MZp相應的，其特征速度要比電子速度慢得多，所以不妨將離子實視為靜止

7、的，5在這種近似下，上述的薛定“Born-Oppenheimer絕熱近似”這就是著名的諤方程的第一項（為0），第二項（為常數(shù)）都可以被略去，于是只剩下下面簡化得多的Hamilton 量： ?222?NZe1e1?2? 7）（?H? ?i?482mr?rRr?jiipi,?00i?jiip 6. 元激發(fā)？ 答：對于能量靠近基態(tài)的低激發(fā)態(tài)，可以認為是一些獨立基本激發(fā)單元的集合，它們具有確定的能量和波矢，這些基本激發(fā)單元就是元激發(fā)，有時也稱為準粒子。引進元激發(fā)的概念，可以使復雜的多體問題簡化為接近于理想氣體的準粒子系統(tǒng)，從而使固體理論的大部分問題得以用簡單統(tǒng)一的觀點和方法加以闡述。 二、論述題（合計

8、70分，要求給予充分的論述，字數(shù)不少于6000字） 1. 相變和臨界現(xiàn)象 答：（一）相變： 相是物理性質(zhì)和化學性質(zhì)完全相同且均勻的部分。具有特點：（1）相6與相之間有分界面，可以用機械方法將他們分開。（2）系統(tǒng)中存在的相可以是穩(wěn)定、亞穩(wěn)或不穩(wěn)定的（當某相的自由能最低時，該相處于平衡態(tài)；若自由能不是最低，但是與最低自由能態(tài)之間有能壘相分隔，則該相處于亞穩(wěn)態(tài)；若不存在這種能壘，則該系統(tǒng)處于非穩(wěn)定態(tài)，這種狀態(tài)是不穩(wěn)定的，一定會向平衡態(tài)或者亞穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變）。（3）系統(tǒng)在某一熱力學的條件下，只有當能量具有最小值的相才是最穩(wěn)定的。（4）系統(tǒng)的熱力學條件改變時，7。 自由能會發(fā)生變化，相的結(jié)構也相應發(fā)生變化 隨

9、著自由能的變化而發(fā)生的相的結(jié)構的變化稱為相變，它指在外界條件發(fā)生變化的過程中，系統(tǒng)的相于某一特定條件下發(fā)生突變。 相變的表現(xiàn)為：（1）從一種結(jié)構變?yōu)榱硪环N結(jié)構。（2）化學成分的不連續(xù)變化 。（3）某些物理性質(zhì)的突變。 相變的分類: 我們從熱力學角度（從其他角度也可進行分類），根據(jù)相變前后熱力學函數(shù)的變化，可將相變分為一級相變、二級相變和高級相變 其中，一級相變指在臨界溫度、壓力時，兩相化學位相等，但化學位的一階偏導數(shù)不相等的相變，這里兩相共存的條件是化學位相等。二級相變指的是在臨界溫度、臨界壓力時，兩相化學勢相等，其化學位的一階偏導數(shù)相等，而二階偏導數(shù)不相等的相變。在臨界溫度、臨界壓力時，一階

10、，二階偏導數(shù)相等，而三階偏導數(shù)不相等的相變稱為三級相變，以此類推，對于二級以上的相變?nèi)藗兎Q為高級相變。波色-愛因斯坦凝聚就是一種三級相變。 （二）臨界現(xiàn)象 一般的人們把一級相變的終點稱為臨界點，與臨界點有關的現(xiàn)象統(tǒng)稱為臨界現(xiàn)象，也稱作連續(xù)相變。除此之外另一種表述是，連續(xù)相變的相變點稱為臨界點，而臨界現(xiàn)象則是物質(zhì)系統(tǒng)連續(xù)相變臨界點鄰域的行為。大部分的臨界現(xiàn)象產(chǎn)生于臨界點關聯(lián)長度的發(fā)散性，漲落相關長度過大，除此之外還8有動力降低。臨界現(xiàn)象包括不同量之間的標度關系，由臨界指數(shù)描述的標度律的發(fā)散，普適性，分形行為，遍歷破缺等。臨界現(xiàn)象一般發(fā)生在二級相變中，不過也不全是如此。 2. 有序相、無序相、序參

11、量 答：（一）有序相和無序相： 某些置換固溶體（固相溶劑中部分質(zhì)點被溶質(zhì)質(zhì)點取代而成的固態(tài)溶液9），當溫度較低時，不同種類的原子在點陣位置上呈規(guī)則的周期型排列，10；而在某一溫度以上，這種規(guī)律性就完全不存在了，稱為無序相。 稱有序相 對于體積恒定的系統(tǒng)，平衡態(tài)要求自由能： FF?E?TS（8 ） S為系統(tǒng)的熵），在高溫時的極小值與系統(tǒng)取極小值（為熱力學溫度，F(xiàn)T最大熵值有關，因而趨向于無序態(tài)；而在低溫下，中內(nèi)能占優(yōu)勢，平衡態(tài)F11。系統(tǒng)處于有序態(tài)而有序和無序的轉(zhuǎn)變溫度決定于上由內(nèi)能極小值決定，式中兩相的相對重要性。 晶體由有序相轉(zhuǎn)變?yōu)闊o序相稱為有序-無序相變。有序化轉(zhuǎn)變包括：位置有序化，位向有

12、序化，電子旋轉(zhuǎn)態(tài)的有序化和結(jié)構中缺陷引起的有序化。 （二）序參量 Landau 在描述二級相變理論的過程中引入了一個熱力學平衡條件決定8來描述有序-無序相變。序參order parameter）的宏觀變量序參量（量描述了與物質(zhì)有關的有序化程度和伴隨的對稱性質(zhì)，在相變點，序參量從零（無序）連續(xù)地變?yōu)榉橇阒担ㄓ行颍?。序參量的?shù)值大小表示這個相的有序程度，數(shù)值越大，有序度越高，對稱性越差，反之則有序性越低，對稱性越高。對于二級相變，溫度大于臨界溫度時，也就是說在高對稱相中，序參量一般是選為零的，無所謂空間取向；當溫度小于臨界溫度時，也就是在低對稱相中，序參量不為零，它的可能的取向由相變過程中體系丟失

13、的對稱性決定。所以，序參量反映的是低對稱相的對稱性。 自由能可以用序參量的冪級數(shù)展開，根據(jù)自由能極小和相變的穩(wěn)定性條2： 件要求，奇次冪系數(shù)為零，且四次方項系數(shù)大于零?42?（9） ?TTBF?,T?FT?A 0因為在高溫時，系統(tǒng)處于無序相，所以也是正的，隨著溫度下降，A(T)A(T)TA(T)?0。通過一些計算，可以得處，有應改變符號；而在某個臨界溫度cc?的關系如圖1和序參量所示： 到自由能F ? 和序參量圖1. 自由能的關系示意圖F當有序固溶體升溫時，它向無序狀態(tài)的改變，并不都是在臨界溫度下完成的，在接近臨界溫度時，有序相逐漸降低，離臨界溫度愈近轉(zhuǎn)變愈快，到臨界點，長程有序度完全消失；但

14、是也有一些情況是，在臨界溫度以下，有后者則基本是前者對應二階相變，而在臨界溫度驟降為零，序度下降不多，12快速降溫會引起。一階相變另一方面有序化過程是通過原子擴散實現(xiàn)的，這種滯后的程度和合金的種類之后，甚至不能達到該溫度下的平衡有序度，13 有關。有序度又分為長程有序度和短程有序度，這里不作詳述。 臨界指數(shù)和標度規(guī)律。3. 答：（一）臨界指數(shù)用冪指數(shù)來描述一些熱力學量在臨界點鄰域內(nèi)的特性，其冪（負冪次）14。人們實驗發(fā)現(xiàn)，在臨界點附近物）稱為臨界指數(shù)（Critical exponent ?TT?稱為臨界指數(shù)。之間的關系均可以寫成，質(zhì)特性的物理量與溫度Tc）概念這些指數(shù)與平均場理論不符，之后卡達

15、諾夫指出標度律（Power Law 的重要性，在臨界點附近粒子之間的關聯(lián)、漲落起重要作用。盡管沒得到完全證明，人們認為臨界指數(shù)具有普適性，它不依賴于物理of dimension 1）系統(tǒng)的尺寸（the 系統(tǒng)的細節(jié)，而和下面幾個條件有關：（）；interactionrange of the the system）；（2）相互作用的范圍（the ）。the spin dimension（3）自旋維度（這些臨界指數(shù)的性質(zhì)得到了實驗數(shù)據(jù)支持，并且在高維數(shù)（維數(shù)大于等系統(tǒng)，（一維或二維）系統(tǒng)中，可以用平均場理論解釋。而對于低維度于四）就不再適應了，這時，需要借助重整化Mean field theory平

16、均場理論（）才能合理的說明。相變和臨界指theoryRenormalization group 群理論（: 數(shù)同樣可以出現(xiàn)在滲流系統(tǒng)以及隨機圖等中。下面將給出一個數(shù)學解釋，人們想從標度規(guī)律的角相變發(fā)生在一個特定的溫度，稱為臨界溫度 Tc）的變化行為。Specific free energy度研究臨界溫度附近的比自由能（f?TT?c）TemperatureReduced 可以看出因此我們引入了約化溫度（?: Tc?0? ：時，發(fā)生相變，定義臨界指數(shù)當?flogdef（10） lim?k?log?0? ?k?0?f0?f?,的漸時， 而我們要尋找，值得注意的是，當 進行為。 更加普遍地，我們可以得

17、到：?kk?1f?b?A? （11）1（二）標度規(guī)律 15在統(tǒng)計學中，標度規(guī)律（Power law）描述了兩個量之間的函數(shù)關系，具體地說就是一個量的某個相關改變導致另一個量的成比例變化，這種關聯(lián)與這些量的原始尺寸無關，只是一個量按另一個量變化的規(guī)律來變化。舉一個簡單的例子：當一個正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼膬杀稌r，面積將變?yōu)樵鹊乃谋丁?標度規(guī)律具有以下幾條重要的性質(zhì)，這為我們研究物質(zhì)及物質(zhì)的變化規(guī)律提供了非常簡便的方法： ?kaxx?f，（1Scale invariance）標度不變性（）：我們考慮一個關系cx，這對于上述關系本身，只會起到比例縮乘以參數(shù)如果我們用一個常數(shù)?k?k? 放的作用，因為

18、：xcxc?xcxf?af?fa?2?a時，只有當mean（2）缺乏定義很好的平均值（）： 一個標度規(guī)律x?,x?13a?時才可能有有限而且，在只有當上才能有定義很好的平均值，大多數(shù)的在自然界中確定的標度律都有一個平均值可的方差（variance），以很好定義但方差不能很好定義的指數(shù)，這意味著它們滿足“黑天鵝行為16”。這導致了我們在研究標度行為時，基于方）（black swan behavior 差和標準差的傳統(tǒng)統(tǒng)計學將不再適應。）：具有著特定指數(shù)的標度律等式在動力學過（3）普適性（Universality熱力學系統(tǒng)中的程中有深層次的形成原因，這些原因?qū)е铝藰硕嚷傻漠a(chǎn)生。這里面的指數(shù)就是相變

19、過程就是與一些特定量的標度規(guī)律分布的產(chǎn)生有關，幾乎所有的金屬相變都是用很小的一組通用類來描述的，事實上，臨界指數(shù)。）。這種相通的動力學性質(zhì)的attractor在這里，系統(tǒng)的臨界點是吸引子（人們將它們歸入對于具有完全相同的臨界點的系統(tǒng)，正式的稱呼為普適性， ）。同一個普適類（Universality Class 相變理論 平均場理論和Landau4. ）答：（一）平均場理論（Mean field theory17，同時也被稱為自洽場理論）在物理和概率論中，平均場理論（MFT平均場是通過研究一個簡單得多的模型來處理大而復雜的隨機模型的理論。而把其他單元對于這理論考慮的是大量的相互之間有相互作用的小

20、的單元，因此這樣有效地將多體問題簡化些單元的作用通過一個平均場來近似處理，事實上個體之間存在相互作用的多體問題一般情況下很難精確為單體問題。 求解，除了一些極為簡單的模型（如隨機場模型和一維Ising模型）。借助選擇一個合適的外場，用一個單體問題來取代這種歸納起來，MFT多體問題，這種外場的作用取代了所有其他的粒子與任何粒子的相互作用。量中最難處理的問題就是由Hamiltonian當我們把所有狀態(tài)歸結(jié)在一起時，將所有這些相互作用簡化為一MFT中，各個量相互作用表示的組合問題，在在）。 個平均的或有效的作用，有時人們稱之為分子場（molecular field就可以看MFTHamiltonian

21、場論中，可以用平均場周圍的波動振幅展開，而中沒有波動，但是這卻和“平均場”的意義MFT成是零級展開，這也意味著為研究一階，二階波動方程提供了一個很好MFT相符合。在波動的形式中， 的起點。維度在決定一種平均場近似是否適合某種情況時起到重要一般情況下，如果原先系統(tǒng)中的場或者粒子表現(xiàn)了非常多這里面有一條規(guī)律就是，作用，這在處理高緯度這時MFT能夠較精確的描述這個真實的系統(tǒng)。的相互作用， 系統(tǒng)或者有長程力的系統(tǒng)時，都很適應。 描述一個波動時適合程度的標準，就是描述用MFTGinzburg criterion 它依據(jù)的就是所處理系統(tǒng)的粒子維度。下面給出平均場理論的數(shù)學描述：對平均場理論的正式描述是基于

22、是為：HamiltonianBogoliubov inequality的，一個系統(tǒng)的自由能的H?H?H ，存在上界：0def?TS?F?FH ）12（ 000是熵，平均值取自Hamiltonian為的輔助系統(tǒng)的平衡系綜。這里所選HS00取的輔助系統(tǒng)是無相互作用的，因此 N?（13） hH?i0i 1i?是統(tǒng)計系統(tǒng)（原子，自旋等）中一個單獨部分的自由度的簡寫，我這里i們可以通過最小化不等式右邊項來銳化上限。用無關聯(lián)自由度（non-correlated degrees of freedom）的最小參考系統(tǒng)（minimizing reference system）能最接近真實系統(tǒng)，這被稱為平均場近似

23、。 對于最一般的情況，目標Hamiltonian只含有兩兩的相互作用 ? 14） （,?VHijij?i,j?P?fTr為可觀測量這里是相互作用對，定義在所有單個組成部分的自fPii由度的和（對于離散變量取和，連續(xù)變量則求積分）?？梢缘玫剑咏淖杂赡転椋??N?,.,HF?Tr,.,P, N21,.,N0N21102?NN?logPkTTrP,.,., （15）11,22,.,NN012N0?N?是找到特定參考系統(tǒng)的概率，它通過這里Boltzmann ,.P,N021factor來歸一化： NN11def?h,?,.,H?iN?P?,.,Pe?e, ）16 （i20Ni1? i2N010NZ

24、Z11?ii?00Z里為配分函數(shù)，那么 這0N?jii?PlogkT,TrPPTrF?（17） ij0i00iji,ij0? ?jPii?1,?i取導數(shù)，使用為了實現(xiàn)最小化，我們對單個組成部分的自由度概率P0拉格朗日乘子來確保歸一化，最終的結(jié)果是一個自洽的等式： 1?MF?h?i? ） （18e?PN,.,1i?,2ii i0Z0平均場為： ?jMF?PhV,?Tr （19） ji,jiji0ij? ji,j?P（二）Landau相變理論（Landau theory） 18的提出是為了闡述一般連續(xù)相變（或二階相變）過相變理論Landau 程。 ）是解析的1提出任何系統(tǒng)的自由能必需滿足以下兩個條

25、件：（Landau ）（symmetry of Hamiltoniananalytic） （2）滿足Hamiltonian 的對稱性（根據(jù)這兩個條件，就可以寫出自由能在序參量下的泰勒展開形式。下面 模型為例做一個簡單說明：以Ising 模型中，相變點附近的自由能可以寫為以下的形式：在Ising 42 （20）?sHaF?r?），我們是自旋的粗粒子場（這里coarse-grained field of spins為了使熱力學系一般可以省略4次冪以后的高階項而不失相變的物理性質(zhì)。0s?，因統(tǒng)穩(wěn)定，具有最高冪的序參量的系數(shù)必須大于零，在這種情況下T可以發(fā)現(xiàn)自由能的序參在相變發(fā)生的臨界溫度，此我們發(fā)現(xiàn)

26、自由能受限。c表示成溫0變?yōu)榉橇懔?，當參量的符號改變時，我們可以用把參量量從rr?arr?rTT?也度的函數(shù) 是一個與時間無關的常數(shù)，同時常數(shù) ，其中0c0 可以被省略。s值的情況下，臨和Landau相變理論的應用十分廣泛，在不知道參量rIsing界指數(shù)仍能被簡單計算出，它只依賴于對稱性和解析性的假設，在 模型中，序參量為：?TT?r?c0? （21）s2 ）的情況，對以上考慮的是無長程關聯(lián)（no long-range correlation 我們還用上）的情況,于包含長程關聯(lián)（including long-range correction Ising 模型來做說明：述?那么系統(tǒng)的自由能就會被

27、修和外加磁場假設序參量存在空間變化，H 正為：?24D2? ?x?x?:F?sdxaTf?rTTTx?46? 22） （?xhx?; 這里面是總的空間變化維度，最終可以得到：D?H?exTr?:?x （23） Z5. 普適類（Universality class） 19是一類數(shù)學模型的集合，普適類該集合中各個模型答：在統(tǒng)計物理學中，滿足在重整化群流的過程中具有共同的標度不變性極限，在有限的標度下，類中的一些模型可能會有很大的區(qū)別，然而當越來越接近極限標度時，它們的變化行為逐漸趨于一致。值得特別注意的是，這些漸進行為，例如同一個臨界指數(shù),對于同一類中的所有模型都是適應的。由于關聯(lián)長度趨于無窮，2

28、0。臨界點附近不同體系的共性掩蓋了個性的差異 六十年代后期，在總結(jié)實驗事實的基礎上，人們提出了關于普適性的假設：各種物理系統(tǒng)按若干特征分為不同的普適類,同一體系具有相同的臨界dn，內(nèi)部自由度數(shù)目指數(shù)和臨界行為。區(qū)分普適類的主要特征是空間維數(shù)d起到主要作用，二維和力程的長短。人們還發(fā)現(xiàn)，對于三維以上的維度，n更加重要。臨界行為與晶體的對稱、相互作用的性質(zhì)等因素都沒有以下，關系。在這樣的論述下，可以看出平均場理論是過分普適的理論，因為它的nd及力程的長短均無關，甚至不存在相變的情況下也預言了相，結(jié)果與數(shù)同的結(jié)果，這是和實驗不相符的。而在實驗上，人們能很好的區(qū)分不同的普?1nMnF?為為例，對于0.

29、335適類。以臨界指數(shù)，對于液氦超流相變2?212?n3n?CrBr。 ，對于為0.368為0.3543分形維數(shù)和空間維數(shù)是已經(jīng)提出來的影響臨界指數(shù)的重要參量，換句話說，我們能問一個系統(tǒng)是否有Hamiltonian 量 ?2?z （24） S?D?J?SSH?iij iji,模型具有相同的臨界指數(shù)。Heisenberg空間維度為3的這個系統(tǒng)和同性?1n?的Ising模型有相同的臨界行為。這表明這個模型和Jasnow 和 Wortis 證明了空間維數(shù)是一個很重要的參數(shù)，他們研究了經(jīng)典轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的Hamiltonian ?zz? （25） SS?H?J?SS?jiiji,j?n?31n?，當任意，當

30、中，當在基態(tài)Hamiltonian時，時，0?0?22。基態(tài) 時變成了Ising6. 標度不變性（Scale invariance） 23指，當物體或者某種規(guī)律適應的尺寸，能量或者其他的一答：標度不變性些參量以變化為之前的常數(shù)倍時，其本身呈現(xiàn)出某種不變性（一種簡單示意的數(shù)學形式在問題3中已經(jīng)給出,這里不再描述）下面動態(tài)圖所呈現(xiàn)Wiener process 就是一種標度不變現(xiàn)象。 2 Wiener process 圖）這個術語來描述這些變化，而擴張可以形成更我們常用擴張（dilatation ）。大的共形對稱性（conformal symmetry在數(shù)學中，標度不變性常常指單個公式或者曲線線形的

31、不變性，一個非），滿足自相似性的公式或者常相關的概念是自相似性（Self-similarityprobability 對于概率分布（曲線線形在離散子集擴張的條件下保持不變性。）都有可能存在某種標度random processdistributions）或者隨機過程（ 不變性或者自相似性。標度不變性應用最廣泛的是擴張下的整體理論的不變性。在經(jīng)典場論中， 這種理論往往描述了不考慮特征長度尺度下的經(jīng)典物理過程。在量子場論中，標度不變性有基于粒子物理的理論解釋。在量子標度不 變性理論中，粒子相互作用力不依賴于參與其中的粒子。在統(tǒng)計力學中，標度不變性是相變的一個重要特點。其中，最主要的發(fā)現(xiàn)是，在臨近相變

32、或者說是在臨界點附近，在所有的標度上都會發(fā)生漲落，所以人們需要需找一個嚴格的標度不變理論來描述這種現(xiàn)象。這種理論就是標度不變性統(tǒng)計場理論（Scale-invariant statistical field theory）。是事實上，這和標度不變量子場論很相似。 普適性的發(fā)現(xiàn)告訴我們一些很不相同的微觀系統(tǒng)在一個相變過程中有著一樣的行為。因此，在許多不同系統(tǒng)中的相變過程可以在一個共同的更加根本的標度不變性理論下進行描述。 一般情況下，無量綱量（dimensionless quantities）都是換標不變量（scale invariant）。統(tǒng)計物理中相似的概念有標準化力矩（standardize

33、d moments），它們是變量統(tǒng)計下的換標不變量，而非標準化力矩則不屬于其中。除此之外，標度不變性還有其他很多應用，如：不施加外力條件下的牛頓流體力學，計算機視覺技術（Computer vision）等. 7. 重整化群理論（Renormalization group ） 24是一種數(shù)學工具，它允許在不同RG）答：在理論物理中，重整化群理論（的距離標度下研究物理系統(tǒng)的變化（allows systematic investigation of the changes of physical system as viewed at different distance scales）。在粒子物理

34、中，它反映了基本力學規(guī)律（在量子場論中明確了該定義）的變化：處于物理過程發(fā)生變化的能量標度時，能量/動量以及分辨距離標度在測不準原理下的有效共軛。 標度上的一個變化叫做“標度轉(zhuǎn)換（scale transformation）”。重整化群理論與標度不變性，共形不變性以及自相似性有著緊密的關聯(lián)（我們要知道標度轉(zhuǎn)換事實上屬于共形轉(zhuǎn)換）。當標度變化時，就像是改變了觀察系統(tǒng)的顯微鏡放大倍率。在所謂的重整化群理論中，在一個標度下的系統(tǒng)一般可以看成是由一個更小的標度下看到的自相似的副本組成，同時在描述各個組成部分時，需要不同的參量。這些組成部分，或者是基本的一些變量可能會與原子，基本粒子，原子自旋有關聯(lián)。它們

35、可能是可變的耦合量，用來測試各種各樣力的大小或者質(zhì)量參數(shù)本身。當一個組成部分去了更近的距離時，這些組成部分可能更多地由相同的組成部分構成（The component themselves may appear to be composed of more of the self-same components when one goes to shorter distance）。這里舉一個例子，在量子電動力學中（quantum electrodynamics），一個電子可以由電子群，正電子和光子組成，當我們在非常短的距離,以一個更高的分辨率去觀察它的時候，在如此短距離下的電子與在遠距離觀察下的

36、“裹電子（dressed electron）”相比，電量有一些不同，這種在電量上的變化可以由重整化群25給出。下面給出一種重整化 Renormalization group equation）等式（群等式的具體形式。 Wilson 具體重整化群公式從概念上講是最簡單的一種重整化群公式，但遺憾的是，它幾乎無法應用到實際問題中去。在芯旋轉(zhuǎn)（wick rotation）到歐幾里得空間中后，再用傅里葉變化變換到動量空間，由動量的臨界值知22?p?，因此只存在小于的自由度，因此配分函數(shù)為： ? ? 26 ） （SZ?Dexp?22?p?22?S?0?（一個在傅里葉變換滿足，的定義對于任意滿足的?p?的配

37、置域上）為： def? ）（27 SD?exp?Sexp?p 得到配分函數(shù)：那么，我們就可以? （28）SDexpZ?22?p 8. 列出物理學中三種典型的相變和臨界過程First-order phase 答：三種典型的相變和臨界過程分別為：一級相變（），無限Second-order phase transitiontransformation），二級相變（8 相變（infinite-order phase transition）的問題，在一級相變heat1）一級相變：一級相變涉及到潛熱（latent （過程中，系統(tǒng)單位體積吸收或放出固定量（一般是比較大）的能量。而且在系統(tǒng)處于一個混合的狀在相變點，吸熱的的同時，系統(tǒng)溫度是保持不變的，但還有一些相沒有完成其中有些部分已經(jīng)完成相變變?yōu)榱似渌?，態(tài)之中，在氣液轉(zhuǎn)化以及液固轉(zhuǎn)化的水的三相變化就屬于一級相變，相變過程。液，下表列出來氣，過程中，相變點水的相分別為氣液混合太和固液混合態(tài)。固（以及等離子體）之間的相變過程）： 固體 液體 氣體 等離子體 固體 固態(tài)相變 熔化 升華 液體 凝固 汽化 氣體 凝華 液化 電離等離子重 表1 相變 相變條件下圖所示： 3 Phase transition 圖（2）二級相變：二級相變也稱連續(xù)相變（continuous ph