2020-2021學年數學人教A版選修1-2課后提升訓練：第二章　習題課——推理與證明的綜合問題含解析

1、攀上山峰，見識險峰，你的人生中，也許你就會有蒼松不懼風吹和不懼雨打的大無畏精神，也許就會有臘梅的凌寒獨自開的氣魄，也許就會有春天的百花爭艷的畫卷，也許就會有鋼鐵般的意志。祝：學子考試順利，學業(yè)有成第二章推理與證明習題課推理與證明的綜合問題課后篇鞏固提升1.在集合a,b,c,d上定義兩種運算和如下:abcdabcdabcdbbbbcbcbdbbdabcabcdaaaaabcdacca則d(ac)等于()a.ab.bc.cd.d解析由給出的定義可知d(ac)=dc=a.答案a2.設m是一個非負整數,m的個位數記作g(m),如g(2 017)=7,g(12)=2,g(50)=0,稱這樣的函數為尾數函

2、數,給出下列有關尾數函數的結論:g(a-b)=g(a)-g(b);a,b,cn,若a-b=10c,則有g(a)=g(b);g(abc)=g(g(a)g(b)g(c),則正確結論的個數為()a.3b.2c.1d.0解析令a=12,b=8,則g(a-b)=g(a)-g(b),顯然錯;令x,y,z為小于10的自然數,m,n,k為自然數,a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由a,b,cn,若a-b=10c,可知x-y=0,即a與b的個位數相同,因此g(a)=g(b),正確;顯然的個位數由這三個數的個位數的積來確定的,因此正確.答案b3.若“整數對”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2)

3、,(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),則第45個“整數對”是()a.(1,9)b.(9,1)c.(1,10)d.(10,1)解析因為(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(n,1)共有整數對1+2+3+n=n(n+1)2個,當n=9時,共有45個整數對,所以第45個“整數對”是(9,1).答案b4.如圖,點n為正方形abcd的中心,ecd為正三角形,平面ecd平面abcd,m是線段ed的中點,則()a.bm=en,且直線bm,en是相交直線b.bmen,且直線bm,en是相交直線c.bm=en,且直線

4、bm,en是異面直線d.bmen,且直線bm,en是異面直線解析如圖,連接bd,be.在bde中,n為bd的中點,m為de的中點,bm,en是相交直線,排除選項c、d.作eocd于點o,連接on.作mfod于點f,連接bf.平面cde平面abcd,平面cde平面abcd=cd,eocd,eo平面cde,eo平面abcd.同理,mf平面abcd.mfb與eon均為直角三角形.設正方形abcd的邊長為2,易知eo=3,on=1,mf=32,bf=22+94=52,則en=3+1=2,bm=34+254=7,bmen.故選b.答案b5.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中一位獲獎,有人走訪了四位歌

5、手,甲說:“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了.”丁說:“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的歌手是.解析若甲獲獎,則甲、乙、丙、丁四位歌手說的話都是假的,同理可推出乙、丙、丁獲獎的情況,最后可知獲獎的歌手是丙.答案丙6.若數列an滿足an+1=an+an+2(nn*),則稱數列an為“凸數列”,已知數列bn為“凸數列”,且b1=1,b2=-2,則數列bn的前2 016項的和為.解析由“凸數列”的定義,可寫出數列的前幾項:b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,故數列bn是周期為6的周期數列.又b1+b2+b3

6、+b4+b5+b6=0,故s2 016=s3366=0.答案07.對于集合a1,a2,an和常數a0,定義:=sin2(a1-a0)+sin2(a2-a0)+sin2(an-a0)n為集合a1,a2,an相對a0的“正弦方差”,則集合2,56,76相對a0的“正弦方差”為.解析由題意,得集合2,56,76相對a0的“正弦方差”為=sin22-a0+sin256-a0+sin276-a03,即3=cos2a0+1-cos53-2a02+1-cos73-2a02,所以6=2cos2a0+1-cos3+2a0+1-cos3-2a0,即6=2cos2a0+2-2cos3cos 2a0,所以6=2cos

7、2a0+2-(2cos2a0-1),于是=12.答案128.閱讀下列不等式的證法,并回答后面的問題.已知a1,a2r,a1+a2=1,求證:a12+a2212.證明:構造函數f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,則f(x)=2x2-2x+a12+a22.xr,f(x)0恒成立,=4-8(a12+a22)0,a12+a2212.(1)若a1,a2,anr,a1+a2+an=1(nn*),請寫出上述結論的推廣形式;(2)參考上述證法,請對你推廣的結論加以證明.(1)解若a1,a2,anr,a1+a2+an=1(nn*),則a12+a22+an21n(nn*).(2)證明構造函數g(x)=(x-

8、a1)2+(x-a2)2+(x-an)2,則g(x)=nx2-2x+a12+a22+an2.xr,g(x)0恒成立,=4-4n(a12+a22+an2)0,a12+a22+an21n(nn*).9.點m22,22在圓c:x2+y2=1上,經過點m的圓的切線方程為22x+22y=1;又點q(2,1)在圓c外部,容易證明直線2x+y=1與圓相交;點r12,12在圓c的內部,直線12x+12y=1與圓相離.類比上述結論,你能給出關于一點p(a,b)與圓x2+y2=r2的位置關系與相應直線ax+by=r2與圓的位置關系的結論嗎?并證明你的結論.解點p(a,b)在c:x2+y2=r2上時,直線ax+by

9、=r2與c相切;點p在c內部時,直線ax+by=r2與c相離;點p在c外部時,直線ax+by=r2與c相交.證明如下:圓x2+y2=r2的圓心(0,0)到直線ax+by=r2的距離為d=|r2|a2+b2 .若(a,b)在圓內,則a2+b2r,所以直線與圓相離;若(a,b)在圓上,則a2+b2=r2,所以d=r,所以直線與圓相切;若(a,b)在圓外,則a2+b2r2,所以dd,a-2d,d0).假設存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次構成等比數列,則a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=da,則1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4-12t1,t0,化簡得