2003考研數(shù)一真題及解析

1、2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上 (1) lim(cos x)1 n(1 %)x 0曲面z2 xy與平面2x4yz設(shè)x2ancos nx(x)，n 0 211從R的基1, 2到基01(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為0平行的切平面的方程是 .則 a2=.111, 2的過渡矩陣為126x,0 x y 1, f(x,y) 0,其他，則 PX Y 1*lim an0 , lim bn1, lim cnnnn(C)極限lim anCn不存在.(D)n極限lim bnG不存在.n 已知一批零件的長(zhǎng)度 X (

2、單位：cm cm)服從正態(tài)分布 N( ,1)，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為40 (cm)，則 的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、選擇題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) (1)設(shè)函數(shù)f (x)在(，)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有()(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) 設(shè)an,bn, cn均為非

3、負(fù)數(shù)列，且()(A) an bn對(duì)任意n成立.(B)bn5對(duì)任意n成立若秩(A)秩(B)，則Ax0的解均是Bx0的解;若Ax 0與Bx 0同解，則秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，則Ax0與Bx 0同解以上命題中正確的是()(A)(B).(C).(D).設(shè)隨機(jī)變量X t(n)(n1),Y1口2，則()X(A) Y 2(n).(B)Y 2(n| 1).(C) YF( n,1).(D)YF(1, n).若Ax 0的解均是Bx 0的解，則秩(A)秩(B )；已知函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim f(x,y) xyx 0，y 0 (x2y2)21，則()(A)點(diǎn)(0,

4、0)不是f(x, y)的極值點(diǎn).(B)點(diǎn)(0,0)是f(x, y)的極大值點(diǎn).(C)點(diǎn)(0,0)是f(x, y)的極小值點(diǎn).(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).設(shè)向量組r可由向量組II :1,s線性表示，則(A)當(dāng) r(C)當(dāng) rs時(shí)，向量組s時(shí)，向量組II必線性相關(guān)I必線性相關(guān)(B)(D)s時(shí)，向量組IIs時(shí)，向量組I必線性相關(guān)必線性相關(guān)設(shè)有齊次線性方程組 Ax其中A,B均為m n矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題:、(本題滿分10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 yIn x的切線,該切線與曲線 y Inx及x軸圍成平面圖形D .(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)一周所得

5、旋轉(zhuǎn)體的體積V .、(本題滿分12分)丄的和.n 0 2n 11 2x將函數(shù)f (x)arctan展開成x的幕級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)1 2x五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域D(x, y) 0x ,0 y，L為D的正向邊界.試證(1) xesin y dyLye sinxdxxe sinydyLyesinxdx;xesin y dysin x 1ye dx2 2.六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k 0).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下am根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)

6、所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0 r 1).(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深? (注：m表示長(zhǎng)度單位米.)、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)y y(x)在()內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y 0, x x(y)是 y y(x)的反函(1)試將x x(y)所滿足的微分方程d2xdy2(ysinx)(dx)30變換為y y(x)滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)0,y (0)I的解、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,F(t)f (x2 y2z2)dv(t)f(xD(t)dG(t)f(x2D(t)t2

7、，1f(x )dx其中(t)(x,y,z)z2 t2，D(t)(x, y) xy2)d22 以、y t.(1)討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性2 證明當(dāng)t 0時(shí)，F(xiàn)(t) G(t).九、(本題滿分10分)322010設(shè)矩陣A232，P101 ，B P 1A P，求B 2E的特征值與特征223001向量，其中A為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣 十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為h : ax 2by 3c 0， l2 ：bx 2cy 3a 0， l3:cx 2ay 3b 0.試證：這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a b c 0.十一、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有

8、同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù) X的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體X的概率密度為f(x)2e 2(x ),x0, x其中0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 X1,X2, ,Xn，記min (XX2, ,Xn).(1)求總體X的分布函數(shù)F(x);求統(tǒng)計(jì)量？的分布函數(shù)F?(x)；(3) 如果用？作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析、填空題【詳解】方法1 ：求lim u(x)v(x)型極限，一般先化為

9、指數(shù)形式limu(x)v(x) lim ev(x)lnu(x)然后求lim v(x)ln u(x)，再回到指數(shù)上去.【答案】2x 4y z 5【詳解】由題意，只要滿足所求切平面的法向量與已知平面的法向量平行即可.平面2x4yz 0的法向量：n12,4, 1；曲面z22rx y 在點(diǎn)(X0,y,Z0)的法向量：n Zx(x0,y),Zy(x0,y0), 1 2x),2y, 1rr由于 n1 / n2,因此有2x)2y1241可解得，X。1, y02，相應(yīng)地有z2 2x y5.所求切平面過點(diǎn)(1,2,5)，法向量為：n22,4,1,故所求的切平面方程為【答案】1?elim (cos x)ln(1x

10、 01In cosxx )ln(1 x2)Tim ex 0In cosx lim0ln(1x2)ln cosxln(1 x2)ln(1 cosx 1) cosx 1lim2 lim (等價(jià)無窮小替換ln(1 x): x)x 0 ln(1 x ) x 0 x!i叫1 2x22x丄(等價(jià)無窮小替換1 cosx: x2)2 21原式=e 212方法 2:令 y (C0SX)ln(1 X)，有 ln yIn cosx2ln(1 x )，以下同方法1.2(x 1)4(y2) (z 5)0，即 2x 4y z 5【答案】1【詳解】將f(x) x2(x)展開為余弦級(jí)數(shù)f(x)an cosnx(x )，其中

11、an0o f (x)cos nxdx 所以a2cos2xdx乂勺前“丄伙務(wù)n2xo sin2x 2xdx|【答案】xd cos2xxcos2x 00 cos2 xdx【詳解】n維向量空間中，從基n到基2,n的過渡矩陣P滿足1,2 , n =n因此過渡矩陣P為:P=n1n 根據(jù)定義，R2的基到基的過渡矩陣為P=2 121【答案】-4【分析】本題為已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x, y)，求滿足一定條件的概率Pg(X,Y) zo 連續(xù)型二維隨機(jī)變量 (X,Y)概率的求解方法F(x, y)xf (u, v)dudv,此題可轉(zhuǎn)化為二重積分 Pg(X,Y) z0g(x,y)【詳解】圖中陰影區(qū)域

12、為積分區(qū)域由題設(shè)，有f (x, y)dxdy進(jìn)行計(jì)算.Z0PX Y1x y 1f(x,y)dxdy12 dx0x6xdy(6x 12x2)dx【答案】(39.51,40.49).【分析】可以用兩種方法求解:2(1)已知方差 1 ,對(duì)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計(jì)因?yàn)閄 : N( ,1)，設(shè)有n個(gè)樣本，樣本均值X1 一 Xi，則 X : N( n i 1丄)，將其標(biāo)準(zhǔn)化,n由公式X E(X)D(X)n N(0,1)X得：N(0,1)u 12可確定臨界值u ,進(jìn)而確定相應(yīng)的2置信區(qū)間(XU2.n，XU2 .n)-(2)本題是在單個(gè)正態(tài)總體方差已知條件下，求期望值的置信區(qū)間問題由教材上已經(jīng)求出的置信區(qū)間

13、(x u2,n，xu鄉(xiāng)石),其中PU,U : N(0,1),可以直接得出答案.【詳解】方法1 :由題設(shè)，10.95，可見 0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點(diǎn)u 1.96.本題 n 16, x 40.2即 P39.51根據(jù)P1.9640.490.95 ,故方法2:由題設(shè)，1PUu20.95,Pu2查得u 1.96.216,0.95，有 P1.960.95 ,的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49) u_2 (u_)22x 40代入(x1 0.95, (u )0.9752得置信區(qū)間(39.51,40.49) 二、選擇題(1)【答案】(C)【分析】函數(shù)的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)為零

14、） 或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值 點(diǎn)可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的 點(diǎn)有3個(gè)（導(dǎo)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）；x 0是導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn).對(duì)3個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)均 不一致，故必為極值點(diǎn)，其中第一個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)由正變?yōu)樨?fù)，是極大值點(diǎn)；第二個(gè)交點(diǎn)和第三個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)由負(fù)變?yōu)檎? 是極小值點(diǎn)，則三個(gè)駐點(diǎn)中有兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；對(duì)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：x 0 .左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x 0為極大值點(diǎn).故f（x）共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選（C）.【答案】（D）【詳解】方法1 ：推

15、理法由題設(shè)limbn1，假設(shè)limbncn存在并記為A，則limCnlimnna ,這與nnnnbnlim cn矛盾,故假設(shè)不成立，lim bncn不存在.n所以選項(xiàng)（D）正確.方法2:排除法取an1 nbn工，滿足lim annn0,lim bn 1n,而d1Q0 b , (A)不正確；取bnnn1,Gn 2 ,滿足 lim bnn1,lim cnn,而b101 C1 , （B）不正確；取an1qn 2，滿足 lim an0,lim Cn,而 liman Cn1 , (C)不正確.nnn【答案】(A)【詳解】由limx 0, yW啟 1f(x,y) xy (1 ，其中 yim00由 f(x,

16、y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)知,f (0,0)0.取y x , x充分小，x 0,有f (x, y)(12 2)(2x )0;x2 (1)(2x2)2 0取y x , x充分小，x 0，有f （x, y）故點(diǎn)（0,0）不是f （x, y）的極值點(diǎn)，應(yīng)選（A）.（極值的定義）若向量組I :(4)【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理:可由向量組II :s線性表示，則當(dāng)S時(shí)，向量組I必線性相關(guān).或其逆否命題：若向量組I :r可由向量組IIs線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有r s .可見正確選項(xiàng)為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】用排除法:0101 0 10 1 21

17、,則10102，但 1 ：,2線性無關(guān)，排除(A)；0111 01 201 10則1,2可由1線性表示，但1線性無關(guān)，排除(B);1101 _ , 1_ , 21可由1,2線性表示，但1線性無關(guān)，排除(C).001【答案】(B)【分析】本題可找反例用排除法進(jìn)行分析，但、兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住、，迅速排除不正確的選項(xiàng).【詳解】若AX 0與BX 0同解，則它們的解空間中的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)相同，即n-秩(A)= n-秩(B),但反過來，若秩得秩(A)=秩(B )，命題成立，可排除(A), (C);(A)=秩(B)，則不能推出 AX0與BX 0同解，通過舉一反例證也卄1000明，若

18、A,B門，則秩(A)=秩(B )=1，但AX 0與BX 0不同解,0 001可見命題不成立，排除(D).故正確選項(xiàng)為(B).【答案】(C).【分析】求解這類問題關(guān)鍵在于了解產(chǎn)生2變量、t變量、F變量的典型模式.2(1) 分布：設(shè)Xi,X2,L ,Xn相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量nZX：服從自由度為n的2分布記做Z : 2(n).i 12(2) t分布：設(shè)X1 : N(0,1) , X2 (n)，且X1,X2相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量rX1ZI服從自由度為n的t分布.記做Z : t(n)X/nF分布：設(shè)X :2(n 1),Y :2(壓)，且X,Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量Z 耳1服丫/從F分布，

19、其第一、二自由度分別為n1, n2.記做 Z : F (n“ n2).【詳解】其實(shí)，由 F分布的性質(zhì)以及t分布和F分布的關(guān)系得,(1)如果統(tǒng)計(jì)量 T : t(n)，則有T : F(1,n)；1(2)如果統(tǒng)計(jì)量F: F(n1,n2)，則有匸:F(n2,n1). 由以上兩條性質(zhì)可以直接得出本題的答案為(C).先由t分布的定義知X U : t(n)，其中 U N(0,1),V (n)，于是1 v/Y 丄二 x2 U2分母中只含有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方，所以u(píng)22(1).由F分布的定義知Y F (n,1).故應(yīng)選(C).三【分析】圓錐體體積公式:V 3 r2 h ；旋轉(zhuǎn)體的體積:(1)連續(xù)曲線yf(x

20、)，直線x a、x b所圍成的圖形繞直線x X。旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積V12f (x) x0 dx連續(xù)曲線xg(x)，直線y c、y d所圍成的圖形繞直線y y0旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積V22g(y) yo dy【詳解】為了求D的面積，首先要求出切點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X。,則曲線y ln x在點(diǎn)(xo，ln X。)處的切線方程是:y1In X。一(x X。).X。切線的斜率為1y x 一，由于該切線過原點(diǎn)，將(。,。)點(diǎn)代入切線方程，得lnxo 10 ,Xo從而X。e.所以該切線的方程為1 y -x.e（1）利用平面圖形D的面積公式S(y)(y) dy，得1 1A 0（ey ey）dy

21、 -e 1.（2）旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體 （圓錐）體積減去一小立體體積進(jìn)行計(jì)算，為了幫助理解, 可畫一草圖.切線y曲線yV2Ox1x與x軸及直線xe1 2 1 (e ey) dy - 03In x與x軸及直線10 (eey)2dye所圍成的三角形繞直線 x e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為:e所圍成的圖形繞直線 x e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為:1(e20 2e eye2y)dy/ 2(e y2eey尹）因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為3VV1 V2(eey)2dy嚴(yán)2 12e 3).四【分析】幕級(jí)數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍?求導(dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知幕級(jí)數(shù)展開的情形.另外

22、，由于函數(shù)展開成的幕級(jí)數(shù)， 經(jīng)兩邊求導(dǎo)或積分（其中一邊是逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分 ） 后，其新的展開式收斂區(qū)間不變，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處，求導(dǎo)（積分）后的展開式成立與否，要另行單獨(dú)處理，設(shè)已有f (x)an(x x)nn 0收斂區(qū)間為（滄 R,x0 R）.如果在x X。R處級(jí)數(shù)收斂，并且f （x）（左）連續(xù)，則展開式成立的范圍可擴(kuò)大到x滄 R處，在x x0 R處亦有類似的結(jié)論，不過此時(shí)f (x)(左)連續(xù)應(yīng)改稱（右）連續(xù).【詳解】本題可先求導(dǎo),1 2x1 2xf (x),1 2x11 2x所以對(duì)于函數(shù)1111 4x2f (x)2(12x)2(1 2x)21 2x21 2x1 2x基本求導(dǎo)公式42(1

23、4x2)對(duì)上式兩邊求積分,1 4x2，可以利用我們所熟悉的函數(shù)x2 L的幕級(jí)數(shù)展開:1)(4x2)nn 0_ 1n n 2n1) 4 x4x21 (把x換成4x2)21得1)n4n 2nxf (x) f (0)(t)dt1)n4nt2n dt(1)n4nx ct2ndt00 2n2n1 1，x ( 2,2)，又因?yàn)閒(0)，所以4f (x) f (0)dtH(2n1 2x arcta n1 2x(1)n4nx2n 12n1,x1，2)(*)1在x 處，右邊級(jí)數(shù)成為(1)n0 2n 1，收斂(利用萊布尼茨定理)，左邊函數(shù)f (x)連續(xù)，所以成立范圍可擴(kuò)大到x不連續(xù)，所以成立范圍只能是1 ,處.而

24、在：2(1 Jx (,.2 21處，右邊級(jí)數(shù)雖然收斂，但左邊函數(shù)f (x)為了求 Un 0 2 n 1，令丄代入(*)得2(1)4n1 0 2n 122n 1(1)n4 n 0 2 n 1再由f（2）o，得丄-仁丄)-n 0 2 n 1-2-五【詳解】（1）方法1用格林公式證明由曲線為正向封閉曲線，自然想到用格林公式因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于y x對(duì)稱，所以sin y(e eDsin x、)dxdyx與y互換(esinyDsin x、)dxdysin y .xe dysin xye dxLxesin ydysin x -ye dxP? Pdx QdyDxdxdy . y所以sin y .sinLxed

25、y yexdx(esinyDsin x、e )dxdy所以sin y .sinLxedy yexdx(e sin ye )dxdyD方法2:化為定積分證明所以左邊右邊(2)方法1 :（因?yàn)閍si nx_Lye dx= 0sin y Ixe dy ye用格林公式證明sin y ixedy yeesin ydy0 .e sinxdx =0si nx(e esin x、)dxsin xLyesin xdxsin xdxdx =xeLsin ye dy0 . sin x |e dx=sin x0(esin x、e )dxsin ysindy ye dx.(esinyDe sinxdxdy=DDsin

26、xsin x、(e e )dxdy 2dxdyDsin x x |e )dxdyesinydxdyesin xdxdy2 . ab,a 0,b 0)方法 2：由(1)知，?xesinydy ye sinxdx o (esinxsin x、.)dxsinxdxdy利用輪換對(duì)稱性22dx 20x軸正向，設(shè)第n次擊打后，樁被）.由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下六【詳解】（1）建立坐標(biāo)系，地面作為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為 打進(jìn)地下Xn，第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為 Wn（n 1,2,3,的深度為x時(shí)，土層對(duì)樁的阻力的大小為kx，汽錘所作的功等于克服阻力所做的功.x1k 2x2kxdxx1 , W,kxdx02x1k 2

27、(x22X；) , W3從而k 2g Wb x；2又W2rW1 , W rW2 r2W1,從而k 2X3 2wW, Wb(1 r r2)w(1 r2、k 2r)2a于是X3a 1 r r2 .X3X2第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn,第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為 Wn（n 1,2,3, ） kxdx k(x| x；) , % a2則汽錘前n次所功的和等于克服樁被打進(jìn)地下Xn m所做的功.xno kxdx W1Wn(1rn 1)W,而w所以k從而Xn由于or 1n2(1 rakxdx0所以lim人1n牛-萊公式1、k 2)2aaa . 1 r L rn 1等比數(shù)列求和公式七【詳解】（1）將題中的d

28、x與*dy2變換成以x為自變量y為因變量的導(dǎo)數(shù)魚與gydy2dxdx22.來表dx2示（即通常所說的反函數(shù)變量變換），有dx 1d2xdy dy dxd dx、 d 1 dx y 1和和芯石=廠7y(y )3.代入原方程，得y sin x.方程（* ）所對(duì)應(yīng)的齊次方程為y y 0,特征方程為r210,根r1,21 ,因此通解為YGexC?e I由于i不是特征方程得根，所以設(shè)方程（* ）的特解為Acosx Bsi nxAsinx Bcosx , yAcosx Bsin x代入方程(*)，得：Acosx1 *0, B ,故 y2解得ABsi nx A cosx1sinx.從而y2Bsi nx2Ac

29、osx 2Bsi nx sinxy sin x的通解為y(o)C2e1 . sin x.23y(0) 0, y (0)，得 C13的解為2o,y(o)1 . sin x.2且y(x)的導(dǎo)函數(shù)y(x)cosx 0 ,1 .故變換后的微分方程滿足初始條件滿足題設(shè)y 0條件.八【詳解】(1)首先對(duì) 轉(zhuǎn)化為在極坐標(biāo)系中的計(jì)算.F (t)進(jìn)行化簡(jiǎn),三重積分轉(zhuǎn)化為在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算；二重積分所以為了討論由于f(t)上 f (x)因?yàn)樗詅(x2(t)2 2 x ,y z )dvo f (r2)r2sin dr0sin d 0f(r2)r2drf(x2D(t)F(t)t 2 20 f (r )r drco

30、s一tf (r2)r2dr球面坐標(biāo))dt0 f (r2)rdrt0 f (r2)rdr極坐標(biāo))to f (r )r sin dr0 f(r )rdrt0 f(r )r dr- 2f (r2)rdrt0 f (r )r dr0 f(r )rdrF(t)在區(qū)間(0,t2f(t2)F(t)0,r0,t r)內(nèi)的單調(diào)性，對(duì)F(t)求導(dǎo):t 2 t 2 2 20f(r )rdr 0 f (r )r dr f(t )tt 220f(r2)rdr22、 22 t 2嚴(yán))0f(r)r(t r)drt0f(r2)rdr20,所以f(r2)r(t r) 0.再利用定積分的性質(zhì)：若在區(qū)間a,bb0,則 f(x)dx

31、 0.所以F (t)0,所以F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.a將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.t 2ttf(x2)dx 2 0f(x2)dxt0f(r2)dr ,f(x2 y2)dG(t)牛一 tf(x2)dxt 20 f(r )rdrt22 f (r2)dr0t0 f (r )rdrf (r2)dr0要證明t 0時(shí)F(t) -G(t)，只需證明t 0時(shí)，F(xiàn)(t) -G(t) 0，即1F(t) 2G(t)t 222 o f(r )r drf (r2)rdr22 of (r )rdrf (r2)drf (r2)rdrt 2 2 t 22 o f (r

32、2)r2drf (r2)dr2f (r )rdrf (r2)dr0 f (r2)rdrttg(t) 0f(r2)r2drf(r2)drg (t)f (t2)t2 ； f (r2)dr f (t2) : f (r2)r2dr 2f (t2)t : f (r2)rdr2 t 2 2f(t2) of (r2)(t r)2dr 0 t 0故 g(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加，又因?yàn)?g(0)0,所以當(dāng)t 0時(shí)，有g(shù)(t) g(0)0 ,2從而 t 0時(shí)，F(xiàn)(t) G(t).九【分析】 法1 ：可先求出A , P 1，進(jìn)而確定B P 1A P及B 2E，再按通常方法確 定其特征值和特征向量；法2：先求出A的

33、特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù) B 2E與A* 2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】方法1:經(jīng)計(jì)算可得5220 11A*252P 11 002250 01700900所以BP 1A*P =254,B2E274223225900令E(B2E)274(9)2(3)0 ,225故B 2E的特征值為i 29, 33.9時(shí)，解(9E A)x 0 ,得線性無關(guān)的特征向量為所以屬于特征值k1 19的所有特征向量為k2k133時(shí)，解(3EA)xk20 ，其中kk2是不全為零的任意常數(shù).1得線性無關(guān)的特征向量為所以屬于特征值3 3的所有特征向量為k3 3 k31 ，其中k30

34、為任意常數(shù).1方法2:設(shè)A的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即A由于A 70，所以 0.所以A A AEAEA (AA(E )因此,B(P(B由于2E)P1 *A P(P1 ) -(P12)P 12E的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量為P1(1)2(7)，故A的特征值為2 1時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為11,021, 37當(dāng)3 7時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為3110 11 111 0由 P 1100 ，得 P 1 11P 1 21 , P 1 31 .0 0 101 1因此，B2E的三個(gè)特征值分別為9,9, 3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為11k1P 11 k? P 2 k1k21 ,其中k1,k2是不全

35、為零的任意常數(shù);01對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為01k3P 3 k3 1 ，其中k3是不為零的任意常數(shù).1十【分析】三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與 增廣矩陣的秩均為 2.:“必要性”.設(shè)三條直線11,12,ax 2by3c,bx 2cy3a,(*)cx 2 ay3b,【詳解】方法113交于一點(diǎn)，則線性方程組a2ba2b3c有唯一解，故系數(shù)矩陣 Ab2c與增廣矩陣Ab2c3a的秩均為2,于c2ac2a3b是A0.a2b3cabc2(b ca)3(cab2c3ab2c3ac2a3bc2a3b123111(abc)b2c3a6(a bc)bcac2a3bca

36、bAb)6(a100c babbc ba b6(a b c)a cbcca cb cbc)b)(bc)(ab)(ac)6(ac)(c6(ac)(bcb2bcac abbc)6(ac)(a2b2acabbc)3(ac)(ab)2(bc)2(ca)2,由于三條直線互不相同，所以(a b)2(b c)2(c a)20，故“充分性”c 0.則從必要性的證明可知,IA 0,故秩(A)3.1)由于方法故秩(A)212c2 于曰于一點(diǎn).2: “必要性”2(ac b2)疋，設(shè)三直線交于一點(diǎn)2a(a秩(A)=秩(A) =2.Xo(X0，y0)，則 y1b) b2 =1 . .23 2,2(a 2b)；b 因此方程組(*)有唯一解，即三直線h2,l3交為BX0的非零解，其中B2b2c3c3a .2a3ba 2b 3ca 2b 3cBb 2c 3ab 2c 3aAc 2a 3bc 2a 3b3(a b c)( ab)2 (b c)2 (ca)2,(解法同方法但根據(jù)題設(shè)(a