數(shù)學(xué)建模論文-基于層次分析法與模糊評價(jià)的宿舍評估模型

1、基于層次分析法與模糊評價(jià)的宿舍評估模型摘 要本文基于宿舍在學(xué)生教育和培養(yǎng)中的重要作用，著重就校舍的建設(shè)成本、運(yùn)行成本、收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風(fēng)、人員疏散和防盜等因素來對其經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性 評判。在選擇數(shù)據(jù)的時(shí)候就影響各個(gè)因素的次級因素進(jìn)行了細(xì)致的篩選，對于數(shù)據(jù)的采用二級層次分析法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重，即通過層次分析法對各個(gè)層次的影響因素對上一級因素的影響來確定上一級的權(quán)重。再通過運(yùn)用計(jì)算出來的權(quán)重，運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)對各個(gè)宿舍的經(jīng)濟(jì)性，舒適性，安全性，進(jìn)行綜合評判。關(guān)鍵詞:層次分析法、模糊評判、宿舍設(shè)計(jì)方案 、一、問題的重述和分析學(xué)生宿舍事關(guān)學(xué)生在校期間的生活品質(zhì), 直接或間

2、接地影響到學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)和健康成長。學(xué)生宿舍的優(yōu)劣主要從使用面積、住宿費(fèi)用、設(shè)施配置和完善的管理四方面評估。如何使學(xué)生在低經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)的情況下住到寬敞、使用方便和安全的宿舍呢？針對此問題，我們初步判斷這是一個(gè)較復(fù)雜的評價(jià)模型，而就題目中的四幅設(shè)計(jì)圖進(jìn)行了指標(biāo)量化，發(fā)現(xiàn)其層次性異常明顯，因此優(yōu)先考慮采用層次分析法來建立數(shù)學(xué)模型，又考慮到單純的的層次分析模型去評判宿舍設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，其中主觀因素所占比重較大，可能導(dǎo)致結(jié)果偏差過大！因此，決定去除過于主觀的看法，而去除主觀的看法用模糊評價(jià)方法為佳，但其權(quán)重難以確定。就權(quán)重判斷的方法，主要有專家評估法、問卷調(diào)查法、層次分析法，而這些方法里面層次分析法是最佳的

3、。故決定引入模糊評判模型，通過多層次分析法來確定權(quán)重，再通過對經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性進(jìn)行模糊評判。這樣兩個(gè)模型的綜合使用既降低了多次使用層次分析法帶來的主觀影響，又克服了多層次的評判弊端。而在進(jìn)行模糊評價(jià)時(shí)，考慮到學(xué)生和學(xué)?？紤]的側(cè)重點(diǎn)不同，因此我們分別將經(jīng)濟(jì)性側(cè)重于從校方考慮，舒適性和安全性則以學(xué)生為主要考慮因素進(jìn)行了綜合評判。二、模型假設(shè)1、 使用公用設(shè)備期間沒有高峰和低谷時(shí)期，采用人均占有量來衡量；2、 忽略刮風(fēng)對宿舍通風(fēng)差異性的影響；3、 忽略樓的高度對樓的通風(fēng)采光的影響4、 忽略由于公用設(shè)施造成的防盜系數(shù)的下降，即功能保持不衰退；5、 宿舍樓內(nèi)所用公用設(shè)備都正常工作且被合理使用；6、

4、 忽略如一樓、頂層帶來影響的特殊性，均按一般層之一考慮且樓層高度和所處位置均一致；7、 忽略宿舍的墻體的厚度，直接采用所給面積數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和運(yùn)算；三、符號說明:：經(jīng)濟(jì)性指標(biāo) ：舒適性指標(biāo) :安全性指標(biāo)；：建設(shè)成本；：運(yùn)行成本；：收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；：由建房面積、：設(shè)備齊全等級；：建房面積、：設(shè)備齊全等級、：總?cè)藬?shù)；：人均面積；：使用方便；：互不干擾；：采光面積；：通風(fēng)；：人均馬桶個(gè)數(shù)、：人均水龍頭個(gè)數(shù)、：人均沐浴頭個(gè)數(shù)、：其他設(shè)施；：人員疏散；：防盜系數(shù)；：人均走廊面積、：人均樓梯面積、：樓梯的寬度、：走廊的寬度；：單個(gè)宿舍人數(shù)、：宿舍間關(guān)聯(lián)個(gè)數(shù)；四、模型的建立與求解經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)：由建設(shè)成本、運(yùn)行成本、收

5、費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)三個(gè)因素來評判。 建設(shè)成本：由建房面積與設(shè)備齊全等級（設(shè)備齊全度是用于評判設(shè)施成本的重要指標(biāo)，設(shè)備越齊全所投入的設(shè)施費(fèi)用越多）決定。 運(yùn)行成本：由建房面積、設(shè)備齊全等級及總?cè)藬?shù)決定。由于建房面積管理的難易程度、設(shè)備齊全度決定了設(shè)施維護(hù)費(fèi)用的多少、總?cè)藬?shù)越多使管理難度加大，運(yùn)行費(fèi)用會相應(yīng)的增加 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：我們?nèi)『颖笔〉囊?guī)定的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，二人間2400元每生每年，四人間1200元每生每年，六人間800元每生每年，八人間600元每生每年。舒適性：由人均面積、使用方便、互不干擾、采光、通風(fēng)五個(gè)因素評判.人均面積：=總住房面積/總?cè)藬?shù) ；使用方便：由人均馬桶個(gè)數(shù)、人均水龍頭個(gè)數(shù)、人均沐浴頭個(gè)數(shù)、其他

6、設(shè)施決定。（考慮到其他設(shè)施差異過大的特性，其確定時(shí)我們采用的原則是存在這項(xiàng)設(shè)施則為1，不存在則為0的方法，共計(jì)9項(xiàng)） 互不干擾：我們采用寢室之外人均面積，即住房總面積減去樓梯、宿舍的面積后再除以學(xué)生總?cè)藬?shù)。采光面積 ：取各個(gè)方向窗戶的面積的折算值（向南為1、東西方向?yàn)?.6、向北為0.3）與走廊面積的總和；通風(fēng)：以宿舍陽臺（僅宿舍陽臺，無其他房間的通風(fēng)考慮）為參考折算得到宿舍通風(fēng)的平均面積；安全性由人員疏散與防盜系數(shù)兩個(gè)因素來評判人員疏散：由逃生時(shí)的實(shí)際情況而確定，人均走廊面積決定樓道人逃生時(shí)的面積、人均樓梯面積、樓梯的寬度、走廊的寬度；防盜系數(shù)：由單個(gè)宿舍人數(shù)、宿舍間關(guān)聯(lián)個(gè)數(shù)決定。以實(shí)際情況

7、為例，宿舍總?cè)藬?shù)越多人員越復(fù)雜則防盜系數(shù)越低，而宿舍關(guān)聯(lián)的個(gè)數(shù)越多則盜賊越容易進(jìn)入作案； 我們對經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性這三個(gè)問題的處理。首先，對于經(jīng)濟(jì)性的三個(gè)主要因素：建設(shè)成本、運(yùn)行成本、收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)從圖紙上找到它們的評判數(shù)據(jù)，對于收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，我們根據(jù)河北省收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)可以得到，但是對于建設(shè)成本、運(yùn)行成本，由于數(shù)據(jù)的不足，我們無法直觀表達(dá)，例如：對于建設(shè)成本，我們可以直接利用從圖紙上得到的建筑總面積和設(shè)施的多少來決定，可是面積和設(shè)施的比例又無法確定，又不能隨便的給一個(gè)比值，對于這個(gè)問題上我們用層次分析法得到權(quán)重，然后再用模糊評判的方法得到四種設(shè)計(jì)方案在此方面的綜合評判，用這個(gè)結(jié)果作為上一級模糊評判的值。

8、我們利用這個(gè)方法解決在解決這個(gè)問題是遇到的所有類似的問題。這個(gè)就是我們建的模型。一、對我們整理的數(shù)據(jù)的分層處理首先就評價(jià)學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的三個(gè)主要因素：經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性進(jìn)行分層。對于經(jīng)濟(jì)性：第一層包括三個(gè)因素，即；第二層包括5個(gè)因素，即，各層因素的實(shí)際意義和關(guān)系如圖1所示。經(jīng)濟(jì)性建設(shè)成本運(yùn)行成本收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備齊全等級建房面積設(shè)備齊全等級建房面積總?cè)藬?shù)圖1對于舒適性：第一層包括5個(gè)因素，即；第二層包括四個(gè)因素，即，各層因素的實(shí)際意義和關(guān)系如圖2所示。舒適性馬桶個(gè)數(shù)水龍頭個(gè)數(shù)沐浴間個(gè)數(shù)其他設(shè)施人均面積使用方便互不干擾采光通風(fēng)圖2對于安全性：第一層包括2個(gè)因素，即；第二層包括6個(gè)因素，即，各層因

9、素的實(shí)際意義和關(guān)系如圖3所示。防盜系數(shù)宿舍間關(guān)聯(lián)個(gè)數(shù)宿舍人數(shù)人員疏散人均樓梯面積人均走廊面積樓梯的寬度走廊的寬度安全性圖3二、利用層析分析法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重。（一） 方法原理（1） 構(gòu)造判斷矩陣采用美國運(yùn)籌教授t.l.saaty教授提出的19標(biāo)度發(fā)對不同評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣。此過程將思維數(shù)量化，有關(guān)19標(biāo)度法比率標(biāo)度及其內(nèi)容見表1。saaty 的1 9 標(biāo)度法標(biāo)度含義1表示兩個(gè)元素相比具有同樣的重要性3表示兩個(gè)元素相比,前者比后者略微重要5表示兩個(gè)元素相比,前者比后者明顯重要7表示兩個(gè)元素相比,前者比后者強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)元素相比,前者比后者極端重要2 、4 、6 、8表示上述相鄰判

10、斷的中間值以上各數(shù)值的倒數(shù)若元素i 與j 比較其相對重要性用上述數(shù)值之一標(biāo)度,則因素j 與i 比較用該數(shù)值的倒數(shù)標(biāo)度 表1（2） 確定各指標(biāo)權(quán)重求解矩陣的特征根，找出最大特征根及其對應(yīng)的特征向量，即得到同一層各指標(biāo)相對于上一層某指標(biāo)的相對重要性的權(quán)重排序。（3） 進(jìn)行一致性檢驗(yàn)用t.l.saaty的平均隨即一致性指標(biāo)（見表2）對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。求出判斷矩陣的一致性指標(biāo)，然后根據(jù)表2中的隨機(jī)一致性指標(biāo)，求出隨機(jī)一致性比率，如果它小于0.1，則認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則必須重新調(diào)整矩陣，直至具有滿意的一致性。平均隨機(jī)一致性指標(biāo)ri的值n123456789ri000.580.91.1

11、21.241.321.411.45 表2（二） 權(quán)重確定步驟（以舒適性中的第一層求解權(quán)重為例）（1） 確定判斷矩陣 （2） 求解特征向量。根據(jù)方根法求解。 計(jì)算判斷矩陣每一行元素的乘積。 計(jì)算的3次方根。 對向量=作歸一化或正規(guī)化處理，即則既為所求特征向量。（3） 一致性檢驗(yàn)。以上特征向量是否就是合理的權(quán)重分配，還需要對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。其方法如下：計(jì)算判斷矩陣的最大特征值。（是矩陣的橫向量的個(gè)數(shù)）式中，表示的第個(gè)元素，且。 得一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)使用公式： 帶入得 表明判斷矩陣具有滿意的一致性，因此得各個(gè)分量可以作為權(quán) 重。（三） 各指標(biāo)權(quán)重的確定根據(jù)上述方法，可以計(jì)算出各指標(biāo)（包括經(jīng)濟(jì)性

12、中的第二層各指標(biāo)間的權(quán)重，舒適性第一、二層各指標(biāo)的權(quán)重，安全性的第一、二層各指標(biāo)間的權(quán)重）的判斷矩陣及權(quán)重和一致性檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果如表3表9所示，可以看出各判斷矩陣具有滿意的一致性，說明建立的各指標(biāo)判斷矩陣是有效的。經(jīng)濟(jì)性評估a_判斷矩陣權(quán)重w一致性檢驗(yàn)150.8333=2ci=0cr=00.11/510.1667表3經(jīng)濟(jì)性評估a_u判斷矩陣權(quán)重w一致性檢驗(yàn)11/340.2628=3.0324 ci=0.0162cr= 0.02790.1317 0.65861/41/710.0786表4舒適性評估b_v判斷矩陣vvvvv權(quán)重w一致性檢驗(yàn)v13420.4711=4.2148ci=0.1234cr=0

13、.07960.1v1/31420.2720v1/41/4110.1064v1/21/2110.1505表5舒適性評估b判斷矩陣bvvvvv權(quán)重w一致性檢驗(yàn)v11/32570.2618=5.2634ci=0.0658cr=0.05880.1v313680.4694v1/21/31350.1675v1/51/61/311/20.0494v121/5210.0519表6安全性評估c_w判斷矩陣wwwww權(quán)重w一致性檢驗(yàn)w11/41/21/20.1109= 4.2411ci=0.0804cr=0.09030.1w411/230.3473w22120.3732w21/31/210.1686表7安全性評估

14、c_w判斷矩陣www權(quán)重w一致性檢驗(yàn)w11/50.1667=2ci=0cr=00.1w510.8333表8安全性評估c判斷矩陣cww權(quán)重w一致性檢驗(yàn)w160.8571=2 ci=0cr=00.1w1/610.1429表9三、運(yùn)用模糊評價(jià)法進(jìn)行綜合評價(jià)（一）構(gòu)造模糊評判模型 模糊評判模型主要由因素級、評判級和模糊關(guān)系矩陣組成。（1） 因素集()；（2） 評判集模糊等級構(gòu)成評判集,要和各因素劃分等級數(shù)相同。（3） 單因素評判 稱為單因素評判矩陣（4） 綜合評判 選擇模糊評判模型，對于權(quán)重，可得綜合評判： （二）對舒適性進(jìn)行處理 （1）因素級 （2）評判集 =，分別為四張?jiān)O(shè)計(jì)圖design1、des

15、ign2、design3、design4。（對于以下的所有建立的模糊綜合評判模型都用這個(gè)評判集） （3）建立單因素評判矩陣 首先對因素集進(jìn)行綜合評判，從設(shè)計(jì)圖中得到如下數(shù)據(jù)： 因素編號馬桶數(shù)（個(gè)/人）水龍頭數(shù)（個(gè)/人）沐浴頭數(shù)（個(gè)/人）其他設(shè)施design 10.04890.10330.04350design 20.250.340908design 30.17540.438605design 40.16670.666701 對每種因素進(jìn)行歸一化得到： 設(shè)計(jì)圖因素design1design2design3design4馬桶0.07630.39000.27360.2601水龍頭0.06670.22

16、000.28310.4303沐浴頭1.0000000其他設(shè)施00.57140.35710.0714 則得到單因素評判矩陣為： 其權(quán)重由表4可得： =0.4711，0.2720，0.1064，0.1505 對于模糊模型的選擇： 我們認(rèn)為應(yīng)該對所有以權(quán)重大小均衡兼顧，所以我們選擇加權(quán)平均模型（，）。 求得綜合評判為 =（0.1605，0.3296，0.2597，0.2503）； 再對因素集進(jìn)行綜合評判，從設(shè)計(jì)圖中得到如下數(shù)據(jù)：因素編號人均面積（人/平方米）使用方便互不干擾采光通風(fēng)design 13.20351.3294114.24324.9720design 26.25005.3107253.02

17、779.076design 34.48334.6867243.02725.436design 45.44504.5615243.18702.054 對此數(shù)據(jù)表中的使用方便因素，用剛得到的綜合評價(jià)=（0.1605，0.3296，0.2597，0.2503） 為其值。對每種因素歸一化得到：設(shè)計(jì)圖因素design1design2design3design4人均面積0.16530.32250.23130.2809使用方便0.16050.32960.25970.2503互不干擾0.08370.33430.29500.2871采光0.13390.29650.28470.2849通風(fēng)0.12840.3077

18、0.28660.2773 則得到單因素評判矩陣： 其權(quán)重由表6可得：=（0.2618，0.4694，0.1675，0.0494，0.0519）使用加權(quán)平均模型（，），求得綜合評判為 =0.1459，0.3257，0.2608，0.2676； （四） 對安全性處理（與（三）中相同的處理略去）對因素集進(jìn)行綜合評判，從設(shè)計(jì)圖中得到如下?lián)禾柧幩匾蛉司呃让娣e（人/平方米）人均樓梯面積（人/平方米）走廊的寬度（米）樓梯的寬度（米）design 10.75390.25132.21.55design 21.72150.53021.83.6design 31.89470.60632.80343.6desig

19、n 42.95910.99642.73.3對每種因素進(jìn)行歸一化得到：素因圖計(jì)設(shè)design 1design 2design 3design 4人均走廊面積0.10290.23490.25850.4037人均樓梯面積0.10540.22240.25430.4179樓梯的寬度0.23150.18940.29500.2841走廊的寬度0.12860.29880.29880.2739則得到單因素評判矩陣： 其權(quán)重由表7可得：=；使用加權(quán)平均模型（，），求得綜合評判為 =（0.1561，0.2243，0.2774，0.3421）使用處理得到的方式得到： =（0.3500，0.3000，0.2000，0.

20、1500）然后使用得到舒適性的方式得到安全性的綜和評判： =（0.1429，0.3000，0.2000，0.3571）（五） 對經(jīng)濟(jì)性的處理使用（四）中求的的相同的方法得到，的綜合評價(jià)為： =（0.1245，0.3476，0.2862，0.2417） =（0.1636，0.3431，0.2718，0.2215）在有建設(shè)成本、運(yùn)行成本、收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)模糊評判經(jīng)濟(jì)性時(shí)，我們沒有用層次分析的方法得到權(quán)重，我們認(rèn)為在經(jīng)濟(jì)性上主觀占主要因素，這里我們給出三種情況（權(quán)重分別為）：（1）當(dāng)均衡考慮各因素時(shí)，給權(quán)重為=（1/3，1/3，1/3），使用得到舒適性的方式得到經(jīng)濟(jì)性的綜合評判： =（0.1360，0.31

21、02，0.2393，0.3144）（2）當(dāng)傾向于學(xué)生時(shí)，給權(quán)重=（0.1 ，0.3， 0.6），使用得到舒適性的方式得到經(jīng)濟(jì)性的綜合評判： =（0.1335，0.2817，0.2062，0.3786）（3）當(dāng)傾向于校方時(shí)，給權(quán)重=（0.4 0.4 0.2）時(shí)，使用得到舒適性的方式得到經(jīng)濟(jì)性的綜合評判：=（0.1392，0.3243，0.2552，0.2813）四、模型的推廣五、模型的結(jié)果及分析六、模型的評價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn) 層次分析法與模糊數(shù)學(xué)在宿舍評估綜合應(yīng)用，可以較大程度上克服評價(jià)過程中主觀因素過大的影響，通過應(yīng)用層次分析法可以比較簡單的求出權(quán)重，對宿舍的各個(gè)方面進(jìn)行評估，全面考慮各個(gè)因素的影響

22、，反映各個(gè)因素在評價(jià)中的重要程度，實(shí)例分析表明這種方法是可行的有效地。與一般方法相比，此方法利用層次分析法確定的權(quán)重分配更合理，評價(jià)結(jié)果更可靠，可操作性更強(qiáng)，精度更高，整個(gè)評價(jià)步驟明確，評判指標(biāo)量化數(shù)據(jù)處理部分可以通過編程來實(shí)現(xiàn)。 模型的缺點(diǎn)：用模糊分析法求權(quán)重的過程中不可避免的會受到主觀因素的影響，要想是數(shù)據(jù)更加精確，可以通過專家打分，層次分析法、模糊評判的方法綜合運(yùn)用，已獲得更小誤差。還有在模型建立過程中有對一些因素進(jìn)行忽略的情況，這些因素在一定程度上影響著整個(gè)模型的完善性。七、模型的推廣此模型可以應(yīng)用到多級層次評價(jià)，能有效的就多層次的問題及權(quán)重?zé)o法確定的模糊問題進(jìn)行有效地評價(jià)，此模型可以

23、推廣到各個(gè)領(lǐng)域，如學(xué)科水平的評估，管理人員水平的綜合評估，參考文獻(xiàn)：【1】高治軍, 杜嘉，基于層次分析法與模糊評價(jià)的學(xué)科水平評估，重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)(社科版)2009年9月?！?】常建娥，蔣太立，層次分析法確定權(quán)重的研究，武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)信息與管理工程版第29卷，1期?！?】謝季堅(jiān)，劉承平，模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用，華中理工大學(xué)出版社，2000年5月?！?】彭放，楊瑞琰，羅文強(qiáng)等，數(shù)學(xué)建模方法，科學(xué)出版社2007年8月。【5】董辰輝，彭雪峰等編著，matlab 2008全程指南，電子工業(yè)出版社，2009年3月。x3yr2zn435sc3rco3oit6anspsyv0rtdxjiuncelhntng

24、1su3tw7fz3wl59yk2vg2zp41omrly0qzmlwbap6ylp4wdml2ptdtwnkwp97dlrlnnqanbsbhqexl31kx0kxqitz4cf8emuzpanzufyuh0e71p1wfnbgdpqmr2dvomh645htp5qgjrcben8jrn7og6b2su16upivgogohvtubrn6ewk6v6vmxll8m34yvc7rrfjavhjlkhoszemawtte0rdwpinpzz3nw3z3vrrgsjbbvkxfh8yf5py1ey2ezajs4bo5jr3vjwvtdma4bh8ivutsj6kwi3lywsuwctiasrx5u

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