時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關穩(wěn)定性條件

1、本科畢業(yè)論文（設計） 題 目：時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關穩(wěn)定性條件時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關穩(wěn)定性條件 學 院： 自動化工程學院 專 業(yè)： 自動化 姓 名： XXX 指導教師： XXX 2013 年 6 月 1 日 Delay-dependent Stability Criteria for Systems with Differentiable Time Delays 摘 要 本文研究了帶有可微時變時滯的連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。通過使用時滯導數的信息， 本文給出了時滯系統(tǒng)的改進的漸近穩(wěn)定性。與以前的研究方法不同的是，本文考慮了時 滯導數上界，即使這種時滯導數的上界大于等于 1。可以證明取得的結果要

2、比現有結論保 守性更低。同時，因為涉及較少的決策變量，本文所展示穩(wěn)定判據的計算復雜程度大大 降低。用 MATLAB 證實了所得穩(wěn)定條件的有效性和更低的保守性。 關鍵字 時滯相關穩(wěn)定條件 線性矩陣不等式（LMI） 時滯系統(tǒng) Abstract This paper studies the problem of stability for continuous-time systems with differentiable time-varying delays. By using the information of delay derivative, improved asymptotic s

3、tability conditions for time-delay systems are presented. Unlike the previous methods, the upper bound of the delay derivative is taken into consideration even if this upper bound is larger than or equal to 1. It is proved that the obtained results are less conservative than the existing ones. Meanw

4、hile, the computational complexity of the presented stability criteria is reduced greatly since fewer decision variables are involved. And we use MATLAB illustrate the eff ectiveness and less conservatism of the obtained stability conditions. Keywords Delay-dependent stability condition linear matri

5、x inequality (LMI) time- delay systems 目 錄 前 言.2 第 1 章 緒 論.4 1.1 時滯系統(tǒng)的相關介紹.4 1.2 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析基本方法.4 1.3 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題與展望.5 1.4 SCHUR 補的相關知識補充.5 1.4.1 Schur 補的定義.5 1.4.2 Schur 引理.5 1.5 本文的主要研究工作.5 1.6 文中的符號說明.6 1.7 小 結.6 第 2 章 LMI 工具箱介紹.7 2.1 線性矩陣不等式及相關術語.7 2.2 線性矩陣不等式的確定.9 2.3 線性矩陣不等式求解器.16 第 3 章 時滯項可微系統(tǒng)的

6、時滯相關穩(wěn)定性條件.21 3.1 主要結果.21 3.2 與現有結果的聯系.27 3.3 數值算例 .34 3.4 結論.35 結束語.36 謝 辭.37 參考文獻.38 附錄 仿真程序.40 前 言 從系統(tǒng)理論的觀點看，任何實際系統(tǒng)的過去狀態(tài)不可避免地要對當前的狀態(tài)產生影 響，即系統(tǒng)的演化趨勢不僅依賴于系統(tǒng)當前的狀態(tài)，也依賴于過去某一時刻或若干時刻 的狀態(tài)，這類系統(tǒng)稱為時滯系統(tǒng)。時滯產生的原因有很多，如：系統(tǒng)變量的測量(復雜的 在線分析儀)、長管道進料或皮帶傳輸、緩慢的化學反應過程等都會產生時滯。時滯常見 于電路、光學、神經網絡、生物環(huán)境及醫(yī)學、建筑結構、機械等領域，由于應用背景廣 泛，受到

7、很多學者的關注。從理論分析的角度來看，在連續(xù)域中，時滯系統(tǒng)是一個無窮 維的系統(tǒng)，特征方程是超越方程，有無窮多個特征根，而在離散域中，時滯系統(tǒng)的維數 隨時滯的增加按幾何規(guī)律增長，這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設計帶來了很大的困難。 因此，對于時滯系統(tǒng)的控制問題，無論在理論還是在工程實踐方面都具有極大的挑戰(zhàn)性。 常見的時滯系統(tǒng)包括奇異時滯微分系統(tǒng)、脈沖時滯微分系統(tǒng)、Lurie 時滯系統(tǒng)、中立 型時滯系統(tǒng)和隨機時滯系統(tǒng)等。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題是控制理論界的重要課題。若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初 始偏差的作用下，其過渡過程（輸出）隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復 平衡狀態(tài)的能力，則稱該系統(tǒng)為

8、穩(wěn)定。鎮(zhèn)定問題源于穩(wěn)定性問題，當受控系統(tǒng)通過狀態(tài) 反饋(或者輸出反饋),使的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,這樣的問題稱為鎮(zhèn)定問題。 早在 20 世紀 50 年代，就有很多學者開始研究時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性問題和控制問題， 其研究方法大致可分為頻域方法和時域方法。在早期主要是頻域方法，通過分析其特征 方程根的分布以及 Lyapunov 矩陣函數的解，給出時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據和控制器設計的 相應準則。頻域方法在單輸入輸出的定常時滯系統(tǒng)方面已經取的了一些很好的結果。但 是，對于多輸入輸出的時滯系統(tǒng)和時變時滯系統(tǒng)，用頻域方法就很難得到結論。因此， 相應的時域方法就得到發(fā)展，主要有 LyapunovKrasovskii

9、泛函方法和 Razumikhin 函數 方法。這兩種方法的基本思想都是構造 LyapunovKrasovskii 泛函或 Lyapunov 函數，然 后對其求導，使其導數小于零，得到穩(wěn)定性判據和控制器設計基本準則。這是由 Krasovskii 和 Razumikhin 所分別創(chuàng)造的，現已成為分析時滯系統(tǒng)鎮(zhèn)定性和控制器設計的主 要方法。尤其是在 20 世紀 90 年代，隨著 Riccati 方程和 Matlab 中 LMI( 線性矩陣不等 式)的發(fā)展，更使這兩種方法得到了廣泛的應用，這其中，有兩類成果備受關注: 一類是 時滯無關條件，一類是時滯相關條件。在 90 年代初及以前，用這兩種方法所得到

10、的條 件基本上都是時滯無關的，由于時滯無關條件不含時滯信息，對于小時滯系統(tǒng)，這類條 件具有較強的保守性，于是時滯相關條件得到發(fā)展。目前對于系統(tǒng)的時滯相關問題的研 究方法主要有: 離散 LyapunovKrasovskii 泛函方法、模型變換法、參數化模型方法、自 由權矩陣法、積分不等式法。 本文提出了消除時滯導數上界限制的新方法，同時給出了時滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。 可以證明，新結果比現有結果具有更低的保守性。同時，得到的穩(wěn)定判據有更少的決策 變量，所以在數學上更簡便，并且計算上更有效。在結果保守性不變的條件下，本文也 給出了簡化由加權矩陣和廣義系統(tǒng)方法得到的時滯相關穩(wěn)定條件的方法。 第 1 章

11、 緒 論 1.1 時滯系統(tǒng)的相關介紹 從系統(tǒng)理論的觀點看，任何實際系統(tǒng)的過去狀態(tài)不可避免地要對當前的狀態(tài)產生影 響，即系統(tǒng)的演化趨勢不僅依賴于系統(tǒng)當前的狀態(tài)，也依賴于過去某一時刻或若干時刻 的狀態(tài)，這類系統(tǒng)稱為時滯系統(tǒng)。時滯產生的原因有很多，如：系統(tǒng)變量的測量(復雜的 在線分析儀)、長管道進料或皮帶傳輸、緩慢的化學反應過程等都會產生時滯。時滯常見 于電路、光學、神經網絡、生物環(huán)境及醫(yī)學、建筑結構、機械等領域，由于應用背景廣 泛，受到很多學者的關注。從理論分析的角度來看，在連續(xù)域中，時滯系統(tǒng)是一個無窮 維的系統(tǒng)，特征方程是超越方程，有無窮多個特征根，而在離散域中，時滯系統(tǒng)的維數 隨時滯的增加按幾

12、何規(guī)律增長，這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設計帶來了很大的困難。 因此，對于時滯系統(tǒng)的控制問題，無論在理論還是在工程實踐方面都具有極大的挑戰(zhàn)性。 常見的時滯系統(tǒng)包括奇異時滯微分系統(tǒng)、脈沖時滯微分系統(tǒng)、Lurie時滯系統(tǒng)、中立 型時滯系統(tǒng)和隨機時滯系統(tǒng)等。 1.2 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析基本方法 縱觀時滯系統(tǒng)的研究和發(fā)展，有兩條主要研究途徑，即時域方法和頻域方法兩大類。 頻域分析方法利用 Smith 預估、變結構控制等方法設計控制器，并利用 Nyquist 圖等頻域 分析手段判斷系統(tǒng)參數在一定范圍攝動條件下閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。這一類設計只適用于定 常不確定系統(tǒng)或慢時變系統(tǒng)。時滯系統(tǒng)的時域分析方法越來越成

13、為時滯系統(tǒng)尤其是不確 定時滯系統(tǒng)（包括系統(tǒng)矩陣的參數不確定性以及時滯本身的不確定性）穩(wěn)定性分析以及 控制器綜合的主要方法。時域分析方法克服了頻域分析不能處理時變和參數攝動的不足， 而且具有方法簡單、易于計算等優(yōu)點，使其在實際工程應用中更加具有優(yōu)勢。近年來有 關不確定時滯系統(tǒng)的結論基本上都是用時域的分析方法取得的。時域方法用得最多的是 Lyapunov 直接設計方法。利用 Lyapunov 第二方法對時滯系統(tǒng)的研究主要是通過構造適當 的 Lyapunov 函數來求解時滯系統(tǒng)的無記憶反饋控制律，這是設計時變及不確定時滯系統(tǒng) 魯棒控制器的有效途徑?；?Lyapunov 方法的無記憶反饋控制器不但設

14、計簡便，在線計 算量少，因而近年來受到很多學者重視。利用 Lyapunov 方法對時滯系統(tǒng)的研究結果可以 分為兩大類：時滯無關結果和時滯相關結果。所謂時滯無關結果，是指所得結論都是獨 立于時滯大小的，即允許系統(tǒng)的滯后為無窮大，而對系統(tǒng)滯后的變化率一般都作了小于 1 的假設。相反地，時滯依賴結果跟系統(tǒng)滯后的大小有關。 1.3 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題與展望 1)目前有關時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析結果很多，但是進行控制器設計時，只在個別情況 下才會得到線性矩陣不等式(LMI)，多數情況下得到的是多項式矩陣不等式(PMI)或雙線性 矩陣不等式(BMI)。如何將多項式矩陣不等式轉化為LMI，或者在無法轉化成LMI

15、時，如 何對其利用優(yōu)化方法進行求解，是今后繼續(xù)努力的方向目前發(fā)展起來的多項式優(yōu)化理 論有望為這一問題提供系統(tǒng)化方法。 2)如何得到計算復雜性低，同時保守性較小的穩(wěn)定性準則是未來的努力方向。其中 LyapunovKrasovskii泛函的適當選取，尤其是參數依賴的Lyapunov泛函的選取，將對結 果的保守性產生積極影響，這方面還有大量的工作有待進行。 3)基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定性準則在保守性方面難于比較，至少看起來不直觀原 因是線性矩陣不等式在矩陣維數、變量及變量個數方面有所不同。如何進一步尋求系統(tǒng) 化方法進行相關分析，這方面的工作很有意義。 4)近年有關時滯的討論多數集中在線性系統(tǒng)，有關非

16、線性時滯系統(tǒng)的討論則較少(當 然也有例外)，而實際系統(tǒng)往往是非線性的，這也是進一步努力的方向之一。 5)近年來對網絡控制系統(tǒng)、無線通訊網絡、無線傳感器網絡的研究蓬勃興起，因網絡 中的信息必須通過通信網絡分時傳送，不可避免地在控制環(huán)路中引入了通訊延遲(時滯)， 消除時滯對網絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響是備受關注的問題，是推動時滯系統(tǒng)進一步研究發(fā)展 的動力。 1.4 Schur 補的相關知識補充 1.4.1 Schur 補的定義 分塊矩陣 M 表示為。 AB CD 如果 A 可逆，則 M 的 Schur 補定義為； 1 *DCAB 如果 D 可逆，則 M 的 Schur 補定義為。 1 *ABDC 1.4.

17、2 Schur 引理 分塊矩陣 M 表示為。 AB CD a. 如果 A 可逆，則 M0 等價為 A0 且 M 的 Schur 補為正定； b. 如果 D 可逆，則 M0 等價位 D0 且 M 的 Schur 補為正定。 1.5 本文的主要研究工作 本文提出了消除時滯導數上界限制的新方法，同時給出了時滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。 可以證明，新結果比現有結果具有更低的保守性。同時，得到的穩(wěn)定判據有更少的決策 變量，所以在數學上更簡便，并且計算上更有效。在結果保守性不變的條件下 ，本文也 給出了簡化由加權矩陣和廣義系統(tǒng)方法得到的時滯相關穩(wěn)定條件的方法。 1.6 文中的符號說明 維實向量空間； n Rn

18、維實矩陣空間； n n R nn 矩陣的轉置； T AA 矩陣的歐氏范數，即；AA 1/2 max( ) T AA A 為正定對稱矩陣；0P P 為半正定對稱矩陣；0P P 具有適當維數的單位矩陣；I 矩陣中的對稱部分。 1.7 小 結 在實際的工業(yè)生產過程和自然科學過程中，時滯現象的存在是不可避免的。特別是 電力系統(tǒng)、機械傳輸系統(tǒng)、網絡控制系統(tǒng)以及城市交通管理系統(tǒng)中，時滯現象的存在對 系統(tǒng)造成的影響是不可忽略的。所以在分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及跟蹤控制問題時，考慮時間 延遲對系統(tǒng)的影響是非常重要的。 第 2 章 LMI 工具箱介紹 線性矩陣不等式(LMI)工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個高性

19、能軟件包。 由于其面向結構的線性矩陣不等式表示方式，使的各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩 陣的形式加以描述。一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調用適當的線性矩 陣不等式求解器來對這個問題進行數值求解。 LMI 工具箱提供了確定、處理和數值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用 于： 以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式； 獲取關于現有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息； 修改現有的線性矩陣不等式系統(tǒng)； 求解三個一般的線性矩陣不等式問題； 驗證結果。 本章將詳細介紹 LMI 工具箱提供的用于解決以上各個問題的相關函數和命令。 2.1 線性矩陣不等式及相關術語 一個線性矩陣不等式就是具有以下

20、一般形式的一個矩陣不等式： (2-1)0)( 110 NNL xLxLxL 其中：，是給定的對稱常數矩陣，是未知變量，稱為決策變量， 0 L 1 L N L N xx, 1 是由決策變量構成的向量，稱為決策向量。 NT N Rxxx, 1 盡管表達式(1)是線性矩陣不等式的一個一般形式，但在大多數實際應用中，線性矩 陣不等式常常不是以一般表示式(1)的形式出現，而是具有以下形式： ),(),( 11nn XXRXXL 其中的和是矩陣變量的仿射函數，通過適當的代數運算，上式可以寫)(L)(R N XX, 1 成線性矩陣不等式的一般表示式(1)的形式。例如，在系統(tǒng)穩(wěn)定性問題中經常遇到的 Lyapu

21、nov 矩陣不等式 (2-2)0 XAXAT 也是一個線性矩陣不等式，其中的是一個矩陣變量。我們以一個二階矩陣X 為例，將矩陣不等式(2)寫成一般表示式(1)的形式。針對二階矩陣不等式(2)， 20 21 A 對應的矩陣變量是一個二階的對稱矩陣，不等式(2)中的決策變量是矩X 32 21 xx xx X 陣中的獨立元。根據對策性，矩陣變量可以寫成X 321 ,xxxX 10 00 01 10 00 01 321 xxxX 將矩陣和上式代入矩陣不等式(2)，經整理，可得A (2-3)0 40 00 43 30 02 22 321 xxx 這樣就將矩陣不等式(2)寫成了線性矩陣不等式的表示式(1)

22、。顯然，與 Lyapunov 矩陣 不等式(2)相比，表示式(3)缺少了許多控制中的直觀意義。另外，(3)式涉及到的矩陣也比 (2)式中的多。如果矩陣是 n 階的，則(3)式中的系數矩陣一般有 n(n+1)/2 個。因此，這A 樣的表達式在計算機中將占用更多的存儲空間。由于這樣的一些原因，LMI 工具箱中的 函數采用線性矩陣不等式的結構表示。例如，Lyapunov 矩陣不等式(2)就以矩陣變量的X 不等式來表示，而不是用其一般形式(3)來表示。 一般的，一個線性矩陣不等式具有塊矩陣的形式，其中每一個塊都是矩陣變量的仿 射函數。以下通過一個例子來說明有關描述一個線性矩陣不等式的術語。 考慮控制中

23、的一個線性矩陣不等式： H 0 N IDB DICX BXCXAXA N TT TT T 其中：、是給定的矩陣，和是問題的變量。ABCDN nmT RXX R 稱為外因子，塊矩陣N IDB DICX BXCXAXA XL TT TT ),( 稱為內因子。外因子可以不是一個正方矩陣，它在許多問題中常常不出現。 和是問題的矩陣變量。注意標量也可以看成是一個維的矩陣。X11 內因子是一個對稱塊矩陣。根據對稱性，可以由對角線及其上方的),(XL),(XL 塊矩陣完全確定。 中的每一塊都是矩陣變量和的仿射函數。這一函數由常數項和變量項),(XLX 這兩類基本項組成，其中常數項就是常數矩陣或以一些常數矩陣

24、組成的算術表達式，例 如中的 B 和 D；變量項是包含一個矩陣變量的項，例如等。),(XLIXA, 一個線性矩陣不等式不論多么復雜，都可以通過描述其中每一塊的各項內容來確定 這個線性矩陣不等式。 2.2 線性矩陣不等式的確定 LMI 工具可以處理具有以下一般形式的線性矩陣不等式： MXXRMNXXLN K T K T ),(),( 11 其中：是具有一定結構的矩陣變量，左、右外因子和是具有相同維數的給 K XX, 1 NM 定矩陣，左、右內因子和是具有相同塊結構的對稱塊矩陣。)(L)(R 注意在線性矩陣不等式的描述中，左邊總是指不等式較小的一邊，例如對線性矩陣 不等式0，稱為是不等式的右邊，0

25、 稱為是不等式的左邊，常表示成 0。XXX 要確定一個線性矩陣不等式系統(tǒng)，需要做以下兩步： 1. 給出每個矩陣變量的維數和結構； K XX, 1 2. 描述每一個線性矩陣不等式中各個項的內容。 這個過程產生所描述線性矩陣不等式系統(tǒng)的一個內部表示，它以一個單一向量的形 式儲存在計算機內，通常用一個名字，例如 lmisys 來表示。該內部表示 lmisys 可以在后 面處理這個線性矩陣不等式時調用。 下面將通過 LMI 工具箱中的一個例子來說明線性矩陣不等式系統(tǒng)的確定。運行 lmidem 可以看到這個例子的完整描述。 例例 1：考慮一個具有 4 個輸入、4 個輸出和 6 個狀態(tài)的穩(wěn)定傳遞函數 (2

26、-4)BAsICSG 1 )()( 和一組具有以下塊對角結構的輸入/輸出尺度矩陣：D (2-5) 54 32 1 1 00 00 000 000 dd dd d d D 則在具有時變不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析中提出了以下問題： 尋找一個具有結構(5)的尺度矩陣，使的。D1)(sup 1 DjDG 可以證明：這樣一個問題可以轉化成一個線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題，既尋 找兩個對稱矩陣和，使的 66 RX 44 RDDS T (2-6)0 SXB XBSCCXAXA T TT (2-7)0X (2-8)IS 用命令 lmivar 和 lmiterm 給出線性矩陣不等式系統(tǒng)(6)(8)的內部描述

27、如下： setlmis() x=lmivar(1,6 1) s=lmivar(1,2 0;2 1) % 1st LMI lmiterm(1 1 1 x,1,A,s) lmiterm(1 1 1 s,c,c) lmiterm(1 1 2 x,1,B) lmiterm(1 2 2 s,-1,1) % 2nd LMI lmiterm(-2 1 1 x,1,1) % 3rd LMI lmiterm(-3 1 1 s,1,1) lmiterm(3 1 1 0,1) lmisys=getlmis 其中：函數 lmirar 定義了兩個矩陣變量和，lmiterm 則描述了每一個線性矩陣不等式XS 中各項的內容

28、。getlmis 回到了這個線性矩陣不等式系統(tǒng)的內部表示 lmisys，lmisys 也稱為 是儲存在機器內部的線性矩陣不等式系統(tǒng)的名稱。以下將詳細介紹這幾個函數的功能和 用法。 setlmis 和和 getlmis 一個線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述以 setlmis 開始，以 getlmis 結束。當要確定一個新的 系統(tǒng)時，輸入： setlmis() 如果需要將一個線性矩陣不等式添加到一個名為 lmiso 的現有的線性矩陣不等式系統(tǒng) 中，則輸入： setlmis(lmiso) 當線性矩陣不等式系統(tǒng)被完全確定好后，輸入： lmisys=getlmis 該命令返回這個線性矩陣不等式系統(tǒng)的內部表示 l

29、misys。 lmivar 函數 lmivar 用來描述出現在線性矩陣不等式系統(tǒng)中的矩陣變量，每一次只能描述一 個矩陣變量。矩陣變量的描述包括該矩陣變量的結構。該函數的一般表達式是： x=lmivar(type,struct) 這一函數定義了一個新的矩陣變量，是該矩陣變量的變量名。函數中的第一個XX 輸入量 type 確定了矩陣變量的類型，第二個輸入量 struct 進一步根據變量的類型給XX 出該變量的結構。變量的類型分成三類： Type=1：對稱塊對角結構。這種結構對應于具有以下形式的矩陣變量： r D D D 00 00 00 2 1 其中對角線上的每一個矩陣塊是方陣，它可以是零矩陣、對

30、稱矩陣或者數量矩陣。這 j D 種結構也包含了通常意義的對稱矩陣和數量矩陣（分別相當于只有一塊） 。此時，struct 是 一個維的矩陣。如果該矩陣的第 i 行是(m，n)，則其中的 m 表示對稱矩陣塊的階2r i D 數，而 n 只能取 1、0 或者-1，其中 n=1 表示是一個滿的對稱矩陣（或者無結構的對稱 j D 矩陣） ，n=0 表示是一個數量矩陣，n=-1 表示是一個零矩陣。 i D i D Type=2：長方形結構。這種結構對應于任意的長方矩陣。此時，srtuct=(m，n)表示矩 陣的維數。 Type=3：其他結構。這種結構用來描述更加復雜的矩陣，也可以用于描述矩陣變量 之間的一

31、些關聯。的每一個元或者是 0，或者是，其中是第 n 個據側變量。相應X n x n x 的，struct 是一個和變量有相同維數的矩陣，其中的每一個元取值如下：X n n xjiXn xjiXn jiX jistruct ),(, ),(, 0),(, 0 ),( 如果 如果 如果 例例 2：考慮具有三個矩陣變量、和的線性矩陣不等式系統(tǒng)，其中 1 X 2 X 3 X 是一個 3 3 維的對稱矩陣； 1 X 是一個 2 4 維 的長方矩陣； 2 X 其中是 5 5 維的對稱矩陣，和是兩個標量， 22 13 00 00 00 I X A 1 2 表示 2 2 維的單位矩陣。 2 I 可以應用 lm

32、ivar 來定義這些矩陣變量。 setlmis() x1=lmivar(1,3 1) x2=lmivar(2,2 4) x3=lmivar(1,5 1;1 0;2 0) lmiterm 在確定了矩陣變量之后，還需要確定每一個線性矩陣不等式中各項的內容。線性矩 陣不等式的項指構成這個線性矩陣不等式的塊矩陣中的加項。這些項可以分成三類： 1. 常數項； 2. 變量項，即包含了矩陣變量的項，例如(3)式中的和。一般的變量項具XATSCCT 有形式，其中的是一個變量，和是給定的矩陣，分別稱為該變量項的左系數PXQXPQ 和右系數； 3. 外因子。 在描述一個具有多個塊的線性矩陣不等式時，LMI 工具箱

33、提供了這樣的功能，即只 需要確定對角線上和對角線上方的項的內容，或者只描述對角線上和對角線下方的項的 內容，其他部分項的內容可以根據線性矩陣不等式的對稱性得到。 用命令 lmiterm 每次可以確定線性矩陣不等式的一個項的內容。例如，對稱性矩陣不 等式 0 SXB XBSCCXAXA T TT 可以用一下一組命令來描述： lmiterm(1 1 1 x,1,A,s) lmiterm(1 1 1 s,c,c) lmiterm(1 1 2 x,1,B) lmiterm(1 2 2 s,-1,1) 這些命令一次描述了項、和。在每一條命令中，第 1 項是XAXATSCCTXBS 一個四元向量，它刻畫了

34、所描述的項所在的位置和特征； 第 1 個元表示所描述的項屬于哪一個線性矩陣不等式。值 m 表示第 m 個 不等式的左邊，-m 表示第 m 個不等式的右邊。 第 2 和 3 個元表示所描述的項所在塊的位置。例如，向量1 1 2 1表示所 描述的項位于第一個線性矩陣不等式左邊內因子的塊(1,2)中。第 2 和第 3 個元均取零表示所描述的項在外因子中。 最后一個元表明了所描述的項是常數項還是變量項。如果是變量項，則 進一步說明涉及哪一個變量。0 表示常數項，k 表示所描述的項包含第 k 個矩陣變量，-k 則表示包含矩陣變量的轉置（在例 1 中， k X k X T k XX 是第 1 個變量，s

35、是第 2 個變量，它們按確定的先后順序排列） 。 lmiterm 的第 2 項和第 3 項包含了數據（常數項的值，外因子，變量項或者PXQ 中的左、右系數） 。第 4 項是可選擇的，且只能是s。QPX T 在描述項的內容里，有一些簡化的方法。 1.零塊可以省略描述； 2. 可以通過在命令 lmiterm 中外加一個分量s，使的可以只用一個命令 lmiterm 就能 描述一個變量項與該變量項的轉置的和。例如，上面的第一個命令描述了。XAXAT 3. 可以用一個標量值來表示一個數量矩陣，即用表示數量矩陣，其中是一個I 標量。如例 1 中的第 3 個不等式被描述成IS lmiterm(-3 1 1

36、s,1,1) lmiterm(3 1 1 0,1) 為了便于閱讀，也可以用線性矩陣不等式和矩陣變量的名稱來表示對應的線性矩陣 不等式和矩陣變量。矩陣變量的變量名可以用命令 lmivar 來賦值，線性矩陣不等式的名 稱則可以用函數 newlmi 來確定。這些標識符可以用在命令 lmiterm 中以表示相應的線性 矩陣不等式或者矩陣變量。對例 1 中的線性矩陣不等式系統(tǒng)，采用名稱的相應描述如下： setlmis() x=lmivar(1,6 1) s=lmivar(1,2 0;2 1) BRL=newlmi lmiterm(BRL 1 1 x,1,A,s) lmiterm(BRL 1 1 s,c,

37、c) lmiterm(BRL 1 2 x,1,B) lmiterm(BRL 2 2 s,-1,1) Xpos=newlmi lmiterm(-Xpos 1 1 x,1,1) slmi=newlmi lmiterm(-Slmi 1 1 s,1,1) lmiterm(Slmi 1 1 0,1) lmisys=getlmis 其中：X 和 S 分別表示變量和，而 BRL、Xpos 和 Slmi 則分別表示第 1、第 2 和第 3XS 個線性矩陣不等式。-Xpos 指的是第 2 個線性矩陣不等式的右邊，-X 表示變量的轉置。X lmiedit 線性矩陣不等式編輯器 lmiedit 是一個圖形用戶界面，

38、它可以按符號方式直接確定線 性矩陣不等式系統(tǒng)。輸入 lmiedit 出現一個具有一些可編輯文本區(qū)域和各種按鈕的窗戶。按以下步驟來確定一個線性矩陣 不等式系統(tǒng)： 1. 在文本區(qū)域的上半部分給出每一個矩陣變量的描述（名字和結構） ，其機構是通過 類型（S 表示對稱塊矩陣，R 表示無結構的長方矩陣，G 表示其他機構矩陣）和一個“附 加”的結構矩陣（類似于 lmivar 中的 struct）來刻畫的。在文本編輯區(qū)，使用一行描述一 個變量。 2. 在文本區(qū)的下半部分，按 MATLAB 的表示方式給出要描述的線性矩陣不等式。例 如，線性矩陣不等式 0 IXB XBXAXA T T 可以通過輸入 01*;*

39、XBBXAXXA 來描述。其中 X 是文本區(qū)上半部分描述矩陣變量的變量名。一個線性矩陣不等式的描X 述可能需要幾行，但一行中最多只能描述一個線性矩陣不等式。 完成了線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述后，可以通過按相應的按鈕來完成以下的任務： 顯示用于描述線性矩陣不等式的 lmivar/lmiterm 命令串（按鈕 view commands） ；反 之，通過單擊按鈕 describe.可以將用一串 lmivar/lmiterm 命令定義的線性矩陣不等式系統(tǒng)按 MATLAB 表示式顯示。 將線性矩陣不等式的符號描述存為一個 MATLAB 語句串（按鈕 save） 。以后可以 通過按鈕 load 重新顯示這

40、種描述。 可以從一個文件讀一串 lmivar/lmiterm 命令（按鈕 read） ，然后通過單擊 “describe the matrix variables”或者“describe the LMIs.”顯示出由這些命令確定的線性矩陣不等式系 統(tǒng)的符號表示。 寫一串用于描述一個特殊線性矩陣不等式系統(tǒng)的 lmivar/lmiterm 命令（按鈕 write） 。 通過按鈕 creat 產生線性矩陣不等式系統(tǒng)的內部表示，結果用一個線性矩陣不等式 命名的 MATLAB 變量記錄（如果線性矩陣不等式系統(tǒng)名字是 mylmi，則其內部表示用 MATLAB 變量 mylmi 記錄） 。內部表示 mylm

41、i 可以被線性矩陣不等式求解器或者任何其 他的線性矩陣不等式函數調用。 如同命令 lmiterm 一樣，可以應用簡捷的方法來輸入線性矩陣不等式的表示式。例如 零塊可以簡單地輸入 0，而不必定義其維數，類似地，單位矩陣只需輸入字符 1 等。 lmiedit 盡管很一般，但是它沒有 lmiterm 靈活。以下是 lmiedit 的一些局限性： 在矩陣變量的兩邊不能使用括號。例如當 X 是一個變量名時， (A*X+B) *C+C*(A*C+B)是不允許的，而(A+B)*X+X*(A+B)則是可以的。 不允許出現循環(huán)和條件語句。 當把 lmiterm 命令轉換成一個線性矩陣不等式的符號描述時，如果 l

42、miterm 的第 1 個分量不能確認就將出錯。使用由 newlmi 和 lmivar 提供的線性矩陣不等式和變量標識符 可以避免這樣的問題。 圖 2.1 給出了用 lmiedit 描述例 1 中的線性矩陣不等式系統(tǒng)的窗口。 圖 2.1 lmiedit 的圖形界面 2.3 線性矩陣不等式求解器 LMI 工具箱提供了用于求解以下三個問題的線性矩陣不等式求解器(其中表示決策x 變量向量，即矩陣變量中的獨立變元構成的向量)。 k1, XX 可行性問題： 尋找一個 xrnn(或者等價的：具有給定結構的矩陣)，使?jié)M足線性矩陣的不等 k1, XX 式系統(tǒng) )()(xBxA 相應的求解器是 feasp。 具

43、有線性矩陣不等式約束的一個線性目標函數的最小化問題： xcT x min s.t. )()(xBxA 相應的求解器是 mincx。 廣義特征值的最小化問題： x min s.t.)()(xDxC )(0 xB )()(xBxA 相應的求解器是 gevp。 以下詳細介紹 feasp 求解器的功能和使用方法。 feasp 求解器 feasp 的一般表達式如下： tmin,xfeas=feasp(lmisys,options,target) 求解器 feasp 是通過求解如下的一個輔助凸優(yōu)化問題 mint s.t.tIxBxA)()( 來求解該線性矩陣不等式系統(tǒng) lmisys 的可行性問題。 這個凸

44、優(yōu)化問題的全局最優(yōu)值用 tmin 表示，作為求解器 feasp 輸出的第一個分量。如 果 tmin0，則系統(tǒng) lmisys 是可行的。當系統(tǒng) lmisys 為可行時，求解器 feasp 輸出的第二 個分量 xfeas 給出了線性矩陣不等式系統(tǒng)決策變量的一個可行解。進而，應用 dec2mat 可 以得到系統(tǒng) lmisys 矩陣變量的一個可行解。 求解器 feasp 的輸入變量 target 為 min 設置了目標值，使的只要 tmin0 表示限制決策變量在球體 2 1 2 Rx N i i 中，或者說向量 xfeas 的歐式范數不超過。該參數的默認值是。R 9 10R 可行域半徑的設定可以避免產

45、生具有很大數值的解 x，同時也可以加快計算過程，改 進數值穩(wěn)定性。 options(4)：該參數用于加快迭代過程的結束，它提供了反映優(yōu)化過程中迭代速度和 解的精度之間的一個折中指標。當該參數取值為一個正整數時，表示在最后的次迭代JJ 中，如果每次迭代后 的減小幅度不超過 1%，則優(yōu)化迭代過程就停止。該參數的默認值t 是 10。 options(5)：options(5)=1 表示不顯示迭代過程中的數據，options(5)=0(默認值)則相 反。 將 options(i)設置為零相當于將相應的控制參數設置為默認值，也可以通過忽略該輸 入變量來接受默認值。 例例 3：求滿足的矩陣，使的IP P

46、(2-9)0 11 PAPAT (2-10)0 22 PAPAT (2-11)0 33 PAPAT 其中： , 31 21 1 A 7 . 23 . 1 5 . 18 . 0 2 A 0 . 27 . 0 9 . 04 . 1 3 A 為了調用 feasp，我們首先確定線性矩陣不等式系統(tǒng)： setlmis() p=lmivar(1,2 1) lmiterm(1 1 1 p,1,A1,s) %LMI #1 lmiterm(2 1 1 p,1,A2,s) %LMI#2 lmiterm(3 1 1 p,1,A3,s) %LMI#3 lmiterm(-4 1 1p,1,1) %LMI#4:p lmit

47、erm(4 1 1 0,1) %LMI#4:I lmis=getlmis 然后調用 feasp 來求該現行矩陣不等式系統(tǒng)的一個可行決策變量： tmin,xfeas=feasp(lmis) 得到 tmin=-3.1363。因此，線性矩陣不等式系統(tǒng) lmis 是可行的。應用 dec2mat pp=dec2mat(lmis,xfeas,p) 得到問題的可行矩陣變量值： 1 . 155 4 . 126 4 . 126 8 . 270 P 在求解這個可行性問題的過程中，也可以附加一些約束，例如，要求矩陣的P Frobenius 范數不超過 10，且 tmin-1。也可以通過調用 tmin,xfeas=f

48、easp(lmis,0,0,10,0,0,-1) 來達到這些附加要求。相應的結果是 tmin=-1.1745，相應的矩陣 P 的最大特征值是 。6912 . 9 )( max P 如何從決策變量到矩陣變量以及從矩陣變量到決策變量如何從決策變量到矩陣變量以及從矩陣變量到決策變量 當現行矩陣不等式由相應的矩陣變量描述時，線性矩陣不等式求解器涉及的是由這 些矩陣變量中的獨立元所組成的決策向量 x。兩個函數 mat2dec 和 dec2mat 可以實現這兩 種變量之間的轉換。 考慮一個具有三個矩陣變量、的線性矩陣不等式系統(tǒng)。給定這些變量的 1 X 2 X 3 X 特定值 X1、X2、X3，那么由 ma

49、t2dec 可以得到相應的決策向量的值： xdec=mat2dec(lmisys,x1,x2,x3) 如果 lmisys 后分量的個數和線性矩陣不等式系統(tǒng) lmisys 中的矩陣變量個數不符，則 系統(tǒng)會提示一個出錯信息。 這個函數在線性矩陣不等式求解器 mincx 或 gevp 的初始化中也是很有用的。例如， 給定、的一個初始猜測值，mat2dec 就形成了相應決策向量的初始值 xinit。 1 X 2 X 3 X 反之，給定決策向量的一個值 xdec，那么可以通過函數 dec2mat 給出相應的第 k 個 矩陣的取值。例如，一下的表示式可以給出第 2 個矩陣變量的取值：、 x2=dec2ma

50、t(lmisys,xdec,2) 函數 dec2mat 中的最后一個分量表明了要求的是第 2 個矩陣變量，這里也可以用 lmivar 定義的相應矩陣變量的變量名。 矩陣變量和決策變量的總數分別由 matnbr 和 decnbr 給出。另外，函數 decinfo 提供 了決策變量和矩陣變量之間關系的一些詳細信息。 第 3 章 時滯項可微系統(tǒng)的時滯相關穩(wěn)定性條件 3.1 主要結果 在這一節(jié)，分析時變時滯連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用時滯導數相關李雅普諾夫函數 得到了一個充分條件。 考慮下面線性系統(tǒng) （3-1）( )( )( ),0 d x tAx tA x td tt （3-2）( )( ),0 x t

51、tt 其中， ( ) n x tR 是狀態(tài)變量， d AA和 是適當維數的常量矩陣，時滯項是時變連續(xù)函 ( )d t 數并且滿足 （3-3）( )d t 和 ( )d t （3-4） 其中 , (0), 和 是常數。初始條件 ( ) t ( ,0t )是連續(xù)的向量值函數。 在之前的文章中，例如3和6，時滯導數的上界應該小于 1。雖然7-8中的結果 可以應用到 1 的情況，其穩(wěn)定條件與時滯導數上界無關。 對于(3-1)( 3-4)所描述的時滯系統(tǒng)，式 （3-5） ( ) ( )( ) t T t d t xs Qx s ds （其中， ）常被作為李雅普諾夫函數（例如6-7,11） 。但是，如果

52、1 ， 0 T QQ 則這一項就是冗余的，因為 ( ) ( )( ) t T t d t xs Qx s ds ( ) ( )( ) ( )( )(1( )( )( ) ( )( )(1)( )( ) t T t d t TT TT xs Qx s ds xt Qx td txtd t Qx td t xt Qx txtd t Qx td t 其中 (1)0 。 這說明時滯項的導數沒有考慮進去，這顯然是不合理的。 ( )d t 實際上，時滯導數大于等于 1 的情況是很普遍的。例如，在網絡化控制系統(tǒng)里，時 滯項表示 k ti ,其中 (1,2,) k i k 是采樣時刻。所以，這一類時滯幾乎在

53、0t 時處處滿 ( )d t 足 ( )1d t 。 對于 1 的情況下，如果選擇了一個正數0 1 滿足 1 ，則有 （3-6）( )( )1d td t 且 （3-7） ( ) ( )( )( )( )(1)( )( ) t TTT t d t xs Qx s dsxt Qx txtd t Qx td t 所以此時，項的導數考慮了進去。 ( )d t 在此事實基礎上，可獲得一下定理。 定理定理 1 對于給定標量 (0),01，和 （滿足 1 ） ，如果存在矩陣 T PP ，使0,0(1,2,3,4),0(1,2,3) TT iijj QQiZj和Z （3-8） 1 123 111 323 4

54、 5 6 00() *() *000 0 *00 *0 * T T d ZA U ZZZA U U 那么，(3-1)( 3-4)所描述的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。其中， 4 11 113 1 1 21 1111 33123 1 412 1 52 11 6433 3 1 123 () (1)() ()() 1 1 T i i d i i PAA PQZZ PAZ QZZZZ QZ QZ QZZ ZZ UZZZ 證明證明 構造一個李雅普諾夫函數 （3- 12 34 ( )( ) 0 12 0 ()( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) tt

55、TTT t tt tt TT t d ttd t tt TT tt t T t V xxt Px txs Q s dsxs Q s ds xs Q s dsxs Q s ds xs Z x s dsdxs Z x s dsd xs Z x s dsd 9） 其中，是需要確定的矩陣。0,0(1,2,3,4)0(1,2,3) ij PQiZj與 根據萊布尼茨-牛頓公式，以下等式對于任何維數合適的矩陣和 , iii N S M Y(1,2, i T i 都是成立的： ,5) （3-10） ( ) 2( ) ( )( )( )0 t T t d t t N x tx td tx s ds （3-11）

56、 ( ) 2( ) ( )()( )0 t d t T t t S x td tx tx s ds （3-12） ( ) 2( ) ()( )( )0 t T t d t t M x tx td tx s ds （3-13） ( ) 2( ) ( )( )( )0 t T td t t Y x tx td tx s ds （3-14） ( ) ( ) 2( ) ( )( )( )0 td t T t d t t T x td tx td tx s ds 其中 125125125 , , , TTTTTTTTTTTT NNNNSSSSMMMM 125125 , ( )( )( )()()( )

57、TTTTTTTT TTTTTT YYYYTTTT txt xtd txtxtxtd t 且 或者，以下等式正確： （3-15） ( ) 111 ( ) ( )( )( )( )( )( ) ttt d t TTT tt d tt xs Z x s dsxs Z x s dsxs Z x s ds （3-16） ( ) 221 ( ) ( )( )( )( )( )( ) ttt d t TTT tt d tt xs Z x s dsxs Z x s dsxs Z x s ds （3-17） 33 ( ) ( )( ) 33 ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) tt TT

58、 ttd t td tt d t TT t d tt xs Z x s dsxs Z x s ds xs Z x s dsxs Z x s ds 對，取沿著（3-1）的軌跡的時間導數，可得 0t ( ) t V x 4 2 1 13 4 123 1 ( )2( )( )()()( )( ) ()()(1( )( )( ) (1( )( )( ) ( )() ( ) ( )( ) TTT ti i TT T T t T t V xxt Px txtQ x txt Q x t xtQ x td txtd t Q x td t d txtd t Q x td t xtZZZx t xs Z x s

59、ds 23 4 2 1 13 4 123 ( )( )( )( ) 2( )( )()()( )( ) ()()(1)( )( ) (1)( )( ) ( )() tt TT tt TTT i i TT T T xs Z x s dsxs Z x s ds xt Px txtQ x txt Q x t xtQ x txtd t Q x td t xtd t Q x td t xtZZZx ( ) 11232 ( )( ) ( ) 33 ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )() ( )( )( ) ( )( )( )( ) 2( ) ( )( )( ) 2 tt d tt TTT t

60、 d ttt d t ttd t TT td tt d t t T t d t t xs Z x s dsxs ZZZx s dsxs Z x s ds xs Z x s dsxs Z x s ds t N x tx td tx s ds ( ) ( ) ( ) ( )()( ) 2( ) ()( )( ) t d t T t t T t d t t S x td tx tx s ds t M x tx td tx s ds ( ) ( ) ( ) 1111 122123 1 3 2( ) ( )( )( ) 2( ) ( )( )( ) ( ) ( ) t T td t td t T t d