初三數(shù)學 二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題教案

1、二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題適用學科適用區(qū)域初中數(shù)學全國通用適用年級課時時長（分鐘）初中三年級120知識點教學目標教學重點教學難點二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)；1.熟練運用所學知識解決二次函數(shù)綜合問題2靈活運用數(shù)形結合思想巧妙運用數(shù)形結合思想解決綜合問題；靈活運用技巧及方法解決綜合問題；教學過程一、課堂導入二次函數(shù)的綜合問題是中考壓軸題常考題型之一，考點分值12分，難度較大。主要考查形式為二次函數(shù)與一些簡單幾何圖形的點存在性問題，既考查了學生的數(shù)形結合能力，又考查學生的計算能力。此類問題出現(xiàn)后，大多學生都無從下手，主要是學生的綜合能力、解題技巧及實戰(zhàn)經(jīng)驗不足所致。就本節(jié)二次函數(shù)與

2、相似三角形的點存在性問題，主要考查了學生能否將相似三角形的性質(zhì)與判定融入到二次函數(shù)，在函數(shù)圖像中構造相似圖形的能力。二、復習預習勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊和另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題3.逆定理：如果三角形的三邊長：a，b，c，則有關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。4.用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三

3、角形應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊為c。（2）驗證c2和a2+b2是否具有相等的關系，若a2+b2=c2，則abc是以c為直角的直角三角形。4acbb而言，其頂點坐標為（，）對于y=a（xh）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為三、知識講解考點1二次函數(shù)的基礎知識1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關于自變量的二次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的三種

4、表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（xh）2+k，通常要知道頂點坐標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c22a4a拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點考點2相似三角形的概念及其性質(zhì)1.定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。2.性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對應角相等；(2)相似三角形的對應邊成比例；(3)相似三角形的對應高線的比,對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似

5、比；(4)相似三角形的周長比等于相似比；(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.考點3探究三角形相似的一般思路解答三角形相似的存在性問題時，要具備分類討論的思想及數(shù)形結合思想，要先找出三角形相似的分類標準，一般涉及到動態(tài)問題要以靜制動，動中求靜，具體如下：（1）假設結論成立，分情況討論。探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個三角形相似的題目）或涉及到動點問題，因動點問題中點的位置不確定，此時應考慮不同的對應關系，從而分情況討論；（2）確定分類標準：在分類時，先要找出分類的標準，看兩個三角形是否有對應相等的角，若有，找出對應相等的角后，再根據(jù)其他角

6、進行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三種角來分類討論；（3）建立關系式并計算。由相似三角形列出相應的比例式，將比例式中的線段用所設點的坐標表示出來（其長度多借助勾股定理運算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應的點的坐標；四、例題精析考點一在函數(shù)中運用“sas”判定定理構造相似三角形例1直線y=-1x+1分別交x軸、y軸于a、b兩點，aob繞點o按逆時針方向旋轉90后得到cod，拋物線y3ax2bxc經(jīng)過a、c、d三點(1)寫出點a、b、c、d的坐標；(2)求經(jīng)過a、c、d三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點g的坐標；(3)在直線bg

7、上是否存在點q，使得以點a、b、q為頂點的三角形與cod相似？若存在，請求出點q的坐標；若不存在，請說明理由（2）因為拋物線yax2bxc經(jīng)過a(3，0)、c(0，3)、d(1，0)三點，所以解得a-b+c=0.c=3.ba10ba3103333【規(guī)范解答】（1）a(3，0)，b(0，1)，c(0，3)，d(1，0)9a+3b+c=0,a=-1,c=3,b=2,所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點g的坐標為(1，4)（3）如圖2，直線bg的解析式為y3x1，直線cd的解析式為y3x3，因此cd/bg因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等于旋轉角，所以abcd因此abbg，即abq

8、90因為點q在直線bg上，設點q的坐標為(x，3x1)，那么bq=x2+(3x)2=10xrtcod的兩條直角邊的比為13，如果rtabq與rtcod相似，存在兩種情況：當bq=3時，10x=3解得x=3所以q(3,10)，q(-3,-8)12當bq=1時，10x=1解得x=1所以q(1,2)，q(-1,0)34【總結與反思】1圖形在旋轉過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于旋轉角2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標3第（3）題判斷abq90是解題的前提4abq與cod相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點q與點b的位置關系分上下兩種情形，點q共有4個例2

9、如圖，已知點a(-2，4)和點b(1，0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點a的對應點為a，點b的對應點為b，若四邊形aabb為菱形，求平移后拋物線的表達式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線ab的交點為c，試在x軸上找一個點d，使得以點b、c、d為頂點的三角形與abc相似【規(guī)范解答】(1)因為點a(-2，4)和點b(1，0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上，所以4m-4m+n=4,m+2m+n=0.解得m=-4，n=43(2)如圖2，由點a(-2，4)和點b(1，0)，可得ab5因為四邊形aabb為菱形，所以aabbab5因為y=-4x2

10、-8x+4=-4(x+1)2+16，所以原拋物線的對稱軸x1向右平移5個單位后，對應的直線為x43333因此平移后的拋物線的解析式為y,=-4(x-4)2+1633圖2(3)由點a(-2，4)和點b(6，0)，可得ab45如圖2，由am/cn，可得bn=bc，即2=bc解得bc=5所以ac=35根據(jù)菱形的性質(zhì)，在abcbmba845與bcd中，baccbd如圖3，當ab=bc時，5=acbd355bd，解得bd=3此時od3，點d的坐標為（3，0）如圖4，當ab=bd時，5=bd，解得bd=5此時od13，點d的坐標為（13，0）acbc355333【總結與反思】1點a與點b的坐標在3個題目中

11、處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點b的坐標、ac和bc的長2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變3探求abc與bcd相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，baccbd，因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論考點二運用相似三角形的性質(zhì)解決二次函數(shù)綜合問題例3如圖，已知直線ab：y=kx+2k+4與拋物線y=1x2交于a，b兩點2（1）直線ab總經(jīng)過一個定點c，請直接出點c坐標；（2）當k=1時，在直線ab下方的拋物線上求點p，使abp的面積等于5；2（3）若在拋物線上存在定點d使adb=90，求點d到直線ab的最大距離【規(guī)范解答】解：

12、（1）當x=2時，y=（2）k+2k+4=4直線ab：y=kx+2k+4必經(jīng)過定點（2，4）點c的坐標為（2，4）（2）k=，直線的解析式為y=x+3聯(lián)立，解得：或點a的坐標為（3，），點b的坐標為（2，2）過點p作pqy軸，交ab于點q，過點a作ampq，垂足為m，過點b作bnpq，垂足為n，如圖1所示設點p的橫坐標為a，則點q的橫坐標為ayp=a2，yq=a+3點p在直線ab下方，pq=yqyp=+2a=5a+3a2am+nb=a（3）sapbapqbpqpqam+pqbn=pq（am+bn）=（a+3a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=1當a=2時，yp=時點p的坐標

13、為（2，2）（2）=2此當a=1時，yp=12=此時點p的坐標為（1，）符合要求的點p的坐標為（2，2）或（1，）（3）過點d作x軸的平行線ef，作aeef，垂足為e，作bfef，垂足為f，如圖2aeef，bfef，aed=bfd=90adb=90，ade=90bdf=dbfaed=bfd，ade=dbf，aeddfb設點a、b、d的橫坐標分別為m、n、t，則點a、b、d的縱坐標分別為m2、n2、t2ae=yaye=m2t2bf=ybyf=df=xfxd=ntn2t2ed=xdxe=tm，t+t2+4=0=化簡得：mn+（m+n）點a、b是直線ab：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交點，m、

14、n是方程kx+2k+4=x2即x22kx4k8=0兩根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定點d的坐標為（2，2）過點d作x軸的平行線dg，過點c作cgdg，垂足為g，如圖3所示點c（2，4），點d（2，2），cg=42=2，dg=2（2）=4cgdg，dc=2過點d作dhab，垂足為h，如圖3所示，dhdcdh2與dc重合即dcab時，當dh點d到直線ab的距離最大，最大值為2點d到直線ab的最大距離為2【總結與反思】（1）要求定點的坐標，只需尋找一個合適x，使得y的值與k無關即可（2）只需

15、聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點a、b的坐標設出點p的橫坐標為a，運用割補法用a的代數(shù)式表示apb的面積，然后根據(jù)條件建立關于a的方程，從而求出a的值，進而求出點p的坐標（3）設點a、b、d的橫坐標分別為m、n、t，從條件adb=90出發(fā)，可構造k型相似，從而得到m、n、t的等量關系，然后利用根與系數(shù)的關系就可以求出t，從而求出點d的坐標由于直線ab上有一個定點c，容易得到dc長就是點d到ab的最大距離，只需構建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題例4如圖，已知在平面直角坐標系xoy中，o是坐標原點，拋物線y=x2+bx+c（c0）的頂點為d，與y軸的交點為c，過點c作cax軸交拋物線于點a，在

16、ac延長線上取點b，使bc=ac，連接oa，ob，bd和ad（1）若點a的坐標是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形aobd的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點a，使得四邊形aobd是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點a的坐標；若不存在，請說明理由【規(guī)范解答】（1）acx軸，a點坐標為（4，4）點c的坐標是（0，4）把a、c代入yx2+bx+c得，得，解得；四邊形aobd是平行四邊形；理由如下：由得拋物線的解析式為yx24x+4，頂點d的坐標為（2，8），過d點作deab于點e，則de=oc=4，ae=2，ac=4，bc=ac=2，ae=bcacx軸，aed=bco=90，aedbco，ad=bodae=bco，adbo，四邊形aobd是平行四邊形（2）存在，點a的坐標可以是（2，2）或（2，2）要使四邊形aobd是矩形；則需aob=bco=90，abo=obc，aboobc，=，又ab=ac+bc=3bc，ob=bc，在rtobc中，根據(jù)勾股定理可得：oc=bc，ac=oc，c點是拋物線與y軸交點，oc=c，a點坐標為（c，c），頂點橫坐標=c，b=c，將a點代入可得c=+cc+c，橫坐標為，2）或者（2c，縱坐標為c即可，令c=2，a點坐標可以為（2，2）【總結與反思】（1