2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)列 5.3.1.2 等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)列 5.3.1.2 等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案新人教b版選擇性必修第三冊(cè)2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)列 5.3.1.2 等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案新人教b版選擇性必修第三冊(cè)年級(jí)：姓名：第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)必備知識(shí)素養(yǎng)奠基1.如果x,g,y是等比數(shù)列,那么g為x與y的等比中項(xiàng),且g2=xy,g=.2.等比數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系等比數(shù)列an,m,n,p,qn+兩項(xiàng)關(guān)系an=amqn-m三項(xiàng)關(guān)系若m+n=2p,則anam=四項(xiàng)關(guān)系若m+n=p+q,則aman=apaq等比數(shù)列兩項(xiàng)之間的關(guān)系an=amqn-m中,當(dāng)nm時(shí)成立嗎?提示:成立,如a2=a5q2-5=a

2、5q-3=.3.等比數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列a10q1a100q00q1a11當(dāng)q=1,q0時(shí),分別是什么數(shù)列?提示:當(dāng)q=1時(shí)是常數(shù)列;當(dāng)q0時(shí)是擺動(dòng)數(shù)列.1.思維辨析(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)等比數(shù)列an中a2a6=. ()(2)若g是a與b的等比中項(xiàng),則g=. ()(3)若a,g,b滿足g2=ab,則a,g,b一定是等比數(shù)列.()提示:(1).a2a6=.(2).g=.(3).如0,0,0滿足02=00,但不是等比數(shù)列. 2.若三個(gè)正數(shù)1,b,16成等比數(shù)列,則b=_.【解析】因?yàn)槿齻€(gè)正數(shù)1,b,16成等比數(shù)列,所以b=4.答案:43.在等比數(shù)列an中,已知a7a12=10,則a8a9

3、a10a11=_.【解析】因?yàn)閍7a12=a8a11=a9a10=10,所以a8a9a10a11=102=100.答案:100關(guān)鍵能力素養(yǎng)形成類型一等比中項(xiàng)及其應(yīng)用【典例】1.若三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,其中a=3-,c=3+,則b=()a.2b.-2c.2d.42.設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為0,a1=9d,若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng),則k等于()a.2b.4c.6d.8【思維引】1.利用b是a,c的等比中項(xiàng)求值.2.將ak,a2k用d表示出來(lái),再利用等比中項(xiàng)列式求值.【解析】1.選c.三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,則b=2.2.選b.因?yàn)閍

4、n=(n+8)d,又因?yàn)?a1a2k,所以(k+8)d2=9d(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【內(nèi)化悟】等比數(shù)列中,a1和a5的等比中項(xiàng)是哪一項(xiàng)?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中項(xiàng)是a3,a2和a8的等比中項(xiàng)是a5.【類題通】應(yīng)用等比中項(xiàng)解題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)如果出現(xiàn)等比數(shù)列兩項(xiàng)的乘積時(shí),就要注意考慮是否能轉(zhuǎn)化為等比中項(xiàng)表示;(2)等比中項(xiàng)一般不唯一,但是如果在等比數(shù)列中,還要關(guān)注項(xiàng)的關(guān)系,如a4是a2,a6的等比中項(xiàng),而a4=a2q2,因此a4與a2的符號(hào)相同.【習(xí)練破】-1,a,b,c,-25是等比數(shù)列,則abc=_.【解析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)閎是a,c的等比

5、中項(xiàng),也是-1,-25的等比中項(xiàng),所以b2=-1(-25)=25,所以b=5,又因?yàn)閎=-1q20,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加練固】已知數(shù)列-1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,-1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,求的值.【解析】因?yàn)?1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則a2-a1=d=(-4)-(-1)=-1,因?yàn)?1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,所以=(-1)(-4)=4,所以b2=2.若設(shè)公比為q,則b2=(-1)q2,所以b20.所以b2=-2,所以=.類型二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【典例】1.若數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a2a5=20,a

6、1+a6=9,則a11=()a.5b.c.d.2.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足:a3a7=2,a3=1,則a2=()a.b.c.d.2【思維引】1.利用a2a5=a1a6轉(zhuǎn)化求值.2.利用a3a7=求出q,進(jìn)而求出a2.【解析】1.選c.因?yàn)閿?shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的兩個(gè)根,且a10,a50,從而a30,且=a1a5=3,所以a3=.類型三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【典例】朱載堉(1536-1611),明太祖九世孫,音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家、天文歷算家,在他多達(dá)百萬(wàn)字的著述中以樂(lè)律全書(shū)最為著名,

7、在西方人眼中他是大百科全書(shū)式的學(xué)者王子.他對(duì)文藝的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了“十二平均律”,此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國(guó)的鍵盤(pán)樂(lè)器上,包括鋼琴,故朱載堉被譽(yù)為“鋼琴理論的鼻祖”.“十二平均律”是指一個(gè)八度有13個(gè)音,相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等,且最后一個(gè)音頻率是最初那個(gè)音頻率的2倍,設(shè)第二個(gè)音的頻率為f2,第八個(gè)音的頻率為f8,則等于()a.b.c.d.【思維引】化歸成數(shù)列中項(xiàng)、公比的問(wèn)題求解.【解析】選a.依題意13個(gè)音的頻率成等比數(shù)列,記為an,設(shè)公比為q,則a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=,所以=q6=()6=.【內(nèi)化悟】在應(yīng)用性問(wèn)題中,判斷是否為等比數(shù)列模型的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵

8、是看增長(zhǎng)(縮減)是否按照同一比例.【類題通】關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問(wèn)題中的應(yīng)用首先根據(jù)題意判斷是否是等比數(shù)列模型,其次分析等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù),最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算解題.【習(xí)練破】(2020延慶高二檢測(cè))某企業(yè)生產(chǎn)a,b兩種型號(hào)的產(chǎn)品,每年的產(chǎn)量分別為10萬(wàn)支和40萬(wàn)支,為了擴(kuò)大再生產(chǎn),決定對(duì)兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造,預(yù)計(jì)改造后的a,b兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增長(zhǎng)率分別為50%和20%,那么至少經(jīng)過(guò)_年后,a產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)b產(chǎn)品的年產(chǎn)量(參考數(shù)據(jù):lg 20.301 0)()a.6b.7c.8d.9【解析】選b.設(shè)經(jīng)過(guò)n年后,a產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)b產(chǎn)品的年產(chǎn)量,則10(1+50%

9、)n40(1+20%)n,化為:4,取對(duì)數(shù)可得:n=6.2.所以至少經(jīng)過(guò)7年后,a產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)b產(chǎn)品的年產(chǎn)量.【加練固】某單位某年十二月份的產(chǎn)值是同年一月份產(chǎn)值的m倍,那么該單位此年的月平均增長(zhǎng)率是_.【解析】由題意可知,這一年中的每一個(gè)月的產(chǎn)值成等比數(shù)列,因?yàn)?m,所以月平均增長(zhǎng)率為-1.答案:-1類型四等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用角度1靈活設(shè)項(xiàng)解題【典例】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,其積為64,如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去1,則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這三個(gè)數(shù).【思維引】利用等比數(shù)列設(shè)出前三項(xiàng),表示出等差數(shù)列后求未知數(shù).【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列,設(shè)三個(gè)數(shù)為,a,aq,則aaq=a3=64,所

10、以a=4,所以三個(gè)數(shù)為,4,4q,第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去1為-1,4,4q-1,則-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或,所以這三個(gè)數(shù)為2,4,8或8,4,2.【素養(yǎng)探】在利用等比數(shù)列設(shè)項(xiàng)解題過(guò)程中,常常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過(guò)解方程求公比解題.本例中的條件若改為“其積為512,如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2”,試求這三個(gè)數(shù).【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)依次為,a,aq,因?yàn)閍aq=512,所以a=8.因?yàn)?(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以這三個(gè)數(shù)為4,8,16或16,8,4.角度2等差、等比數(shù)列性質(zhì)【典例】已知an是等差數(shù)列,bn是正項(xiàng)等比數(shù)

11、列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5, b5=a4+2a6,則a2 018+b9=()a.2 274b.2 074c.2 226d.2 026【思維引】分別用等差數(shù)列的首項(xiàng)a1、公差d、等比數(shù)列的公比q表示出已知條件,求出a1,d,q后求a2 018+b9.【解析】選a.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,正項(xiàng)等比數(shù)列bn的公比為q0,因?yàn)閎1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,則a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.【類題通】等比數(shù)列項(xiàng)的設(shè)法(1)三數(shù)成等比數(shù)列常設(shè)

12、成,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為,a,aq,aq2.若四個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為,aq,aq3.【習(xí)練破】設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an滿足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比數(shù)列,則a10等于_.【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則d0,則a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比數(shù)列,則(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化簡(jiǎn)得d2-2d=0,由于d0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+72=21.答案:21【加練固】已知數(shù)列a

13、n是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,則an的公比為_(kāi).【解析】因?yàn)閿?shù)列an是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,所以2a3=(a2-4)+a4,即22q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以an的公比q=2.答案:2課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.對(duì)任意等比數(shù)列an,下列說(shuō)法一定正確的是()a.a1,a3,a9成等比數(shù)列b.a2,a3,a6成等比數(shù)列c.a2,a4,a8成等比數(shù)列d.a3,a6,a9成等比數(shù)列【解析】選d.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)?q3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.2.已知數(shù)列an是

14、等比數(shù)列,若=4,則a5=()a.2b.4c.2d.【解析】選b.根據(jù)題意,數(shù)列an是等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,若=4,則=a3q2=a5=4.3.(2020全國(guó)卷)設(shè)an是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=()a.12b.24c.30d.32【解題指南】根據(jù)已知條件求得q的值,再由a6+a7+a8=a1q5(1+q+q2)可求得結(jié)果.【解析】選d.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則a1+a2+a3=a1=1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.4.(2020景德鎮(zhèn)高二檢測(cè))在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,若a3a4a5=3,則sin(log3a1+ log3a2+log3a7)的值為_(kāi).【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,若a3a4a5=3=,所以a4=.所以sin(l