4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用(1)

1、4.5 相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用（1） 相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊上的中線、高線、對(duì)應(yīng)角的平分線）之比等于相似 比. 1.如圖所示，也| ABCD中, E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F,如果BE： BC=2： 3，那么下列 各式錯(cuò)誤的是（C）. （第1 2.如圖所示，在 F 為 BC邊 題） ABC中，D論中，正確的是 上一點(diǎn)， 連結(jié) (第 2 題) (C). AF （第 3 題） ,E分別為AB, AC邊上的點(diǎn)，DE/ BC點(diǎn) 交 DE于點(diǎn) G , 則下列結(jié) (第 4 題) ftp (E 入 ABEC* ADAEAF 3. 如圖所示，AB是OO的直徑，過(guò)點(diǎn) O作AB的垂線與弦 A

2、C交于點(diǎn)D,連結(jié)BC OO的半徑為4,則CD等于（A）. A.1.4B.1.8C.2.4D.2.6 4. 如圖所示，邊長(zhǎng)為 12的正方形ABCD中，有一個(gè)小正方形 EFGH其中點(diǎn)E, F, AB BC, FD上.若BF=3,則小正方形的邊長(zhǎng)為（A）. 15 A.B.2 Ad AC EC 若 OD=3 G分別在 Rt OAB的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，/ AOB=90 , 5.如圖所示, C.4D.5 (第 8 題) 4 J i (第 7 題) AO=3B O當(dāng)點(diǎn) A在反比例函數(shù) 9 y= x （x 0）的圖象上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn) B坐標(biāo)滿足的函數(shù)表達(dá)式為 (A). A.y=- C.y=- 1 (x v 0)

3、 x (x v 0) 3x B.y=- D.y=- 3 (x v 0) x 丄(xv 0) 9x 6.如圖所示,點(diǎn) D, 長(zhǎng)為10. E分另【J在 AB AC上,且/ ABCd AED若 DE=4, AE=5 BC=8 貝U AB的 7.如圖所示,在ABCD中, E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn) F,如果聖 Z，那么匹 FD 3BC 第1頁(yè) AP2 A匚的值為- 3 2 3 8. 如圖所示，已知在厶 ABC中，AB=3, AC=2 D是邊 AB上的一點(diǎn)，/ ACDM B,Z BAC的平 分線AQ分別與CD BC交于點(diǎn)P, Q,那么 AQ 9. 如圖所示，MN經(jīng)過(guò) ABC的頂點(diǎn) A, MIN/

4、BC 連結(jié)DE AM=AN MC交 AB于點(diǎn) D, NB交 AC于點(diǎn) E, （第 9 題） 第5頁(yè) ADAE BD EC （2） T DE/ BC； MN=2AM=3. （1）求證：DE/ BC （2）若 DE=1, BC=3 求 MN的長(zhǎng). =- -= -AD AE 【答案】（1） MN/ BC *. AM=AN =. DE/ BC. （第11題） （第 12 題） 13題） （第14 題） 12.如圖所示，D是等邊三角形 ABC邊AB上的一點(diǎn)，且 AD： DB=1 : 2,現(xiàn)將 ABC折疊，使 點(diǎn)C與D重合，折痕為 EF,點(diǎn)E, F分別在AC和BC上 ,貝U CE： CF等于（B）. 10

5、. 如圖所示，已知矩形 ABCD勺兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) 0,過(guò)點(diǎn)A作AGL BD分別交BD, BC于 點(diǎn) G, E. （1）求證：BE=EG- EA. （2）連結(jié) CG 若 BE=CE 求證：/ ECGMEAC. 善卞I（第10題） 【答案】（1） I 四邊形 ABCD是矩形，ABC=90 . v AE1 BDBGE=90 =Z ABC. EA BE 2 /BEGMAEB ABEBGE/.=. BE=EG EA. BE EG CE AE 由（1）證得 BE=EG- EA / BE=C E - CE=EG EA.=. vM CEGMAEC CEG EG CE AECECGM EAC. 11. 如圖

6、所示，等腰直角三角形 ABC的直角邊長(zhǎng)為3 , P為斜邊BC上一點(diǎn)，且BP=1 , D為AC 上一點(diǎn)若/ APD=45 ,則CD的長(zhǎng)為（C. 13. 如圖所示,在厶 ABC中，AB=AC=aBC=bba b），在 ABC內(nèi)依次作/ CBDM A, M DCEM CBD 則DE等于（C）. AD=8 AE=4,貝U AF 的長(zhǎng)為 25 （第 . v AE=4 AB=AC=6 EF=1Q DE CE=2. 匹=衛(wèi). BE- DE=20. 2 DE 17.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中, 4 直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C,與直線AD交于點(diǎn)A（, 3 5 ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0 , 1）. 3 （不與點(diǎn)

7、 B重合），當(dāng) BODM BCE （1）求直線AD的函數(shù)表達(dá)式. （2）直線AD與x軸交于點(diǎn) B,若點(diǎn) 圖2 45 【答案】（1）設(shè)直線 AD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.將A （, - ） , D 33 E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn) （0,1）代入，得 14. 如圖所示，在矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作EALCA交DB的延長(zhǎng)線 AC7 于點(diǎn)E,若AB=3, BC=4則的值為. AE24 15. 如圖所示，在 ABCD中,過(guò)點(diǎn)A作AE1BC,垂足為點(diǎn)E,連結(jié)DE F為線段DE上一點(diǎn)， 且/ AFE=/ B.若 AB=5 （第16題答圖） 16. 如圖所示，在厶 ABC中，AB=A

8、C=6 / A=2Z BDC BD交 AC邊于點(diǎn) E ,且 AE=4,貝U BE- DE= 20 . 1 【解析】如答圖所示，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)F ,使得AF=AB,連結(jié)BF ,則/ F=Z ABF= 2 BE / BAC.vZ BAC=Z BDC ,F=Z BDC.又 v/ FEB* DEC ,FEB s DEC/. CE 1 .直線 AD的函數(shù)表達(dá)式為 y= x+1. 2 1）, 0D=1/. BD= /直線 AD與x軸的交點(diǎn)為（-2, 0）, OB=2.v點(diǎn) D的坐標(biāo)為（0 , OB2 OD2= 5. / y=-x+3 與 x 軸交于點(diǎn) C （3 , 0） , OC=3. BC=5. BO o

9、d2 1 如答圖1所示，當(dāng)：公 BOD BCE時(shí)，貝U=, / BCE* BOD=90 , / =,解 BC CE5 CE 55 得CE=. 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3,）. 22 如答圖2所示，當(dāng) BEC時(shí)，貝U ,解得 BE=25 CE=5. 過(guò)點(diǎn)E作EFx軸于點(diǎn) |豈=空即蟲(chóng)=空 F,易知 BEFsBCE,.*5 臚，解得 EF=2. 二CF=.CE2 EF2 =1. OF=2. 點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2 ,2).綜上可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3 ,-)或(2 , 2 2). 18. 如圖所示，在梯形 ABCD中, AD/ BC / BCD=90，對(duì)角線 AC, BD交于點(diǎn)E,且ACLBD (1)求證：cD=bc

10、 ad (2) F是BC邊上一點(diǎn)，連結(jié) AF與BD交于點(diǎn)G,如果/ BAFK DBF求證: AG2 AD2 =BGBD (第 18 題) 【答 案】 (1) I AD/ BC ,/ BCD=90 ,ADCM BCD=90 . v ACL BD ad cd / ACD# ACBM CBD# ACB=90 .ACDM CBD.A ACD s DBC. = , 即 CD BC cD=bc ad. (2) v AD/ BCADBM DBF/ / BAF=/ DBF / ADBM BAF.v/ ABGM DBA ABG s DBA. DBA , BG AB 2 AB =BG- BD. AB BD p。

11、_川胛 _ HG * HD_ HC SIF_ BD7 SIP BD (第 19題) 19. 【深圳】如圖所示，在 Rt ABC中，/ ABC=90 , AB=3 BC=4 Rt MPN的直角頂點(diǎn) P在 AC上 , PM交 AB于點(diǎn) E, PN交 BC于點(diǎn) F,當(dāng) PE=2PF時(shí),AP= 3. 20. 【杭州】如圖所示,在銳角三角形 ABC中，點(diǎn)D, E分別在邊AC, AB上 , AGLBC于點(diǎn)G, AFL DE于點(diǎn) F, / EAF=/ GAC. (1)求證： AD0A ABC. AF (2 )若 AD=3 AB=5求 的值 AG 打 (第20題) 【答案】 IAGL BC AF丄 DEAFE

12、* AGC=90 . v/ EAFg GAC./AEDM ACB又 / EAD* BACADE sABC. (2)由(1)知厶 ADE s ABC, AD =3 . v AFE=* AGC/EAF/ CAG EAF s AB AC 5 CAG/- AF AE AF 3 AG AC AG 5 21.尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖 垂足為點(diǎn) P，設(shè)BC=a AC=b AB=c.求證: 1所示，已知 AF, BE是 ABC的中線，且 AFL BE a2+b2=5c2.該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路： 先連結(jié)EF,利用EFABC的中位線得到 EPFs BPA 故 ,設(shè) PF=m 第6頁(yè) PE=n

13、,用m n把PA PB分別表示出來(lái)，再在 Rt APE Rt BPF中利用勾股定理計(jì)算，消 去m n即可得證. (1)請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫(xiě)出證明過(guò)程 (2 )利用題中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題： 在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中 , O為對(duì)角線AC, BD的交點(diǎn)，E, F分別為線段AQ DO的中點(diǎn)， 連結(jié)BE, CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn) M BM CM分別交AD于點(diǎn)G, H,如圖2所示，求mG+mH的值. 圖2 (第21題) 【答案】 設(shè)PF=m PE=n,連結(jié)EF. v AF, BE是 ABC的中線，/ EFABC的中位線， PF 卜:F | n m I AE=-b , BF=-a. / EF/ AB EF=- c. / EPFs BPA./ fliJ 燈一 2即丿如一尸 2 2 2 2 1 / PB=2n PA=2m在 Rt AEP中，v Ph+PA=Ah , /.n2+4ni= b2.在 Rt BFP中，v PF2+pB=BF2 , 4 11 1 /.m+4n2= a2.+得 5 (n2+m)= (a2+b2),在 Rt EFP 中，v pW+PFeF , /.n+m=- 444 2I 2 I 22222 c . / 5 c = (