誤差的基本性質(zhì)與處理原理

1、第2章 誤差的基本性質(zhì)與處理 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小 各類誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施 掌握等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法 掌握不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法 重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn) 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 2.1 隨機(jī)誤差 一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因 二、隨機(jī)誤差的分布及其特性 三、算術(shù)平均值 四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 六、測(cè)量的極限誤差 七、不等精度測(cè)量 八、隨機(jī)誤差的其他分布 九、減小隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑 2.2 系統(tǒng)誤差 一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義 二、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 三、系統(tǒng)誤差的分類和特征 四、系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響 五、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 六、

2、系統(tǒng)誤差的消除 2.3 粗大誤差 一、粗大誤差產(chǎn)生的原因 二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則 三、防止與消除粗大誤差的方法 2.4 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例 一、等精度測(cè)量數(shù)據(jù)處理 二、不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)處理 2.5 三類誤差性質(zhì)與特征小結(jié) 第二章誤差的基本性質(zhì)與處理 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量時(shí)，得到一系列 不同的測(cè)量值（常稱為測(cè)量列），每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些 誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測(cè)下 一個(gè)數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng) 計(jì)規(guī)律。 隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu) 成，主要有以下幾方面： 測(cè)量裝

3、置方面的因素 環(huán)境方面的因素 人為方面的因素 零部件變形及其不穩(wěn)定 性，信號(hào)處理電路的隨 機(jī)噪聲等。 溫度、濕度、氣壓的變 化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng) 變化等。 瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人 為操作不當(dāng)?shù)取?第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨 機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的 特性。 設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī) 誤差可表示為： (2-1) 式中。 正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為 (2-2) (2-3) 式中：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差） e自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182。 它的數(shù)學(xué)期望為 (2-4

4、) 它的方差為： (2-5) o L i l i oii Ll ni,2,1 )2/( 22 2 1 )( ef )(f)(F deF )2( 22 2 1 )( 0)(dfE df)( 22 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 其平均誤差為： (2-6) 此外由可解得或然誤差為 ： (2-7) 由式（2-2）可以推導(dǎo)出： 有 , 可推知分布具有對(duì)稱性，即絕對(duì)值相 等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性； 當(dāng)=0時(shí)有 ，即 ，可推知單峰性，即絕對(duì)值 小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性； 雖然函數(shù)的存在區(qū)間是-,+，但實(shí)際上，隨機(jī)誤差只 是出現(xiàn)在一個(gè)有限

5、的區(qū)間內(nèi)，即-k,+k,稱為誤差的有界性； 隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零： 這稱為誤差的補(bǔ)償性。 5 4 )(|df 2 1 )(df 3 2 6745.0 0)(f)()(ff )0()( max ff 返回本章目錄 )0()(ff )(f 0lim 1 n n i i n 從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有 的四個(gè)特征：對(duì)稱性、單峰性、 有界性、抵償性。由于多數(shù)隨 機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此 正態(tài)分布在誤差理論中占有十 分重要的地位。 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。 值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，值為曲線右半部面積重心B

6、的橫 坐標(biāo)，值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因 此其獲得的測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后 的測(cè)量結(jié)果。 (一)算術(shù)平均值的意義 設(shè) 為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為: n i i n l nn lll x 1 21 1 n lll, 21 第一節(jié)隨機(jī)誤差 三、算術(shù)平均值三、算術(shù)平均值 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 下面來證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。 即 由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知 ，因此 由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測(cè)量， 就可得到

7、不受隨機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小，可以忽略。這 就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值） 被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測(cè)量， 因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測(cè)量的真值。 oii Ll onn nLlll)( 2121 n i oi n i i nLl 11 nn l L n i i n i i o 11 0lim 1 n n i i n 0 1 L n l x n i i 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨 機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的

8、隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡(jiǎn)稱殘差： (2-9) 此時(shí)可用更簡(jiǎn)便算法來求算術(shù)平均值 。任選一個(gè)接近所有測(cè)得 值的數(shù) 作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值 與 的差值： (2-10) 式中的 為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù) 平均值比較簡(jiǎn)單。 xl ii 0 l nilll oii ,2, 1 0 l i l 0 0 1 0 111 )( xl n l l n nll n ll n l x n i i n i oi n i io n i i 0 x 若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì) 知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體 期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即 滿足無偏性、有效性、一致性， 并滿足最小二乘法原理；在正 態(tài)

9、分布條件下滿足最大似然原 理。 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 例例 2-12-1 測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。 解：任選參考值 =1879.65， 計(jì)算差值 和 列于表 很容易求得算術(shù)平均值 1879.64 。 （二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核 算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差 代數(shù)和來校核。 由 ，式中的是根據(jù)（2-8）計(jì)算的， 當(dāng)求得的為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有： (2-11) 殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘 余誤差計(jì)算的正確性。但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在 0 l i l 0 x x xli i

10、n i n i ii xnlv 11 x x n i i v 1 0 i l 64.1879 01. 065.1879 x 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1879.64 1879.69 1879.60 1879.69 1879.57 1879.62 1879.64 1879.65 1879.64 1879.65 -0.01 +0.04 -0.05 +0.04 -0.07 -0.03 -0.01 0 -0.01 0 0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01 01. 0 1 n i i v 01.0 10 10 1 0 i i

11、 l x i l i v 12表 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 舍入誤差，即有： 成立。而 經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則 為： 殘差代數(shù)和應(yīng)符合： 當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為零； 當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為正，其大小 為求時(shí)的余數(shù)； 當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為負(fù)，其大小 為求時(shí)的虧數(shù)。 殘差代數(shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。 式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。 以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大 多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測(cè)得值之和。 n l x n

12、 i i 1 n i n i n i i ii n n l nlv 11 1 )( n i i xnl 1 n i i v 1 x n i i xnl 1 x n i i v 1 x n i i xnl 1 x n i i v 1 x A n v n i i 2 1 A n v n i i )5.0 2 ( 1 x 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 例例2-2 2-2 用例2-1數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 解：因n為偶數(shù)， A0.01，由表2-1知 故計(jì)算結(jié)果正確。 例例2-32-3 測(cè)量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并 進(jìn)行校核。 解：算術(shù)平均值為： 取2000.0

13、67 , 5 2 10 2 n 05.0 2 01.0 10 1 A n v i i x mmmm l x i i 0673.2000 11 74.22000 11 11 1 x i li v序號(hào) (mm) (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2000.07 2000.05 2000.09 2000.06 2000.08 2000.07 2000.06 2000.05 2000.08 2000.06 2000.07 +0.003 -0.017 +0.023 -0.007 +0.013 +0.003 -0.007 -0.017 +0.013 -0.007 +0.003 74

14、.22000 11 1 i i l 003.0 11 1 i i v 22表 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 用第一種規(guī)則校核，則有： 用第二種規(guī)則校核，則有： 故用兩種規(guī)則校核皆說明計(jì)算結(jié)果正確。 mmmmxnmml i i 737.22000067.20001174.22000 11 1 mmmmmmxlv i i i i 003. 0737.2200074.2200011 11 1 11 1 mmA n mmv mmA n i i 005. 05 . 0 2 003. 0 001. 0, 55 . 0 2 11 5 . 0 2 11 1 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理

15、 )(f 2 exp )2( 1 )( 2 2 f 2 1 h exp 1 )( 22 hf 第一節(jié)隨機(jī)誤差 四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 由于值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此值可作為 隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。值愈大，函數(shù) 減小得越慢；值愈小， 減小得愈快，即測(cè)量到的精密度愈高，如圖2-2所示。 標(biāo)準(zhǔn)差不是測(cè)量到中任何一個(gè)具體測(cè)量值的隨機(jī)誤差，的大 小只說明，在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在 該條件下，任一單次測(cè)得值的隨機(jī)誤差，一般都不等于，但卻認(rèn) 為這一系列測(cè)量列中所有測(cè)得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率分布。 在不同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行兩

16、個(gè)系列的等精度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)差 也不相同。 )(f )(f 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 （二）或然誤差 測(cè)量列的或然誤差，它將整個(gè)測(cè)量列的n個(gè)隨機(jī)誤差分為個(gè)數(shù)相等的 兩半。其中一半（n/2個(gè)）隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍內(nèi)，而另一半 隨機(jī)誤差的數(shù)值落在- +范圍以外： ， 查 表，得到 時(shí)，z=0.6745，故有 其實(shí)際意義是：若有n個(gè)隨機(jī)誤差，則有n/2個(gè)落在區(qū)間-,+之內(nèi)， 而另外n/2個(gè)隨機(jī)誤差則落在此區(qū)間之外。 （三）算術(shù)平均誤差 測(cè)量列算術(shù)平均誤差的定義是：該測(cè)量列全部隨機(jī)誤差絕對(duì)值的算 術(shù)平均值，用下式表示： 由概率積分可以得到與的關(guān)系： 目前世界各國(guó)大多趨于采用作為評(píng)

17、定隨機(jī)誤差的尺度。這是因?yàn)椋?的平方恰好是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一（方差），本身又 5.0)()( fzf )(zf5 . 0)(zf 3 2 6745.0 z )(| 1 1 n n n i i 5 4 7979.0 2 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 恰好是高斯誤差方程 式中的一個(gè)參數(shù)，即 ，所以采用，正好符 合概率論原理，又與最小二乘法最切合； 對(duì)大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說明測(cè)量列的精度； 極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡(jiǎn)單： ； 公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法 （一）等精度測(cè)量到單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算 1 1、見塞爾、見塞爾(Be

18、ssel)(Bessel)公式公式 (2-13) 式中， 稱為算術(shù)平均值誤差將它和 代入上式，則有 (2-14) )(f s 3 im 0 Lli i 0 022 011 Lxxl Lxxl Lxxl nn x Lx)( 0 xlv ii x nn x x v v v 22 11 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 將上式對(duì)應(yīng)相加得 ： ，即 (2-15) 若將式(2-14)平方后再相加得： (2-16) 將式(2-15)平方有： 當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為 趨近于零，并將代入式(2-16)得： (2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即 (2-18) x n i i n i i

19、nv 11 nn v n n i i n i i n i i x 111 n i x i n i i xx n i i n i i nvvnv 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 12 2 nnn n ji ji n i i n i i x n i ji 1 n v n i i n i i n i i 1 2 1 2 1 2 2 1 2 n n i i n i i vn 1 222 1 2 n v i 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 2 2、別捷爾斯法、別捷爾斯法 由貝賽爾公式得： 進(jìn)一步得： 則平均誤差有： 由式2-6得： 故有： (2-26) 此式稱為別捷

20、爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差 的絕對(duì)值 之和求出單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 ，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 為： (2-27) nn v n i i i 1 2 2 1 n i i n i i v n n 1 2 1 2 1 1 11 n n v n i i n i i n i i n i i v nnn 1 1 )1( 1 253. 1 7979. 0 1 ) 1( 2533. 1 2 nn vi 1 253.1 1 nn v n i i x v x 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 例例2-42-4 用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：計(jì)算得到的值分別填于表中，因此有 3 3、極差法

21、、極差法 用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求 殘余誤差，然后進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡(jiǎn)便迅速 mmmm mmmm z 0104. 0 11010 250. 0 253. 1 0330. 0 11010 250. 0 253. 1 )(mmli)(mmvi mmx045.750 10 1 i i v 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 75.01 75.04 75.07 75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08 0.035 0.005 0.025 0.045 0.015 +0.045 +0.015 -0

22、.025 +0.005 +0.035 0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225 2 10 1 2 00825. 0mmv i i )( 2 mmvi 32表 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 算出標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用極差法。 若等精度多次測(cè)量測(cè)得值 服從正態(tài)分布，在其中選取最 大值 與最小值 ，則兩者之差稱為極差： (2-28) 根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為 (2-29) 因 故可得 的無偏估計(jì)值，若仍以 表示，則有 (2-30) 式中 的數(shù)

23、值見表2-4。 n xxx, 21 max x min x minmax xx n nn dE)( )( n n d E n n d n d n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74 n d 42表 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 例例2-5 2-5 仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。 解： 4 4、最大誤差法、最大誤差法 在某些

24、情況下，我們可以知道被測(cè)量的真值或滿足規(guī)定精度的用來 代替真值使用的量值（稱為實(shí)際值或約定值），因而能夠算出隨機(jī)誤 差 ，取其中絕對(duì)值最大的一個(gè)值 ，當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測(cè)量值服從正態(tài) 分布時(shí)，則可求得關(guān)系式： (2-31) 一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不能按（2-31）式求標(biāo)準(zhǔn)差， 應(yīng)按最大殘余誤差 進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)系式為： (2-32) 式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù) 、 的倒數(shù)見表2-5。 08. 3 09. 000.7509.75 10 minmax d mmmmmmll n mmmm d n 0292.0 08.3 09.0 10 max | 1 i n K max i i max |

25、 i v max | 1 i n v K n K n K 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 最大誤差法簡(jiǎn)單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。 當(dāng) 時(shí)，最大誤差法具有一定精度。 例例2-62-6 仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有 ，而 故標(biāo)準(zhǔn)差為 10n mmvi045. 0 max 57.0 1 10 K mmmm K vi 0256. 0045. 057. 0 10 max n K1 n K1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55

26、0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44 n K1 52表 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 例例2-72-7 某激光管發(fā)出的激光波長(zhǎng)

27、經(jīng)檢定為 ，由于某些原因 未對(duì)次檢定波長(zhǎng)作誤差分析，但后來又用更精確的方法測(cè)得激光波 長(zhǎng) ，試求原檢定波長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：因后測(cè)得的波長(zhǎng)是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測(cè)得值為實(shí)際波長(zhǎng)(或 約定真值)，則原檢定波長(zhǎng)的隨機(jī)誤差 為： 故標(biāo)準(zhǔn)差為： 5 5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn) 貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì) 算速度難于滿足快速自動(dòng)化測(cè)量的需要； 別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的 計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍； 用極差法計(jì)算，非常迅速方便，可用來作為校對(duì)公式，當(dāng)n10時(shí)可 m63299130

28、. 0 m63299144. 0 mmm 8 101463299144. 063299130. 0 25. 1 1 1 K mm K 78 1 1075. 1101425. 1 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 用來計(jì)算，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式； 用最大誤差法計(jì)算更為簡(jiǎn)捷，容易掌握，當(dāng)n10以后， 的減小很 慢。此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以 保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的 誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊?，提高測(cè)量精度，應(yīng) 采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。 n x 2 2 n x n/1 x 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 評(píng)定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，

29、也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公 式為： (2-22) (2-23) 若用殘余誤差表示上述公式，則有： (2-24) (2-25) 例例2-8 2-8 用游標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測(cè)量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大 誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03， 75.09，75.06，75.02，75.08 。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 解：本例題中的測(cè)量數(shù)據(jù)與表2-3中的測(cè)量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值 為 。因?yàn)?， )1(3 2 1 2 nn v R n i i ) 1(5 4 1 2 nn v T n i i 0,045.75 1 n i i

30、 vmmx 0045.751045.750 10 1 mmmmnl i x i nn R xx 3 2 3 2 6745. 0 nn T xx 5 4 5 4 7979.0 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 與表中的 結(jié)果一致，故計(jì)算正確。 根據(jù)上述各個(gè)誤差計(jì)算公式可得： 六、測(cè)量的極限誤差六、測(cè)量的極限誤差 測(cè)量的極限誤差是極端誤差，測(cè)量結(jié)果（單次測(cè)量或測(cè)量列的算 術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可 予忽略。 （一）單次測(cè)量的極限誤差（一）單次測(cè)量的極限誤差 測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)足夠多和單次測(cè)量誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概 0 10 1 i i v mmmm n

31、 v n i i 0303. 0 110 00825. 0 1 1 2 mmmm n x 0096. 0 10 0303. 0 mmmmR x 0065.00096.06745.06745.0 mmmmT x 0076. 00096. 07979. 07979. 0 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 率論知識(shí)，正態(tài)分布曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等于其相應(yīng) 區(qū)間確定的概率，即： 當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-,+）之間的概率時(shí)，則得： (2-33) 將上式進(jìn)行變量置換，設(shè) 經(jīng)變換，上式成為： (2-34) 這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一般列 成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值

32、表。當(dāng)t給定時(shí)，(t)值可由該表 查出?，F(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不 超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=1-2(t)，如 表2-6所示（圖24）。 由表可以看出，隨著t的增大，超出|的概率減小得很快。 當(dāng) 1 2 1 )( 2 2 2 dedfp dedfp 2 2 2 2 1 )( d dtt, )(2 2 2 2 1 0 22 22 tdtedtep t t t t t dtet t t 0 2 2 2 1 )( 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 t=2，即|=2時(shí)，在22次測(cè)量中只有1次 的誤差絕對(duì)值超出2范圍；而當(dāng)t=3，

33、即 |=3時(shí)，在370次測(cè)量中只有1次誤差絕 對(duì)值超出3范圍。由于在一般測(cè)量中，測(cè) 量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對(duì) 值大于3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把 這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差 ，即 (2-35) 當(dāng)t3時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率p99.73。 在實(shí)際測(cè)量中，有時(shí)也可取其它t值來表示單次測(cè)量的極限誤差。如 x lim 3 lim x 第一節(jié)隨機(jī)誤差 t 62表 t 不超出 的概率超出 的概率 測(cè)量次數(shù)n 超出 的 測(cè)量次數(shù) 0 . 6 7 1 2 3 4 0.67 1 2 3 4 0.4972 0.6826 0.9544 0.9973 0.9999 0.5028 0.3174 0.0456

34、 0.0027 0.0001 2 3 22 370 15626 1 1 1 1 1 )(2t )(21t 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 取t2.58，p99； t2，p95.44； t1.96，p95等。 因此一般情況下，測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差可用下式表示： (2-36) 若已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測(cè) 量的極限誤差。 （二）算術(shù)平均值的極限誤差（二）算術(shù)平均值的極限誤差 測(cè)量列的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差 ， 即 。當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分 布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，同樣可得測(cè)量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為： (2-37) 式中的t為置信系

35、數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t3，則 (2-38) 實(shí)際測(cè)量中有時(shí)也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。但 當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student” distribution)或稱t分布來計(jì)算測(cè)量列算術(shù)平均值的極限誤差，即 (2-39) tx lim x ox Lx ), 2 , 1(Ni i x x tx lim x x x3 lim xa tx lim 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度 來確定，具體數(shù)值見附錄3； 為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著 水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；

36、n為測(cè)量次數(shù)； 為n次測(cè)量的算 術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 對(duì)于同一測(cè)量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率 的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也 不同。 例例2-92-9 對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50， 802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。 已知 ，取 ，則由附錄表3查得 ，則有： x a tnv11p 44.802 66 6 11 i i n i i ll x 047.0 161 6 1 2 1 2 i i n

37、 i i v n v 019. 0 6 047. 0 n x 51 nv 01. 003. 4 a t 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 若按正態(tài)分布計(jì)算，取 ，相應(yīng)的置信概率 ，由 附錄表1查得t2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為： 由此可見，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分布計(jì)算的結(jié)果有明顯的差別。 七、不等精度測(cè)量七、不等精度測(cè)量 在實(shí)際測(cè)量過程中，由于客觀條件的限制，測(cè)量條件是變動(dòng)的， 得到了不等精度測(cè)量。 對(duì)于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果，需要 在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器，由不同的人進(jìn)行測(cè)量。 如果這些測(cè)量結(jié)果是相互一致的。那么測(cè)量結(jié)果就是真正可以信

38、賴的。 這是人為地改變測(cè)量條件而進(jìn)行的不等精度測(cè)量。 對(duì)于某一個(gè)未知量，歷史上或近年來有許多人進(jìn)行精心研究和 精密測(cè)量，得到了不同的測(cè)量結(jié)果。我們就需要將這些測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分 析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。這也是不等 精度測(cè)量。 對(duì)于不等精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不 076. 0019. 003. 4 lim x a tx 99. 01p01. 0 049.0019.060.2 lim x tx 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。 （一）權(quán)的概念（一）權(quán)的概念 在等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量值認(rèn)為

39、同樣可靠，并取所有測(cè)得值的算 術(shù)平均值作為最后的測(cè)量結(jié)果。在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可 靠程度不一樣，因而不能簡(jiǎn)單地取各測(cè)量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的 測(cè)量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最后測(cè)量結(jié)果中占有的比重大 些，可靠程度小的占比重小些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表 示，這數(shù)值即稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為 ，可以理解為當(dāng)它與另 一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí)，對(duì)該測(cè)量結(jié)果所給予信賴程度。 （二）權(quán)的確定方法（二）權(quán)的確定方法 測(cè)量結(jié)果的權(quán)說明了測(cè)量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定 權(quán)的大小。 最簡(jiǎn)單的方法可按測(cè)量的次數(shù)來確定權(quán)，即測(cè)量條件和測(cè)量者水平 皆相同，則重復(fù)測(cè)量次數(shù)愈多，其

40、可靠程度也愈大，因此完全可由測(cè)量 的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即 。 假定同一被測(cè)量有m組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這m組測(cè)量結(jié)果是從單 次測(cè)量精度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一系列測(cè)量值求得的算術(shù)平均值。因 p ii np 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 為單次測(cè)量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 為： (2-40) 由此得下列等式 因?yàn)?，故上式又可寫成 (2-41) 或表示為 (2-42) 即：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)（ ）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（ ）成反比， 若已知 （各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-42）得到相應(yīng) 的 大小。測(cè)量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對(duì)可靠程度，它是一個(gè)

41、無 量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān) 系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡(jiǎn)，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再 放簡(jiǎn)的整數(shù)，以便用簡(jiǎn)單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。 例例2-102-10 對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行了三組不等精度測(cè)量，其結(jié)果為 mi ni ix , 2 , 1 222 22 2 11 mxmxx nnn ii np 222 22 2 11 mxmxx ppp 22 2 2 1 4321 1 : 1 : 1 : mxxx pppp i p xi i x i p 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 求各測(cè)量結(jié)果的權(quán)。 解：由式(2-42)得 因此各組的權(quán)可取為 （三）

42、加權(quán)算術(shù)平均值（三）加權(quán)算術(shù)平均值 若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果為： ，設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為n1,n2, nm，即： (2-43) 根據(jù)等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理，全部測(cè)量的算術(shù)平均值 應(yīng)為： mmmmx mmmmx mmmmx x x x 10.0,60.2000 20.0,15.2000 05.0,45.2000 3 2 1 3 2 1 4:1:16 )10. 0( 1 : )20. 0( 1 : )05. 0( 11 : 1 : 1 : 2222 3 2 2 2 1 321 xxx ppp 4, 1,16 321 ppp m xxx, 21 , 1 1 1 1 1 n

43、 l x n i i , 2 1 2 2 2 n l x n i i m n i i m m n l x m 1 , x m i i n i n i n i i m ii nlllx m 1111 21 /)( 12 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 將式(2-43)代入上式得： 或簡(jiǎn)寫為 (2-44) 當(dāng)各組的權(quán)相等，即 時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可 簡(jiǎn)化為： (2-45) 由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測(cè)量 是不等精度測(cè)量得特殊情況。為簡(jiǎn)化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為： (2-46) 式中的 為接近 的任選參考值。 m m m m m m ppp xpxpxp nn

44、n xnxnxn x 21 2 211 21 2 211 m i i m i i i p xp x 1 1 pppp m 21 m x mp xp x m i i m i i 11 m i i m i oii o p xxp xx 1 1 )( 0 x ix 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 例例2-112-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作 基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為999.9425mm(三次測(cè)量的)，999.9416mm(兩次測(cè) 量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求最后測(cè)量結(jié)果。 解：按測(cè)量次數(shù)來確定權(quán)： ，選 ， 則有 ( (四四) ) 單位權(quán)的概念單位

45、權(quán)的概念 由式（2-41）知 ，此式又可表示為 (2-47) 式中 為某精度單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差 的等精度單次測(cè)量值的權(quán)數(shù)為1。若已知 ，只要確定 ，根據(jù)（2- 47）式就可求出各組的方差 。由于測(cè)得值的方差 的權(quán)數(shù)為1在 此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測(cè)得值 方差， 為具有單位權(quán)的測(cè)得值標(biāo)準(zhǔn)差。 利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測(cè)量問題化為等權(quán)測(cè)量 問題來處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方 根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。 5, 2, 3 321 pppmmx94.999 0 mmmmmmx9420.999 523 0019.

46、 050016. 020025. 03 94.999 ), 2 , 1( 22 miPix i ) 1( 22 ppPix i 2 2 i p i x 2 2 2 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 例如，將不等精確測(cè)量的各組測(cè)量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方 根 ，此時(shí)得到的新值z(mì)的權(quán)數(shù)就為1。證明之： 設(shè) 取方差 以權(quán)數(shù)字 表示上式中的方差，則 由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值 的權(quán)數(shù) 為1，用這種方 法可以把不等精度的各組測(cè)量結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化，使該測(cè)量列轉(zhuǎn)化 為等精度測(cè)量列。 ix i p mixpz ii , 2 , 1 22 )()( i x iz ii p xDpzD 22

47、2 2 1 21 1 : 1 : 1 : mxxx m ppp i p 1 1 11 z i i z p p p p z pz 不等精度測(cè)量列，經(jīng)單位權(quán) 化處理后，就可按等精度測(cè) 量列來處理。 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 （五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對(duì)同一個(gè)被測(cè)量進(jìn)行 m 組不等精度測(cè)量，得到 m 個(gè)測(cè)量結(jié)果為： 若已知單位權(quán)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差，則由式（2-40）知 全部（mn個(gè)）測(cè)得值的算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差為： 比較上面兩式可得： (2-48) 因?yàn)?代入式（2-48）得 (2-49) , 21m xxx mi ni ix , 2 , 1 x m i

48、i x n 1 m i i i xx n n i 1 m i i m i iii npnp 11 m i i m i i i xx p p p i 1 1 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 當(dāng)各組測(cè)得的總權(quán)數(shù) 為已知時(shí)，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn)差 和相應(yīng) 的權(quán) ，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 。 當(dāng)各組測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時(shí)，則不能直接用式（2-49），而 必須由各測(cè)量結(jié)果的殘余誤差來計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 已知各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為： 將各組 單位權(quán)比，則有： 上式中各組新值已為等精度測(cè)量列的測(cè)量結(jié)果，相應(yīng)的殘差也成為 等精度測(cè)量列的殘余誤差，則可用等精度測(cè)量時(shí)的

49、Bessel公式推導(dǎo)得到： (2-50) 將式（2-50）代入式（2-49）得 (2-51) m i i p 1 i x i p x xxv ix i i x xpxpvp iiixi i 11 1 2 2 1 m vp m m i x i m i i 殘差 m i i m i x i x pm vp i 1 1 2 )1( 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 用式（2-51）可由各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo) 準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到較為精確的 值。一般情況 下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計(jì)值。 例例2-122-12 求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。

50、解：由加權(quán)算術(shù)平均值 ，可得各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差 為： ，又已知 代入式(2-51)得 八、隨機(jī)誤差的其他分布八、隨機(jī)誤差的其他分布 正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。 下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。 ( (一一) )均勻分布均勻分布 在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤 差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形 x mmx9420.999 mvmvmv xxx 1 .0,4 .0,5 .0 321 5, 2, 3, 3 321 pppm mmmm x 0002. 024. 0 20 12. 1 )523() 13(

51、) 1 . 0(5)4 . 0(25 . 03 22 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 分布或等概率分布。均勻分布的分布密度 （圖2-5）和分布函數(shù) 分別為： （2-52） （2-53） 它的數(shù)學(xué)期望為： （2-54） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-55） （2-56） ( (二二) )反正弦分布反正弦分布 反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨 機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度 （圖2-6）和 分布函數(shù) 分別為： (2-57) 0 21 )( a f a aa a a a F 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 1 2 0 )( a a d a E0 2 3 2 2 a

52、 3 a )(f )(F a a2 1 )(f a 圖 2-5 o )(f )(F a a a f 當(dāng) 當(dāng) 0 11 )( 22 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 （2-57） 它的數(shù)學(xué)期望為： （2-58） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-59） （2-60） （三）三角形分布（三）三角形分布 當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī) 律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實(shí)際測(cè)量中，若整個(gè) 測(cè)量過程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測(cè)量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻 分布，則總的測(cè)量誤差為三角形分布誤差。 三角形分布的分布密度 （圖2-7）和分布函數(shù) 分別為：

53、 (2-61) a aa a a F 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 1 arcsin 1 2 1 0 )( 0 22 d a E a a 2 2 2 a 2 a )(f )(F a a a a a a a f 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 0 0 0 )( 2 2 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 （2-63） 它的數(shù)學(xué)期望為： （2-64） 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： （2-65） （2-66） 如果對(duì)兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分 布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。 在測(cè)量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分 布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。 （四）（四） 分

54、布分布 令 為 個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正 態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量 (2-67) 隨機(jī)變量 稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度 表示上式中項(xiàng)數(shù)或 a a a a a a a a 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 1 0 2 )( 1 0 2 )( 0 )(F 2 2 2 2 0E 6 2 2 a 6 a 2 v , 21 v 22 2 2 1 2 v 2 v 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。 分布的分布密度 如圖2-8所示。 (2-68) 式中的 函數(shù)。 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-69) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-70) (2-71) 在本書最小二乘法中要用

55、到 分布，此外它也是 t 分布和 F 分布的 基礎(chǔ)。 由圖2-8的兩條 理論曲線看出，當(dāng) 逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對(duì) 稱。可以證明當(dāng) 足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里 稱 為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。 （五）（五）t t 分布分布 2 )( 2 f 00 0)( ) 2 ( 2 )( 2 22122 2 2 2 當(dāng) 當(dāng)e v f v v 為) 2 ( v 0 22122 2 2 2 )( ) 2 ( 2 vde v E v v v2 2 v2 2 2 v v v 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 令 和 是獨(dú)立的隨機(jī)變量， 具有自由度為 的 分布函數(shù)，

56、具有標(biāo) 準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為 (2-72) 隨機(jī)變量t稱自由度為 的學(xué)生氏t變量。 t分布的分布密度 為（圖2-9）： (2-73) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-74) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-75) (2-76) t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對(duì)稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分 布密度曲線不同，如圖2-9所示?？梢宰C明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài) 分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布 是一種重要分布，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢 驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。 v 2 v t v )(tf 2/ )1( 2 )1

57、 ( ) 2 ( ) 2 1 ( )( v v t v v v tf dt v t v v v E v2/ )1( 2 )1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( 2 2 v v 2 v v v 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 （六）（六）F F分布分布 若 具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由度為 的卡埃 平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為 (2-77) 隨機(jī)變量F稱為自由度為 、 的F變量。 F分布的分布密度 如圖2-10所示。 (2-78) 它的數(shù)學(xué)期望為： (2-79) 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： (2-80) (2-81) F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)

58、常應(yīng)用。 12 21 22 11 / / v v v v F 1 1 v 2 2 v 1 v 2 v )(Ff 00 0 )( ) 2 () 2 ( ) 2 ( )( 2/ )( 12 12/ 21 21 2/ 2 2/ 1 21 1 21 F F Fvv F vv vv vv Ff vv v vv 當(dāng) 當(dāng) )0( 2 )(E 2 0 2 2 v v v dFFFf ) 4( ) 4() 2( ) 2(2 2 2 2 21 21 2 22 v vvv vvv )4( )4()2( )2(2 2 2 2 21 21 2 2 v vvv vvv 第一節(jié)隨機(jī)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 一、研究系

59、統(tǒng)誤差的重要意義一、研究系統(tǒng)誤差的重要意義 前面所述的隨機(jī)誤差處理方法，是以測(cè)量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差為 前提。實(shí)際上測(cè)量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差 數(shù)值還比較大。因此測(cè)量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于 系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而 且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛 伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特 征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重 要，否則對(duì)隨機(jī)誤差的嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理將失去意義。 系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件下，某種測(cè)量方法和裝置，在測(cè)量 之前就

60、已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測(cè)量結(jié)果的正確度，如果 這種影響顯著的話，就要影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。例如某臺(tái)新儀器，因 缺乏檢定手段和標(biāo)準(zhǔn)，只對(duì)測(cè)量精密度（如重復(fù)性和穩(wěn)定性）作檢定， 驗(yàn)收合格。后經(jīng)一段時(shí)間的使用實(shí)踐，對(duì)儀器產(chǎn)生各種測(cè)量誤差的因素 有比較透徹的了解，發(fā)現(xiàn)儀器還隱含有顯著的系統(tǒng)誤差，經(jīng)采用一定的 的技術(shù)措施消除后，該儀器的測(cè)量準(zhǔn)確度才真正達(dá)到設(shè)計(jì)要求。 第二節(jié)系統(tǒng)誤差 誤差的基本性質(zhì)與處理原理 二、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因二、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是有固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，這些因 素是可以掌握的。 測(cè)量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素 測(cè)量方法的因素 測(cè)量人員的因