2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)ⅰ)

1、2016 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的 .1（5 分）設(shè)集合 a=x|x24x+30，b=x|2x30，則 ab=（ ）a（3， ） b（3， ） c（1， ） d（ ，3）2（5 分）設(shè)（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是實數(shù)，則|x+yi|=（ ）a1 b c d23（5 分）已知等差數(shù)列a 前 9 項的和為 27，a =8，則 a =（ ）n 10 100a100 b99 c98 d974（5 分）某公司的班車在 7：00，8：00，8：30 發(fā)車，小明在 7：50 至

2、8：30 之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 10 分鐘的概率是（ ）a b c d5（5 分）已知方程 =1 表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離 為 4，則 n 的取值范圍是（ ）a（1，3） b（1， ） c（0，3） d（0， ）6（5 分）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂 直的半徑若該幾何體的體積是 ，則它的表面積是（ ）a17b18c20d287（5 分）函數(shù) y=2x2e|x|在2，2的圖象大致為（ ）a b c d8（5 分）若 ab1，0c1，則（ ）aacbcbabcbaccalog cblog c dlog

3、clog cb a a b9（5 分）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的 x=0，y=1，n=1，則輸出 x，y 的值 滿足（ ）ay=2x by=3x cy=4x dy=5x10（5 分）以拋物線 c 的頂點為圓心的圓交 c 于 a、b 兩點，交 c 的準線于 d、e兩點已知|ab|=4，|de|=2，則 c 的焦點到準線的距離為（ ）a2 b4c6d811（5 分）平面 過正方體 abcda b c d 的頂點 a， 平面 cb d ， 平1 1 1 1 1 1面 abcd=m， 平面 abb a =n，則 m、n 所成角的正弦值為（ ）1 1a b c d 12（5 分）已知函數(shù) f（x）=

4、sin（ x+ ）（ 0，| |），x=為 f（x）的零點，x=為 y=f（x）圖象的對稱軸，且 f（x）在（，）上單調(diào)，則 的最大值為（ ）a11 b9c7 d5二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13（5 分）設(shè)向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，則 m= 14（5 分）（2x+ ）5的展開式中，x3 的系數(shù)是 （用數(shù)字填寫答案）15（5分）設(shè)等比數(shù)列a 滿足 a +a =10，a +a =5，則 a a a 的最大值為 n 1 3 2 4 1 2 n16（5 分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品 a 和產(chǎn)品 b 需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)

5、 一件產(chǎn)品 a 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 b 需要 甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品 a 的利潤為 2100 元， 生產(chǎn)一件產(chǎn)品 b 的利潤為 900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150kg，乙材料 90kg，則在 不超過 600 個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品 a 、產(chǎn)品 b 的利潤之和的最大值為 元三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答須寫出文字說明、證明過程或 演算步驟 .17（12 分 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知 2cosc（acosb+bcosa） =c（）求 c；（）若

6、c= ，abc 的面積為 ，求abc 的周長18（12 分）如圖，在以 a，b，c，d，e，f 為頂點的五面體中，面 abef 為正方 形，af=2fd，afd=90，且二面角 dafe 與二面角 cbef 都是 60 （）證明平面 abef平面 efdc；（）求二面角 ebca 的余弦值19（12 分）某公司計劃購買 2 臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有 一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200 元在 機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個 500 元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng) 同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換 的

7、易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這 100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的 概率，記 x 表示 2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n 表示購買 2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù)（）求 x 的分布列；（）若要求 p（xn）0.5，確定 n 的最小值；（）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在 n=19 與 n=20 之中選其 一，應(yīng)選用哪個？20（12 分）設(shè)圓 x2+y2+2x15=0 的圓心為 a，直線 l 過點 b（1，0）且與 x 軸 不重合，l 交圓 a 于 c，d 兩點，過 b 作 ac 的平行線交 ad 于點 e（）證明|ea|+|eb|為

8、定值，并寫出點 e 的軌跡方程；（）設(shè)點 e 的軌跡為曲線 c ，直線 l 交 c 于 m，n 兩點，過 b 且與 l 垂直的直1 1線與圓 a 交于 p，q 兩點，求四邊形 mpnq 面積的取值范圍21（12 分）已知函數(shù) f（x）=（x2）ex+a（x1）2 有兩個零點（）求 a 的取值范圍；（）設(shè) x ，x 是 f（x）的兩個零點，證明：x +x 21 2 1 2請考生在 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 .選 修 4-1：幾何證明選講 22（10 分）如圖，oab 是等腰三角形，aob=120以 o 為圓心， oa 為 半徑作圓（）證明：直線 ab 與

9、o 相切；（）點 c，d 在o 上，且 a，b，c，d 四點共圓，證明：abcd選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)，a0）在1以坐標(biāo)原點為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 c ： =4cos 2（）說明 c 是哪種曲線，并將 c 的方程化為極坐標(biāo)方程；1 1（）直線 c 的極坐標(biāo)方程為 = ，其中 滿足 tan =2，若曲線 c 與 c3 0 0 0 1 2的公共點都在 c 上，求 a3選修 4-5：不等式選講24已知函數(shù) f（x）=|x+1|2x3|（）在圖中畫出 y=f（x）的圖象；（）求不等式|f（x）|1 的解集

10、2016 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的 .1（5 分）設(shè)集合 a=x|x24x+30，b=x|2x30，則 ab=（ ）a（3， ） b（3， ） c（1， ） d（ ，3）【分析】解不等式求出集合 a，b，結(jié)合交集的定義，可得答案【解答】解：集合 a=x|x24x+30=（1，3），b=x|2x30=（ ，+），ab=（ ，3），故選：d【點評】本題考查的知識點是集合的交集及其運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題2（5 分）設(shè)（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是實數(shù)，

11、則|x+yi|=（ ）a1 b c d2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出 x，y 的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進行計算即可 【解答】解：（1+i）x=1+yi，x+xi=1+yi，即 ，解得 ，即|x+yi|=|1+i|= ，故選：b【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出 x，y 的值是解決本 題的關(guān)鍵3（5 分）已知等差數(shù)列a 前 9 項的和為 27，a =8，則 a =（ ）n 10 100a100 b99 c98 d97【分析】根據(jù)已知可得 a =3，進而求出公差，可得答案5【解答】解：等差數(shù)列a 前 9 項的和為 27，s =n 9= =9a 59a =27，a =3，5 5又a =

12、8，10d=1，a =a +95d=98，100 5故選：c【點評】本題考查的知識點是數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是解答的 關(guān)鍵4（5 分）某公司的班車在 7：00，8：00，8：30 發(fā)車，小明在 7：50 至 8：30 之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 10 分鐘的概率是（ ）a b c d【分析】求出小明等車時間不超過 10 分鐘的時間長度，代入幾何概型概率計算 公式，可得答案【解答】解：設(shè)小明到達時間為 y，當(dāng) y 在 7：50 至 8：00，或 8：20 至 8：30 時，小明等車時間不超過 10 分鐘，故 p= = ，故選：b【點評】本

13、題考查的知識點是幾何概型，難度不大，屬于基礎(chǔ)題5（5 分）已知方程 =1 表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離 為 4，則 n 的取值范圍是（ ）a（1，3） b（1， ） c（0，3） d（0， ）【分析】由已知可得 c=2，利用 4=（m2+n）+（3m2n），解得 m2=1，又（m2+n）（3m2n）0，從而可求 n 的取值范圍【解答】解：雙曲線兩焦點間的距離為 4，c=2， 當(dāng)焦點在 x 軸上時，可得：4=（m2+n）+（3m2n），解得：m2=1，方程 =1 表示雙曲線，（m2+n）（3m2n）0，可得：（n+1）（3n）0，解得：1n3，即 n 的取值范圍是：（1，3）當(dāng)焦點在 y

14、 軸上時，可得：4=（m2+n）+（3m2n），解得：m2=1，無解故選：a【點評】本題主要考查了雙曲線方程的應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題6（5 分）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂 直的半徑若該幾何體的體積是 ，則它的表面積是（ ）a17b18c20d28【分析】判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用體積求出幾何體的半徑，然后求 解幾何體的表面積【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個球去掉 后的幾何體，如圖： 可得： = ，r=2它的表面積是： 4 22+=17 故選：a【點評】本題考查三視圖求解幾何體的體積與表面積，考查計算能力以及空間想 象能力7（

15、5 分）函數(shù) y=2x2e|x|在2，2的圖象大致為（ ）a b c d【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性，最大值及單調(diào)性，利用 排除法，可得答案【解答】解：f（x）=y=2x2e|x|，f（x）=2（x）2e|x|=2x2e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng) x=2 時，y=8e2（0，1），故排除 a，b；當(dāng) x0，2時，f（x）=y=2x2ex，f（x）=4xex=0 有解，故函數(shù) y=2x2e|x|在0，2不是單調(diào)的，故排除 c，故選：d【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，對于超越函數(shù)的圖象，一般采用排除 法解答8（5 分）若 ab1，0c1，則（ ）aacbcbabcbacc

16、alog cblog c dlog clog cb a a b【分析】根據(jù)已知中 ab1，0c1，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，分 析各個結(jié)論的真假，可得答案【解答】解：ab1，0c1，函數(shù) f（x）=xc 在（0，+）上為增函數(shù)，故 acbc，故 a 錯誤；函數(shù) f（x）=xc1在（0，+）上為減函數(shù)，故 ac1bc1，故 bacabc，即 abcbac；故 b 錯誤；log c0，且 log c0，log b1，即 a b a= 1，即 log clog c故 da b錯誤；0log clog c，故blog calog c，即 blog calog c，即 alog ca b a b a

17、 b bblog c，故 c 正確；a故選：c【點評】本題考查的知識點是不等式的比較大小，熟練掌握對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的 單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵9（5 分）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的 x=0，y=1，n=1，則輸出 x，y 的值 滿足（ ）ay=2x by=3x cy=4x dy=5x【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變 量 x，y 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答 案【解答】解：輸入 x=0，y=1，n=1，則 x=0，y=1，不滿足 x2+y236，故 n=2，則 x= ，y=2，不滿足 x2+y236，故 n=3，則 x= ，

18、y=6，滿足 x2+y236，故 y=4x，故選：c【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采 用模擬循環(huán)的方法解答10（5 分）以拋物線 c 的頂點為圓心的圓交 c 于 a、b 兩點，交 c 的準線于 d、e兩點已知|ab|=4，|de|=2，則 c 的焦點到準線的距離為（ ）a2 b4c6d8【分析】畫出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解 即可【解答】解：設(shè)拋物線為 y2=2px，如圖：|ab|=4，|am|=2 ，|de|=2x =a，|dn|= ，|on|= ，|od|=|oa|，= +5，解得：p=4c 的焦點到準線的距離為：4 故

19、選：b【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查計 算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用11（5 分）平面 過正方體 abcda b c d 的頂點 a， 平面 cb d ， 平1 1 1 1 1 1面 abcd=m， 平面 abb a =n，則 m、n 所成角的正弦值為（ ）1 1a b c d 【分析】畫出圖形，判斷出 m、n 所成角，求解即可【解答】解：如圖： 平面 cb d ， 平面 abcd=m， 平面 aba b =n，1 1 1 1可知：ncd ，mb d ，cb d 是正三角形m、n 所成角就是cd b =601 1 1 1 1 1 1則 m、n 所成角的正弦值為：

20、故選：a【點評】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力12（5 分）已知函數(shù) f（x）=sin（ x+ ）（ 0，| |），x=為 f（x）的零點，x=為 y=f（x）圖象的對稱軸，且 f（x）在（，）上單調(diào)，則 的最大值為（ ）a11 b9 c7 d5【分析】根據(jù)已知可得 為正奇數(shù)，且 12，結(jié)合 x=為 f（x）的零點，x=為 y=f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合 f（x）在（ ）上單調(diào)，可得 的最大值，【解答】解：x= ，即即 =2n+1，（nn） 即 為正奇數(shù)，為 f（x）的零點，x=，（nn）為 y=f（x）圖象的對稱軸，f（x）在（即 t= ，

21、 ）上單調(diào)，則 = ， ，解得： 12，當(dāng) =11 時，| | ，+ =k ，kz， = ，此時 f（x）在（當(dāng) =9 時， ）不單調(diào)，不滿足題意； + =k ，kz，| |， = ，此時 f（x）在（ ， ）單調(diào)，滿足題意；故 的最大值為 9，故選：b【點評】本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，難度較 大二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13（5 分）設(shè)向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，則 m= 2 【分析】利用已知條件，通過數(shù)量積判斷兩個向量垂直，然后列出方程求解即可【解答】解：| + |2=| |2+|

22、 |2，可得 =0向量 =（m，1）， =（1，2），可得 m+2=0，解得 m=2故答案為：2【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直條件的應(yīng)用，考查計算能力14（5 分）（2x+ ）5的展開式中，x3 的系數(shù)是 10 （用數(shù)字填寫答案）【分析】利用二項展開式的通項公式求出第 r+1 項，令 x 的指數(shù)為 3，求出 r，即可求出展開式中 x3的系數(shù)【解答】解：（ 2x+） 5的展開式中，通項公式為： t = =2r+15 r，令 5 =3，解得 r=4x3的系數(shù) 2 =10故答案為：10【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ) 題15（5分）設(shè)等比數(shù)列a

23、滿足 a +a =10，a +a =5，則 a a a 的最大值為 64 n 1 3 2 4 1 2 n【分析】求出數(shù)列的等比與首項，化簡 a a a ，然后求解最值1 2 n【解答】解：等比數(shù)列a 滿足 a +a =10，a +a =5，n 1 3 2 4可得 q（a +a ）=5，解得 q= 1 3a +q12a =10，解得 a =8 1 1則 a a a =a1 2 n1nq1+2+3+（n1）=8n= ，當(dāng) n=3 或 4 時，表達式取得最大值：=26=64故答案為：64【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查 計算能力16（5 分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品

24、 a 和產(chǎn)品 b 需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn) 一件產(chǎn)品 a 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 b 需要 甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品 a 的利潤為 2100 元， 生產(chǎn)一件產(chǎn)品 b 的利潤為 900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150kg，乙材料 90kg，則在 不超過 600 個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品 a、產(chǎn)品 b 的利潤之和的最大值為 216000 元【分析】設(shè) a、b 兩種產(chǎn)品分別是 x 件和 y 件，根據(jù)題干的等量關(guān)系建立不等式 組以及目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃作出可行域，通過目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出其 最大值即可；【解答

25、】解：（1）設(shè) a、b 兩種產(chǎn)品分別是 x 件和 y 件，獲利為 z 元由題意，得 ，z=2100x+900y不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得： ，a（60，100），目標(biāo)函數(shù) z=2100x+900y經(jīng)過 a 時，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值： 210060+900100=216000 元故答案為：216000【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解 法的運用，不等式組解實際問題的運用，不定方程解實際問題的運用，解答時求 出最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答須寫出文字說明、證明過程或 演算步驟 .17（12 分

26、 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知 2cosc（acosb+bcosa） =c（）求 c；（）若 c= ，abc 的面積為 ，求abc 的周長【分析】（）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù) sinc 不為 0 求出 cosc 的值，即可確定出出 c 的度數(shù)； （2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出 a+b 的 值，即可求abc 的周長【解答】解：（）在abc 中，0c ，sinc0已知等式利用正弦定理化簡得：2cosc（sinacosb+sinbcosa）=sinc，整理得：2coscsin（a+

27、b）=sinc，即 2coscsin（ （a+b）=sinc2coscsinc=sinccosc= ，c= ；（）由余弦定理得 7=a2+b22ab ，（a+b）23ab=7，s= absinc=ab=6，ab= ，（a+b）218=7，a+b=5，abc 的周長為 5+ 【點評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等 變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵18（12 分）如圖，在以 a，b，c，d，e，f 為頂點的五面體中，面 abef 為正方 形，af=2fd，afd=90，且二面角 dafe 與二面角 cbef 都是 60 （）證明平面 abef平面 efdc；（

28、）求二面角 ebca 的余弦值【分析】（）證明 af平面 efdc，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面 abef平面 efdc；（）證明四邊形 efdc 為等腰梯形，以 e 為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求 出平面 bec、平面 abc 的法向量，代入向量夾角公式可得二面角 ebca 的余 弦值【解答】（）證明：abef 為正方形，afefafd=90，afdf，dfef=f，af平面 efdc，af 平面 abef，平面 abef平面 efdc；（）解：由 afdf，afef，可得dfe 為二面角 dafe 的平面角；由 abef 為正方形，af平面 efdc，beef，be平面 efdc

29、即有 cebe，可得cef 為二面角 cbef 的平面角可得dfe=cef=60abef，ab 平面 efdc，ef 平面 efdc，ab平面 efdc，平面 efdc平面 abcd=cd，ab 平面 abcd，abcd，cdef，四邊形 efdc 為等腰梯形以 e 為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè) fd=a，則 e（0，0，0），b（0，2a，0），c（ ，0， =（0，2a，0）， =（ ，2a， a），a），a（2a，2a，0），=（2a，0，0）設(shè)平面 bec 的法向量為 =（x ，y ，z ），則 ，1 1 1則 ，取 =（ ，0，1）設(shè)平面 abc 的法向量為 =（x ，y ，z

30、），則 ，2 2 2則 ，取 =（0， ，4）設(shè)二面角 ebca 的大小為 ，則 cos = = ，則二面角 ebca 的余弦值為【點評】本題考查平面與平面垂直的證明，考查用空間向量求平面間的夾角，建 立空間坐標(biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵19（12 分）某公司計劃購買 2 臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有 一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200 元在 機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個 500 元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng) 同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換 的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這 1

31、00 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的 概率，記 x 表示 2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n 表示購買 2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù)（）求 x 的分布列；（）若要求 p（xn）0.5，確定 n 的最小值；（）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在 n=19 與 n=20 之中選其 一，應(yīng)選用哪個？【分析】（）由已知得 x 的可能取值為 16，17，18，19，20，21，22，分別求 出相應(yīng)的概率，由此能求出 x 的分布列（）由 x 的分布列求出 p（x18）=（xn）0.5 中 n 的最小值，p（x19）= 由此能確定滿足 p（）法一：由

32、x 的分布列得 p（x19）= 求出買 19 個所需費用期望 ex1和買 20 個所需費用期望 ex ，由此能求出買 19 個更合適2法二：解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部 分為備件不足時額外購買的費用，分別求出 n=19 時，費用的期望和當(dāng) n=20 時， 費用的期望，從而得到買 19 個更合適【解答】解：（）由已知得 x 的可能取值為 16，17，18，19，20，21，22，p（x=16）=（p（x=17）=）2= ，p（x=18）=（）2+2（）2= ，p（x=19）=p（x=20）= = ，= ，p（x=21）=p（x=22）=x 的分布列為：= ，x

33、p1617 18 19 20 21 22（）由（）知：p（x18）=p（x=16）+p（x=17）+p（x=18）= = p（x19）=p（x=16）+p（x=17）+p（x=18）+p（x=19）= + = p（xn）0.5 中，n 的最小值為 19（）解法一：由（）得 p（x19）=p（x=16）+p（x=17）+p（x=18）+p（x=19） = + = 買 19 個所需費用期望：ex =20013）+（20019+500） =4040，+（20019+5002） +（20019+500買 20 個所需費用期望：ex =2+（20020+500） +（20020+2500） =4080，

34、ex ex ，1 2買 19 個更合適解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當(dāng) n=19 時，費用的期望為：19200+5000.2+10000.08+15000.04=4040， 當(dāng) n=20 時，費用的期望為：20200+5000.08+10000.04=4080，買 19 個更合適【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題， 解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用20（12 分）設(shè)圓 x2+y2+2x15=0 的圓心為 a，直線 l 過點 b（1，0）且與 x 軸 不重合，l 交圓 a

35、于 c，d 兩點，過 b 作 ac 的平行線交 ad 于點 e（）證明|ea|+|eb|為定值，并寫出點 e 的軌跡方程；（）設(shè)點 e 的軌跡為曲線 c ，直線 l 交 c 于 m，n 兩點，過 b 且與 l 垂直的直1 1線與圓 a 交于 p，q 兩點，求四邊形 mpnq 面積的取值范圍【分析】（）求得圓 a 的圓心和半徑，運用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性 質(zhì)，可得 eb=ed，再由圓的定義和橢圓的定義，可得 e 的軌跡為以 a，b 為焦點 的橢圓，求得 a，b，c，即可得到所求軌跡方程；（）設(shè)直線 l：x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|mn|， 由 pql，設(shè) p

36、q：y=m（x1），求得 a 到 pq 的距離，再由圓的弦長公式可得 |pq|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范 圍【解答】解：（）證明：圓 x2+y2+2x15=0 即為（x+1）2+y2=16，可得圓心 a（1，0），半徑 r=4， 由 beac，可得c=ebd， 由 ac=ad，可得d=c， 即為d=ebd，即有 eb=ed， 則|ea|+|eb|=|ea|+|ed|=|ad|=4， 故 e 的軌跡為以 a，b 為焦點的橢圓，且有 2a=4，即 a=2，c=1，b= ，則點 e 的軌跡方程為+=1（y0）；（）橢圓 c ： +1=1，設(shè)直線 l：x=my+

37、1，由 pql，設(shè) pq：y=m（x1），由可得（3m2+4）y2+6my9=0，設(shè) m（x ，y ），n（x ，y ），1 1 2 2可得 y +y = ，y y = ， 1 2 1 2則|mn|= |y y |= 1 2= =12，a 到 pq 的距離為 d=，|pq|=2 =2 = ，則四邊形 mpnq 面積為 s= |pq|mn|= 12=24 =24 ，當(dāng) m=0 時，s 取得最小值 12，又 0，可得 s24=8 ，即有四邊形 mpnq 面積的取值范圍是12，8）【點評】本題考查軌跡方程的求法，注意運用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓 方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及直線和圓相

38、交的弦長公式，考查不等 式的性質(zhì)，屬于中檔題21（12 分）已知函數(shù) f（x）=（x2）ex+a（x1）2 有兩個零點（）求 a 的取值范圍；（）設(shè) x ，x 是 f（x）的兩個零點，證明：x +x 2 1 2 1 2【分析】（）由函數(shù) f（x）=（x2）ex+a（x1）2可得：f（x）=（x1）ex+2a（x1）=（x1）（ex+2a），對 a 進行分類討論，綜合討論結(jié)果，可得答案（）設(shè) x ，x 是 f（x）的兩個零點，則a= = ，令 g（x） 1 2= ，則 g（x ）=g（x ）=a，分析 g（x）的單調(diào)性，令 m0，則 g1 2（1+m）g（1m）=，設(shè) h（m）= ，m0，利用導(dǎo)

39、數(shù)法可得 h（m）h（0）=0 恒成立，即 g （1+m）g（1m）恒成立，令 m=1x 0，可得結(jié)論1【解答】解：（）函數(shù) f（x）=（x2）ex+a（x1）2，f（x）=（x1）ex+2a（x1）=（x1）（ex+2a），若 a=0，那么 f（x）=0（x2）ex=0x=2，函數(shù) f（x）只有唯一的零點 2，不合題意；若 a0，那么 ex+2a0 恒成立，當(dāng) x1 時，f（x）0，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng) x1 時，f（x）0，此時函數(shù)為增函數(shù)；此時當(dāng) x=1 時，函數(shù) f（x）取極小值e，由 f（2）=a0，可得：函數(shù) f（x）在 x1 存在一個零點；當(dāng) x1 時，exe，x210，f（x）

40、=（x2）ex+a（x1）2（x2）e+a（x1）2=a（x1）2+e（x1）e，令 a（x1）2+e（x1）e=0 的兩根為 t ，t ，且 t t ，1 2 1 2則當(dāng) xt ，或 xt 時，f（x）a（x1）2+e（x1）e0， 1 2故函數(shù) f（x）在 x1 存在一個零點；即函數(shù) f（x）在 r 是存在兩個零點，滿足題意；若 a0，則 ln（2a）lne=1，當(dāng) xln（2a）時，x1ln（2a）1lne1=0，ex+2aeln（2a）+2a=0，即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立，故 f（x）單調(diào)遞增，當(dāng) ln（2a）x1 時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，

41、即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立，故 f（x）單調(diào)遞減，當(dāng) x1 時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立，故 f（x）單調(diào)遞增， 故當(dāng) x=ln（2a）時，函數(shù)取極大值，由 f（ln（2a） =ln（2a）2（2a）+aln（2a）12=aln（2a）22+10 得：函數(shù) f（x）在 r 上至多存在一個零點，不合題意； 若 a= ，則 ln（2a）=1，當(dāng) x1=ln（2a）時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立，故 f（x）單調(diào)遞增，當(dāng) x1 時，x10，ex+2ae

42、ln（2a）+2a=0，即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立，故 f（x）單調(diào)遞增，故函數(shù) f（x）在 r 上單調(diào)遞增，函數(shù) f（x）在 r 上至多存在一個零點，不合題意； 若 a ，則 ln（2a）lne=1，當(dāng) x1 時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立，故 f（x）單調(diào)遞增，當(dāng) 1xln（2a）時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立，故 f（x）單調(diào)遞減，當(dāng) xln（2a）時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即 f（x）=（x1）（ex+2a）0 恒成立

43、，故 f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng) x=1 時，函數(shù)取極大值， 由 f（1）=e0 得：函數(shù) f（x）在 r 上至多存在一個零點，不合題意； 綜上所述，a 的取值范圍為（0，+）證明：（）x ，x 是 f（x）的兩個零點，1 2f（x ）=f（x ）=0，且 x 1，且 x 1， 1 2 1 2a= = ，令 g（x）= ，則 g（x ）=g（x ）=a，1 2g（x）= ，當(dāng) x1 時，g（x）0，g（x）單調(diào)遞減； 當(dāng) x1 時，g（x）0，g（x）單調(diào)遞增；設(shè) m0，則 g（1+m）g（1m）= = ，設(shè) h（m）=則 h（m）=，m0，0 恒成立，即 h（m）在（0，+）上為增函數(shù)，h（m）

44、h（0）=0 恒成立，即 g（1+m）g（1m）恒成立，令 m=1x 0，1則 g（1+1x ）g（11+x ）g（2x ）g（x ）=g（x ）2x x ，1 1 1 1 2 1 2即 x +x 21 2【點評】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點，分類討論 思想，難度較大請考生在 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 .選 修 4-1：幾何證明選講 22（10 分）如圖，oab 是等腰三角形，aob=120以 o 為圓心， oa 為 半徑作圓（）證明：直線 ab 與o 相切；（）點 c，d 在o 上，且 a，b，c，d 四點共圓，證明：abcd【分析】（）設(shè) k 為 ab 中點，連結(jié) ok根據(jù)等腰三角形 aob 的性質(zhì)知 okab， a=30，ok=oasin3