高中數(shù)學(xué)選修2-1 第三章第一節(jié)《3.1空間向量及其運(yùn)算》全套教案

1、空間向量及其運(yùn)算課時分配:第一課第二課空間向量及其加減運(yùn)算 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1 個課時1 個課時第三課 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1 個課時第四課空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1 個課時3. 1.1空間向量及其加減運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1 了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方 法；2 理解共面向量定理及其推論；掌握點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件；3 會用上述知識解決立體幾何中有關(guān)的簡單問題?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件。共線、共面定理及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】對點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件的理解與運(yùn)用。【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題教學(xué)課程第一課教學(xué)環(huán)節(jié)導(dǎo)案/學(xué)案師生互動/隨堂測試備注1空間

2、向量的概念：在空間，我 注：（1）空間的一個平們把具有大小和方向的量叫做向移就是一個向量；量 （ 2 ）向量一般用有向一、復(fù)習(xí)引入空間向量的運(yùn)算2. 定義：與平面向量運(yùn)算一樣， 空間向量的加法、減法與數(shù)乘向線段表示 同向等長的 有向線段表示同一或 相等的向量；量運(yùn)算如下（如圖） （ 3 ）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩abrvr vrvvrrb acboaddaabcbcba條有向線段來表示。 思考：運(yùn)算律：（1）加法交換v v律： a +b =b +aab（2）加法結(jié)合律： v v v v( a +b ) +c =a +( b +c )r vob =oa +ab =a +brba =oa

3、-ob =a -b rop =la(lr)；（3）數(shù)乘分配律： v vl(a +b ) =la+lb3平行六面體：平行四邊形 abcd 平移向量ra到 a bcd的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：abcd a bcd它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平 行六面體的棱。4平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向 量叫做平行向量。由于任何一組 平行向量都可以平移到同一條直 線上，所以平行向量也叫做共線 向量。r向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是有且 只有 一個實(shí)數(shù)r ，使 。這個定理稱為平面向量共線r定理，要注意其中對向量 a 的非零 要求。rva / brrrrrab1

4、共線向量由于空間中任意兩個與平面向量一樣，如果表示空 向量都是共面的，所以間向量的有向線段所在的直線互 相平行或重合，則這些向量叫做r共線向量或平行向量。a 平行于 b r記作 。和上節(jié)我們學(xué)習(xí)的空間向量的定 義、表示方法、空間向量的相等 以及空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算上述定理和推論仍然 是平向量有關(guān)定理的 推廣，因此它們的證明 只是需要先確定一個 平面，轉(zhuǎn)化為平面向量 問題即可。推論證明如下：和運(yùn)算律都是平面向量的推廣一lr/ a樣，空間向量共線（平行）的定對于 l上任意義也是平面向量 相關(guān) 知識的推一點(diǎn) p，存在唯一的實(shí)二.探究新知 （25 分鐘）r廣。 數(shù) t，使得 ap =t a 。r當(dāng)

5、我們說向量 a 、 b 共線（或 (*)r ra / b ）時，表示 a 、 b 的有向線 又 對 于 空 間段所在的直線可能是同一直線， 也可能是平行直線。2共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個r r r r向量 a 、 b （ b 0 ），a / b 的充r要條件是存在實(shí)數(shù) ，使 r。推論：如果 l 為經(jīng)過已知點(diǎn) ar且平行于已知非零向量 a 的直線，那么對于任意一點(diǎn) o，點(diǎn) p 在直線任 意 一 點(diǎn) o ， 有 ap =op -oa ， op -oa =t ra op =oa +t ra 。 若 在 l 上 取 ab = ra ， 則 有 op =oa +t ab 。(*)

6、又 ab =ob -oal上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t 滿足等式op =oa +t (ob -oa )x , yx , yop =oa +t=(1 -t )oa +tob。ra。其中向當(dāng)t =12時 ，r量 a 叫 做直 線 l 的1op = (oa +ob ) 2。方向向量。3向量與平面平行：（ 1 ）表達(dá)式和 都叫做空間直線的已 知 平 面 a 和 向 量 a ， 作 向量參數(shù)表示式，式oa =a，如果直線 oa 平行于 a或 是線段的中點(diǎn)公式。事在 a內(nèi)，那么我們說向量 a 平行于 實(shí) 上 ， 表 達(dá) 式 (*) 和平面a，記作： a /a。 (*) 既是表達(dá)式和通常我們把平行于同一平面

7、的基礎(chǔ)，也是直線參的向量，叫做共面向量。 說明：空間任意的兩向量都是共面的。4共面向量定理：數(shù)方程的表達(dá)形式。 （ 2 ）表達(dá)式和三角形法則得出的， 可以據(jù)此記憶這兩個mbbpp公式。（3）推論一般a aao如果兩個向量 a , b 不共線，p用于解決空間中的三 點(diǎn)共線問題的表示或 判定。與向量 a , b 共面的充要條件是存 在實(shí)數(shù) 使 p =xa +yb證明：（充分性）設(shè)向量 a , b 不共線，p與向量 a , b 共面，根據(jù)平面向量的基本定理，一定存在實(shí) 數(shù) 使 p =xa +yb 。（必要性）設(shè)存在實(shí)數(shù) x , y 使 p =xa +yb 取空間任意一點(diǎn) m，作ma =a , mb

8、=b , ma =xa , a p = yb ，則 mp =xa +yb = p ，于是點(diǎn) p在平面 mab 內(nèi)，向量p/平面 mab，即 p 與向量 a , b 共面。推論：空間一點(diǎn) p 位于平面 mab 內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 x , y ，使mp =xma +ymb 或 對 空間任一點(diǎn)o，有op =om +xma +ymb或op =xoa +yob +zom ,( x +y +z =1) 上面式叫做平面 mab 的向 量表達(dá)式。1 已 知a, b, c三 點(diǎn) 不 共 線 ， 對 平 面 外 任 一 點(diǎn) ， 滿 足 條 件 ：1 2 2op = oa + ob + oc ，5 5

9、 5試判斷：點(diǎn) p 與a, b, c是否一定共面？三.鞏固練習(xí)，解：由題意： 5op =oa +2ob +2oc ( op -oa ) =2( ob -op ) +2( oc -op ) ， ap =2 pb +2 pc ，即 pa =-2pb -2 pc，（20 分鐘）所以，點(diǎn) p 與a, b, c共面。2已知abcd ，從平面 ac 外一點(diǎn) o 引向量oe =koa, of =kob, og =koc, oh =kod ，（1）求證：四點(diǎn)e , f , g , h共面；（2）平面 ac /平面 eg 。解：（1）四邊形 abcd 是平行四邊形， ac =ab +ad eg =og -oe

10、，=k oc -k oa =k (oc -oa) =k ac =k ( ab +ad )=k (ob -oa +od -oa) =of -oe +oh -oe=ef,f+,geh,h共面；（ 2 ） ef =of -oe =k (ob -oa ) =k ab ， 又 eg =k ac，ef / ab, eg / ac所以，平面 ac / 平面 eg 。向量平行于平面和直線平行于平面 是不同的，要注意其共同點(diǎn)與不同點(diǎn)；共四小結(jié)談收獲面向量定理中，條件的必要性實(shí)際上就是 平面向量基本定理，該定理說的是三個向 量共面的性質(zhì)，它在空間中也成立。完成課后習(xí)題1 已 知 兩 個 非 零 向 量 e , e

11、 不 共 線 ， 如 果 ab =e +e ，1 2 1 2ac =2e +8e ， ad =3e -3e ，求證： 1 2 1 2a, b, c , d共面。證明： ab =e +e ， ac =2e +8e ， ad =3e -3e ，1 2 1 2 1 2 ad =3e -3e =5(e +e ) -(2 e +8e ) 1 2 1 2 1 2=5 ab -aca, b, c , d共面。2 已知a =3 m -2 n -4 p , b =( x +1)m +8 n +2 yp a 0 ，若 a / b ，求實(shí)數(shù) x , y 的值。，a1fd1ehb1cg1解 ： a / bdc五.布置

12、作業(yè)3m -2 n -4 p =l( x +1)m +8n +2 yp abl(x +1) =3,8l=-2,2 yl=-4x =-13, y =8。3如圖，e , f , g , h 的中點(diǎn)，分別為正方體 ac 的棱 a b , a d , b c , d c1 1 1 1 1 1 1 1 1求證：（1）e , f , d , b四點(diǎn)共面；（2）平面 aef/平面 bdhg 。4已知e , f , g , h分別是空間四邊形 abcd 邊ab, bc , cd , da的中點(diǎn)，（1）用向量法證明：e , f , g , h四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明： bd /平面 efgh 。aehbdf

13、gc六教學(xué)反思3.12 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題【教學(xué)目標(biāo)】1 了解空間向量基本定理及其推論；2 理解空間向量的基底、基向量的概念。理解空間任一向量可用空間不共 面的三個已知向量唯一線性表出。3 學(xué)會用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識到事物都是在不斷的發(fā)展、變化的，會 用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物。【教學(xué)重點(diǎn)】向量的分解（空間向量基本定理及其推論）【教學(xué)難點(diǎn)】空間作圖教學(xué)課程第二課教學(xué)環(huán)節(jié)導(dǎo)案/學(xué)案1 空間向量的概念：在空間， 我們把具有大小和方向的量叫做向師生互動/隨堂測試注：（1 ）空間的一個 平移就是一個向量。備注一、復(fù)習(xí)引入量。（2）向量一般用（5 分鐘）2空間向量的運(yùn)算 3平行

14、六面體：4平面向量共線定理有向線段表示同向等 長的有向線段表示同 一或相等的向量。rrrvr vvv5 共線向量6 共線向量定理： 7向量與平面平行：8共面向量定理（3）空間的兩個 向量可用同一平面內(nèi) 的兩條有向線段來表 示。2空間向量的運(yùn) 算定義：與平面向dcaadb cab量運(yùn)算一樣，空間向 量的加法、減法與數(shù) 乘 向 量 運(yùn) 算 如 下r vob =oa +ab =a +b ；rba =oa -ob =a -b ； op =la(lr)運(yùn)算律：（ 1 ）加法 交 換 律v va +b =b +a：律（ 2 ） 加 法 結(jié) 合 ：v v v v ( a +b ) +c =a +( b +c

15、 )（ 3 ） 數(shù) 乘 分 配律v v l(a +b ) =la+lb：3平行六面體：平行四邊形 abcdr平 移 向 量 a到a bcd的軌 跡所形成的幾何體，叫做平 行六面體，并記作：abcd a bcd它 的六個面都是平行四邊 形，每個面的邊叫做 平行六面體的棱。4平面向量共線 定理方向相同或者相 反的非零向量叫做平 行向量。由于任何一 組平行向量都可以平 移到同一條直線上， 所以平行向量也叫做 共線向量。r向量 b 與非零向 r量 a 共線的充要條件 是有且只有一個實(shí)數(shù)r ，使 br a 。要注意其中對向 r量 a 的非零要求。 5共線向量 如果表示空間向量的有向線段所在的 直 線 互

16、 相 平 行 或 重 合，則這些向量叫做 共 線 向 量 或 平 行 向r r量。 a 平行于 b 記作vra / b。r當(dāng)我們說向量 a 、 r r rb 共線（或 a / b ）r r時，表示 a 、 b 的有 向線段所在的直線可 能是同一直線，也可 能是平行直線。6 共 線 向 量 定理：空間任意兩個向 r r r r r量 a 、b （ b 0 ），a r/ b 的充要條件是存r在實(shí)數(shù) ，使 a rb。aaa推論：如果 l為經(jīng)過已知點(diǎn) a 且平行于r已知非零向量 a 的直 線，那么對于任意一點(diǎn) o，點(diǎn) p 在直線 l上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t滿 足 等 式op =oa +tra 。其中

17、r向量 a 叫做直線 l 方向向量。的空間直線的向量 參 數(shù) 表 示 式 ：op =oa +tra 或op =oa +t (ob -oa )=(1 -t )oa +tob ，中mo點(diǎn)babpa a公p式 。op=12( oa + ob )7向量與平面平 行：已知平面a和向量 a ，作 oa =a，如果直線 oa 平行于a或在 a 內(nèi)，那么我們 說向量 a 平行于平面a，記作：a / a。通常我們把平行于同一 平面的向量，叫做共 面向量。說明：空間任意 的兩向量都是共面的8 共 面 向 量 定 理 ： 如 果 兩 個 向 量 a , b 不共線， p 與向 量 a , b 共面的充要條 件是存在

18、實(shí)數(shù) x , y 使 p =xa +yb推論：空間一點(diǎn) p 位于平 面 mab 內(nèi) 的充分必要條件是存 在有序?qū)崝?shù)對 x , y ， 使 mp =xma +ymb 或 對 空 間 任 一 點(diǎn)o，有op =om +xma +ymb或op =xoa +yob +zom ,( x +y +z = 上 面 式 叫做平面 mab 的向量表達(dá)式1空間向量基本定理：如果三個向 量 a , b , c 不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x , y , z，使 p =xa +yb +zc 。證明：（存在性）設(shè) a , b , c 不共面，過點(diǎn)o作oa =a , ob =b , oc =c ,

19、 op = p ；過點(diǎn) p 作直線 pp 平行于 oc ，交平面oab 于點(diǎn) p ；在平面 oab 內(nèi)，過點(diǎn)p 作直線pa/ob , p b/oa，分別與直線oa, ob相交于點(diǎn)a,b，于二.探究新知 （25 分鐘）是 ， 存 在 三 個 實(shí) 數(shù)x , y , z， 使oa=xoa =xa oc =zoc =zc， ob =yob = yb ， ， op =oa+ob+oc=xoa+yob+zoc 所以 p =xa +yb +zcc（唯一性）假設(shè)還存在 p =xa+yb+zx,y,z使 xa +yb +zc =xa+yb+zc( x -x) a +( y -y)b +( z -z)c =0不

20、妨 設(shè) x x 即 x -x0 a =y -y z -z b+ cx-x x-x a , b , c 共 面 此 與 已 知 矛 盾 該表達(dá)式唯一綜上兩方面，原命題成立。 由此定理，若三向量 a,b, c 不共面，則 所 有 空間 向量 所 組成 的 集 合 是 p| p =xa+yb+zc, xr, yr,zr ，這個集 合可以看作由向量 a , b , c 生成的，所 以我們把 a , b , c 叫做空間的一個基 底， a , b , c 叫做基向量，可以知道， 空間任意三個不共面的向量都可以 構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)o , a, b, c是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn) p ，都存在

21、唯 一 的 三 個 有 序 實(shí) 數(shù) op =xoa +yob +zocx , y , z， 使1. 已知空間四邊形 oabc ，其對角線 ob , ac ， m , n 分別是對邊oa, bc的中點(diǎn)，點(diǎn) g 在線段 mn 上，且 mg =2gn ，用基底向量oa , ob , oc 表示向量 og解：og =om +mg2 1 2=om + mn = oa + (on -om ) 3 2 3三.鞏固練習(xí) （20 分鐘）1 2 1 1 = oa + (ob +oc ) - oa2 3 2 21 1 1= oa + (ob +oc ) - oa 2 3 31 1 1= oa + ob + oc6

22、3 31 1 1og =oa + ob + oc6 3 32 如圖，在平行六面體 abcd -abcddgc中，e , f , g 分別是 ad,dd,dc的中aeb點(diǎn)，請選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明：f（1） eg / acdcab（2）平面 efg / 平面abc 證明：取基底： aa , ab , ad ，（1） eg =ed +d g =1 1ad + ab2 2，ac =ab +ad =2 eg（ 2 ） ab =ab +aa =2 fg， eg / ac1 1fg =fd +d g = aa + ab2 2，四小結(jié)五.布置作業(yè)六教學(xué)反思 fg / ab 談收獲， 由（1） eg / ac

23、 ，平面 efg / 平面abc空間向量基本定理的推論意在用分 解定理確定點(diǎn)的位置，它對于今后用向量 方法解幾何問題很有用。完成課后習(xí)題3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1 掌握掌握空間向量的夾角的概念，空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算 律2 掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積 解決立體幾何中的一些簡單問題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用=0 a ba b2 2 【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題教學(xué)課程第二課教學(xué)環(huán)節(jié)1、 一、復(fù)習(xí)引入導(dǎo)案/學(xué)案平面向量的夾角：師生互動/隨堂測試備注（5 分鐘）2、平面向量的數(shù)量積：1

24、空間向量的夾角：思考：面直線已知兩非零向量 a , b ，在空 及 所 成 的 角 的 范間任取一點(diǎn)o，作oa =a , ob =b， 圍?則aob叫 做 向 量a與 b的 夾 注 : 兩個向量的角，記作；數(shù)量積是數(shù)量，而（1） 規(guī)定0 p，不是向量.（2） 顯然有 規(guī) 定 : 零 向二.探究新知=；量 與 任 意 向 量 的（25 分鐘）（3） ，那么 與 同 數(shù)量積等于零向；向=p，那么 與 反 3、兩個向量的數(shù)量積的幾（4）=p2，則稱a與 b何意義互相垂直，記作： a b ；2、空間向量的數(shù)量積：4、空間兩個向量的數(shù)量積已 知 向 量a , b， 則性質(zhì)| a | |b | cos 叫

25、做a , b的 數(shù) a =| a |2即 | a |= a (求線段的長度 ); 量 積 ， 記 作 a b ， 即 a b= a b a b = 0 (垂直的判斷 );| a | |b| cos cos a , b =a ba b(求角度).5 、空間向量的數(shù)量 積 滿 足 的 運(yùn) 算 律a b=b a；( la) b=l(b a)；a (b +c ) =a b+a c思考：1、若a b=a c，是否有立？b =c成2、若a b=k，是否有a =kb，或b =ka成立？3 、向量數(shù)量積是否 有 結(jié) 合 律( a b)c =a (b c) 立？成221：已知空間四邊形 abcd 的每條邊和對角

26、線長都等于 a， 如圖所示，點(diǎn) e、f 分別是 ab、ad 的中點(diǎn)，求(1) abac； (2)efbc；三.鞏固練習(xí) （20 分鐘） 【解】 (1)abac|ab| ac|cosab，ac1 aaa .2 2(2)e，f 分別為 ab，ad 的中點(diǎn)， 1 ef bd.2 1 efbc bdbc21 1 aa2 2a .4如圖，在平行六面體 abcd-abcd中，ab=4，ad=3，aa=5，bad=900，baa=daa=600，求對角線ac 的長dc解：acaa= ab + ad + aabdcb2 2 | ac|2= ( ab + ad + aa)2=| ab |2+ | ad |2+

27、| aa|2+ 2( ab ad + ab aa+ ad aa)= 42+ 32+ 52+ 2(0 + 10 + 7.5) | ac |= 85.= 85練習(xí) 3、如圖，線段 ab，bd 在 平面a內(nèi)，bdab，線段 aca，且 ab=a，bd=b，ac=c，求 c，d 間的距離。復(fù)習(xí)：空間兩個非零向量 a 、b 的數(shù)量積 a b :a b = a b cos a, b也有下列三個重要性質(zhì)：四小結(jié)談收獲 a =| a |2即 | a |= a (求線段的長度 ); a b a b = 0 (垂直的判斷 ); cos a , b =a ba b(求角度).五.布置作業(yè)六教學(xué)反思完成課后習(xí)題學(xué)生已

28、有了空間的線、面平行和面、面平行概念，這 種推廣對學(xué)生學(xué)習(xí)已無困難 但仍要一步步地進(jìn)行，學(xué)生 要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間 一個 向量已是空間的一個平移，要讓學(xué)生在空間上一步步地 驗(yàn)證向量的數(shù)量積運(yùn)算 。空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】1 鞏固空間向量數(shù)量積的概念；2 熟練應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題。 【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決問題【教學(xué)難點(diǎn)】應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決問題【學(xué)前準(zhǔn)備】：多媒體，預(yù)習(xí)例題教學(xué)課程第二課教學(xué)環(huán)節(jié)導(dǎo)案/學(xué)案1空間向量的概念 2空間向量的運(yùn)算師生互動/隨堂測試 注：（1）空間的一個備注一、復(fù)習(xí)引入3平行六面體：平移就是

29、一個向量。（5 分鐘）4平面向量共線定理（2）向量一般用5共線向量有向線段表示同向6共線向量定理等長的有向線段表示7 向量與平面平行8 共面向量定理9 空間向量基本定理10 空間向量的夾角及其表示 11向量的模12向量的數(shù)量積同一或相等的向量。 （3）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi) 的兩條有向線段來表 示。（ 1 ）13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：a e=|a | cos 。（ 1 ） （ 2 ）a b a b=0。a e=|a | cos （3） | a |2 =a a。 空間向量數(shù)量積運(yùn)算。 （ 2 ） 律：a b a b=0。（3） | a |2=a a。（ 1 ）14空間向量數(shù)量積運(yùn)算律(la

30、) b =l(a b) =a (lb)。（2） a b=b a 換律）。（交（ 3 ）a (b +c ) =a b+a c （分配律）1 已知線段ab, bd在平面 a 內(nèi)， 設(shè)出空間的一個基底bd ab ， 線 段 ac a， 若 后 ， 求 數(shù) 量 積ab =a , bd =b, ac =c ，求 c , d 間的sm bn的時候目標(biāo)距離。就更加明確了，只要二.探究新知解：（方法一）連結(jié) ad ，將 sm與 bn都化為（25 分鐘）ac a, ad a， 用基向量表示就可以ac ad ，在 dabd 中 bd ab ， 了 本題中 sm與 bn ad2=ab2+bd2=a2+b2，的 夾

31、角 是 異 面 直 線在 dacd 中 ac ad ，所以， sm 與 bn 所成角的cd = ac2+ad2= a2+b2+c2。補(bǔ)角。2b11， | bb |2 =8 ，4 如 圖 長 方 體（ 方dcabcd -a b c d1 1 1 1中，法二）：abab =bc =4 ， e 為 ac 與 b d的交點(diǎn)，1 1 1 1| cd | =( cad+ab +bd )2cf 為 bc 與 b c 的交1 1點(diǎn)，又 af be ，求=|ca |2a+| ab |2+| bd |2+2ca ab +2 ca長bd方體+的2ab高bbbd。1又 ac a, ab a, bd a分析：本題的關(guān)

32、， 鍵 是 如 何 利 用ac bd , ac ab，af be 這個條件，又 ab bd ， bd ab ， 在 這 里 可 利 用 af be afbe=0ca ab =0, ab bd =0, ca bd =0 ， 將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量| cd |2=積問題。=|ca |2+| ab |2+| bd |2=a2+b2+c2解 法 一 ： ，af be，所以| cd |= a2+b2+c2 。例 2 已 知 平 行 六 面 體af be =( ab +bf ) (bb +b e )abcd-abcd中，ab =4, ad =3, aa =5, bad =90， baa =daa =60 的長

33、。，求 ac 1 1= ab + ( bc +bb ) bb + ( bc -ab) =0 2 2解： | ac |2=( ab +ad +aa )214(2 ab +bc +bb ) (2bb +bc -ab) =01 1=|ab |2 +| ad |2 +| aa|2 +2ab ad +2 ab aa+2ad aa-2| ab |2 +| bc |2 +2| bb | =01=42 +32 +52 +2 43cos90 +2 45cos60 +2 135cos60=16 +9 +25 +0 +20 +15 =85所 求 高所以， | ac |= 85 。bb =2 2 。 1例 3已知 s

34、 是邊長為 1 的正三角sb212即3形 所 在 平 面 外 一 點(diǎn) ， 且 sa =sb =sc =1 ， m , n 分別是 ab ，d1ec1sc 的中點(diǎn)，求異面直線 sm 與 bn 所a1b1成角的余弦值。f分析：要求異面直線 sm 與 bndc與 bn所成角的余弦值，只要求 sm所 成 的 角的 余弦 值 ，因 此 就 要 求 sm bn 以及 | sm | |bn | ，然后再用a解法二：設(shè)b向量夾角公式求解。ab =a , ad =b , aa =c1解：設(shè) sa =a，sb =b， sc =c， a b=b c=a c=12，則a b =b c =c a =01sm bn =

35、( sa +sb ) (sn -sb ) 2 n1 1= ( a +b ) ( c -b )2 2a c，| a | 2 =a 2 =16,| b | 2 =b 2 =16則m1 1 1= ( a c-a b+ b c-b ) 2 2 2be =bb +b e 1 11c + (b -a ) 21 1 1 1 1 1 1 = ( - + -1) =-2 2 2 2 2 2 2 1af =ab +bf =a + ( c +b )2- af be sm bn 2cos = = =-| sm | |bn | 3 3 be 3af 02 2，1所以，異面直線 sm 與 bn 所成 c + (b -a

36、) 22角的余弦值為 。 1 a + (c +b ) 0 21 1 1 c 2 + b 2 - a2 4 22=0| c |2=c2=8 ，即所求1設(shè) a b， =p3, =p6高 bb =2 2 。1，且 | a |=1,| b |=2,| c |=3 ，求向的模。量 a +b +c2已知 | a |=2,| b |=5 ，=2 p3， p =3 a -b ，q =la +17 b ，問實(shí)數(shù) l 取何值時 p 與 q 垂直。3若 a +b +c =0 值。，且 | a |=3,| b |=2,| c |=1 ，求 a b+bc+ca的4 在棱長為 1 的正方體 abcd -abcd d d,

37、db中點(diǎn)，中，e , f分別是g 在棱 cd 上，cg =14cd ，h 為 c gdc的中點(diǎn)，ab（1）求證： ef bc；eh三.鞏固練習(xí) （20 分鐘）（2）求 ef , c g所成角的余弦； （3）求 fh 的長。解：設(shè) ab =a , ad =b , aa =c ，adfbgc則 a b =b c =c a =0， | a |2 =a 2 =1,| b | 2 =b 2 =1,| c | 2 =c 2 =11 1 1（1） ef =ed +df =- c + ( a -b ) = ( a -b -c )2 2 2b c =bc -bb =b -c1 ef b c = ( a -b -

38、c ) (b -c )21 1= ( c 2 -b 2 ) = (1-1) =02 2 ef bc1 1 1（2） ef =ed +df =- c + ( a -b ) = ( a -b -c )2 2 2，1c g =c c +cg =-c- a4，1 1 1 1 3 ef c g = ( a -b -c ) (-c - a ) = ( - a 2 +c 2 ) =2 4 2 4 81 1| ef |2 = ( a -b -c ) 2 = ( a 2 +b 2 +c 2 ) =4 41 1 17| c g |2 =( -c - a) 2 =c 2 + a 2 =4 16 163441| ef

39、 |=32，| c g |=174，cos =ef c g 51 =| ef | c g | 17，所以ef , c g所成角的余弦為5117（3） fh =fb +bc +cc +c h1 1= ( a -b ) +b +c + c g2 21 1 1= ( a -b ) +b +c + ( -c - a )2 2 43 1 1= a + b +c c8 2 23 1 1 9 1 1 41 | fh |2 =( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 =8 2 2 64 4 4 64 fh 的長為8利用向量方法求解空間距離問題，可四小結(jié)五.布置作業(yè)六教學(xué)反思談收獲以回避此類問題中大量的作圖、證明等步