2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊課后提升訓(xùn)練：1.2　空間向量基本定理

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上第一章空間向量與立體幾何1。2空間向量基本定理課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.設(shè)向量a，b，c不共面,則下列可作為空間的一個基底的是()a.a+b,b-a,ab.a+b,b-a，bc。a+b,b-a，cd.a+b+c，a+b，c解析由已知及向量共面定理,易得a+b,ba,c不共面,故可作為空間的一個基底.答案c2。如圖，在平行六面體abcda1b1c1d1中，ac與bd的交點為點m,ab=a，ad=b，aa1=c,則下列向量中與c1m相等的向量是（）a。12a+12b+cb。12a+12b+cc。-12a12b-cd.-12a-12b+c解析c1m=am-ac1=12(ab+ad

2、）（ab+bc+cc1)=12a12b-c.答案c3。已知o,a，b，c為空間不共面的四點，且向量a=oa+ob+oc,向量b=oa+ob-oc,則不能與a，b構(gòu)成空間的一個基底的是（)a.oab。obc。ocd.oa或ob解析a=oa+ob+oc,b=oa+ob-oc，oc=12（ab),oc與向量a，b共面，oc,a,b不能構(gòu)成空間的一個基底.答案c4.在空間四邊形oabc中，oa=a，ob=b,oc=c，點m在線段ac上,且am=2mc，點n是ob的中點,則mn=()a.23a+12b23cb。23a12b+23cc。13a+12b-23cd。13a+12b13c解析ma=23ca=23

3、(oa-oc）,on=12ob，mn=mo+on=ma+ao+on=23(a-c）-a+12b=-13a+12b23c。答案c5.在正方體abcda1b1c1d1中,設(shè)ab=a，ad=b，aa1=c,a1c1與b1d1的交點為e,則be=.解析如圖,be=bb1+b1e=aa1+12(b1c1+b1a1）=aa1+12(ad-ab）=-12a+12b+c.答案-12a+12b+c6.已知三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱垂直于底面，bac=90.求證：abac1。證明設(shè)ab=a，ac=b,aa1=c,則ac1=ac+cg=b+c。所以abac1=a（b+c）=ab+ac，因為aa1平面abc,ba

4、c=90，所以ab=0,ac=0，得abac1=0，故abac1.7.如圖,已知正方體abcdabcd,點e是上底面abcd的中心,取向量ab,ad,aa為基底的基向量,在下列條件下，分別求x,y,z的值.(1）bd=xad+yab+zaa;（2）ae=xad+yab+zaa.解（1）因為bd=bd+dd=ba+ad+dd=ab+ad+aa，又bd=xad+yab+zaa,所以x=1,y=-1,z=1。(2）因為ae=aa+ae=aa+12ac=aa+12(ab+ad)=12ad+12ab+aa，又ae=xad+yab+zaa,所以x=12，y=12,z=1.能力提升練1。（多選題）若a,b，

5、c是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的是(）a。a,2b,3cb.a+b，b+c,c+ac.a+2b，2b+3c，3a9cd.a+b+c,b,c解析由于a，b,c不共面，易判斷a，b,d中三個向量也不共面，可以作為一組基向量。對于c，有3（2b+3c）+（3a9c）=3（a+2b），故這三個向量是共面的，不能構(gòu)成基底.答案abd2.在四面體oabc中,g1是abc的重心，g是og1上的一點,且og=3gg1，若og=xoa+yob+zoc,則(x,y,z)為()a.14,14,14b.34,34,34c.13,13,13d。23,23,23解析如圖所示,連接ag1交bc于點e，則

6、e為bc中點,ae=12(ab+ac）=12(ob-2oa+oc),ag1=23ae=13(ob2oa+oc).因為og=3gg1=3（og1-og）,所以og=34og1。則og=34og1=34(oa+ag1)=34oa+13ob-23oa+13oc=14oa+14ob+14oc。答案a3。若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3，若e1，e2，e3不共面,當(dāng)d=a+b+c時，+=。解析由已知d=(+)e1+（+）e2+(+)e3，所以+=1,+=2,+=3,故有+=3.答案34。已知直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=120,ab=2，bc=cc1=

7、1,則異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為。解析如圖所示。設(shè)ba=a，bc=b,bb1=c，則a，b=120，ca，cb,因為ab1=ab+bb1=-a+c，bc1=bc+cc1=b+c，cosab1,bc1=ab1bc1|ab1|bc1|=(-a+c)(b+c)52=-ab-ac+bc+c210=-21cos120+110=210=105.答案1055。如圖所示，在平行六面體abcda1b1c1d1中，ma=-13ac,nd=13a1d,設(shè)ab=a,ad=b，aa1=c，試用a,b，c表示mn。解連接an,則mn=ma+an。由已知可得四邊形abcd是平行四邊形，從而可得ac=ab+ad=

8、a+b，ma=13ac=-13(a+b)，又a1d=ad-aa1=bc，故an=ad+dn=ad-nd=ad-13a1d=b13(b-c），所以mn=ma+an=13(a+b）+b-13(b-c）=13(a+b+c）.6。在正方體abcd-a1b1c1d1中，已知e,f，g，h分別是cc1，bc，cd和a1c1的中點。證明:(1)ab1ge,ab1eh；（2）a1g平面efd。證明(1)設(shè)正方體棱長為1，ab=i，ad=j,aa1=k，則i,j，k構(gòu)成空間的一個單位正交基底.ab1=ab+bb1=i+k，ge=gc+ce=12i+12k=12ab1，ab1ge。eh=ec1+c1h=12k+-

9、12(i+j）=-12i-12j+12k,ab1eh=（i+k)-12i-12j+12k=12i2+12k|2=0,ab1eh。（2）a1g=a1a+ad+dg=-k+j+12i,df=dc+cf=i12j，de=dc+ce=i+12k。a1gdf=-k+j+12ii-12j=-12j2+12i2=0，a1gdf。a1gde=-k+j+12ii+12k=12|k|2+12|i2=0，a1gde.又dedf=o,a1g平面efd。素養(yǎng)培優(yōu)練如圖,在正方體abcda1b1c1d1中,e,f分別是bb1,d1b1的中點，求證：ef平面b1ac.證明設(shè)ab=a,ad=c，aa1=b,有ab=0,ac=0，bc=0，則ef=eb1+b1f=12(bb1+b1d1）=12(aa1+bd）=12(aa1+ad-ab）=12（-a+b+c),ab1=ab+bb1=ab+aa1=a+b。efab1=12（a+b+c)（a+b)=12(|b|2-a|2)=0。efa