2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第3課時(shí) 用空間向量解決空間角與距離問題課時(shí)跟蹤訓(xùn)練新人教A版選修2-1

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第3課時(shí) 用空間向量解決空間角與距離問題課時(shí)跟蹤訓(xùn)練新人教a版選修2-12020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第3課時(shí) 用空間向量解決空間角與距離問題課時(shí)跟蹤訓(xùn)練新人教a版選修2-1年級(jí)：姓名：用空間向量解決空間角與距離問題a組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1.如圖，正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，則異面直線a1b與ad1所成角的余弦值為()a.b.c. d.解析：以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dd1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，設(shè)ab1.則b(1,1,0)，a1(1,0,2)，

2、a(1,0,0)，d1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，異面直線a1b與ad1所成角的余弦值為.答案：d2二面角的棱上有a、b兩點(diǎn)，直線ac、bd分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，則該二面角的大小為()a150b45c60 d120解析：由條件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，120，二面角的大小為60.答案：c3把正方形abcd沿對(duì)角線ac折起成直二面角，點(diǎn)e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，o是正方形中心，則折起后，eof的大小為()a30 b90c120 d60解析：()，()

3、，()|2.又|，cos，.eof120.故選c.答案：c4正方體abcda1b1c1d1中，bb1與平面acd1所成角的余弦值為()a. b.c. d.解析：建系如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則(0,0,1)b1d面acd1，取(1,1,1)為面acd1的法向量設(shè)bb1與平面acd1所成角為，則sin ，cos .答案：d5.如圖所示，在幾何體abcd中，ab平面bcd，bccd，且abbc1，cd2，點(diǎn)e為cd中點(diǎn)，則ae的長(zhǎng)為()a. b.c2 d.解析：，|1|，且0.又2()2，23，ae的長(zhǎng)為.故選b.答案：b6.如圖，在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，點(diǎn)d在棱bb1上，且bd

4、1，則ad與平面aa1c1c所成角的正弦值為_解析：取ac、a1c1的中點(diǎn)m、m1，連接mm1、bm.過d作dnbm，交mm1于點(diǎn)n，則容易證明dn平面aa1c1c.連接an，則dan就是ad與平面aa1c1c所成的角在rtdan中，sindan.答案：7正方體abcda1b1c1d1中，直線bc1與平面a1bd所成的角的正弦值是_解析：如圖，以da、dc、dd1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取正方體的棱長(zhǎng)為1，則a(1,0,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，易證是平面a1bd的一個(gè)法向量.(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以bc1與平面a1bd所成角的正弦值為.

5、答案：8.如圖，已知正三棱柱abca1b1c1的各條棱長(zhǎng)都相等，m是側(cè)棱cc1的中點(diǎn)，則異面直線ab1和bm所成角的大小是_答案：909.如圖所示，已知在四面體abcd中，o為bd的中點(diǎn)，cacbcdbd2，abad.(1)求證：ao平面bcd；(2)求異面直線ab與cd所成角的余弦值解析：(1)證明：因?yàn)閎odo，abad，所以aobd.因?yàn)閎odo，bccd，所以cobd.在aoc中，由已知可得ao1，co，而ac2，所以ao2co2ac2，所以aoc90，即aooc.因?yàn)閎doco，所以ao平面bcd.(2)以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則b(1,0,0)，d(1,0,0

6、)，c(0，0)，a(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以異面直線ab與cd所成角的余弦值為.10.如圖，四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abcd，adcd1，bad120，acb90.(1)求證：bc平面pac；(2)若二面角dpca的余弦值為，求點(diǎn)a到平面pbc的距離解析：(1)證明：pa底面abcd，bc平面abcd，pabc，acb90，bcac，又paaca，bc平面pac.(2)設(shè)aph，取cd的中點(diǎn)e，則aecd，aeab.又pa底面abcd，paae，paab，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，p(0,0，h)，c，d，b(0,2,0

7、)，(0,1,0)，設(shè)平面pdc的法向量n1(x1，y1，z1)，則即取x1h，n1，由(1)平面pac的一個(gè)法向量為.|cosn1，|，解得h，同理可求得平面pbc的一個(gè)法向量n2(3，2)，所以，點(diǎn)a到平面pbc的距離為d.b組能力提升11二面角l等于120，a、b是棱l上兩點(diǎn)，ac、bd分別在半平面、內(nèi)，acl，bdl，且abacbd1，則cd的長(zhǎng)等于()a. b.c2 d.解析：如圖，二面角l等于120，與夾角為60.由題設(shè)知，|1，|2|2|2|2|222232cos 604，|2.故選c.答案：c12正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，o是a1c1的中點(diǎn)，則o到平面abc1d

8、1的距離為()a. b.c. d.解析：以、為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則a1(1,0,1)，c1(0,1,1)，平面abc1d1的法向量(1,0,1)，點(diǎn)o到平面abc1d1的距離d.故選b.答案：b13.正三角形abc與正三角形bcd所在的平面互相垂直，則直線cd與平面abd所成角的正弦值為_解析：取bc的中點(diǎn)o，連接ao，do，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz.設(shè)bc1，則a，b，c，d，所以，.設(shè)平面abd的法向量為n(x，y，z)，則所以取x1，則y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直線cd與平面abd所成角的正弦值為.答案：14在正四棱柱abcda1b1c1d1中，

9、aa14，abbc2，動(dòng)點(diǎn)p，q分別在線段c1d，ac上，則線段pq長(zhǎng)度的最小值是_解析：以d為原點(diǎn)，分別以，為x，y，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則d(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,4)，設(shè)t，m(t，m0,1)，t(0,2,4)(0,2t,4t)，m(2,0,0)m(2,2,0)(22m,2m,0)p(0,2t,4t)，q(22m,2m,0)，(22m,2m2t，4t)，則|22，當(dāng)且僅當(dāng)t，m，即t，m時(shí)取等號(hào)，線段pq長(zhǎng)度的最小值為.15如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形abcd(及其內(nèi)部)以ab邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的，g是

10、的中點(diǎn)(1)設(shè)p是上的一點(diǎn)，且apbe，求cbp的大??；(2)當(dāng)ab3，ad2時(shí)，求二面角eagc的大小解析：(1)因?yàn)閍pbe，abbe，ab，ap平面abp，abapa，所以be平面abp.又bp平面abp，所以bebp.又ebc120，因此cbp30.(2)以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以be，bp，ba所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得a(0,0,3)，e(2,0,0)，g(1，3)，c(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面aeg的法向量，由可得取z12，可得平面aeg的法向量m(3，2)，設(shè)n(x2，y2，z2)是

11、平面acg的一個(gè)法向量，則，可得，取x22，可得平面acg的一個(gè)法向量n(3，2)，所以cosm，n.因此二面角eagc的大小為60.16.如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為正方形，平面pad平面abcd，點(diǎn)m在線段pb上，pd平面mac，papd，ab4.(1)求證：m為pb的中點(diǎn)；(2)求二面角bpda的大??；(3)求直線mc與平面bdp所成角的正弦值解析：(1)證明：設(shè)ac，bd的交點(diǎn)為o，連接om，如圖所示pd平面mac，且平面pbd平面macmo，pdmo.o為bd的中點(diǎn)，m為pb的中點(diǎn)(2)取ad的中點(diǎn)e，連接pe.papd，pead.又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，pe平面pad，pe平面abcd.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則b(2,4,0)，p(0,0，)，d(2,0,0)，a(2,0,0)，(2,0，)，(4,4,0)易知平面pd