09.剛體的平面運動

1、第九章第九章 剛體的平面運動剛體的平面運動 剛體平面運動動畫一：行星齒輪剛體平面運動動畫一：行星齒輪 剛體平面運動動畫二：車輪運動情況剛體平面運動動畫二：車輪運動情況 9-1 9-1 剛體平面運動的概述和運動分解剛體平面運動的概述和運動分解 1 1 平面圖形平面圖形 2 2 運動方程運動方程 tf tfy tfx O O 3 2 1 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 基點基點 O 3 3 運動分析運動分析 =+ 平移坐標系平移坐標系 y xO 平面運動平面運動= =隨隨 的平移的平移+ +繞繞 點的轉(zhuǎn)動點的轉(zhuǎn)動 yxO O 9-2 求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法 1 基點法基點法 動點：動點

2、：M 絕對運動絕對運動 ： 待求待求 牽連運動牽連運動 ： 平移平移 MOvvvv OreM 任意任意A,B兩點兩點 BAAAB vvABvv 動系動系 ： (平移坐標系平移坐標系)yxO 相對運動相對運動 ：繞：繞 點的圓周運動點的圓周運動 O 例例9-1 橢圓規(guī)尺的橢圓規(guī)尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 軸的負向運軸的負向運 動，如圖所示，動，如圖所示，AB=l。 求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。 sin A BA v v sinl v l v ABA AB 解：解：1 AB作平面運動作平面運動,基點基點: A 。，求求：，已已知知： ABBA vlABv 方

3、向方向 ？大小大小? 2 A BAAB v vvv cot AB vv 例例9-2圖所示平面機構(gòu)中，圖所示平面機構(gòu)中，AB=BD=l=300mm。 在圖示位置時，在圖示位置時，BDAE，桿，桿AB的角速度為的角速度為=5rad/s。 求：此瞬時桿求：此瞬時桿DE的角速度和桿的角速度和桿BD中點中點C的速度。的速度。 lvvv BDBD s rad 5 l v DE v BD DE s rad 5 l v BD v BDB BD 解：解：1 BD作平面運動，基點：作平面運動，基點：B CDEAB vAEBDlDEBDAB，。求求：已已知知：s5rad,/,mm300 方向方向 ？大小大小? 2

4、l vvv DBBD 桿桿向向右右方方向向沿沿BD vvv CBBC s m 299. 1 22 CDEAB vAEBDlDEBDAB，。求求：已已知知：s5rad,/,mm300 ? 2 3 方向方向 ？大小大小ll vvv CBBC 例例9-3曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，OA =r, AB= 。 如曲柄如曲柄OA以勻角速度以勻角速度轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。 r3 的的速速度度。時時點點，求求：當當B 90060 解：解：1 AB作平面運動作平面運動,基點：基點：A 60 33230cosrvv AB 90 0, BAAB vrvv 0 0 B v 。求求：已已知知： BOA vrrAB

5、OA,3 方方向向 ？大大小小? 2 r vvv BAAB 例例9-4 圖所示的行星輪系中，大齒輪圖所示的行星輪系中，大齒輪固定，半固定，半 徑為徑為r1 ；行星齒輪；行星齒輪沿輪沿輪只滾而不滑動，半徑為只滾而不滑動，半徑為r2。 系桿系桿OA角速度為。角速度為。 求：輪求：輪的角速度的角速度 及其上 及其上B，C 兩點的速度。兩點的速度。 O 210 rrvv ADA 2 1 0 2 1 r r r v DA v ADA 解解: 1 輪輪作平面運動作平面運動,基點：基點：A 02 DAAD vvv 作純滾動輪已知, 021 OA rr CB vv ,求 CAAC vvv4 作純滾動輪已知,

6、021 OA rr CB vv ,求 21 22 2rrvvv OBAAB 方向方向 大?。看笮。?221 rrr vvv O BAAB 21 2rrvvv OCAAC 2 2 速度投影定理速度投影定理 BAAB vvv由 沿沿AB連線方向上投影連線方向上投影 AB AABB vv 同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點 連線上的投影相等。連線上的投影相等。 例例9-5 圖所示的平面機構(gòu)中，曲柄圖所示的平面機構(gòu)中，曲柄OA長長100mm， 以角速度以角速度=2rad/s轉(zhuǎn)動。連桿轉(zhuǎn)動。連桿AB帶動搖桿帶動搖桿CD，并拖，并拖 動輪動輪E沿水平面純滾動。沿水平面

7、純滾動。 求：此瞬時點求：此瞬時點E的速度。的速度。 已知：已知：CD=3CB，圖示位置時，圖示位置時A，B，E三點恰在三點恰在 一水平線上，且一水平線上，且CDED。 解：解： 1 AB作平面運動，基點：作平面運動，基點：A AABB vv OAvB 30cos sm2309. 0 30cos OA vB EOA vEDCDOA。求：。求：已知：已知：, s2rad,mm100 2 CD作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸：作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸：C sm6928. 03 B B D vCD CB v v 3 DE作平面運動作平面運動 sm8 . 0 30cos 30cos D E DE DDEE v v vv

8、vv EDCDCBCD s rad OA OA ,3,2,mm100已知 E v求 9-3 求平面圖形內(nèi)各點的瞬心法求平面圖形內(nèi)各點的瞬心法 1 定理定理 基點：基點：A MAAM vvv AMvv AM A C v ACv 0 一般情況下一般情況下,在每一瞬時在每一瞬時,平面圖形上都唯一平面圖形上都唯一 地存在一個速度為零的點。稱為瞬時速度中心，地存在一個速度為零的點。稱為瞬時速度中心， 簡稱速度瞬心。簡稱速度瞬心。 基點：基點：C CMvv MCM 2 平面圖形內(nèi)各點的速度分布平面圖形內(nèi)各點的速度分布 平面圖形內(nèi)任意平面圖形內(nèi)任意 點的速度等于該點隨點的速度等于該點隨 圖形繞瞬時速度中心圖

9、形繞瞬時速度中心 轉(zhuǎn)動的速度。轉(zhuǎn)動的速度。 3 3 速度瞬心的確定方法速度瞬心的確定方法 BABA vvvv不不平平行行于于且且的的方方向向已已知知：, B A ABA v v BC AC ABvvv 且,/ MAB ABBA ABAB vvv v vvv 00 瞬時平移瞬時平移( (瞬心在無窮遠處瞬心在無窮遠處) ) ABvv BA 且且不不垂垂直直于于,/ 純滾動純滾動( (只滾不滑只滾不滑) )約束約束 運動方程運動方程( (例例6-6)6-6) try ttrx cos1 sin trv trv y x sin cos1 Cv k 瞬心0 2 剛體平面運動動畫二：車輪運動情況剛體平面運

10、動動畫二：車輪運動情況 例例9-7 用瞬心法解例用瞬心法解例9-1。 BAB A v lABv , , 求求： 已已知知： BABA vlABv,求：求：已知：已知： 解：解：AB作平面運動，速度瞬作平面運動，速度瞬 心為點心為點C。 sinl v AC v AA AB cot AABB vBCv 例例9-8 礦石軋碎機的活動夾板長礦石軋碎機的活動夾板長600mm ，由，由 曲柄曲柄OE借連桿組帶動，使它繞借連桿組帶動，使它繞A軸擺動，如圖所示。軸擺動，如圖所示。 曲柄曲柄OE長長100 mm，角速度為，角速度為10rad/s。連桿組由桿。連桿組由桿 BG，GD和和GE組成，桿組成，桿BG和和

11、GD各長各長500mm。 求：當機構(gòu)在圖示位置時，夾板求：當機構(gòu)在圖示位置時，夾板AB的角速度。的角速度。 解解: 1 桿桿DE作平面運動作平面運動,瞬心為瞬心為 C1 mm3591 15sin 0 1 OG GC srad2968. 0 11 EC OE EC vE GE sm066. 1 1 GCv GEG AB GDBCOEAB : ,mm500, srad10,mm100,mm600 求求 已已知知： mm4 .92915sinmm500mm800 OG mm3369 11 OEOCEC 2 桿桿BG作平面運動作平面運動,瞬心瞬心 為為C2 2 GC vG BG 60cos 2 2 2

12、 GC BC vBCv GBGB srad888. 0 60cos AB v AB v GB AB 9-4 用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度 A ：基點：基點 n r t reB aaaa n BA t BAA aaa ABABa A 平面運動平面運動 = 隨基點隨基點的平移的平移 + 繞基點繞基點A的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動 Axy ：平移動參考系：平移動參考系 例例9-9 如圖所示，在外嚙合行星齒輪機構(gòu)中，系如圖所示，在外嚙合行星齒輪機構(gòu)中，系 桿以勻角速度桿以勻角速度1繞繞O1轉(zhuǎn)動。大齒輪轉(zhuǎn)動。大齒輪固定，行星輪固定，行星輪 半徑為半徑為r，在輪，在輪上只滾不滑。設上只

13、滾不滑。設A和和B是輪緣是輪緣 上的上的 兩點，點兩點，點A在在O1O的延長線上，而點的延長線上，而點B在垂直于在垂直于O1O的的 半徑上。半徑上。 求：點求：點A和和B的加速度。的加速度。 解解: 1 輪輪作平面運動作平面運動,瞬心為瞬心為 C r l r vO 0 d d t 。求求：純純滾滾動動。已已知知： BAOO aarrlOO, 111 1 2 選基點為選基點為 ? 0? 2 2 2 1 方向 大小rl aaaa n AO t AOoA )1 ( 2 1 2 1 2 2 1 00 r l l r l l aaa n AA 。求求：純純滾滾動動。已已知知： BAOO aarrlOO,

14、 111 1 ? 0? 3 22 1 方方向向 大大小小 rl aaaa n BO t BOoB 2 2 1 2 2 1 r l l aaa n BOoB l r a a Bo o arctanarctan 0 。求求：純純滾滾動動。已已知知： BAOO aarrlOO, 111 1 例例9-10如圖所示，在橢圓規(guī)機構(gòu)中，曲柄如圖所示，在橢圓規(guī)機構(gòu)中，曲柄OD以以 勻角速度勻角速度繞繞O 軸轉(zhuǎn)動。軸轉(zhuǎn)動。ODADBDl。 求：當時，尺求：當時，尺AB的角加速度和點的角加速度和點A的加速度。的加速度。 60 解解: 1 AB作平面運動作平面運動,瞬心為瞬心為 C 。求求： 已已知知： AAB O

15、D a lBDADODC , ,60, 0 l l CD vD AB 軸投影軸投影軸和軸和分別沿分別沿 n ADDA aaa2coscos sincossin0 n AD t ADD aaa 0 0 2 AD a a la t AD AB t AD A 解解得得 2 2laD D 為基點，為基點，選選 。求求： 已已知知： AAB OD a lBDADODC , ,60, 0 方向方向 大??？大??？ 22 ?ll aaaa n AD t ADDA 求：車輪上速度瞬心的加速度。求：車輪上速度瞬心的加速度。 例例9-11 車輪沿直線滾動。已知車輪半徑為車輪沿直線滾動。已知車輪半徑為R， 中心中心O

16、的速度為，加速度為的速度為，加速度為,車輪與地面接觸車輪與地面接觸 無相對滑動。無相對滑動。 O v O a 解解: 1 車輪作平面運動車輪作平面運動,瞬心瞬心 為為 C 3 3 選選為基點為基點 。求求：已已知知： COO avaR, R vO 2 Rt v Rt OO d d1 d d ？方方向向 ？大大小小 2 RR O n CO t COOC 2 R n COC 9-5 9-5 運動學綜合應用舉例運動學綜合應用舉例 1 1 運動學綜合應用運動學綜合應用 ： 機構(gòu)運動學分析機構(gòu)運動學分析 2 2 已知運動機構(gòu)已知運動機構(gòu) 未知運動機構(gòu)未知運動機構(gòu) 連接點運動學分析 3 3 連接點運動學分

17、析連接點運動學分析 平面運動鉸鏈連接 合成運動接觸滑動 求：該瞬時桿求：該瞬時桿OA的角速度與角加速度。的角速度與角加速度。 例例9-12圖示平面機構(gòu)，滑塊圖示平面機構(gòu)，滑塊B可沿桿可沿桿OA滑動?；瑒?。 桿桿BE與與BD分別與滑塊分別與滑塊B鉸接，鉸接，BD桿可沿水平軌道桿可沿水平軌道 運動?；瑝K運動?；瑝KE以勻速以勻速v沿鉛直導軌向上運動，桿沿鉛直導軌向上運動，桿BE長長 為。圖示瞬時桿為。圖示瞬時桿OA鉛直，且與桿鉛直，且與桿BE夾角為。夾角為。 l 2 45 解解: 1 桿桿BE作平面運動作平面運動,瞬心在瞬心在O點點 l v OE v BE vOBv BEB 。，求求： 。已已知知：

18、 OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 取取E為基點為基點 方向方向 大小大小BE aaaa E n BE t BEE B 2 ?0? 沿沿BE方向投影方向投影 l va a l v aa n BE B n BEB 2 2 2 45cos 2 45cos 。，求求： 。已已知知： OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 絕對運動絕對運動 ： 直線運動直線運動(BD) 相對運動相對運動 ：直線運動：直線運動(OA) 牽連運動牽連運動 ： 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動(軸軸O) 動點動點 ：滑塊：滑塊B 動系動系 ： OA桿桿 方方向向 大大小小?v vvv re a 沿沿B

19、D方向投影方向投影 l v OB v v vvv e OAr ae 0 。，求求： 。已已知知： OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 方方向向 大大小小? 2 2 2 l l v aaaa OA r n ee a 沿沿BD方向投影方向投影 2 2 2 2 2 l v OB a l v aa t e OA a t e 。，求求： 。已已知知： OAOA E OEOAOBElBECvv ,45,2, 求：此瞬時桿求：此瞬時桿AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。 例例9-13 在圖所示平面機構(gòu)中，桿在圖所示平面機構(gòu)中，桿AC在導軌中以在導軌中以 勻速勻速v平移，通過鉸鏈平

20、移，通過鉸鏈A帶動桿帶動桿AB沿導套沿導套O運動，導套運動，導套O 與桿與桿AC距離為距離為l。圖示瞬時桿。圖示瞬時桿AB與桿與桿AC夾角為。夾角為。 60 解解: 1 動點動點 ： 鉸鏈鉸鏈A 動系動系 ： 套筒套筒O 絕對運動絕對運動 ： 直線運動直線運動(AC ) 相對運動相對運動 ： 直線運動直線運動(AB ) 牽連運動牽連運動 ： 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動(軸軸O ) ABABAC lCvv,60,求求：已已知知： 方向方向 大小大小? 2 v vvv rea 2 60cos 2 3 60sin v vv vvv ar ae l v AO ve AB 4 3 ABABAC lCvv,60,求

21、求：已已知知： 方向方向 大小大小 reo Cr n e t e vAO aaaaa a 2?0 2 方向投影沿 t e a l v aa aa c t e C t e 4 3 0 2 2 2 8 33 l v AO a t e AB ABABAC lCvv,60,求求：已已知知： 另解另解: 1 取坐標系取坐標系xoy 2 A點的運動方程點的運動方程 cotlxA 3 速度、加速度速度、加速度 vlxA 2 sin 2 sin l v 2sinsin2sin 2 2 2 l v l v 2 sin l v AB 從從而而 2 2 8 33 l v AB ABABAC lCvv,60,求求：已

22、已知知： 例例9-14 圖所示平面機構(gòu)，圖所示平面機構(gòu)，AB長為長為l，滑塊，滑塊A可沿可沿 搖桿搖桿OC的長槽滑動。搖桿的長槽滑動。搖桿OC以勻角速度以勻角速度繞軸繞軸O轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動， 滑塊滑塊B以勻速沿水平導軌滑動。圖示瞬時以勻速沿水平導軌滑動。圖示瞬時OC鉛鉛 直，直，AB與水平線與水平線OB夾角為。夾角為。 求：此瞬時求：此瞬時AB桿的角速度及角加速度。桿的角速度及角加速度。 lv 30 解解: 1 桿桿AB作平面運動，基點作平面運動，基點 為為B ABBA vvv n AB t ABBA aaaa ABABBOC OBOClvClAB，。求求：已已知知：, 動點動點 ： 滑塊滑塊A 動

23、系動系 ： OC桿桿 絕對運動絕對運動 ：未知：未知 相對運動相對運動 ：直線運動（：直線運動（OC） 牽連運動牽連運動 ：定軸轉(zhuǎn)動（軸：定軸轉(zhuǎn)動（軸O） 方方向向 大大小小?lOA vvvvv ABBreA 方向投影方向投影沿沿 B v 2 30sin 0 l vvv eABB ABABBOC OBOClvClAB，。求求：已已知知：, lvvv eBAB 2 l vAB AB 方方向向投投影影沿沿 r v lvv ABr 2 3 30cos 0 方向 大小lv l aaaaaaaa ABrAB n AB t ABBCr n e t eA 22 ?02? 2 0 ABABBOC OBOClv

24、ClAB，。求求：已已知知：, 方向投影方向投影沿沿 C a 00 30cos30sin n AB t ABC aaa 2 33la t AB 從從而而 2 33 AB a t AB AB 例例9-15 在圖所示平面機構(gòu)中，桿在圖所示平面機構(gòu)中，桿AC鉛直運動，鉛直運動， 桿桿BD水平運動，水平運動，A為鉸鏈，滑塊為鉸鏈，滑塊B可沿槽桿可沿槽桿AE中的直槽中的直槽 滑動。圖示瞬時滑動。圖示瞬時 。 22 mm/s10,mm/s50,mm/s310 ,mm/s310,30,mm60 BBA A ava vAB 求：該瞬時槽桿求：該瞬時槽桿AE的角速度的角速度 、角加速度及滑塊、角加速度及滑塊B 相對相對AE的加速度。的加速度。 解：解：1、動點：滑動、動點：滑動B,動系：桿動系：桿AE )( )( baaaa avvv Crea rea BrAEAE BBA A v ava vAB , ,smm10, smm50,smm310