《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識(shí)講解提高

1、圓全章復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)講解(提高)責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的 位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征；2了解切線的概念，探索并掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓 的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線；3了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓； 4了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、 圓錐的側(cè)面積及全面積；5結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的 表

2、達(dá)能力；通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1圓的定義(1) 線段 OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的封閉曲線，叫做圓 .(2) 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 .要點(diǎn)詮釋： 圓心確定圓的位置， 半徑確定圓的大??； 確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心， 再確定半徑， 二者缺一不可； 圓是一條封閉曲線 .2圓的性質(zhì)(1) 旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形， 對(duì)稱中心是圓心 .在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這

3、四組量中的任意一組相等， 那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等 .(2) 軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸 .(3) 垂徑定理及推論： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 .平分弦 (不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧. 弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧 . 平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦 .平行弦夾的弧相等 .要點(diǎn)詮釋： 在垂經(jīng)定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧， 在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論. (注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑

4、) 3兩圓的性質(zhì)(1) 兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線 .(2) 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn) . 4與圓有關(guān)的角(1) 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角 . 圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù) .(2) 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角 . 圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半 . 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等 . 90的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角. 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 . 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角

5、等于它的內(nèi)對(duì)角 .要點(diǎn)詮釋：(1) 圓周角必須滿足兩個(gè)條件：頂點(diǎn)在圓上；角的兩邊都和圓相交 .(2) 圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中 .要點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1判定一個(gè)點(diǎn) P是否在 O上 設(shè) O的半徑為 ，OP= ，則有點(diǎn) P 在 O 外；點(diǎn) P 在 O 上；點(diǎn) P 在 O 內(nèi) .要點(diǎn)詮釋： 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知 道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系 .2判定幾個(gè)點(diǎn) A 、 A 、L A 在同一個(gè)圓上的方法A 1、 A 2 、L A n當(dāng) 時(shí)，在 O 上 .3直線和圓的位置關(guān)系設(shè) O 半徑為 R，點(diǎn) O 到直線 的距

6、離為 .(1) 直線 和 O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離 .(2) 直線 和 O有唯一公共點(diǎn)直線 和O相切.(3) 直線 和 O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線 和O相交.4切線的判定、性質(zhì)(1) 切線的判定： 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 . 到圓心的距離 等于圓的半徑的直線是圓的切線 .(2) 切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑 .經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn) . 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心 .(3) 切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng) .(4) 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條 切線的夾角 .5圓

7、和圓的位置關(guān)系設(shè) 的半徑為 ，圓心距 .(1) 和 沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部 外離 .(2) 和 沒有公共點(diǎn)，且 的每一個(gè)點(diǎn)都在 內(nèi)部 內(nèi)含(3) 和 有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部 外切 .(4) 和 有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外， 的每個(gè)點(diǎn)都在 內(nèi)部 內(nèi)切 .(5) 和 有兩個(gè)公共點(diǎn) 相交 . 要點(diǎn)三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形 1三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1) 三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它 到三角形三邊的距離相等，通常用“ I ”表示 .(2) 三角形的外心：是三

8、角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三 角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂 點(diǎn)的距離相等，通常用 O表示 .(3) 三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的 2 倍，通常用 G表示 .(4) 垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn) .要點(diǎn)詮釋：(1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積 的一半，即 (S 為三角形的面積， P 為三角形的周長(zhǎng)， r 為內(nèi)切圓的

9、半徑 ).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心 ( 三角形 外接圓的圓 心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC； (2) 外心不一 定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心 ( 三角形 內(nèi)切圓的圓 心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1) 到三角形三邊距離相等；(2)OA 、OB、 OC分別平分 BAC、 ABC、 ACB； (3) 內(nèi) 心在三角形內(nèi)部 .2圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1) 四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角(2) 各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等 .要點(diǎn)四、圓中有關(guān)計(jì)算1圓中有關(guān)計(jì)算 圓的面積公式： ，

10、周長(zhǎng) .圓心角為 、半徑為 R的弧長(zhǎng).圓心角為 ，半徑為 R，弧長(zhǎng)為 的扇形的面積 .弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算 . 圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為 的圓柱的體積為 ，側(cè)面積為 ，全面積為 .圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為 ，高為 的圓錐的側(cè)面積為 ，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有 .的 扇形 面積 是圓 面積 的， 即要點(diǎn)詮釋：(1) 對(duì) 于 扇 形 面 積 公 式 ， 關(guān) 鍵 要 理 解 圓 心 角 是 1(2) 在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑 R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量 .(

11、3) 扇形面積公式 ，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用， 它與三角形面積公式 有點(diǎn) 類似，可類比記憶；(4) 扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系： .【典型例題】類型一、圓的基礎(chǔ)知識(shí)【高清 ID 號(hào)： 362179高清課程名稱： 圓單元復(fù)習(xí)關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱) ： 經(jīng)典例題 3】如圖，已知 O是以數(shù)軸的原點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P 且與 OA平行（或重合）的直線與O為圓心，半徑為 1的圓， AOB=45 ,點(diǎn) P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若A1 x 12 x 2答案】 B；O有公共點(diǎn) , 設(shè) OP=x，則 x 的取值范圍是（）解析】 如圖，平移過(guò) P 點(diǎn)的直線到 P，使其與 O相切，設(shè)切點(diǎn)為 Q，連接 OQ， 由切線的性質(zhì)，得

12、 OQP=90，OAPQ， OPQ=AOB=45 ， OQP為等腰直角三角形，在 Rt OQP中， OQ=1，OP= 2 ，當(dāng)過(guò)點(diǎn) P 且與 OA平行的直線與 O有公共點(diǎn)時(shí)， 0OP，當(dāng)點(diǎn) P在 x 軸負(fù)半軸即點(diǎn) P向左側(cè)移動(dòng)時(shí)，結(jié)果為 - 2 OP0 故答案為： - 2 OP 2點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題關(guān)鍵是通過(guò)平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時(shí)OP的值舉一反三：變式】如圖，已知 O是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓， AOB=45 ，點(diǎn) P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若).D x 1過(guò)點(diǎn) P且與 OB平行的直線與 O 相切時(shí)，假設(shè)切點(diǎn)為 D，答案】過(guò)點(diǎn) P且與 OB平行的直線于 O有

13、公共點(diǎn)，設(shè) P( x，0)，則 x 的取值范圍是(OD=DP =1， 0OP 2 ，同理可得，當(dāng) OP與 x 軸負(fù)半軸相交時(shí)，2 OP 0，- 2 OP 0，或 0OP 2類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理O的直徑，弦 CGAB于 D， F是 O上的點(diǎn)，且 C?F C?B ，故選 C答案與解析】證法一：如圖 (1) ，連接 BC， AB 是 O 的直徑，弦 CGAB， C?B G?B C?F B?C ， C?F G?B C CBE CE BE證法二：如圖 （2） ，作 ON BF，垂足為 N，連接 OE AB 是 O 的直徑，且 ABCG， C?B B?G C?B C?F ， C?

14、F ?BC B?G BF CG， ONOD ONE ODE90， OEOE，ONOD， ONE ODE， NE DE11 BN BF ， CDCG ，22 BN CD， BN-EN CD-ED， BE CE證法三：如圖 (3) ，連接 OC交 BF 于點(diǎn) N C?F ?BC ， OC BF AB 是 O的直徑， CG AB，B?G B?C ，C?F B?G B?C B?F C?G ，ON OD OC OB， OC-ON OB-OD，即 CNBD又 CNE BDE 90， CEN BED， CNE BDE， CE BE【點(diǎn)評(píng)】 上述各種證明方法，雖然思路各異，但都用到了垂徑定理及其推論在平時(shí)多進(jìn)

15、行一題多解、 一題多證、一題多變的練習(xí)，這樣不但能提高分析問(wèn)題的能力，而且還是溝通知識(shí)體系、學(xué)習(xí) 知識(shí)，使用知識(shí)的好方法舉一反三：【高清 ID 號(hào)： 362179 高清課程名稱： 圓單元復(fù)習(xí)關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱） ：經(jīng)典例題 1-2 】【變式】如圖所示，在 O內(nèi)有折線 OABC其, 中 OA=8,AB=12,A=B=60,則 BC的長(zhǎng)為（）AC 18D20答案】 如圖，延長(zhǎng) AO交 BC于點(diǎn) D, 過(guò) O作 OE BC于 E.則三角形 ABD為等邊三角形， DA=AB=BD=1，2 OD=AD-AO=4在 Rt ODE中， ODE=60 ， DOE=30 ,則DE=1 OD=2， BE=

16、BD-DE=102OE垂直平分 BC， BC=2BE=20.故選 D類型三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系3一個(gè)長(zhǎng)方體的香煙盒里，裝滿大小均勻的 打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，如圖（1）所示 . 經(jīng)測(cè)量，一支香煙的 直徑 約為約為 8.4cm.（1）試計(jì)算煙盒頂蓋 ABCD的面積（本小題計(jì)算結(jié)果不取近似值） ； （2）制作這樣一個(gè)煙盒至少需要多少面積的紙張（不計(jì)重疊粘合的部分，20 支香煙 .0.75cm ，長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果精確到 0.1cm ， 3取1.73）答案與解析】（ 1）如圖（ 2），作 O1E O2O3AB3 3 3 3 3 32 cm8 4 4四邊形 ABCD的面積是：2）制作一個(gè)煙盒至

17、少需要紙張：點(diǎn)評(píng)】 四邊形 ABCD中， AD長(zhǎng)為 7 支香煙的直徑之和，易求；求 AB長(zhǎng)，只要計(jì)算出如圖（ 2）中的 O1E 長(zhǎng)即可 .類型四、圓中有關(guān)的計(jì)算4（2015?丹東）如圖，AB 是O的直徑， = ，連接 ED、BD，延長(zhǎng) AE 交 BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn) D 作O 的切線交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C（ 1）若 OA=CD=2，求陰影部分的面積；（ 2）求證： DE=DM 【答案與解析】 解：如圖，連接 OD ， CD 是O 切線， ODCD，OA=CD=2， OA=OD ， OD=CD=2 ， OCD 為等腰直角三角形， DOC= C=45 ，S陰影=SOCDS 扇OBD=（2

18、）證明：如圖，連接 AD ，AB 是O 直徑， ADB= ADM=90 ，又 = ， ED=BD ， MAD= BAD ， 在AMD 和 ABD 中， AMD ABD ， DM=BD ， DE=DM 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關(guān)系、扇形面積的計(jì)算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形 的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法舉一反三：【變式】（2015?貴陽(yáng)）如圖， O 是ABC 的外接圓， AB 是O的直徑， FO AB ，垂足為點(diǎn) O，連 接 AF 并延長(zhǎng)交 O 于點(diǎn) D ，連接 OD 交 BC 于點(diǎn) E，B=30 ，F(xiàn)O=2 （ 1）求 AC 的長(zhǎng)度；（ 2）求圖中陰影部分的面積

19、 （計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【答案】 解：（1）OFAB ， BOF=90 ，B=30 ， FO=2 ，OB=6 ，AB=2OB=12 ， 又AB 為O 的直徑， ACB=90 ， AC= AB=6 ；（2）由（ 1）可知， AB=12 ，AO=6 ，即 AC=AO ，在 RtACF 和 Rt AOF 中，RtACFRtAOF ， FAO=FAC=30 ， DOB=60 ，過(guò)點(diǎn) D 作 DG AB 于點(diǎn) G，OD=6， DG=3 ， S ACF+S OFD=S AOD = 63 =9 ，即陰影部分的面積是 9 類型五、圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用答案與解析】延長(zhǎng) DB至點(diǎn) E，使 BEDC，連結(jié) AE ABC是等邊三角形 ACB ABC 60， ABAC ADB ACB 60四邊形 ABDC是圓內(nèi)接四邊形 ABE ACD在 AEB和 ADC中， AEB ADCAE AD ADB60 AED是等邊三角形 ADDEDB BE BE DC DB DC DA.點(diǎn)評(píng)】 由已知條件，等邊 ABC 可得 60角，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得